Anwesenheitsaufgaben zur ”Linearen Algebra II“ im Sommersemester 2003 bei Prof. V. Bangert

Blatt 10 21.–11. Juli 2003

1. Sei 𝔄 := V der Vektorraum der Polynome über ℝ, aufgefasst als affiner Raum.

Sei U := {p ∈ V | p(1) = 1}.

Zeigen Sie: U ist ein affiner Unterraum von 𝔄. Bestimmen Sie den zugehörigen Vektorraum.

2. Betrachten Sie den affinen Raum ℝ^{2}. Gegeben seien die Punkte a_{0} := (2, 3), a_{1} := (0, 1), a_{2} = (−1, 1) und b_{0} := (3, 1), b_{1} := (−2, −1), b_{2} := (1, 1).

(a) Zeigen Sie, dass (a_{0}, a_{1}, a_{2}) ein affines Koordinatensystem bildet.

(b) Sei A: ℝ^{3} → ℝ^{3} die affine Abbildung, die bestimmt ist durch die Vorschrift A(a_{i}) := b_{i} für i = 0, 1, 2, 3. Bestimmen Sie die Darstellung der Abbildung A bezüglich des Standardkoordinatensystems (0, e_{1}, e_{2}).