6. Euklidische Vektorräume

Im folgenden sei V ein Vektorraum über dem Körper ℝ.

(6.1) Def.: Eine Bilinearform b : V × V → ℝ heißt

(i) symmetrisch ⇔ ∀ v, w ∈ V: b(v, w) = b(w, v)

(ii) positiv definit ⇔ ∀ v ∈ V \ {0}: b(v, v) > 0 (iii) Skalarprodukt ⇔ b ist symmetrisch und positiv definit.

Bez.: Für ein Skalarprodukt b schreibt man oft: ⟨v, w⟩ := b(v, w). Ein reeller Vektorraum V mit einem Skalarprodukt ⟨, ⟩ heißt ein \underline{euklidischer Vektorraum}.

Bsp.: 1) \begin{matrix}V = ℝ^{n}, b(x, y) & := & ⟨x, y⟩ := ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} \\ b(x, x) & = & ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2} \end{matrix}

2) \begin{matrix}V = C^{0}([0, 2π], ℝ) & = & \{f | f : [0, 2π] → ℝ stetig\} \\ b(f_{1}, f_{2}) := ⟨f_{1}, f_{2}⟩_{L^{2}} & = & ∫_{0}^{2π}f_{1}(t)f_{2}(t)dt \end{matrix}

(6.2) Def.: Sei V, ⟨, ⟩ euklidischer Vektorraum. Dann heißt ∥v∥ := \sqrt{⟨v, v⟩} ≥ 0 die \underline{Norm} (oder \underline{Länge}) von v ∈ V (bzgl. ⟨, ⟩) und ∥v − w∥ der \underline{Abstand} zwischen v und w.

(6.3) Satz. Sei V, ⟨, ⟩ euklidischer Vektorraum. Dann gilt für alle v, w ∈ V, λ ∈ ℝ:

(i) ∥v∥ ≥ 0 und: ∥v∥ = 0 ⇔ v = 0

(ii) ∥λv∥ = |λ|∥v∥

(iii) |⟨v, w⟩| ≤ ∥v∥∥w∥ (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) mit “=” ⇔ v und w sind

linear abhängig. (iv) ∥v + w∥ ≤ ∥v∥ + ∥w∥ (Dreiecksungleichung)

Bew.:

(i) ist klar

(ii) ∥λv∥ = \sqrt{⟨λv, λv⟩} = \sqrt{λ^{2}⟨v, v⟩} = |λ|∥v∥ (iii) Es genügt, den Fall w ≠ 0 zu betrachten. Dann gilt für alle t ∈ ℝ:

\begin{matrix}0 ≤ ⟨v + tw, v + tw⟩ = ∥v∥^{2} + 2t⟨v, w⟩ + t^{2}∥w∥^{2} \\ = (t∥w∥ + \frac{⟨v,w⟩}{∥w∥})^{2} + ∥v∥^{2} − \frac{⟨v,w⟩^{2}}{∥w∥^{2}} \end{matrix}

Als Funktion von t nimmt ⟨v + tw, v + tw⟩ für t_{0} = −\frac{⟨v,w⟩}{∥w∥^{2}} sein (nichtnegatives!) Minimum an. Daraus folgt (iii). Gleichheit in (iii) tritt genau dann ein, wenn dieses Minimum gleich Null ist, d.h. falls ⟨v+t_{0}w, v+t_{0}w⟩ = 0. Daraus folgt, daß v+t_{0}w = 0 gilt, d.h. v und w sind linear abhängig. Umgekehrt gilt für linear abhängige v und w offensichtlich Gleichheit in (iii).

(iv)

\begin{aligned}∥v + w∥^{2} & = & ⟨v + w, v + w⟩ = ∥v∥^{2} + 2⟨v, w⟩ + ∥v∥^{2} \\ & ≤^{(iii)} & ∥v∥^{2} + 2∥v∥∥w∥ + ∥w∥^{2} = (∥v∥ + ∥w∥)^{2}. \end{aligned}

(6.4) Def. Sei V, ⟨, ⟩ euklidischer Vektorraum und v, w ∈ V \ {0}. Dann ist der Winkel φ = φ(v, w) ∈ [0, π] zwischen v und w definiert durch:

cos φ = \frac{⟨v, w⟩}{∥v∥∥w∥} bzw. φ = arccos \frac{⟨v, w⟩}{∥v∥∥w∥} ∈ [0, π]

Bem. 1) (5.3)(iii) ⇒ −1 ≤ \frac{⟨v,w⟩}{∥v∥∥w∥} ≤ 1. cos : [0, π] → [−1, 1] ist bijektiv mit Umkehrabbildung arccos.

2) φ(v, w) = φ(w, v)

3) v und w heißen \underline{orthogonal} (senkrecht) zueinander ⇔ ⟨v, w⟩ = 0

4) Die Definition von φ ist so eingerichtet, daß der “Kosinussatz” gilt:

∥v − w∥^{2} = ∥v∥^{2} − 2⟨v, w⟩ + ∥w∥^{2} = ∥v∥^{2} + ∥w∥^{2} − 2 cos φ∥v∥∥w∥.

(6.5) Def.: Eine Teilmenge S ⊆ V heißt Orthonormalsystem (ONS), falls gilt

(i) Für alle v ∈ S gilt ∥v∥ = 1 (“alle v ∈ S normiert”) und (ii) v, w ∈ S, v ≠ w ⇒ ⟨v, w⟩ = 0 (“je zwei orthogonal”)

Eine Orthonormalbasis (ONB) ist ein Orthonormalsystem, das V erzeugt.

Bem.: S ONS ⇒ S linear unabhängig: v_{1}, …, v_{n} ∈ S verschieden, r_{1}, …, r_{n} ∈ ℝ und

∑_{i=1}^{n} r_{i}v_{i} = 0 ⇒ 0 = ⟨∑_{i=1}^{n} r_{i}v_{i}, ∑_{j=1}^{n} r_{j}v_{j}⟩ = ∑_{i,j=1}^{n} r_{i}r_{j}⟨v_{i}, v_{j}⟩ = ∑_{i=1}^{n} r_{i}^{2} ⇒ alle r_{i} = 0.

Bsp.:

1) V = ℝ^{n}, ⟨x, y⟩ := ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} ⇒ {e_{1}, …, e_{n}} ist ONB von (ℝ^{n}, ⟨, ⟩).

2) V = C^{0}([0, 2π], ℝ), ⟨, ⟩ = ⟨, ⟩_{L^{2}}.

Sei f_{0} ∈ V definiert durch f_{0}(x) := \frac{1}{\sqrt{2π}} und für k ≥ 1:

f_{k}(x) := \frac{1}{\sqrt{π}} cos(kx), g_{k}(x) := \frac{1}{\sqrt{π}} sin(kx).

Dann ist S = {f_{k} | k ∈ ℕ} ∪ {g_{k} | k ∈ ℕ \ {0}} ein ONS.

(6.6) Satz:

(i) (Besselsche Ungleichung). Ist S ONS, v ∈ V und E ⊆ S endlich, so gilt

∑_{e∈E}⟨v, e⟩^{2} ≤ ∥v∥^{2}.

(ii) Ist B = (v_{1}, …, v_{n}) ONB von V, so gilt

v = ∑_{i=1}^{n}⟨v, v_{i}⟩v_{i}.

Bem.: Im Fall von Bsp. 2) heißen a_{k} := ⟨f, f_{k}⟩_{L^{2}} für k ≥ 0 (d.h. a_{k} = \frac{1}{\sqrt{π}} ∫_{0}^{2π}f(x) cos(kx)dx

für k ≥ 1 und a_{0} = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{0}^{2π}f(x)dx) und b_{k} := ⟨f, g_{k}⟩_{L^{2}} = \frac{1}{\sqrt{π}} ∫_{0}^{2π}f(x) sin(kx)dx für k ≥ 1 die

Fourierkoeffizienten von f ∈ V = C^{0}([0, 2π], ℝ). Aus (6.6)(i) folgt:

a_{0}^{2} + ∑_{k=1}^{∞}(a_{k}^{2} + b_{k}^{2}) ≤ ∥f∥_{L^{2}}^{2} = ∫_{0}^{2π}f^{2}(x)dx.

In Wahrheit ist diese Ungleichung stets eine Gleichheit (man sagt zu dieser Eigenschaft, daß dieses S ein \underline{vollständiges} ONS ist), aber das können wir hier nicht beweisen.

Bew.: (i) 0 ≤∥v − ∑_{e∈E}⟨v, e⟩e∥= ∥v∥^{2} − 2 ∑_{e∈E}⟨v, e⟩^{2} + ∑_{e∈E}⟨v, e⟩^{2}

(ii) (v_{1}, …, v_{n}) Basis ⇒ ∃r_{1}, …, r_{n} ∈ ℝ : v = ∑_{j=1}^{n} r_{j}v_{j} ⇒ ⟨v, v_{i}⟩ = ∑_{j=1}^{n} r_{j}⟨v_{j}, v_{i}⟩ = r_{i}

(6.7) Satz (Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren). Seien v_{1}, …, v_{k} ∈ V linear unabhängig. Dann existiert ein ONS ṽ_{1}, …, ṽ_{k} ∈ V mit

span{v_{1}, …, v_{i}} = span{ṽ_{1}, …, ṽ_{i}}

für alle 1 ≤ i ≤ k. Insbesondere: Ist V endlichdimensional, so existiert eine ONB von V.

Bew.: Induktion nach k:

k = 1 : ṽ_{1} = \frac{1}{∥v_{1}∥}v_{1} (v_{1} ≠ 0!)

Induktionsschritt: Nach Induktionsvoraussetzung existiert ein ONS ṽ_{1}, …, ṽ_{k−1} mit

span{v_{1}, …, v_{i}} = span{ṽ_{1}, …, ṽ_{i}} für alle 1 ≤ i ≤ k − 1.

Setze w_{k} = v_{k} − ∑_{j=1}^{k−1}⟨v_{k}, ṽ_{j}⟩ṽ_{j} (⇒ ⟨w_{k}, ṽ_{i}⟩ = 0 für 1 ≤ i ≤ k − 1) und ṽ_{k} := \frac{1}{∥w_{k}∥}w_{k}. Dann

ist ṽ_{1}, …, ṽ_{k} ONS und span{ṽ_{1}, …, ṽ_{k}} = span{v_{1}, …, v_{k}}.

(6.8) Def. Seien V, ⟨, ⟩ und Ṽ , ⟨,˜⟩ euklidische Vektorräume. Ein L ∈ Hom(V, Ṽ) heißt orthogonal(bzgl. ⟨, ⟩ und ⟨,˜⟩), falls für alle v, w ∈ V gilt: ⟨v, w⟩ = ⟨L(v), L(w)˜⟩. Bem.:

1) L orthogonal ⇒ L injektiv (L(v) = 0 ⇒∥L(v)∥^{2}= ∥v∥^{2} = 0 ⇒ v = 0)

Speziell: Gilt dim V = dim Ṽ < ∞, so ist jede orthogonale Abbildung bijektiv.

2) Sei Ṽ = V, dim V < ∞, ⟨,˜⟩ = ⟨, ⟩. Dann bilden die orthogonalen L ∈ End(V) eine Untergruppe von (Aut(V), ∘), die orthogonale Grupe O(V) von V.

(6.9) Folgerung. Ist V, ⟨, ⟩_{V} euklidischer Vektorraum, dim V = n, so existiert eine (bijektive) orthogonale Abbildung L : (V, ⟨, ⟩_{V}) → (ℝ^{n}, ⟨, ⟩).

Bew.: Sei f_{1}, …, f_{n} ONB von V. Definiere L durch L(f_{i}) = e_{i} ∈ ℝ^{n}. Ist v = ∑ r_{i}f_{i} und w = ∑ s_{j}f_{s}, so folgt ⟨v, w⟩_{V} = ∑ r_{i}s_{i}. Daraus folgt L(v) = ∑ r_{i}e_{i}, L(w) = ∑ s_{j}e_{j} und ⟨L(v), L(w)⟩ = ∑ r_{i}s_{i} = ⟨v, w⟩_{V}.

(6.10) Satz. Sei L ∈ End(V) und G = (e_{1}, …, e_{n}) ONB von V und A = Mat_{G}^{G}(L).

Dann gilt: L ∈ O(V) ⇔ A^{T} A = E_{n} (⇔ A^{T} = A^{−1})

Bew.: \begin{aligned}δ_{ij} = ⟨e_{i}, e_{j}⟩ & = & ⟨L(e_{i}), L(e_{j})⟩ = ⟨∑_{k=1}^{n} a_{ki}e_{k}, ∑_{l=1}^{n} a_{lj}e_{l}⟩ \\ & = & ∑_{k,l=1}^{n} a_{ki}a_{lj}δ_{kl} = ∑_{k=1}^{n} a_{ki}a_{kj} \\ ⇔ A^{T} A = E_{n}. \end{aligned}

Die Hauptachsentransformation

Im folgenden sei V ein n-dimensionaler ℝ-Vektorraum mit Skalarprodukt ⟨, ⟩ und b : V × V → ℝ eine symmetrische Bilinearform. Ist (e_{1}, …, e_{n}) eine Basis von V und sind x =

∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}, y = ∑_{j=1}^{n} y_{j}e_{j} beliebige Vektoren in V, so folgt aus der Bilinearität von b:

b(x, y) = b (∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}, ∑_{j=1}^{n} y_{j}e_{j}) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} x_{i}y_{j} b(e_{i}, e_{j}).

Man nennt die Matrix B = (b_{ij}) ∈ ℝ^{n×n} mit b_{ij} = b(e_{i}, e_{j}) die \underline{Matrix} \underline{von} b bzgl. der Basis (e_{1}, …, e_{n}). Ist b symmetrisch (wie wir vorausgesetzt haben), so gilt b_{ij} = b(e_{i}, e_{j}) = b(e_{j}, e_{i}) = b_{ji}, d.h. B = B^{⊤} (solche Matrizen heißen symmetrisch). Es gilt dann für x =

∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}, y = ∑_{j=1}^{n} y_{j}e_{j}:

b(x, y) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} x_{i}b_{ij}y_{j} = ( x_{1} … x_{n} ) B ( y_{1} ; ⋮ ; y_{n} ) ,

wobei der letzte Term als Produkt von Matrizen zu interpretieren ist.

Besonders einfach zu verstehen ist eine Bilinearform b, deren Matrix (bzgl. e_{1}, …, e_{n}) eine Diagonalmatrix b_{ij} = λ_{i}δ_{ij} ist. Dann gilt:

b(x, y) = ∑_{i=1}^{n} x_{i}λ_{i}y_{i}.

Zum Beispiel ist ein soches b genau dann positiv definit, wenn alle λ_{i} (für i = 1, …, n) positiv sind.

(6.11) Satz (Hauptachsentransformation). Zu jeder symmetrischen Bilinearform b : V ×

V → ℝ existiert eine ONB f_{1}, …, f_{n} von V und λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℝ, so daß für alle x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}f_{i},

y = ∑_{j=1}^{n} y_{j}f_{j} in V gilt

b(x, y) = ∑_{i=1}^{n} x_{i}λ_{i}y_{i}.

Anders ausgedrückt: Es existiert stets eine ONB von V, bezüglich derer die Matrix von b eine Diagonalmatrix ist. (Die λ_{i} sind dann gerade die Diagonalelemente der Matrix.)

Herkunft der Bezeichnung “Hauptachsentransformation”: Ist b : ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ positiv definite, symmetrische Bilinearform, so ist die Menge

E = {x ∈ ℝ^{2} | b(x, x) = 1}

eine Ellipse. Satz (6.11) besagt, daß es eine ONB f_{1}, f_{2} (bzgl. des üblichen Skalarprodukts) gibt, so daß

E = {x = x_{1}f_{1} + x_{2}f_{2} ∈ ℝ^{2} | λ_{1}x_{1}^{2} + λ_{2}x_{2}^{2} = 1}

gilt, d.h. die Geraden durch 0 ∈ ℝ^{2} in Richtung f_{1} bzw. f_{2} sind die “Hauptachsen” der Ellipse E mit zugehörigen Achsenabschnitten der Länge (λ_{1})^{− \frac{1}{2}} bzw. (λ_{2})^{− \frac{1}{2}} .

Satz (6.11) spielt in folgendem Zusammenhang in der Analysis II eine Rolle (“Kurvendiskussion für Funktionen f : ℝ^{n} → ℝ”): Ist f : ℝ^{n} → ℝ zweimal stetig differenzierbar, x_{0} ∈ ℝ^{n} und h ∈ ℝ^{n}, so gilt (siehe Analysis II)

f(x_{0} + h) = f(x_{0}) + Df(x_{0})(h) + \frac{1}{2}D^{2}f(x_{0})(h, h) + R_{f,x_{0}}(h),

wobei Df(x_{0}): ℝ^{n} → ℝ linear (1. Ableitung von f an der Stelle x_{0}), D^{2}f(x_{0}): ℝ^{n}×ℝ^{n} → ℝ symmetrisch, bilinear (2. Ableitung von f an der Stelle x_{0}), und R_{f,x_{0}}(h) eine Funktion

mit lim_{h→0} \frac{R_{f,x_{0}}(h)}{∥h∥^{2}} = 0 ist.

x_{0} heißt \underline{kritischer} \underline{Punkt} von f, falls Df(x_{0}) = 0 gilt. Aus (6.11) folgt, daß man eine

ONB des ℝ^{n} finden kann, bzgl. derer D^{2}f(x_{0})(h, h) = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}h_{i}^{2} gilt. Daraus folgt für einen kritischen Punkt x_{0} von f:

alle λ_{i} > 0 (⇔ D^{2}f(x_{0}) positiv definiert) ⇒ x_{0} lokales Minimum.
alle λ_{i} < 0 (⇔ D^{2}f(x_{0}) negativ definiert) ⇒ x_{0} lokales Maximum.

Im Gegensatz zum (aus der Schule bekannten) Fall n = 1 gibt es für n > 1 noch andere wichtige Möglichkeiten für D^{2}f(x_{0}): Es kann z.B. für n = 2 λ_{1} > 0 und λ_{2} < 0 gelten. Dann sieht der Graph von f in einer Umgebung von x_{0} wie eine “Sattelfläche” aus.

Vorbereitung zum Beweis von Satz (6.11):

Wegen (6.9) können wir annehmen, daß V = ℝ^{n}, ⟨x, y⟩ = ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} gilt. Ist nämlich L : ℝ^{n} →

V orthogonal, so betrachte b̃ : ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ, b̃(x, y) := b(L(x), L(y)). Haben wir die Behauptung für b̃ bewiesen, so folgt sie leicht auch für b. (Als gesuchte ONB von V kann gerade das Bild unter L einer ONB des ℝ^{n} genommen werden, die b̃ diagonalisiert.)

Unter leichtem Missbrauch der Bezeichnung verwenden wir B auch als Symbol für die

lineare Abbildung B : ℝ^{n} → ℝ^{n} mit B(e_{i}) = ∑_{j=1}^{n} b_{ij}e_{j} = ∑_{j=1}^{n} b_{ji}e_{j}. Dann gilt:

(6.12) Lemma. b(x, y) = ⟨B(x), y⟩ = ⟨x, B(y)⟩ für alle x, y ∈ ℝ^{n}.

Bem.: Ein B ∈ End(ℝ^{n}) mit ⟨B(x), y⟩ = ⟨x, B(y)⟩ für alle x, y ∈ ℝ^{n} heißt “selbstadjungiert”.

Bew.: \begin{aligned}⟨B(x), y⟩ & = & ⟨B (∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}) , ∑_{k=1}^{n} y_{k}e_{k}⟩ \\ & = & ∑_{i=1}^{n} ∑_{k=1}^{n} x_{i}y_{k}⟨B(e_{i}), e_{k}⟩ \\ & = & ∑_{i=1}^{n} ∑_{k=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} x_{i}y_{k}b_{ij} \underbrace{⟨e_{j}, e_{k}⟩}_{=δ_{jk}} = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} x_{i}y_{j}b_{ij} \\ & = & b(x, y) \end{aligned}

Da b symmetrisch ist, folgt daraus:

⟨x, B(y)⟩ = ⟨B(y), x⟩ = b(y, x) = b(x, y) = ⟨B(x), y⟩.

Satz (6.11) ist also äquivalent dazu, daß es für jedes selbstadjungierte B ∈ End(ℝ^{n}) eine ONB f_{1}, …, f_{n} des ℝ^{n} aus Eigenvektoren von B gibt. Sind dann λ_{1}, …, λ_{n} die zugehörigen Eigenwerte von B, d.h. B(f_{i}) = λ_{i}f_{i} für i = 1, …, n, so gilt:

b_{ij} = b(f_{i}, f_{j}) = ⟨B(f_{i}), f_{j}⟩ = λ_{i}⟨f_{i}, f_{j}⟩ = λ_{i}δ_{ij}, wie in (6.11) behauptet.

Im ersten (schwierigeren) Schritt zeigen wir:

1. Schritt: B besitzt einen Eigenwert λ ∈ ℝ. Sei B̃ ∈ End(ℂ^{n}) die ℂ-lineare Fortsetzung von B ∈ End(ℝ^{n}) auf ℂ^{n}, d.h. B̃(z_{1}, …, z_{n}) = (∑_{i=1}^{n} b_{1i}z_{i}, ∑_{i=1}^{n} b_{2i}z_{i}, …, ∑_{i=1}^{n} b_{ni}z_{i}). Wir verwenden nun (ohne das bewiesen zu haben), daß

ℂ algebraisch abgeschlossen ist. Daraus folgt, daß es einen Eigenwert λ ∈ ℂ ∈ ℂ ∈ ℂ von B̃ gibt (vgl. (5.24) und die daran anschließenden Bemerkungen).

Wir wollen zeigen, daß in Wahrheit λ ∈ ℝ ∈ ℝ ∈ ℝ gilt. Sei v = x + iy ∈ ℂ^{n} \ {0} mit x, y ∈ ℝ^{n} ein EV zum EW λ = α + iβ, α, β ∈ ℝ, von B̃. Dann gilt

B̃(x + iy) = B(x) + iB(y) mit B(x), B(y) ∈ ℝ^{n}

und andererseits wegen B̃(v) = λv:

B̃(x + iy) = (α + iβ)(x + iy) = (αx − βy) + i(βx + αy).

Also:

(∗) B(x) = αx − βy und B(y) = βx + αy

Aus (∗) folgt mit (6.12):

⟨B(x), y⟩ = α⟨x, y⟩ − β∥y∥^{2} = ⟨x, B(y)⟩ = β ∥x∥^{2} + α⟨x, y⟩.

Also 0 = β(∥ x∥^{2} + ∥y∥^{2}), woraus wegen ∥ x∥^{2} + ∥y∥^{2} > 0 (da v ≠ 0!) β = 0 folgt, d.h. λ = α ∈ ℝ und, nach (∗),

B(x) = λx, B(y) = λy.

Da v = x + iy ≠ 0 gilt, sind nicht beide x und y der Nullvektor, d.h. mindestens einer von beiden ist ein Eigenvektor von B (zum EW λ = α ∈ ℝ).

2. Schritt: Induktion über n = dim ℝ^{n}.

n = 1: Wähle f_{1} := e_{1} ∈ ℝ^{1}. Dann gilt: b(x_{1}e_{1}, x_{1}e_{1}) = x_{1}^{2} \underbrace{b(e_{1}, e_{1})}_{=:λ_{1}}.

n > 1: Wähle als f_{1} ∈ ℝ^{n} einen (nach Schritt 1 existierenden) Eigenvektor von B, der ohne Einschränkung als normiert angenommen werden kann, d.h. ∥f_{1}∥ = 1. Betrachte

(∗∗) U := {x ∈ ℝ^{n} | ⟨x, f_{1}⟩ = 0}.

Dann ist U ein (n − 1)-dimensionaler Untervektorraum des ℝ^{n} (vgl. (3.24)) und die Restriktion ⟨, ⟩ | U × U von ⟨, ⟩ auf U ist ein Skalarprodukt auf U. Entscheidend ist nun, daß B(U) ⊆ U gilt: Ist x ∈ U, d.h. x ∈ ℝ^{n} und ⟨x, f_{1}⟩ = 0, so folgt B(x) ∈ ℝ^{n} und

⟨B(x), f_{1}⟩ =^{(6.12)} ⟨x, B(f_{1})⟩ = ⟨x, λ_{1}f_{1}⟩ = λ_{1}⟨x, f_{1}⟩ = 0,

d.h. B(x) ∈ U. B | U ist also ein selbstadjungierter Endomorphismus von U, so daß nach der Induktionsvoraussetzung die Existenz einer ONB f_{2}, …, f_{n} von U aus Eigenvektoren von B | U (⇒ von B) existiert. Wegen (∗∗) ist dann f_{1}, …, f_{n} eine ONB des ℝ^{n} aus Eigenvektoren von B.

Orthogonales Komplement und Orthogonalprojektion

Wir betrachten weiterhin einen euklidischen Vektorraum V, ⟨, ⟩.

(6.13) Def.: Ist M ⊆ V, so heißt

M^{⊥} := {v ∈ V | ∀w ∈ M : ⟨v, w⟩ = 0}

das orthogonale Komplement von M.

(6.14) Fakt.

(i) M^{⊥} ist Untervektorraum von V.

(ii) M_{1} ⊆ M_{2} ⊆ V ⇒ M_{2}^{⊥} ⊆ M_{1}^{⊥}

(iii) M^{⊥} = (span(M))^{⊥} (iv) M ⊆ (M^{⊥})^{⊥}

Bew. von (iii): Wegen (ii) genügt es, M^{⊥} ⊆ (span(M))^{⊥} zu beweisen. Sei also v ∈ M^{⊥}. Wir müssen zeigen, daß für alle w ∈ span(M) gilt: ⟨v, w⟩ = 0. Zu jedem w ∈ span(M) existieren k ∈ ℕ, r_{1}, …, r_{k} ∈ ℝ und w_{1}, …, w_{k} ∈ M:

w = ∑_{i=1}^{k} r_{i}w_{i} (siehe (3.7)).

Wegen v ∈ M^{⊥} und w_{i} ∈ M gilt ⟨v, w_{i}⟩ = 0 für 1 ≤ i ≤ k. Also:

⟨v, w⟩ = ⟨v, ∑_{i=1}^{k} r_{i}w_{i}⟩ = ∑_{i=1}^{k} r_{i}⟨v, w_{i}⟩ = 0.

Bsp.: V = ℝ^{3} mit dem Standardskalarprodukt

M = {e_{1}, e_{2}} ⇒ span(M) = ℝ^{2} × {0}
M^{⊥} = (span(M))^{⊥} = {(0, 0)} × ℝ

(6.15) Satz. Sei dim V < ∞. Dann gilt für jeden Untervektorraum U von V:

U ⊕ U^{⊥} = V und (U^{⊥})^{⊥} = U.

Speziell: dim U + dim U^{⊥} = dim V.

Bew.: Sei dim U =: k. Ergänze eine Basis (v_{1}, …, v_{k}) von U zu einer Basis (v_{1}, …, v_{n}) von V, vgl. (3.16). Nach (6.7) (Gram-Schmidt) existiert eine ONB (w_{1}, …, w_{n}) von V, so daß

span{w_{1}, …, w_{k}} = span{v_{1}, …, v_{k}} = U

gilt. Wir zeigen, daß U^{⊥} = span{w_{k+1}, …, w_{n}} gilt. Denn:

(i) Ist i ≤ k < j, so gilt ⟨w_{i}, w_{j}⟩ = 0, also w_{j} ∈ {w_{1}, …, w_{k}}^{⊥} = U^{⊥}. Wegen (6.14)(i) folgt span{w_{k+1}, …, w_{n}} ⊆ U^{⊥}.

(ii) Ist v = ∑_{j=1}^{n} r_{j}w_{j} ∈ U^{⊥}, so gilt für 1 ≤ i ≤ k:

0 = ⟨v, w_{i}⟩ = ∑_{j=1}^{n} r_{j}⟨w_{j}, w_{i}⟩ = r_{i}.

Also v = ∑_{j=k+1}^{n} r_{j}w_{j} ∈ span{w_{k+1}, …, w_{n}}^{⊥}.

Aus U = span{w_{1}, …, w_{k}} und U^{⊥} = span{w_{k+1}, …, w_{n}} folgt V = U ⊕ U^{⊥} und (U^{⊥})^{⊥} = U.

Bem.: 1) Der Beweis von (6.15) liefert ein Rechenverfahren zur Bestimmung einer ONB {w_{1}, …, w_{n}} von V, so daß {w_{1}, …, w_{k}} eine ONB von U und {w_{k+1}, …, w_{n}} eine ONB von U^{⊥} ist.

2) (6.15) gilt nicht ohne die Voraussetzung dim V < ∞!

Ist U Untervektorraum eines endlich-dimensionalen euklidischen Vektorraums V, so ist U^{⊥} ein zu U komplementärer Vektorraum, vgl. (3.21). Unter den vielen zu U komplementären Untervektorräumen ist U^{⊥} durch die Eigenschaft ausgezeichnet, daß jedes v ∈ U^{⊥} zu allen u ∈ U orthogonal ist (d.h. der Name “orthogonales Komplement”). Ist dim V = ∞, so kann U ⊕ U^{⊥} ⫋ V gelten. In diesem Fall ist das orthogonale Komplement U^{⊥} also \underline{kein} zu U komplementärer Unterraum. (Ein “orthogonales Komplement” ist also nicht notwendig ein “Komplement”. So etwas tritt in der mathematischen Sprache öfters auf, wie auch in der Umgangssprache, in der mit einem “tollen Hecht” oft kein Hecht gemeint ist.)

(6.16) Def.: Sei U Untervektorraum von V und V = U ⊕U^{⊥}. Dann existiert für jedes v ∈ V genau ein Paar (u_{0}, u_{1}) ∈ U × U^{⊥}, so daß v = u_{0} + u_{1} gilt. Die Abbildung P_{U} : V → U, P_{U}(v) := u_{0}, heißt \underline{Orthogonalprojektion von} V \underline{auf} U.

Bem.:

0) P_{U}(v) ist durch die Eigenschaften P_{U}(v) ∈ U und v − P_{U}(v) ∈ U^{⊥} eindeutig bestimmt.

1) P_{U} ∈ Hom(V, U).

2) Für alle u ∈ U gilt P_{U}(u) = u (d.h. P_{U}|U = id_{U}) und für alle v ∈ U^{⊥} gilt P_{U}(v) = 0.

3) Ist (v_{1}, …, v_{k}) ONB von U, so gilt für alle v ∈ V:

P_{U}(v) = ∑_{i=1}^{k}⟨v, v_{i}⟩v_{i}.

4) Ist (v_{k+1}, …, v_{n}) ONB von U^{⊥}, so gilt für alle v ∈ V:

P_{U}(v) = v − ∑_{i=k+1}^{n}⟨v, v_{i}⟩v_{i}.

Bez.: Ist ∅ ≠ M ⊆ V und v ∈ V, so heißt

d(v, M) := inf{∥v − u∥ | u ∈ M}

der Abstand von v zu M.

(6.17) Satz. Sei U ⊆ V Untervektorraum und V = U ⊕ U^{⊥}. Dann gilt für jedes v ∈ V: Es existiert genau ein \overline{u} ∈ U mit d(v, U) = ∥v − \overline{u}∥, nämlich \overline{u} = P_{U}(v). Speziell gilt: d(v, U) = ∥v − P_{U}(v)∥.

Bew.: Sei u ∈ U beliebig. Zerlege v = P_{U}(v)+(v −P_{U}(v)), wobei P_{U}(v) ∈ U, (v −P_{U}(v)) ∈ U^{⊥}. Dann gilt

∥v − u∥^{2} = ∥(P_{U}(v) − u) + (v − P_{U}(v))∥^{2} = ∥(P_{U}(v) − u)∥^{2} + ∥v − P_{U}(v)∥^{2}.

Also ∥v − u∥ ≥ ∥v − P_{U}(v)∥, wobei Gleichheit genau für u = P_{U}(v) eintritt.

Bsp.: Approximation komplizierter Funktionen durch einfache: die \underline{Fourierentwicklung}. Wir betrachten den ℝ-Vektorraum

V = C^{0}([0, 2π], ℝ) = {f | f : [0, 2π] → stetig}

mit dem sogenannten L^{2}-Skalarprodukt

⟨f, g⟩ := ∫_{0}^{2π}f(x)g(x)dx

und dem ONS f_{0}(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}}, f_{k}(x) = \frac{1}{\sqrt{π}} cos(kx), g_{k}(x) = \frac{1}{\sqrt{π}} sin(kx), vgl. Bsp. 1 nach (6.1) und Bsp. nach (6.5). Es sei

U_{n} := span{f_{0}, …, f_{n}, g_{1}, …, g_{n}}.

Wegen Bem. 3 nach (6.16) gilt für alle f ∈ V:

(∗) P_{U_{n}}(f) = ∑_{k=0}^{n}⟨f, f_{k}⟩f_{k} + ∑_{k=1}^{n}⟨f, g_{k}⟩g_{k}.

Im Gegensatz zu dem nach (6.6) geschriebenen, definiert man üblicherweise die \underline{Fourierkoef-} \underline{fizienten} a_{k} = a_{k}(f) und b_{k} = b_{k}(f) durch

a_{k} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π}f(x) cos(kx)dx = \{ \begin{matrix}\sqrt{\frac{2}{π}}⟨f, f_{0}⟩ & für k = 0 \\ \frac{1}{\sqrt{π}}⟨f, f_{k}⟩ & für k > 0 \end{matrix}
b_{k} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π}f(x) sin(kx)dx = \frac{1}{\sqrt{π}}⟨f, g_{k}⟩ für k > 0.

Damit schreibt sich (∗) als

P_{U_{n}}(f)(x) = \frac{a_{0}}{2} + ∑_{k=1}^{n} (a_{k} cos(kx) + b_{k} sin(kx)) .

Satz (6.17) besagt, daß P_{U_{n}}(f) das eindeutig bestimmte Element von U_{n} mit minimalem L^{2}-Abstand von f ist, d.h. die beste (L^{2}-)Approximation von f durch ein Element von U_{n}.

Die (hier nicht bewiesene) Tatsache, daß {f_{0}} ∪ {f_{k}, g_{k} | k > 0} ein vollständiges ONS bilden, heißt gerade, daß für jedes f ∈ V gilt

( lim_{n→∞} d(f, U_{n}) =) lim_{n→∞}∥f − P_{U_{n}}(f)∥ = 0.

Die Gramsche Determinante (J.P. Gram, dän. Math. 1850-1916)

(6.18) Satz. Sei V euklidischer Vektorraum, 0 < dim V = n < ∞. Dann existieren genau zwei Determinantenformen ±D auf V, so daß gilt:

Ist v_{1}, …, v_{n} ONB von V, so gilt | ± D(v_{1}, …, v_{n})| = 1.

Bez.: Ein solches D heiße \underline{normierte} Determinantenform des euklidischen Vektorraums V.

Bew.: Existenz: Sei (\overline{v}_{1}, …, \overline{v}_{n}) eine (feste) ONB vn V. Nach (5.10) existiert genau eine Determinantenform D von V mit

D(\overline{v}_{1}, …, \overline{v}_{n}) = 1.

Wir müssen zeigen, daß dann für jede ONB (v_{1}, …, v_{n}) von V |D(v_{1}, …, v_{n})| = 1 gilt. Sei L ∈ End V durch L(\overline{v}_{i}) = v_{i} für 1 ≤ i ≤ n definiert. Nach Definition (5.19) gilt:

D(v_{1}, …, v_{n}) = det L D(\overline{v}_{1}, …, \overline{v}_{n}) = det L.

Nach (6.10) gilt für die Matrix A von L bzgl. (v_{1}, …, v_{n}):

A^{T} A = E_{n}.

Also 1 = det E_{n} = det(A^{T} A) =^{(5.20)} det A^{T} det A =^{(5.17)} (det A)^{2} =^{(5.21)} (det L)^{2} und damit

|D(v_{1}, …, v_{n}| = | det L| = 1.

Daß ±D die einzigen solchen Determinantenformen sind, folgt direkt aus (5.10).

Aus Satz (6.18) folgt, daß in endlich-dimensionalen euklidischen Vektorräumen (V, ⟨, ⟩) ein natürlicher Volumenbegriff für Parallelotope existiert. Ist D eine normierte Determinantenform und sind w_{1}, …, w_{n} ∈ V, so definieren wir

vol_{n}^{⟨,⟩}(P (w_{1}, …, w_{n})) := |D(w_{1}, …, w_{n})|.

Ist (v_{1}, …, v_{n}) eine ONB von V, so nennt man P (v_{1}, …, v_{n}) einen Würfel der Kantenlänge 1, und es folgt:

vol_{n}^{⟨,⟩}(P (v_{1}, …, v_{n})) = 1.

Die Gramsche Determinante berechnet vol_{n}^{⟨,⟩}(P (w_{1}, …, w_{n})) mittels der Skalarprodukte ⟨w_{i}, w_{k}⟩ für 1 ≤ i, k ≤ n:

(6.19) Satz (Gramsche Determinante). Sei (V, ⟨, ⟩) n-dimensionaler euklidischer Vektorraum und w_{1}, …, w_{n} ∈ V. Dann gilt

vol_{n}^{⟨,⟩}(P (w_{1}, …, w_{n})) = \sqrt{det((⟨w_{i}, w_{k}⟩)_{1≤i,k≤n})}.

Bsp.: Wir betrachten ℝ^{2} mit dem Standardskalarprodukt. Dann ist D_{0} eine normierte Determinantenform, da D_{0}(e_{1}, e_{2}) = 1. In diesem Fall sagt (6.19):

vol_{2}^{⟨,⟩}(P (w_{1}, w_{2})) = \sqrt{det ( \begin{matrix}⟨w_{1}, w_{1}⟩ & ⟨w_{1}, w_{2}⟩ \\ ⟨w_{2}, w_{1}⟩ & ⟨w_{2}, w_{2}⟩ \end{matrix} )} = \sqrt{∥w_{1}∥^{2}∥w_{2}∥^{2} − ⟨w_{1}, w_{2}⟩^{2}}
= ∥w_{1}∥∥w_{2}∥\sqrt{1 − cos^{2} φ} = ∥w_{1}∥∥w_{2}∥ sin φ,

wobei φ den Winkel zwischen w_{1} und w_{2} bezeichnet. Das ist die Formel für die Fläche des Parallelogramms P (w_{1}, w_{2}) mit den Seitenlängen ∥w_{1}∥ und ∥w_{2}∥ und dem eingeschlossenen Winkel φ.

Beweis von (6.19): Sei G = (v_{1}, …, v_{n}) eine ONB von V und L ∈ End(V) durch L(v_{j}) = w_{j} für 1 ≤ j ≤ n definiert. Dann ist A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} = Mat_{G}^{G}(L) durch

w_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}v_{i}

definiert, und es gilt mit einer normierten Determinantenform D:

(∗) vol_{n}^{⟨,⟩}(P (w_{1}, …, w_{n})) = |D(w_{1}, …, w_{n})| = | det A||D(v_{1}, …, v_{n})| = | det A|.

Andererseits:

\begin{aligned}⟨w_{i}, w_{k}⟩ & = & ⟨∑_{j=1}^{n} a_{ji}v_{j}, ∑_{l=1}^{n} a_{lk}v_{l}⟩ = ∑_{j,l=1}^{n} a_{ji}a_{lk} \underbrace{⟨v_{j}, v_{l}⟩}_{=δ_{jl}} = ∑_{j=1}^{n} a_{ji}a_{jk} \\ & = & (A^{T} · A)_{ik} \end{aligned}

Also: (⟨w_{i}, w_{k}⟩)_{1≤i,k≤n} = A^{T} A.

Daraus folgt: (∗∗) det(⟨w_{i}, w_{k}⟩)_{1≤i,k≤n} = det(A^{T} A) = (det A)^{2}.

Aus (∗) und (∗∗) folgt die Behauptung.

Jeder Unterraum U eines euklidischen Vektorraums (V, ⟨, ⟩) “erbt” das Skalarprodukt von V, d.h. ⟨, ⟩ | U × U ist ein Skalarprodukt auf U. Damit ist auch das Volumen von k (≤ n)-dimensionalen Parallelotopen in V definiert:

Sind v_{1}, …, v_{k} ∈ V linear unabhängig, so heißt

P (v_{1}, …, v_{k}) = {∑_{i=1}^{k} s_{i}v_{i} | 0 ≤ s_{i} ≤ 1} ⊆ span{v_{1}, …, v_{k}}

das von v_{1}, …, v_{k} aufgespannte (k-dimensionale) Parallelotop.

Ist D^{U} normierte Determinantenform auf U := span{v_{1}, …, v_{k}}, so besagt (6.19)

|D^{U}(v_{1}, …, v_{k})| = \sqrt{det((⟨v_{i}, v_{j}⟩)_{1≤i,j≤k}})

und wir definieren diesen Wert als das k-dimensionale Volumen vol_{k}^{⟨,⟩}(P (v_{1}, …, v_{k})) von P (v_{1}, …, v_{k}). Sind v_{1}, …, v_{k} linear abhängig, so definieren wir vol_{k}^{⟨,⟩}(P (v_{1}, …, v_{k})) = 0.

Orthogonale Abbildungen

Wir wollen die orthogonale Endomorphismen L ∈ O(V) eines euklidischen Vektorraums (V, ⟨, ⟩) untersuchen.

Erinnerung (an Def. (6.8)):

L ∈ O(V) ⇔ L ∈ End(V) und für alle v, w ∈ V gilt ⟨L(v), L(w)⟩ = ⟨v, w⟩.

Solche L ∈ O(V) sind stets injektiv und damit – falls dim V < ∞ – auch surjektiv. Wir setzen voraus, daß dim V = n < ∞ gilt. Dann ist O(V) eine Untergruppe von Aut(V) (mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen als Gruppenoperation). Nach Satz (6.10) gilt: Ist G = (v_{1}, …, v_{n}) ONB von V, ist L ∈ End(V) und A := Mat_{G}^{G}(L), so gilt:

L ∈ O(V) ⇔ A^{T} · A = E_{n}.

Speziell folgt daraus (wie im Beweis von (6.18) schon benutzt):

L ∈ O(V) ⇒ | det L| = | det A| = 1.

(6.20) Def.: A ∈ ℝ^{n×n} heißt orthogonal ⇔ A^{T} A = E_{n} O(n) := {A | A ∈ ℝ^{n×n} orthogonal} SO(n) := {A | A ∈ O(n), det A = 1} = O(n) ∩ SL_{n}(ℝ) SO(V) := {L | L ∈ O(V), det L = 1}

Da Mat_{G}^{G} : (Aut(V), ∘) → (GL_{n}(ℝ), ·) ein Gruppenisomorphismus ist (vgl. (4.18)), ist O(n) = Mat_{G}^{G}(O(V)) eine Untergruppe von GL_{n}(ℝ). Ebenso ist SO(n) (bzw. SO(V)) Untergruppe von O(n) (bzw. von O(V)).

Wir beschäftigen uns zunächst mit dem Spezialfall V = ℝ^{2}, ⟨, ⟩ = Standardskalarprodukt, d.h.

⟨(x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})⟩ := x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2}.

Beispiele von Elementen in O(ℝ^{2}):

1) “Drehungen”: Sei φ ∈ ℝ und D_{φ} ∈ End(ℝ^{2}) mit

Mat(D_{φ}) = ( \begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} )

Dann gilt

Mat(D_{φ})^{T} · Mat(D_{φ}) = ( \begin{matrix}cos φ & sin φ \\ − sin φ & cos φ \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}cos^{2} φ + sin^{2} φ & 0 \\ 0 & cos^{2} φ + sin^{2} φ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ,

d.h. Mat(D_{φ}) ∈ O(2) und damit D_{φ} ∈ O(ℝ^{2}). Wegen

| \begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} | = 1 gilt sogar D_{φ} ∈ SO(ℝ^{2}), Mat(D_{φ}) ∈ SO(2).

Offenbar gilt D_{φ+2π} = D_{φ} und D_{φ} ≠ D_{ψ}, falls 0 ≤ φ < ψ < 2π.

2) “Spiegelungen an Geraden durch 0 ∈ ℝ^{2}”: Sei U ⊆ ℝ^{2} 1-dimensionaler Untervektorraum. Wähle eine ONB G = (v_{1}, v_{2}) des ℝ^{2} mit span{v_{1}} = U. Definiere “die Spiegelung S_{U} ∈ End(ℝ^{2}) an U” durch

S_{U}(v_{1}) = v_{1}, S_{U}(v_{2}) = −v_{2}.

Dann gilt S_{U} ∈ O(ℝ^{2}) \ SO(ℝ^{2}), da Mat_{G}^{G}(S_{U}) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) ∈ O(2) \ SO(2).

S_{U} ist durch U eindeutig bestimmt!

(6.21) Fakt. Es gilt:

(i) SO(ℝ^{2}) = {D_{φ}|φ ∈ [0, 2π)}. (ii) O(ℝ^{2}) = {S_{U}|U 1-dimensionaler Unterraum des ℝ^{2}}. (iii) ∀φ, ψ ∈ ℝ : D_{φ+ψ} = D_{φ} ∘ D_{ψ}(= D_{ψ} ∘ D_{φ}), D_{0} = id_{ℝ^{2}} (d.h. φ ∈ (ℝ, +) → D_{φ} ∈

(SO(ℝ^{2}), ∘) ist surjektiver Gruppenhomomorphismus).

D_{φ} = id_{ℝ^{2}} ⇔ φ ∈ {2πk|k ∈ ℤ}

(iv) S_{U_{2}} ∘ S_{U_{1}} = D_{2φ}, wobei φ der Winkel ist, um den man U_{1} drehen muß, um U_{2} zu erhalten, d.h. D_{φ}(U_{1}) = U_{2}. (φ ist bis auf additive Vielfache φ + kπ, k ∈ ℤ, von π bestimmt.)

(v) D_{2φ} ∘ S_{U} = S_{D_{φ}(U)}, S_{U} ∘ D_{2φ} = S_{D_{−φ}(U)}.

Insbesondere folgt aus (iii), (iv) bzw. (v), daß SO(ℝ^{2}) abelsch ist, während O(ℝ^{2}) nicht abelsch ist.

Bew.:

(i) Sei L ∈ SO(ℝ^{2}), L(e_{1}) =: (x, y) ∈ ℝ^{2}. Dann gilt x^{2} + y^{2} = 1 und mit den Kenntnissen aus der Analysis I kann man einsehen, daß es genau ein φ ∈ [0, 2π) gibt mit (x, y) = (cos φ, sin φ), d.h. L(e_{1}) = D_{φ}(e_{1}). Dann sind L(e_{2}) und D_{φ}(e_{2}) beides Einheitsvektoren, die zu L(e_{1}) = D_{φ}(e_{1}) orthogonal sind und zusammen mit L(e_{1}) = D_{φ}(e_{1}) eine positiv orientierte Basis bilden. Da es nur einen solchen Vektor gibt (das ist anschaulich klar, muß aber im Prinzip durch eine Rechnung begründet werden), gilt auch L(e_{2}) = D_{φ}(e_{2}), also L = D_{φ}.

(ii) Sei L ∈ O(2) \ SO(2). Um zu zeigen, daß L eine Spiegelung ist, suchen wir einen 1-dimensionalen Unterraum U, der punktweise von L festgelassen wird, d.h. einen Vektor v ∈ ℝ^{2} \ {0} mit L(v) = v (⇔ v EV zum EW 1 von L). Ist Mat(L) =

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ), so gilt wegen det L = −1: det(L − λ id_{ℝ^{2}}) = λ^{2} − (a + d)λ − 1 =: p(λ).

Wegen p(0) = −1 und lim_{λ→±∞} p(λ) = ∞, hat p(λ) zwei Nullstellen (d.h. L zwei

Eigenwerte) λ_{2} < 0 < λ_{1}. Da L orthogonal ist, hat jeder Eigenwert von L den Betrag 1, also λ_{2} = −1, λ_{1} = 1. Sei v_{1} EV von L zum EW λ_{1} = 1 und (v_{1}, v_{2}) ONB von ℝ^{2}. Aus L ∈ O(ℝ^{2}), L ≠ id_{ℝ^{2}} und L(v_{1}) = v_{1}, folgt L(v_{2}) = −v_{2}, d.h. L = S_{U} für U := span{v_{1}}.

(iii) folgt aus den “Additionstheoremen” für sin und cos.

(iv) Es gelte D_{φ}(U_{1}) = U_{2}. Da det(S_{U_{2}} ∘ S_{U_{1}}) = det(S_{U_{2}}) det(S_{U_{1}}) = (−1)^{2} = 1 ist, ist S_{U_{2}} ∘ S_{U_{1}} ∈ SO(ℝ^{2}), d.h. S_{U_{2}} ∘ S_{U_{1}} ist eine Drehung.

Wie in der Vorlesung mit einem einfachen elementargeometrischen Argument (und ähnlich für (v)) gezeigt wurde, ist S_{U_{2}} ∘ S_{U_{1}} in der Tat eine Drehung um den Winkel 2φ. Dieses Argument muß aber in der hier aufgebauten “Analytischen Geometrie” durch eine Rechnung bewiesen werden. Es ist nun so, daß solche Rechnungen statt mit (2×2)-Matrizen sehr viel weniger aufwendig mit komplexen Zahlen ausgeführt werden können. Deshalb zunächst der

Exkurs: Beschreibung von Drehungen und Spiegelungen des ℝ^{2} mit Hilfe der komplexen Zahlen.

Identifizieren wir wie üblich (x, y) ∈ ℝ^{2} mit x + iy ∈ ℂ und definieren (!) wir für φ ∈ ℝ

e^{iφ} := cos φ + i sin φ

(für diese Definition gibt es einen mathematischen Hintergrund, der uns jetzt nicht zu interessieren braucht), so berechnet man:

D_{φ}(z) = e^{iφ} · z.

Die Additionstheoreme für sin und cos sind äquivalent zur Gleichung e^{i(φ+ψ)} = e^{iφ} · e^{iψ} für alle φ, ψ ∈ ℝ. Außerdem gilt \overline{e^{iφ}} = e^{−iφ} und |e^{iφ}| = \sqrt{cos^{2} + sin^{2} φ} = 1. Ist U = span_{ℝ}{e^{iψ}} := {se^{iψ} | s ∈ ℝ}, so zeigen wir, daß S_{U} durch

S_{U}(z) = e^{2iψ}\overline{z}

gegeben ist: Die Abbildung z ∈ ℂ ≃ ℝ^{2} → \overline{z} ∈ ℂ ≃ ℝ^{2} ist gerade die Spiegelung an der x-Achse, so daß die Abbildung

z → e^{2iψ}\overline{z} = D_{2ψ}(\overline{z})

in O(ℝ^{2})\SO(ℝ^{2}) liegt. Wendet man sie auf z = e^{iψ} an, so erhält man e^{iψ} → e^{2iψ}·e^{−iψ} = e^{iψ}. Da auch S_{U}(e^{iψ}) = e^{iψ} gilt, folgt

S_{U}(z) = e^{2iψ}\overline{z}

für alle z ∈ ℂ, denn beide Abbildungen sind Spiegelungen, die die Gerade span_{ℝ}{e^{2iψ}} fest lassen.

Wir kommen nun zu einem “analytischen” Beweis von (6.21)(iv) und (v):

(iv): Es sei U_{1} = span_{ℝ}{e^{iψ_{1}}} = D_{ψ_{1}}(ℝ × {0}) und U_{2} = span_{ℝ}{e^{iψ_{2}}} = D_{ψ_{2}}(ℝ × {0}).

Dann gilt D_{ψ_{2}−ψ_{1}}(U_{1}) = D_{ψ_{2}−ψ_{1}}(D_{ψ_{1}}(ℝ×{0}) =^{(iii)} D_{ψ_{2}}(ℝ×{0}) = U_{2}, d.h. für φ := ψ_{2} −ψ_{1}

gilt D_{φ}(U_{1}) = U_{2}. Andererseits berechnen wir für alle z ∈ ℂ:

S_{U_{2}} ∘ S_{U_{1}}(z) = S_{U_{2}}(e^{2iψ_{1}} \overline{z}) = e^{2iψ_{2}} \overline{(e^{2iψ_{1}} \overline{z})} = e^{i2(ψ_{2}−ψ_{1})}z = D_{2φ}(z)

(v): Ist U = span_{ℝ}{e^{iψ}}, so gilt

D_{2φ} ∘ S_{U}(z) = e^{2iφ}e^{2iψ}\overline{z} = e^{2i(φ+ψ)}\overline{z} = S_{D_{φ}(U)}(z),

da D_{φ}(U) = span_{ℝ}{D_{φ}(e^{iψ})} = span_{ℝ}{e^{i(φ+ψ)}}.

Ebenso erhalten wir:

S_{U} ∘ D_{2φ}(z) = e^{2iψ}(e^{−2iφ}\overline{z}) = e^{2i(ψ−φ)}\overline{z} = S_{D_{−φ}(U)}(z).

Normalform von orthogonalen Abbildungen

(6.22) Def.: Sei L ∈ End(V). Ein Untervektorraum U von V heißt L-invariant, falls L(U) ⊆ U gilt.

Bem.: {0} und V sind L-invariant für jedes L ∈ End(V).

Ein großes Ziel bei der Untersuchung eines L ∈ End(V) ist es, L-invariante Unterräume U_{1} ≠ {0}, U_{2} ≠ {0} zu finden, so daß V die direkte Summe von U_{1} und U_{2} ist, d.h. V = U_{1}⊕ U_{2}. Dann reduziert sich die Untersuchung von L auf die Untersuchung von L|U_{1} ∈ End(U_{1}) und L|U_{2} ∈ End(U_{2}). (Leider ist das nicht immer möglich, z.B. nicht für die “Scherung”

L ∈ End(ℝ^{2}) mit Mat(L) = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ).)

Man wird natürlich versuchen, solche L-invarianten Unterräume U_{1} und U_{2} in noch kleinere L-invariante Unterräume zu zerlegen, und dazu benötigen wir den Begriff der direkten Summe von endlich vielen Unterräumen (vgl. (3.19)–(3.21) und Blatt 3, Aufgabe 4): Sind U_{1}, …, U_{k} Unterräume eines Vektorraums V, so heißt V die direkte Summe von U_{1}, …, U_{k}

(geschrieben V = U_{1} ⊕ … ⊕ U_{k} = ⊕_{i=1}^{k} U_{i}), falls gilt:

(i) V = span( ⋃_{i=1}^{k} U_{i}) und

(ii) Für alle i ∈ \{1, …, k\} gilt: U_{i} ∩ span( ⋃_{\begin{matrix}j=1 \\ j≠i \end{matrix}}^{k} U_{j}) = \{0\}.

Daraus folgt: Ist für i = 1, …, k B_{i} eine Basis von U_{i}, so gilt B_{i} ∩ B_{j} = ∅ für i ≠ j, und

B := ⋃_{i=1}^{k} B_{i} ist Basis von V. Ist dim V < ∞, so folgt:

dim V = ∑_{i=1}^{k} dim U_{i}.

Im Fall eines euklidischen Vektorraums (V, ⟨, ⟩) ist folgender Spezialfall der direkten Summe wichtig:

(6.23) Def.: Seien U_{1}, …, U_{k} Unterräume von V Dann heißt V die orthogonale Summe von U_{1}, …, U_{k}, falls gilt:

(i) V = span( ⋃_{i=1}^{k} U_{i}) und

(ii) Für alle 1 ≤ i ≠ j ≤ k gilt U_{i} ⊆ U_{j}^{⊥}.

Zur Bedingung (ii) sagt man, die U_{i}, 1 ≤ i ≤ k, seien paarweise orthogonal.

Aus (6.23)(i) und (ii) folgt, daß V die direkte Summe von U_{1}, …, U_{k} ist.

(6.24) Satz. Sei L ∈ O(V). Dann existieren k ∈ ℕ, 2-dimensionale, L-invariante Unterräume U_{1}, …, U_{k} von V und L-invariante Unterräume U_{−} und U_{+} von V, so daß V die orthogonale Summe von U_{1}, …, U_{k}, U_{−},U_{+} ist und so daß gilt

(i) L|U_{i} ∈ SO(U_{i}) \ {± id_{U_{i}}} für 1 ≤ i ≤ k (ii) L|U_{−} = −(id_{U_{−}}) (iii) L|U_{+} = id_{U_{+}}

Bem.: 1) Es kann k = 0 oder U_{−} = {0} oder U_{+} = {0} gelten.

2) Jedes v ∈ V läßt sich dann eindeutig darstellen als

v = u_{1} + … + u_{k} + u_{−} + u_{+}

mit u_{i} ∈ U_{i} für 1 ≤ i ≤ k, u_{−} ∈ U_{−} und u_{+} ∈ U_{+}. Es gilt dann:

L(v) = L(u_{1}) + … + L(u_{k}) − u_{−} + u_{+}.

L setzt sich also aus k “Drehungen” in den 2-dimensionalen Unterräumen U_{i}, 1 ≤ i ≤ k, aus der “Punktspiegelung” −(id_{U_{−}}) im Unterraum U_{−} und der Identität auf U_{+} zusammen.

3) Es gilt 2k + dim U_{−} + dim U_{+} = n. Ist n ungerade, so folgt dim U_{−} + dim U_{+} ≠ 0.

4) det(L) = (−1)^{dim U_{−}}, vgl. Blatt 3, Aufgabe 3.

Umformuliert für Matrizen besagt (6.24):

(6.24)’ Satz. Sei L ∈ O(V). Dann existieren eine ONB G = (v_{1}, …, v_{n}) von V, k ∈ ℕ und φ_{1}, …, φ_{k} ∈ (0, π), so daß gilt:

Mat_{G}^{G}(L) = ( cos φ_{1} − sin φ_{1} sin φ_{1} cos φ_{1} cos φ_{2} − sin φ_{2} sin φ_{2} cos φ_{2}  0 ... 0  cos φ_{k} − sin φ_{k} sin φ_{k} cos φ_{k} \begin{aligned}−1 \\ & . & . & . \\ & & & & −1 \\ & & & & & 1 \\ & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & 1 \end{aligned} )

Äquivalent dazu ist: Zu jedem A ∈ O(n) existiert ein B ∈ O(n), so daß B^{T} AB die obige Form hat.

(6.25) Lemma. Sei L ∈ End(ℝ^{n}). Dann existiert ein L-invarianter Untervektorraum U des ℝ^{n} mit 0 < dim U ≤ 2.

Bew.: Das wurde im 1. Schritt des Beweis von Satz (6.11) (Hauptachsentransformation) wie folgt gezeigt: Wir betrachten die ℂ-lineare Fortsetzung L̃ von L auf ℂ^{n} und erhalten einen EW λ = α + iβ ∈ ℂ mit α, β ∈ ℝ und einen zugehörigen EV v = x + iy ∈ ℂ^{n} \ {0} mit x, y ∈ ℝ^{n}. Dann gilt:

(∗) L(x) = αx − βy und L(y) = βx + αy.

Das zeigt, daß span{x, y} L-invariant ist. Wegen v = x + iy ≠ 0 gilt span{x, y} ≠ {0}.

Beweis von (6.24): Durch vollständige Induktion nach n = dim V.

Induktionsanfang: Ist dim V = 1, so gilt O(V) = {± id_{V} }. Die Behauptung ist richtig mit k = 0 und entweder U_{+} = V oder U_{−} = V.

Induktionsschritt: Sei L ∈ O(V) und dim V = n > 1. Wegen (6.9) genügt es, den Fall zu betrachten, daß (V, ⟨, ⟩) der ℝ^{n} mit dem Standardskalarprodukt ist. Aus Lemma (6.25) folgt, daß ein L-invarianter Unterraum U ⊆ ℝ^{n} existiert mit 0 < dim U ≤ 2.

(i) Gilt n = 2 und U = ℝ^{n}, so folgt die Behauptung aus (6.21):

Entweder L ist eine Spiegelung ( → Mat_{G}^{G}(L) = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) für eine geeignete ONB

des ℝ^{2}), oder L = D_{φ} für ein φ ∈ [0, 2π).

Ist φ = 0, so L = id_{ℝ^{2}} (⇒ k = 0, U_{−} = {0}, U_{+} = ℝ^{2}).

Ist φ = π, so L = − id_{ℝ^{2}} (⇒ k = 0, U_{−} = ℝ^{2}, U_{+} = {0}). Sonst gilt D_{φ} ∈ SO(ℝ^{2}) \ {± id_{ℝ^{2}}}.

(ii) Gilt U⫋ℝ^{n}, so folgt aus (6.15)

ℝ^{n} = U ⊕ U^{⊥}

Da U L-invariant ist und L orthogonal ist, ist auch U^{⊥} L-invariant (vgl. Blatt 1, Aufgabe 1). Wegen dim U^{⊥} = n − dim U < n ist auf L|U^{⊥} die Induktionsvoraussetzung anwendbar. Daraus folgt zusammen mit unseren Kenntnissen über O(ℝ) und O(ℝ^{2}) die Behauptung.

Die einzige zusätzliche Information, die man zum Beweis von (6.24)’ benötigt, ist folgende: Ist dim V = 2 und L ∈ SO(V) \ {± id_{V} }, so existiert eine ONB G von V und φ ∈ (0, π),

so daß Mat_{G}^{G}(L) = (\begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix}) gilt. Das sieht man so ein. Ist G̃ = (v_{1}, v_{2}) irgendeine

ONB von V, so existiert φ̃ ∈ (0, π) ∪ (π, 2π) mit

MatG̃ ; G̃(L) = (\begin{matrix}cos φ̃ & − sin φ̃ \\ sin φ̃ & cos φ̃. \end{matrix})

Ist φ̃ ∈ (π, 2π), so betrachten wir G = (v_{1}, −v_{2}) und erhalten

Mat_{G}^{G}(L) = (\begin{matrix}cos φ̃ & sin φ̃ \\ − sin φ̃ & cos φ̃. \end{matrix})

Wegen cos(−φ̃) = cos φ̃, sin(−φ̃) = − sin φ̃ folgt mit φ := 2π − φ̃ ∈ (0, π):

Mat_{G}^{G}(L) = (\begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ, \end{matrix})

wie behauptet.

Die anschauliche Begründung für die letzte Überlegung ist wie folgt: Ist dim V = 2 und L ∈ SO(V), so ist der “Drehwinkel” φ̃ von L erst nach Wahl einer Orientierung (⇒ eines “positiven Drehsinns”) für V definiert. Ändert man die Orientierung, so geht φ̃ in −φ̃ über. Ist φ̃ ∈ (π, 2π), so ist −φ̃ ∈ (−2π, −π) und statt −φ̃ kann man natürlich auch φ := 2π − φ̃ ∈ (0, π) nehmen.

Oft ist es wichtig zu wissen, ob die Unterräume in (6.24) und ob die Normalform in (6.24)’ und die zugehörige ONB eindeutig durch L bestimmt sind.

Hierzu kann man folgendes sagen: Es gilt U_{+} = ker(L − id_{V}), U_{−} = ker(L + id_{V}), so daß U_{−}, U_{+} und damit auch k = \frac{1}{2}(n − (dim U_{−} + dim U_{+})) eindeutig durch L bestimmt sind. Die φ_{1}, …, φ_{k} ∈ (0, π) sind (bis auf ihre Reihenfolge) eindeutig durch L bestimmt (und damit auch die Normalform in (6.24)’), da e^{iφ_{1}}, e^{−iφ_{1}}, … e^{iφ_{k}}, e^{−iφ_{k}} gerade die Eigenwerte ≠ ±1 von L̃ sind. Aus (6.24)’ folgt nämlich sofort:

det(L − λ id) = ∏_{j=1}^{k} \underbrace{(λ^{2} − 2(cos φ_{j})λ + 1)}_{(λ−e^{iφ_{j}})(λ−e^{−iφ_{j}})} ·(1 + λ)^{dim U_{−}} · (1 − λ)^{dim U_{+}}

Eine ONB, in der die Matrix von L die Normalform (6.24)’ annimmt, ist nicht eindeutig durch L bestimmt. Z.B. ist die Matrix einer Drehung, D_{φ} ∈ SO(ℝ^{2}), φ ∈ (0, π), bezüglich

jeder positiv orientierten ONB des ℝ^{2} in der Normalform (\begin{matrix}cos φ_{1} & − sin φ_{1} \\ sin φ_{1} & cos φ_{1} \end{matrix}).

Nach so vielen Worten möchte man hoffen, nun alles über orthogonale Abbildungen zu wissen. Weit gefehlt! Über die Gruppenstruktur von SO(n) für n ≥ 3 wurde etwa noch nichts gesagt. Man möchte auch gern die Elemente von SO(3) durch 3 (warum gerade 3?) reelle “Parameter” beschreiben (so wie wir die Elemente von SO(2) durch den Drehwinkel φ mod 2π beschrieben haben). Aber geht das und wie am besten? Da gibt es Fragen und Antworten, genug für ein ganzes Mathematikstudium...