Anwesenheitsaufgaben zur ”Linearen Algebra II“ im Sommersemester 2003 bei Prof. V. Bangert

Blatt 9 14.–15. Juli 2003

1. Finden Sie zu folgender Matrix A die Jordansche Normalform und eine Matrix B, so dass

die Matrix

B^{−1}AB

Jordansche Normalform hat:

A := ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 \\ −3 & −3 & 3 \\ −2 & −2 & 2 \end{matrix} ) .

Hinweis: Alle Nullstellen des charakteristischen Polynomen sind gleich 0.

2. Finden Sie alle (2 × 2)−Matrizen X mit

X^{2} = ( \begin{matrix}3 & 1 \\ −1 & 5 \end{matrix} ) .

Hinweis: Ist X^{2} = A, so ist B^{−1}X^{2}B = (B^{−1}XB)^{2} = B^{−1}AB für alle B ∈ GL(n, ℝ). Finden Sie B, so dass B^{−1}AB Jordansche Normalform hat.

3. Berechnen Sie ohne den Rechner:

( \begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & 3 \end{matrix} )^{50} .