4. Lineare Abbildungen und Matrizen.

Wie überall, so sind auch in der Mathematik nicht nur die einzelnen Objekte wichtig, sondern auch die Beziehungen zwischen ihnen, die hier meist durch Abbildungen beschrieben werden, die (in einem zu definierenden Sinn) die Struktur der Objekte erhalten, sogenannte Homomorphismen. Im folgenden seien V und W Vektorräume über \underline{demselben} Körper K.

(4.1) Definition. Eine Abbildung L : V → W heißt \underline{linear} (oder \underline{Vektorraumhomomorphis-} \underline{mus}), falls für alle v, v_{1}, v_{2} ∈ V und alle α ∈ K gilt:

(i)  L(v_{1} + v_{2}) = L(v_{1}) + L(v_{2})  (L ist “additiv”)
(ii)  L(αv)  = αL(v)  (L ist “homogen”)

Bez.: Statt “lineare Abbildung” ist auch “linearer Operator” üblich. Im Fall W = K spricht man oft von einem “linearen Funktional” oder einer “Linearform” L : V → K.

Hom(V, W) := {L | L : V → W linear}.

Eine lineare Abbildung L : V → V heißt \underline{Endomorphismus}, End(V) = \{L | L : V → V linear}.

Ein Homomorphismus L : V → W heißt \underline{Isomorphismus}, falls L bijektiv ist. Zwei K-Vektorräume V und W heißen \underline{isomorph}, falls es einen Isomorphismus L : V → W gibt.

Beispiele:

0) id_{V} ∈ End(V).

Ist L : V → W die “0-Abbildung” definiert durch

∀v ∈ V : Lv = \underline{0} ∈ W,

so gilt L ∈ Hom(V, W). Ist U ⊆ V Unterraum, so ist die Inklusion i : U → V, ∀u ∈ U: i(u) := u, eine lineare Abbildung.

1) Für α ∈ K sei S_{α} : V → V, S_{α}(v) := αv, die “Streckung” um α. Dann gilt: S_{α} ∈ End(V).

2) V := der ℝ-Vektorraum ℝ. L ∈ End(ℝ) ⇔ ∃m ∈ ℝ ∀x ∈ ℝ : L(x) = mx. Nämlich:

m := L(1). Dann gilt: L(x) = L(x · 1) =^{(ii)} x · L(1) = m · x.

3) Zu reellen Zahlen a < b ist C^{0}([a, b], ℝ) = {f | f : [a, b] → ℝ stetig} ein ℝ-Vektorraum, vgl. Bsp. 4 nach (3.1).

L : C^{0}([a, b], ℝ) → ℝ, L(f) := ∫_{a}^{b} f(x)dx

L ist linearer Operator von C^{0}([a, b], ℝ) nach ℝ (“Lineares Funktional”).

4) C^{1}(ℝ, ℝ) = {f | f : ℝ → ℝ ist differenzierbar und f′ : ℝ → ℝ ist stetig} D : C^{1}(ℝ, ℝ) → C^{0}(ℝ, ℝ), D(f) := f′. D ist linearer Operator.

5) Die im Exkurs über Codes definierte Abbildung F : (ℤ_{2})^{n} → (ℤ_{2})^{p} ist linear.

Wichtig ist folgender Zusammenhang mit der Analysis: Ganz grob gesprochen ist die Analysis die Kunst, nichtlineare Funktionen (in einer kleinen Umgebung eines festen Punktes x_{0}) durch lineare Funktionen zu approximieren und aus Eigenschaften der approximierenden linearen Funktion (, mit der man gut explizit rechnen kann) auf Eigenschaften der ursprünglichen nichtlinearen Funktion zu schließen.

Im Fall von (nichtlinearen) Funktionen f : ℝ → ℝ und x_{0} ∈ ℝ ist die approximierende lineare Funktion gegeben durch h ∈ ℝ → f′(x_{0})h ∈ ℝ, und es gilt für den durch f(x_{0}+h) = f(x_{0}) + f′(x_{0})h + R(h) definierten “Approximationsfehler” R(h) : lim_{h→0} \frac{R(h)}{h} = 0. Betrachtet

man (z.B. in der Analysis II) Funktionen f : ℝ^{n} → ℝ^{m} und x_{0} ∈ ℝ^{n}, so wird in der analogen Definition der Differenzierbarkeit aus der linearen Funktion h ∈ ℝ → f′(x_{0})h ∈ ℝ eine lineare Abbildung Df(x_{0}) ∈ Hom(ℝ^{n}, ℝ^{m}). Noch allgemeiner betrachtet man in der Theorie der Differentialgleichungen (und in der Physik und in anderen Wissenschaften) nichtlineare Differentialoperatoren zwischen unendlich-dimensionalen Funktionenräumen, die durch lineare Operatoren zwischen solchen Funktionenräumen approximiert werden. Oft verwendet man in der Physik direkt diese linearisierten Operatoren (z.B. Wellengleichung, Wärmeleitungsgleichung).

Bez.: Ist L ∈ Hom(V, W), so heißt

ker L := \{v ∈ V | L(v) = \underline{0} ∈ W \} = L^{−1}(\{\underline{0}\})

der Kern von L und

im L := {w ∈ W | ∃v ∈ V : L(v) = w} = L(V)

das Bild von L.

(4.2) Fakt. Sei L ∈ Hom(V, W), U_{1} Unterraum von V, U_{2} Unterraum von W. Dann gilt:

(i) L(U_{1}) ist Unterraum von W.

(ii) L^{−1}(U_{2}) ist Unterraum von V.

Speziell: ker L ist Unterraum von V, im L ist Unterraum von W, und es gilt L(\underline{0}) = \underline{0}.

Bew.:

(i) Sind w_{1}, w_{2} ∈ L(U_{1}), so existieren v_{1}, v_{2} ∈ U_{1}, so daß L(v_{1}) = w_{1} und L(v_{2}) = w_{2} gilt. Da U_{1} Unterraum ist, gilt v_{1} +v_{2} ∈ U_{1}, also L(v_{1} +v_{2}) ∈ L(U_{1}). Die Additivität von L impliziert: w_{1} + w_{2} = L(v_{1}) + L(v_{2}) = L(v_{1} + v_{2}) ∈ L(U_{1}). Analog folgt: Ist w ∈ L(U_{1}), α ∈ K, so gilt αw ∈ L(U_{1}). Schließlich impliziert U_{1} ≠ ∅, daß L(U_{1}) ≠ ∅ gilt.

(ii) Ist v ∈ L^{−1}(U_{2}), α ∈ K, so gilt αL(v) ∈ U_{2}, da U_{2} ein Unterraum ist. Die Homogenität von L impliziert: L(αv) = αL(v) ∈ U_{2}, also αv ∈ L^{−1}(U_{2}). Analog folgt: Sind v_{1}, v_{2} ∈ L^{−1}(U_{2}), so gilt v_{1} +v_{2} ∈ L^{−1}(U_{2}). Schließlich zeigen wir, daß L(\underline{0}) = \underline{0} gilt. Daraus folgt dann \underline{0} ∈ L^{−1}(U_{2}), speziell L^{−1}(U_{2}) ≠ ∅. L(\underline{0}) = L(0\underline{0}) = 0L(\underline{0}) = \underline{0}, vgl. (3.2)(i).

(4.3) Fakt. Sei L ∈ Hom(V, W). Folgende Aussagen sind äquivalent.

(i) L ist injektiv.

(ii) ker L = \{\underline{0}\}.

(iii) Ist M ⊆ V linear unabhängig, so ist L(M) ⊆ W linear unabhängig.

Bew.: (i) ⇒ (ii): Ist L injektiv, so ist \underline{0} ∈ V das einzige Element von V, das durch L auf \underline{0} ∈ W abgebildet wird, also ker L = \{\underline{0}\}. (ii) ⇒ (iii): Es gelte ker L = \{\underline{0}\} und M ⊆ V sei linear unabhängig. Seien w_{1}, …, w_{k}

verschiedene Elemente von L(M), α_{1}, …, α_{k} ∈ K, und es gelte ∑_{i=1}^{k} α_{i}w_{i} = \underline{0}. Wir wollen

zeigen, daß α_{1} = … = α_{k} = 0 gilt. Zu jedem w_{i} ∈ L(M) existiert ein v_{i} ∈ M mit L(v_{i}) = w_{i}. Da die w_{1}, …, w_{k} verschieden sind, sind auch die v_{1}, …, v_{k} verschieden. Durch Induktion folgt aus der Linearität von L, daß

L (∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i}) = ∑_{i=1}^{k} α_{i}L(v_{i})

gilt. Aus ∑_{i=1}^{k} α_{i}L(v_{i}) = ∑_{i=1}^{k} α_{i}w_{i} = \underline{0} folgt also

∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} ∈ ker L = {0},

d.h. ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} = \underline{0}. Da die v_{1}, …, v_{k} verschiedene Elemente der linear unabhängigen Menge

M sind, folgt α_{1} = … = α_{k} = 0.

(iii) ⇒ (i): Seien v_{1} ≠ v_{2} ∈ V. Dann gilt v_{2} −v_{1} ≠ \underline{0}, d.h. die Menge M = \{v_{2} −v_{1}\} ⊆ V ist linear unabhängig. Nach (iii) ist dann auch L(M) = {L(v_{2} − v_{1})} ⊆ W linear unabhängig, d.h. L(v_{2} − v_{1}) ≠ \underline{0}. Nun gilt (vgl. (3.2)(iii)):

\underline{0} ≠ L(v_{2} − v_{1}) = L(v_{2} + (−1)v_{1}) = L(v_{2}) + L((−1)v_{1}) = L(v_{2}) − L(v_{1}).

Also L(v_{1}) ≠ L(v_{2}), d.h. L ist injektiv.

Bem.: Die linke Seite eines linearen Gleichungssystems I mit k Gleichungen und n Unbekannten definiert wie folgt eine lineare Abbildung L ∈ Hom(K^{n}, K^{k}):

L(x_{1}, …, x_{n}) := (a_{11}x_{1} + … + a_{1n}x_{n}, …, a_{k1}x_{1} + … + a_{kn}x_{n}) ∈ K^{k}.

Das Problem, für eine gegebene rechte Seite b = (b_{1}, …, b_{k}) ∈ K^{k} von I die Lösungsmenge L_{I} zu finden, ist also gerade das Problem die Urbildmenge L^{−1}({b}) zu finden,

L_{I} = L^{−1}({b}).

Es gilt also: I ist besitzt für die rechte Seite b = (b_{1}, …, b_{k}) eine Lösung ⇔ b ∈ im L.

I besitzt für jede rechte Seite höchstens eine Lösung ⇔ L injektiv ⇔ ker L = \{\underline{0}\}. I besitzt für jede rechte Seite genau eine Lösung ⇔ L Isomorphismus.

(4.4) Lemma. Sei L ∈ Hom(V, W), M ⊆ V. Dann gilt:

L(span(M)) = span L(M).

Bew.: Übungsaufgabe.

(4.5) Folgerung. Sei L ∈ Hom(V, W). Dann sind äquivalent:

(i) L ist Isomorphismus (⇔ L bijektiv).

(ii) Für jede Basis B von V gilt: L|B ist injektiv und L(B) ist Basis von W.

(iii) Es existiert eine Basis B von V, so daß L|B injektiv und L(B) Basis von W ist.

Bew.:

(i) ⇒ (ii). Sei B ⊆ V Basis ⇒^{(4.3)} L(B) ist linear unabhängig.

span L(B) =^{(4.4)} L(span B) = L(V) =^{L surjektiv} W ⇒ L(B) ist Erzeugendensystem von W. L injektiv ⇒ L|B injektiv.

(ii) ⇒ (iii): klar, da nach (3.13) eine Basis von V existiert.

(iii) ⇒ (i). Zeige: L ist injektiv. Sei v ∈ ker L. Dann existiert k ∈ ℕ und verschiedene

v_{1}, …, v_{k} ∈ B und α_{1}, …, α_{k} ∈ K: v = ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i}. Daraus folgt

(∗) \underline{0} = L(v) = ∑_{i=1}^{k} α_{i}L(v_{i}).

Da L|B injektiv ist, sind die L(v_{1}), …, L(v_{k}) verschiedene Elemente der Basis L(B). Also folgt aus (∗): α_{1} = … = α_{k} = 0 und daraus v = 0. Also ker L = \{\underline{0}\}, d.h. L ist injektiv.

L(V) = L span B) =^{(4.4)} span L(B) = W ⇒ L ist surjektiv.

Bez.: Eine geordnete Basis G eines n-dimensionalen Vektorraums V ist ein n-Tupel von Vektoren G = (v_{1}, …, v_{n}), so daß {v_{1}, …, v_{n}} eine Basis von V ist.

(4.6) Satz. Sei dim V = n < ∞, G = (v_{1}, …, v_{n}) geordnete Basis von V und w_{1}, …, w_{n} beliebige Elemente von W. Dann existiert genau ein L ∈ Hom(V, W), so daß Lv_{1} = w_{1} …, Lv_{n} = w_{n} gilt.

Beweis: Vorbemerkung: Wegen span{v_{1}, …, v_{n}} = V existieren zu jedem v ∈ V Skalare

α_{1}, …, α_{n} ∈ K, so daß v = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i} gilt, und da die v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig sind, sind

die α_{1}, …, α_{n} eindeutig durch v bestimmt, vgl. (3.9).

(i) Eindeutigkeit von L: Es seien L, L′ ∈ Hom(V, W) und Lv_{i} = L′v_{i} für alle i ∈

{1, …, n}. Sei v = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i} ∈ V. Dann gilt

L(v) = L (∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i}) = ∑_{i=1}^{n} α_{i}L(v_{i}) = ∑_{i=1}^{n} α_{i}L′(v_{i}) = L′(∑ α_{i}v_{i}) = L′(v).

(ii) Existenz von L: Für v = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i} ∈ V definieren wir

L(v) := ∑_{i=1}^{n} α_{i}w_{i} ∈ W.

Ist v = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i}, v′ = ∑^{n} α′_{i}v_{i}, so v + v′ = ∑_{i=1}^{n}(α_{i} + α′_{i})v_{i} und damit:

L(v + v′) = ∑_{i=1}^{n}(α_{i} + α′_{i})w_{i} = ∑_{i=1}^{n} α_{i}w_{i} + ∑_{i=1}^{n} α′_{i}w_{i} = L(v) + L(v′), d.h. L ist additiv. Analog

folgt, daß L homogen ist, also L ∈ Hom(V, W). Offensichtlich gilt L(v_{i}) = w_{i} für alle i ∈ {1, …, n}.

Bem.: Eine (4.6) entsprechende Aussage gilt auch im Fall dim V = ∞.

(4.7) Folgerung. Seien V, W K-Vektorräume, dim V = n < ∞. Dann gilt:

(i) V ist isomorph zu K^{n}.

(ii) V ist isomorph zu W ⇔ dim V = dim W.

Bew.:

(i) Sei (v_{1}, …, v_{n}) geordnete Basis von V. Nach (4.6) existiert ein L ∈ Hom(V, K^{n}) mit L(v_{1}) = e_{1}, …, L(v_{n}) = e_{n}. Nach (4.5) ist L Isomorphismus.

(ii) Analog folgt aus dim V = dim W, daß V und W isomorph sind. Ist umgekehrt L : V → W Isomorphismus, so folgt aus (4.5), daß dim V = dim W gilt.

(4.8) Dimensionssatz für lineare Abbildungen. Ist L ∈ Hom(V, W) und dim V < ∞, so gilt dim(ker L) < ∞, dim(im L) < ∞ und

dim V = dim(ker L) + dim(im L).

Speziell folgt: Ist dim V = dim W, so gilt: L injektiv ⇔ L surjektiv ⇔ L bijektiv.

Bew.: Aus (3.21) folgt die Existenz eines zu ker L komplementären Unterraums U von V, d.h. ker L ⊕ U = V und

dim(ker L) + dim U = dim V.

Wir zeigen, daß L|U : U → im L ein Isomorphismus ist und damit dim U = dim(im L), woraus mit der vorangehenden Gleichung die Behauptung folgt.

L|U ist injektiv, da ker(L|U) = ker L ∩ U = \{\underline{0}\}, vgl. (4.3). Zu jedem w ∈ im L existiert ein v ∈ V mit L(v) = w. Wegen ker L ⊕ U = V existieren v_{1} ∈ ker L und u ∈ U, so daß v = v_{1} + u gilt. Dann folgt w = L(v) = L(v_{1}) + L(u), d.h. w ∈ L(U). Das zeigt, daß L|U : U → im L surjektiv ist.

Anwendung:

Sei I die linke Seite eines linearen Gleichungssystems mit n Unbekannten und k Gleichungen und Koeffizienten a_{ij} ∈ K. Sei L : K^{n} → K^{k} die zugehörige lineare Abbildung, vgl. Bem. nach (4.3). Dann gilt: L_{I^{hom}} = ker L und

{b = (b_{1}, …, b_{k}) ∈ K^{k} | ∃ Lösung von I mit der rechten Seite b} = im L.

Aus (4.8) folgt: dim L_{I^{hom}} = n − dim(im L) ≥ n − k. Das wurde schon in (3.25) gezeigt.

I ist für beliebige rechte Seiten (b_{1}, …, b_{k}) lösbar ⇔ dim(im L) = k
⇔ dim(L_{I^{hom}}) = n − k

d.h. ist n ≥ k und ist I für beliebige rechte Seite lösbar, so ist die Lösungsmenge für jede rechte Seite ein (n − k)-dimensionaler affiner Unterraum. Ist k = n, so gilt: I ist für beliebige rechte Seiten (b_{1}, …, b_{n}) lösbar ⇔ L_{I^{hom}} = {0} ⇔ I besitzt für jede rechte Seite (b_{1}, …, b_{n}) genau eine Lösung.

Ist L ∈ Hom(V, W), α ∈ K, so definieren wir:

αL : V → W durch: ∀v ∈ V ist (αL)(v) := αL(v) ∈ W.

Es gilt dann: αL ∈ Hom(V, W), z.B. zeigen wir, daß αL additiv ist: (αL)(v_{1}+v_{2}) = αL(v_{1}+ v_{2}) = α(L(v_{1})+L(v_{2})) = αL(v_{1})+αL(v_{2}) = (αL)(v_{1})+(αL)(v_{2}). Sind L_{1}, L_{2} ∈ Hom(V, W), so definieren wir:

L_{1} + L_{2} : V → W durch: ∀v ∈ V ist (L_{1} + L_{2})(v) := L_{1}(v) + L_{2}(v) ∈ W.

Es gilt dann: L_{1} + L_{2} ∈ Hom(V, W), z.B. zeigen wir, daß L_{1} + L_{2} homogen ist: (L_{1} + L_{2})(αv) = L_{1}(αv) + L_{2}(αv) = αL_{1}(v) + αL_{2}(v) = α(L_{1}(v) + L_{2}(v)) = α(L_{1}(v) + L_{2}(v)) = α(L_{1} + L_{2})(v).

(4.9) Satz. Mit dieser Addition und dieser Multiplikation mit Körperelementen α ∈ K ist Hom(V, W) ein K-Vektorraum.

Bew.: Es muß nachgeprüft werden, daß (Hom(V, W), +) eine abelsche Gruppe ist und daß die Bedingungen (3.1)(i)-(iv) erfüllt sind. Das ist ebenso langwierig wie langweilig, aber man sollte es (einmal) getan haben. Wir führen exemplarisch einige der notwendigen Schritte durch: Das neutrale Element der Addition in Hom(V, W) ist die Abbildung L ∈ Hom(V, W), die jedes v ∈ V auf \underline{0} ∈ W abbildet, genannt die 0-Abbildung. Das additive Inverse zu L ∈ Hom(V, W) ist −L ∈ Hom(V, W), definiert durch (−L)(v) := −L(v).

Um (3.1)(iii) zu zeigen, seien α ∈ K, L_{1}, L_{2} ∈ Hom(V, W). Für beliebiges v ∈ V gilt:

\begin{matrix}(α(L_{1} + L_{2}))(v) = α((L_{1} + L_{2})(v)) = α(L_{1}(v) + L_{2}(v)) = αL_{1}(v) + αL_{2}(v) \\ = (αL_{1})(v) + (αL_{2})(v) = (αL_{1} + αL_{2})(v). \end{matrix}

Also gilt: α(L_{1} + L_{2}) = αL_{1} + αL_{2}.

(4.1) Def. Eine m × n-Matrix A über dem Körper K ist ein rechteckiges Schema, das aus m · n Körperelementen a_{ij} ∈ K besteht:

A = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{matrix} ) = (a_{ij})_{\begin{matrix}1≤i≤m \\ 1≤j≤n \end{matrix}}

A heißt quadratisch ⇔ m = n.

Die Vektoren (a_{11}, …, a_{1n}) ∈ K^{n}, …, (a_{m1}, …, a_{mn}) ∈ K^{n} heißen die Zeilenvektoren von

A. Die (m × 1)-Matrizen ( a_{11} ; ⋮ ; a_{m1} ) , …, ( a_{1n} ; ⋮ ; a_{mn} ) heißen die Spaltenvektoren von A.

Mit K^{m×n} wird die Menge der (m × n)-Matrizen über K bezeichnet.

Bsp.: Die linke Seite eines linearen Gleichungssystems mit m Gleichungen und n Unbekannten (in K) ist durch eine Matrix A ∈ K^{m×n} gegeben.

(4.11) Def. Sei L ∈ Hom(V, W), dim V = n, G = (v_{1}, …, v_{n}) geordnete Basis von V, dim W = m, G′ = (w_{1}, …, w_{m}) geordnete Basis von W. Dann heißt die Matrix A = (a_{ij}) ∈ K^{m×n}, die durch

L(v_{j}) =: ∑_{i=1}^{m} a_{ij}w_{i} für 1 ≤ j ≤ n,

definiert ist, die \underline{Matrix} \underline{von} L \underline{bezüglich} G \underline{und} G′,

A := Mat_{G}^{G′}(L).

(4.12) Folgerung. Die Abbildung Mat_{G}^{G′} : Hom(V, W) → K^{m×n} ist bijektiv.

Bew.: Injektivität: Seien L_{1}, L_{2} ∈ Hom(V, W) und Mat_{G}^{G′}(L_{1}) = Mat_{G}^{G′}(L_{2}). Dann gilt:

L_{1}(v_{j}) = ∑_{i=1}^{m} a_{ij}w_{i} = L_{2}(v_{j}) für j ∈ {1, …, n}. Aus (4.6) folgt dann: L_{1} = L_{2}.

Surjektivität: Sei A = (a_{ij}) ∈ K^{m×n} gegeben. Wir definieren für j ∈ {1, …, n}:

\overline{w}_{j} := ∑_{i=1}^{m} a_{ij}w_{i} ∈ W.

Nach (4.6) existiert (genau) ein L ∈ Hom(V, W) : Lv_{j} = \overline{w}_{j}. Dann gilt: M_{G}^{G′}(L) = A.

Bem.: Da eine Matrix A ∈ K^{m×n} im Grunde nur ein etwas anders notiertes Element von K^{m·n} ist, läßt sich leicht eine “natürliche” K-Vektorraumstruktur auf K^{m×n} definieren: α ∈ K, A = (a_{ij}) ∈ K^{m×n} → αA := (αa_{ij}) ∈ K^{m×n}, d.h.

αA := ( \begin{matrix}αa_{11} & … & αa_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ αa_{m1} & … & αa_{mn} \end{matrix} )

A = (a_{ij}) ∈ K^{m×n}, B = (b_{ij}) ∈ K^{m×n} → A + B := (a_{ij} + b_{ij}) ∈ K^{m×n}, d.h.

A + B := ( \begin{matrix}a_{11} + b_{11} & … & a_{1n} + b_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} + b_{m1} & … & a_{mn} + b_{mn} \end{matrix} )

(4.13) Fakt. Mit diesen Operationen ist K^{m×n} ein K-Vektorraum der Dimension m · n. Die Matrizen E_{ij} ∈ K^{m×n}, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

E_{ij} = ( \begin{matrix}0 & … & … & 0 & … & … & 0 \\ ⋮ & & & ⋮ & & & ⋮ \\ ⋮ & & & 0 & & & ⋮ \\ 0 & … & 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & & & 0 & & & ⋮ \\ ⋮ & & & ⋮ & & & ⋮ \\ 0 & … & … & 0 & … & … & 0 \end{matrix} )

(wobei die 1 am Schnittpunkt der i’ten Zeile und der j’ten Spalte sitzt) bilden eine Basis, die kanonische Basis, von K^{m×n}.

Bem.: Ist A = (a_{ij}) ∈ K^{m×n}, so gilt A = ∑_{i=1}^{m} ∑_{j=1}^{n} a_{ij}E_{ij}.

(4.14) Folgerung. Mat_{G}^{G′} : Hom(V, W) → K^{m×n} ist ein Isomorphismus.

Bew.: (4.12) besagt, daß Mat_{G}^{G′} bijektiv ist. Es bleibt zu zeigen, daß Mat_{G}^{G′} homogen und additiv ist:

Mat_{G}^{G′}(L) = (a_{ij}) ∈ K^{m×n} ⇔ ∀j ∈ {1, …, n} : L(v_{j}) = ∑ a_{ij}w_{i}.

Dann gilt für j ∈ {1, …, n}:

(αL)(v_{j}) = ∑_{i=1}^{m} αa_{ij}w_{i}.

Also Mat_{G}^{G′}(αL) = α(a_{ij}) = α Mat_{G}^{G′}(L).

Analog folgt: Mat_{G}^{G′}(L_{1} + L_{2}) = Mat_{G}^{G′}(L_{1}) + Mat_{G}^{G′}(L_{2}).

Frage: Gegeben 3 K-Vektorräume V, W, Z mit dim V = n, dim W = m, dim Z = k und geordneten Basen G, G′, G′′ und L ∈ Hom(V, W), J ∈ Hom(W, Z). Wie hängt Mat_{G}^{G′′}(J ∘ L) mit Mat_{G′}^{G′′}(J) und Mat_{G}^{G′}(L) zusammen? (4.15) Satz. Ist A = (a_{hl}) = Mat_{G′}^{G′′}(J) ∈ K^{k×m}, B = (b_{ij}) = Mat_{G}^{G′}(L) ∈ K^{m×n}, so ist Mat_{G}^{G′′}(J ∘ L) durch die Matrix C = (c_{hj}) ∈ K^{k×n} gegeben mit c_{hj} = ∑_{i=1}^{m} a_{hi}b_{ij} für 1 ≤ h ≤ k, 1 ≤ j ≤ n. Vorbemerkung: Assoziativ-, Kommutativgesetz von +, Distributivgesetz ⇒

∑_{i=1}^{m} b_{i} (∑_{j=1}^{k} a_{ji}v_{j}) = ∑_{i=1}^{m} (∑_{j=1}^{k} b_{i}a_{ji}v_{j}) = ∑_{j=1}^{k} (∑_{i=1}^{m} b_{i}a_{ji}) v_{j}.

Bsp.: b_{1}(a_{11}v_{1} + a_{21}v_{2}) + b_{2}(a_{12}v_{1} + a_{22}v_{2}) = (b_{1}a_{11} + b_{2}a_{12})v_{1} + (b_{1}a_{21} + b_{2}a_{22})v_{2}. Bew. von (4.15): Sei G = (v_{1}, …, v_{n}), G′ = (w_{1}, …, w_{m}), G′′ = (z_{1}, …, z_{k}) und

L(v_{j}) = ∑_{i=1}^{m} b_{ij}w_{i}, J(w_{i}) = ∑_{h=1}^{k} a_{hi}z_{h}.

Dann gilt: \begin{aligned}(J ∘ L)(v_{j}) & = & J(L(v_{j})) = J (∑_{i=1}^{m} b_{ij}w_{i}) = ∑_{i=1}^{m} b_{ij}J(w_{i}) \\ & = & ∑_{i=1}^{m} b_{ij} (∑_{h=1}^{k} a_{hi}z_{h}) =^{Vorbem.} ∑_{h=1}^{k} (∑_{i=1}^{m} a_{hi}b_{ij}) z_{h}. \end{aligned}

Definition. Ist A = (a_{hl}) ∈ K^{k×m}, B = (b_{ij}) ∈ K^{m×n}, so heißt die Matrix C = (c_{hj}) ∈ K^{k×n} mit

c_{hj} := ∑_{j=1}^{m} a_{hi}b_{ij} für 1 ≤ h ≤ k, 1 ≤ j ≤ n

das Produkt der Matrizen A und B, C =: AB. Dann gilt mit den Bezeichnungen von (4.15):

Mat_{G}^{G′′}(J ∘ L) = Mat_{G′}^{G′′}(J) Mat_{G}^{G′}(L).

Vorsicht: Damit AB definiert ist, muß gelten

# Spalten von A = # Zeilen von B

Explizit:

( \begin{matrix}2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} )_{∈K^{2×3}} ( \begin{matrix}3 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{matrix} ) =_{∈K^{3×4}} ( \begin{matrix}8 & 3 & 3 & 0 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{matrix} )_{∈K^{2×4}}

( \begin{matrix}3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )_{∈K^{2×3}} ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) =_{∈K^{3×1}} ( \begin{matrix}6 \\ 2 \end{matrix} )_{∈K^{2×1}}

(4.16) Folgerung.

(i) Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ: A(BC) = (AB)C (ii) A(B_{1} + B_{2}) = AB_{1} + AB_{2}, (A_{1} + A_{2})B = A_{1}B + A_{2}B (Distributivgesetze)

Bew.:

(i) Nachrechnen. Oder: A = Mat_{G_{3}}^{G_{4}}(L_{3}), B = Mat_{G_{2}}^{G_{3}}(L_{2}), C = Mat_{G_{1}}^{G_{2}}(L_{1})

und (L_{3} ∘ L_{2}) ∘ L_{1} = L_{3} ∘ (L_{2} ∘ L_{1}) ⇒^{(4.15)} Beh.

(ii) Nachrechnen. Oder: J ∘ (L_{1} + L_{2}) = (J ∘ L_{1}) + (J ∘ L_{2}) (J linear!)

⇒^{(4.14)+(4.15)} A(B_{1} + B_{2}) = AB_{1} + AB_{2}

(4.17) Abhängigkeit von der Wahl der Basen. Seien G, \overline{G} geordnete Basen von V, G′, \overline{G}′ geordnete Basen von V′ und L ∈ Hom(V, V′). Dann gilt:

Mat\overline{G}′ ; \overline{G}(L) = Mat_{G′}^{\overline{G}′}(id_{V′}) · Mat_{G}^{G′}(L) · MatG ; \overline{G}(id_{V})

Bew.: Wende (4.15) auf L = id_{V′} ∘L ∘ id_{V} bzgl. der Basen \overline{G}, G, G′, \overline{G}′ an.

Bem.: G = (v_{1}, …, v_{n}), \overline{G} = (\overline{v}_{1}, …, \overline{v}_{n}). Dann

Mat\overline{G} ; G(id_{V}) = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ⟺ v_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}\overline{v}_{i} für 1 ≤ j ≤ n.

1. Spezialfall: V′ = V

Ein Homomorphismus L : V → V heißt \underline{Endomorphismus}, End(V) := Hom(V, V). Sei dim V = n. Für jede geordnete Basis G von V gilt:

Mat_{G}^{G}(id_{V}) = ( \begin{matrix}1 & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & 1 \end{matrix} ) =: E_{n} ∈ K^{n×n}

E_{n} heißt die n-dimensionale Einheitsmatrix.

(End(V), +, ∘) ist Ring (mit 1). Neutrales Element von ∘ ist id_{V}. (K^{n×n}, +, ·) ist Ring (mit 1). Neutrales Element von · ist E_{n}.

Mat_{G}^{G} : End(V) → K^{n×n} ist Isomorphismus von Ringen, vgl. (4.14) und (4.15).

Ein bijektiver Endomorphismus heißt \underline{Automorphismus}, man schreibt Aut(V) := \{L | L ∈ End(V) bijektiv}. (Aut(V), ∘) ist Gruppe (Untergruppe von (S_{V} , ∘), vgl. Bsp. 5) nach (2.1)).

Denn:

(i) id_{V} ∈ Aut(V) (neutrales Element bezüglich ∘)

(ii) L ∈ Aut(V) ⇒ L^{−1} ∈ Aut(V) (L^{−1} = Umkehrabbildung von L) L^{−1} ist bijektiv. Linearität von L^{−1}:

\begin{matrix}L(L^{−1}(v + w)) & = & v + w \\ L(L^{−1}(v) + L^{−1}(w)) & = & L(L^{−1}(v)) + L(L^{−1}(w)) = v + w \end{matrix} \} ⇒ \begin{matrix}L^{−1}(v + w) \\ = L^{−1}(v) + L^{−1}(w) \end{matrix}

ebenso L^{−1}(αv) = αL^{−1}(v) (iii) L_{1}, L_{2} ∈ Aut(V) ⇒ L_{1} ∘ L_{2} ∈ Aut(V)

(L_{1} ∘ L_{2})(αv) = L_{1}(L_{2}(αv)) = L_{1}(αL_{2}(v)) = αL_{1}(L_{2}(v)) = α((L_{1} ∘ L_{2})(v))

Analoges Objekt in K^{n×n}:

GL_{n}(K) := {A ∈ K^{n×n} | ∃B ∈ K^{n×n} : BA = E_{n}}

Def.: Seien (G, ⊤), (G′, ⊤′) Gruppen. H : G → G′ heißt Gruppenhomomorphismus ⇔ ∀g, h ∈ G: H(g ⊤ h) = H(g) ⊤′ H(h) H Gruppenisomorphismus ⇔ H bijektiver Gruppenhomomorphismus

(4.18) Satz. (GL_{n}(K), ·) ist Gruppe und Mat_{G}^{G} : Aut(V) → GL_{n}(K) ist Gruppenisomorphismus.

Bew.:

(i) Zeige: L ∈ Aut(V) ⇒ Mat_{G}^{G}(L) ∈ GL_{n}(K)

E_{n} = Mat_{G}^{G}(id_{V}) = Mat_{G}^{G}(L^{−1} ∘ L) =^{(4.15)} \underbrace{Mat_{G}^{G}(L^{−1})}_{∈K^{n×n}} · Mat_{G}^{G}(L)

(ii) Zeige: ∀A ∈ GL_{n}(K)∃L ∈ Aut(V) : Mat_{G}^{G}(L) = A

A ∈ GL_{n}(K) ⇒ ∃B ∈ K^{n×n} : BA = E_{n}. Nach (4.14) existieren J, L ∈ End(V): Mat_{G}^{G}(J) = B, Mat_{G}^{G}(L) = A. Also: Mat_{G}^{G}(J ∘ L) = BA = E_{n}. Da Mat_{G}^{G} injektiv ist, folgt J ∘ L = id_{V}, speziell L ist injektiv. Nach (4.8) ist L bijektiv, also L ∈ Aut(V) und Mat_{G}^{G}(L) = A, außerdem folgt J ∈ Aut(V) und damit nach (i) Mat_{G}^{G}(J) = B ∈ GL_{n}(K).

(i)+(ii) ⇒ Mat_{G}^{G} : Aut(V) → GL_{n}(K) bijektiv.

(4.15) ⇒ (GL_{n}(K), ·) ist Gruppe und Mat_{G}^{G} Gruppenisomorphismus.

Bez.: Die Elemente von GL_{n}(K) heißen reguläre (oder nicht-ausgeartete oder invertierbare) (n×n)-Matrizen. Ist A ∈ GL_{n}(K), B ∈ K^{n×n} und BA = E_{n}, so folgt (vgl. Bew. von (4.18))

B ∈ GL_{n}(K) und damit (da GL_{n}(K) eine Gruppe ist) B = A^{−1}, speziell auch AB = E_{n}. A^{−1} heißt die zu A ∈ GL_{n}(K) inverse Matrix.

(4.19) Folgerung (aus (4.17)): Seien G, \overline{G} geordnete Basen von V, L ∈ End(V) und P := MatG ; \overline{G}(id_{V}). Dann gilt P ∈ GL_{n}(K), P^{−1} = Mat\overline{G} ; G(id_{V}) und

Mat\overline{G} ; \overline{G}(L) = P^{−1} Mat_{G}^{G}(L)P

Bew.: Mat\overline{G} ; G(id_{V}) MatG ; \overline{G}(id_{V}) = Mat\overline{G} ; \overline{G}(id_{V}) = E_{n} ⇒ P ∈ GL_{n}(K) und P^{−1} = Mat\overline{G} ; G(id_{V}). Die letzte Gleichung folgt aus (4.17).

Bez.: Zwei Matrizen A, Ã ∈ K^{n×n} heißen ähnlich ⇔ ∃P ∈ GL_{n}(K) : P^{−1}AP = Ã. “Ähnlich” ist eine Äquivalenzrelation. Nichttriviales Problem: Man finde zu gegebenem A ∈ K^{n×n} eine “möglichst einfache” ähnliche Matrix (oder äquivalent: Man finde zu L ∈ End(V) eine Basis G, so daß Mat_{G}^{G}(L) möglichst einfach ist). Der im allgemeinen nicht erreichbare Idealfall ist:

Mat_{G}^{G}(L) = Diagonalmatrix = ( \begin{matrix}d_{1} \\ & ... & 0 \\ & 0 & ... \\ & & & d_{n} \end{matrix} )

2. Spezialfall: V = K^{n} mit Basis G = (e_{1}, …, e_{n}) V′ = K^{m} mit Basis G′ = (e_{1}, …, e_{m})

Bez.: Im Fall dieser natürlichen Basen schreiben wir für Mat_{G}^{G′} kurz Mat : Hom(K^{n}, K^{m}) → K^{m×n}. Wir identifizieren K^{n} (bzw. K^{m}) mit den “einspaltigen” Matrizen K^{n×1} (bzw. K^{m×1}) durch den Vektorraumisomorphismus

(x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n} → ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) ∈ K^{n×1}.

(4.20) Satz. Mit diesen Identifikationen gilt: Ist L ∈ Hom(K^{n}, K^{m}) und A = (a_{ij}) = Mat(L), so gilt für alle x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n}:

L(x) = A ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{matrix} ) ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) .

Bew.: Mat(L) = (a_{ij})_{\begin{matrix}1≤i≤m \\ 1≤j≤n \end{matrix}} ⇔ L(e_{j}) = ∑_{j=1}^{m} a_{ij}e_{i} für 1 ≤ j ≤ n.

Also: L(x) = L (∑_{j=1}^{n} x_{j}e_{j}) = ∑_{j=1}^{n} x_{j}L(e_{j}) = ∑_{j=1}^{n} x_{j} (∑_{i=1}^{m} a_{ij}e_{i}) =^{vgl. Bew. von (4.15)} = ∑_{i=1}^{m} (∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j}) e_{i}, d.h. L(x) = (∑_{j=1}^{n} a_{1j}x_{j}, ∑_{j=1}^{n} a_{2j}x_{j}, …, ∑_{j=1}^{n} a_{mj}x_{j}) ∈ K^{m}. Andererseits:

( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{matrix} ) ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( ∑_{j=1}^{n} a_{1j}x_{j} ; ⋮ ; ∑_{j=1}^{n} a_{mj}x_{j} ) ∈ K^{m×1}.

Bem.: L ∈ Hom(K^{n}, K^{m}), A = Mat(L). Dann “ist” L(e_{j}) ∈ K^{m} der j’te Spaltenvektor von A

L(e_{j}) = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 \\ · \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ · \\ 0 \end{matrix} ) = ( a_{1j} ; a_{2j} ; ⋮ ; a_{mj} ) ∈ K^{m×1}.

Speziell: Ist A ∈ K^{n×n}, so gilt: A ∈ GL_{n}(K) ⇔ die Spaltenvektoren von A sind linear unabhängig.

Begründung: Die lineare Abbildung L ∈ End(K^{n}) mit Mat(L) = A bildet die Basis e_{1}, …, e_{n} auf die n Spaltenvektoren von A ab. Nach (4.5) ist L genau dann ein Automorphismus, wenn diese Spaltenvektoren eine Basis von K^{n×1} bilden.

(4.21) Def.: Der \underline{Rang} \underline{rg(A)} von A ∈ K^{m×n} ist die maximale Zahl linear unabhängiger Spaltenvektoren von A.

Bem.: 1) 0 ≤ rg(A) ≤ min{n, m}. Begründung: Da A n Spaltenvektoren hat, gilt rg(A) ≤ n. Da der Raum K^{m×1} ≃ K^{m} der Spaltenvektoren m-dimensional ist, gilt rg(A) ≤ m, vgl. (3.16) Austauschsatz von Steinitz.

2) Für A ∈ K^{n×n} gilt: rg(A) = n ⇔ A ∈ GL_{n}(K).

(4.22) Fakt: Sei L ∈ Hom(K^{n}, K^{m}) und A = Mat(L). Dann gilt

rg(A) = dim(span{Spaltenvektoren von A}) = dim(im L)
= n − dim(ker L) = n − dim{x ∈ K^{n×1} | Ax = 0}.

Bew.: Die 1. Gleichung folgt aus der Tatsache, daß die Dimension eines Vektorraums die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren dieses Vektorraums ist. Die 2. Gleichung, folgt aus “L(e_{j}) = j’ter Spaltenvektor von A” und im L = span{L(e_{j}) | 1 ≤ j ≤ n}. Die 3. Gleichung folgt aus (4.8) und die 4. Gleichung folgt aus der dritten.

(4.23) Satz. Für jedes A ∈ K^{m×n} ist rg(A) auch die maximale Zahl linear unabhängiger Zeilenvektoren von A (“Spaltenrang = Zeilenrang”).

Bew.: Siehe (4.25).

(4.24) Satz. Sei A = (a_{ij}) ∈ K^{m×n} und I das lineare Gleichungssystem

I A ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{m} )

und (A|b) ∈ K^{m×(n+1)} die Matrix ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} & b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} & b_{m} \end{matrix} )

Dann gilt: I besitzt eine Lösung ⇔ rg(A) = rg(A|b)

Bew.: A ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{m} ) ⇔ ( \begin{matrix}a_{11}x_{1} & + … + & a_{1n}x_{n} & = b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1}x_{1} & + … + & a_{mn}x_{n} & = b_{m} \end{matrix} ) ⇔

x_{1} \underbrace{( a_{11} ; ⋮ ; a_{m1} )}_{=:A_{1}} +x_{2} \underbrace{( a_{12} ; ⋮ ; a_{m2} )}_{=:A_{2}} + … + x_{n} \underbrace{( a_{1n} ; ⋮ ; a_{mn} )}_{=:A_{n}} = \underbrace{( b_{1} ; ⋮ ; b_{m} )}_{=b} ∈ K^{m×1}.

Also: I besitzt Lösung ⇔ span{A_{1}, …, A_{n}} = span{A_{1}, …, A_{n}, b} ⇔ rg(A) = rg(A|b)

Konkrete Rechenverfahren: (4.25) Lösen eines linearen Gleichungssystems mit dem Gaußschen Algorithmus in Matrizenschreibweise. (Zum Lösen von linearen Gleichungssystemen siehe auch (1.13), (1.15), (1.16), (3.25), (3.26) und (4.8) plus Anwendung).

Gegeben das lineare Gleichungssystem

a_{11}x_{1} + … + a_{1n}x_{n} = b_{1}
⋮  ⋮
a_{m1}x_{1} + … + a_{mn}x_{n} = b_{m}.

Setze

A_{1} := ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} & b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} & b_{m} \end{matrix} ) ∈ K^{m×(n+1)}.

1. Fall a_{11} ≠ 0:

A_{1} → A_{2} := ( \begin{matrix}1 & \frac{a_{12}}{a_{11}} & … & \frac{a_{1n}}{a_{11}} & \frac{b_{1}}{a_{11}} \\ 0 & a_{22} − a_{21} \frac{a_{12}}{a_{11}} & … & a_{2n} − a_{21} \frac{a_{1n}}{a_{11}} & b_{2} − a_{21} \frac{b_{1}}{a_{11}} \\ ⋮ & ⋮ & … & ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{m2} − a_{m1} \frac{a_{12}}{a_{11}} & … & a_{mn} − a_{m1} \frac{a_{1n}}{a_{11}} & b_{m} − a_{m1} \frac{b_{1}}{a_{11}} \end{matrix} )

2. Fall: a_{11} = 0, aber es existiert i > 1 : a_{i1} ≠ 0. Vertausche 1. und i’te Zeile von A_{1}. Dann 1. Fall.

3. Fall: a_{i1} = 0 für 1 ≤ i ≤ m, d.h.

A_{1} = ( \begin{matrix}0 a_{12} & … & b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ \\ 0 a_{m2} & … & b_{m} \end{matrix} ) ∈ K^{m×(n+1)}. Betrachte Ã_{1} = ( \begin{matrix}a_{12} & … & b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m2} & … & b_{m} \end{matrix} ) ∈ K^{m×n}.

Dann 1. Fall (für n − 1).

Iteriere! → Endergebnis ist eine Matrix (\overline{A}|\overline{b}) ∈ K^{m×(n+1)} in Treppenform, z.B.

\overline{A} = ( \begin{matrix}1 & ∗ & ∗ & · & · & · & ∗ \\ 0 & 0 & 1 & ∗ & · & · & ∗ \\ 0 & 0 & 0 & 1 & ∗ & · & ∗ \\ · & · & · & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) (hier ist j_{1} = 1, j_{2} = 3, j_{3} = 4),

d.h. es gibt Zahlen k ≤ min{m, n} und 1 ≤ j_{1} < j_{2} < … < j_{k} ≤ n (⇒ j_{i} ≥ i für i ∈ {1, …, k}) mit:

1) a_{ij_{i}} = 1 für 1 ≤ i ≤ k und a_{ij} = 0 für 1 ≤ i ≤ k und j < j_{i}.
2) a_{ij} = 0 für i > k.

Wegen (1.13) gilt für alle x = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) ∈ K^{n×1} und alle b = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{m} ) ∈ K^{m×1}:

(I)  Ax = b ⇔ \overline{A}x = \overline{b}  (\overline{I})

Falls b = 0, so \overline{b} = 0. Deshalb folgt aus (4.22):

rg(A) = n − dim\{x | Ax = 0\} = n − \underbrace{dim\{x | \overline{A}x = 0\}}_{=n−k} = rg(\overline{A}) = k.

Andererseits: rg(A) = k = dim(span\{Zeilenvektoren von \overline{A}\}) = dim(span\{Zeilenvektoren von A\})

Daraus folgt (4.23).

I besitzt Lösung ⇔ Für i > k = rg(A) gilt: \overline{b}_{i} = 0. Dann ist \overline{I} rekursiv auflösbar, beginnend mit der k’ten Zeile, und die Lösungsmenge von I (=Lösungsmenge von \overline{I}) ist ein (n−rg(A))- dimensionaler affiner Unterraum von K^{n}.

(4.26) Berechnung der inversen Matrix mit dem Gaußschen Algorithmus. Gegeben A ∈ K^{n×n}. Frage: Gilt A ∈ GL_{n}(K). Wenn ja, berechne A^{−1}.

Betrachte (A | E_{n}) = (A | \begin{matrix}1 & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & 1 \end{matrix} ) ∈ K^{n×(2n)} und wende (4.25) analog auf (A | E_{n})

an. Man erhält (\overline{A} | \overline{B}) ∈ K^{n×(2n)}, und es gilt A ∈ GL_{n}(K) ⇔ \overline{A} ∈ GL_{n}(K) ⇔ \overline{a}_{ii} = 1

für 1 ≤ i ≤ n. Ausserdem gilt \overline{a}_{ij} = 0 für i > j … (d.h. \overline{A} = ( \begin{matrix}1 & ∗ & … & ∗ \\ 0 & ... & & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ∗ \\ 0 & … & 0 & 1 \end{matrix} ) ). Durch

geeignete Additionen der letzten, der vorletzten, …, der 2. Zeile verwandelt man (\overline{A} | \overline{B}) in (En | \overline{\overline{B}}), und es gilt für j ∈ \{1, …, n\} und alle x ∈ K^{n×1}:

Ax = e_{j} ⇔ En x(= x) = j’te Zeile von \overline{\overline{B}} = \overline{\overline{B}}e_{j}.

Also: A\overline{\overline{B}}e_{j} = Ax = e_{j} für j ∈ \{1, …, n\} und damit A\overline{\overline{B}} = En. Also gilt:

\overline{\overline{B}} ist zu A inverse Matrix.

Zwei explizite Beispiele zu den Rechenverfahren.

Zu (4.25):

I \begin{aligned}x_{1} & + & x_{2} & − & x_{3} & − & x_{4} & = & −2 \\ 3x_{1} & + & 3x2 & − & x_{3} & − & 2x_{4} & = & 6 \\ −x_{1} & − & x_{2} & + & 3x_{3} & + & 2x_{4} & = & 14 \end{aligned}

(A|b) = \begin{matrix}( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & −1 \\ 3 & 3 & −1 & −2 \\ −1 & −1 & 3 & 2 \end{matrix} | \begin{matrix}−2 \\ 6 \\ 14 \end{matrix} ) & \begin{aligned}−3 | & + | \\ _{←}| & | \\ & _{←}| \end{aligned} \\ ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & −1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}−2 \\ 12 \\ 12 \end{matrix} ) & \begin{matrix}− | & : \frac{1}{2} \\ _{←}| \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix}( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} | \begin{matrix}−2 \\ 6 \\ 0 \end{matrix} ) & \begin{matrix}^{←}| \\ +| \end{matrix} \\ ( & \begin{matrix}1 & 1 & 0 & −\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} | & 4 6 0 & ) \end{matrix}

Es folgt: rg(A) = 2, I ist lösbar, der Lösungsraum L_{I} ist ein 2-dimensionaler affiner Unterraum.

Explizite Lösung:

x_{4} =: λ
x_{3} + \frac{1}{2}x_{4} = 6  ⇒ x_{3} = 6 − \frac{1}{2}λ
x_{2} =: μ
x_{1} + x_{2} − \frac{1}{2}x_{4} = 4 ⇒ x_{1} = \frac{1}{2}λ − μ + 4

L_{I} \begin{matrix}= \{(\frac{1}{2}λ − μ + 4, μ, 6 − \frac{1}{2}λ, λ) | (λ, μ) ∈ ℝ^{2}\} \\ = \{(4, 0, 6, 0) + λ(\frac{1}{2}, 0, −\frac{1}{2}, 1) + μ(−1, 1, 0, 0) | (λ, μ) ∈ ℝ^{2}\} \\ = (4, 0, 6, 0) + span\{(\frac{1}{2}, 0, −\frac{1}{2}, 1), (−1, 1, 0, 0)\} ⊆ ℝ^{4} \end{matrix}

Zu (4.26)

Berechnung von A^{−1} für A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{3×3}

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )  \begin{aligned}− | & − | \\ _{←}| & | \\ & _{←}| \end{aligned}

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} | \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \end{matrix} )  \begin{matrix}+| & ·(−1) \\ _{←}| \end{matrix}

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & −1 & 0 \\ −2 & 1 & 1 \end{matrix} )  \begin{aligned}& ^{←}| \\ ^{←}| & | \\ +| & −| \end{aligned}

( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}3 & −1 & −1 \\ −1 & 0 & 1 \\ −2 & 1 & 1 \end{matrix} )  \begin{matrix}^{←}| \\ −| \end{matrix}

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}4 & −1 & −2 \\ −1 & 0 & 1 \\ −2 & 1 & 1 \end{matrix} )  ⇒  A^{−1} = ( \begin{matrix}4 & −1 & −2 \\ −1 & 0 & 1 \\ −2 & 1 & 1 \end{matrix} ) ∈ GL_{3}(ℚ) ⊆ ℚ^{3×3}.

Speziell folgt: A ∈ GL_{3}(ℚ).