Klausur ”Lineare Algebra II“ SS 2003

Wiederholungsklausur Mittwoch, 8. Oktober 2003

Aufgabe 1 Sei U ⊆ ℝ^{4} der Untervektorraum, der die Lösungsmenge des folgenden homogenen linearen Gleichungssystems ist:

−x_{1}  + 2x_{3} + 2x_{4} = 0
x_{1} + x_{2} − 4x_{3}  = 0

Berechnen Sie den Abstand (bzgl. des Standardskalarprodukts) des Punktes p = (3, 1, 1, 5) von U. (8 Punkte) Aufgabe 2 Betrachten Sie im ℝ^{10} mit dem Standardskalarprodukt den Würfel

W = {(x_{1}, …, x_{10}) ∈ ℝ^{10} | Für alle 1 ≤ i ≤ 10 gilt 0 ≤ x_{i} ≤ 2} .

Berechnen Sie vol_{10}(W). (2 Punkte) Aufgabe 3 Betrachten Sie den ℝ^{4} mit dem Standardskalarprodukt. Zeigen Sie: Es gibt keine orthogonale Abbildung L: ℝ^{4} → ℝ^{4} für die

L(1, 0, 1, 1) = (1, 1, 1, 0)
und L(1, 1, 0, 0) = (1, 0, 1, 0)

gilt. (2 Punkte) Aufgabe 4 Sei L ∈ SO(ℝ^{3}) bezüglich der Standardbasis gegeben durch die Matrix

\frac{1}{9} (\begin{matrix}1 & −4 & 8 \\ 8 & 4 & 1 \\ −4 & 7 & 4 \end{matrix})

Bestimmen Sie die Drehachse von L (indem Sie einen Eigenvektor zum Eigenwert 1 finden) und den Drehwinkel φ ∈ (0, π).

(6 Punkte)

Aufgabe 5 Betrachten Sie den ℝ^{6} mit dem Standardskalarprodukt.

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms P (u, v) ⊆ ℝ^{6}, das von den Vektoren

v = (1, 0, 2, 0, 1, 2) ∈ ℝ^{6} und w = (1, 2, 1, 1, 1, 0) ∈ ℝ^{6}

aufgespannt wird. (3 Punkte) Aufgabe 6 Sei (V, ⟨ , ⟩) ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Ein Endomorphismus L ∈ End(V) heißt volumenerhaltend, falls für jedes Parallelotop P ⊆ V gilt:

vol (L(P)) = vol(P) .

Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? (Kurze Begründung oder Gegenbeispiel!)

a) L ∈ End(V) volumenerhaltend ⟹ det L = 1

b) L ∈ End(V) und det L = 1 ⟹ L volumenerhaltend

c) L ∈ O(V) ⟹ L volumenerhaltend

d) L ∈ End(V) volumenerhaltend ⟹ L ∈ SO(V)

(4 Punkte)

Aufgabe 7 Bestimmen Sie die Jordansche Normalform der Matrix

A = (\begin{matrix}1 & 0 & … & 0 & 1 \\ 0 & 1 & ... & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 & 1 \\ ⋮ & & ... & 1 & 1 \\ 0 & … & … & 0 & 1 \end{matrix})

(Es wird nicht verlangt, dass Sie eine Basiswechselmatrix angeben.)

(5 Punkte)

Aufgabe 8 Ist die Matrix

A = (\begin{matrix}−4 & 4 & 2 \\ −3 & 3 & 2 \\ −3 & 5 & 0 \end{matrix})

diagonalisierbar? (Begründung!)

Hinweis: Das charakteristische Polynom von A besitzt (mindestens) eine ganzzahlige Nullstelle, die Sie erraten können.

(5 Punkte)

Aufgabe 9 Beweisen Sie mittels Vektorrechnung den Satz von Thales (in der euklidischen Ebene): ”Jeder Winkel in einem Halbkreis ist ein rechter“, vgl. Skizze.

(5 Punkte)