Klausur ”Lineare Algebra II“ SS 2003

Samstag, 26. Juli 2003

Aufgabe 1 Berechnen Sie den Abstand des Punktes P = (3, 2, 4, 6, 8) im euklidischen Raum ℝ^{5} von der Geraden g = {(2, 3, 4, 5, 6) + t(2, 0, −2, 1, 0) | t ∈ ℝ}.

(3 Punkte)

Aufgabe 2 Sei (V, ⟨ , ⟩) ein euklidischer Vektorraum mit dim V ≥ 2 und seien a, b, c ∈ V. Beweisen oder widerlegen Sie:

a) Ist ⟨a, b⟩ = ⟨a, c⟩ und a ≠ 0, so ist b = c. (1 Punkt)

b) Ist ⟨a, x⟩ = 0 für alle x ∈ V, so ist a = 0. (1 Punkt)

Aufgabe 3 Betrachten Sie den ℝ^{2} mit dem üblichen Skalarprodukt. L ∈ End(ℝ^{2}) besitze bezüglich der Standardbasis die Matrix (\begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix}) mit a^{2} + b^{2} ≠ 0. Dann ist L eine Drehstreckung (das brauchen Sie nicht zu beweisen). Berechnen Sie den Streckfaktor und den Drehwinkel φ ∈ [0, π] von L.

(4 Punkte)

Aufgabe 4 Betrachten Sie den ℝ^{5} mit dem üblichen Skalarprodukt. Berechnen Sie das 3-dimensionale Volumen des Parallelotops P (u, v, w), das von den Vektoren u = (1, 2, 1, −1, 0) ∈ ℝ^{5}, v = (0, −1, 2, 1, 1) ∈ ℝ^{5} und w = (1, 0, 1, −1, 2) ∈ ℝ^{5} aufgespannt wird. (5 Punkte) Aufgabe 5 Welche der folgenden Begriffe gehören zur affinen Geometrie, welche gehören zur euklidischen Geometrie? Schreiben Sie hinter jeden der Begriffe entweder ”affin“ oder ”euklidisch“, ohne Begründung.

(i) Winkelhalbierende

(ii) Seitenhalbierende

(iii) parallele Ebenen

(iv) Orthogonalität (v) Isometrie

(2 Punkte)

Aufgabe 6 Ist das Polynom x^{3} − 2x + 4

a) als Polynom über ℝ

b) als Polynom über ℚ

in Linearfaktoren zerlegbar? Hinweis: Bestimmen Sie eine (ganzzahlige) Nullstelle durch Raten.

(3 Punkte)

Aufgabe 7

Ist die Matrix (\begin{matrix}−1 & 3 & 2 \\ −1 & 2 & 0 \\ 1 & −1 & 1 \end{matrix}) ∈ ℝ^{3×3} diagonalisierbar?

Hinweis: Das charakteristische Polynom besitzt eine ganzzahlige Nullstelle.

(5 Punkte)

Aufgabe 8 Bestimmen Sie die Eigenwerte, Eigenräume und die Jordansche Normalform

der Matrix A = (\begin{matrix}0 & −2 & 2 \\ −3 & −1 & −6 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}).

Hinweis: Das charakteristische Polynom besitzt mindestens eine ganzzahlige Nullstelle. (8 Punkte) Aufgabe 9 Sei V := ℝ[x] der ℝ-Vektorraum der reellen Polynome.

a) Zeigen Sie:

Sind s_{1}, …, s_{m} ∈ ℝ verschiedene reelle Zahlen, so gibt es ein Polynom p ∈ ℝ[x], das genau s_{1}, …, s_{m} als Nullstellen besitzt, d. h., p(s_{i}) = 0 für alle i ∈ {1, … m} und p(s) ≠ 0 für alle s ∈ ℝ ∖ {s_{1}, …, s_{m}}. (3 Punkte)

b) Für r ∈ ℝ sei δ_{r} ∈ V^{∗} definiert durch

δ_{r}(p) = p(r) für alle p ∈ V .

Zeigen Sie:

Sind r_{1}, …, r_{k} ∈ ℝ verschiedene reelle Zahlen, so sind die Linearformen δ_{r_{1}}, …, δ_{r_{k}} linear unabhängig. (5 Punkte)