Anwesenheitsaufgaben zur ”Linearen Algebra II“ im Sommersemester 2003 bei Prof. V. Bangert

Blatt 8 7.–8. Juli 2003

1. Seien L_{1}, L_{2} ∈ End(V), und es gelte L_{1} ∘ L_{2} = L_{2} ∘ L_{1}. Zeigen Sie: (a) Ist U ein L_{1}-invarianter Unterraum von V, so ist auch L_{2}(U) L_{1}-invariant.

(b) Ist λ Eigenwert von L_{1}, so sind E(λ) und E′(λ) L_{2}-invariant.

2. Sei L ∈ End(ℝ^{3}) gegeben durch die Matrix

A = (\begin{matrix}1 & −4 & −4 \\ 0 & 3 & 2 \\ −2 & −7 & −4 \end{matrix} ) .

Bestimmen Sie die Eigenwerte von L und eine Basis des ℝ^{3} aus Eigenvektoren von L. (So eine existiert!)