Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra I“ im Wintersemester 2002/03 bei Prof. V. Bangert

Blatt 2 24. Oktober 2002

1. (a) Führen Sie den zweiten Teil des Beweises von Satz (1.16), d. h., zeigen Sie: Ist \overline{x} = (\overline{x}_{1}, … \overline{x}_{n}) eine Lösung des linearen Gleichungssystems I, so gilt

\{\overline{x} + x | x ∈ L_{I^{hom}}\} ⊆ L_{I}.

(b) Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem

I \begin{aligned}x_{1} − x_{2} + x_{3} & = & −1 \\ x_{1} + x_{2} + 3x_{3} & = & 1 \end{aligned}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge von I und die des homogenen Systems I^{hom}. Illustrieren Sie Satz (1.16) an diesem Beispiel, indem Sie L_{I} und L_{I^{hom}} in einem dreidimensionalen Koordinatensystem skizzieren.

2. Beweisen Sie die ”Rechenregeln“ (1.20) (c), (d) und (e):

Sei f: M → N eine Abbildung und A, B ⊆ M, C, D ⊆ N. Dann gilt:

(c) f(M ∖ A) ⊇ f(M) ∖ f(A)

(d) f^{−1}(C ∪ D) = f^{−1}(C) ∪ f^{−1}(D)

(e) f^{−1}(C ∩ D) = f^{−1}(C) ∩ f^{−1}(D)

Geben Sie ein Beispiel an, das zeigt, dass in (c) nicht Gleichheit zu gelten braucht, d. h., geben Sie Mengen M und N, eine Abbildung f: M → N und Teilmengen A ⊆ M, B ⊆ N an, so dass f(M ∖ A) ≠ f(M) ∖ f(A) ist.

3. Es seien M und N nichtleere Mengen und f: M → N. Zeigen Sie

(a) f ist injektiv ⇔ Es gibt g: N → M mit g ∘ f = id_{M}

(b) Existiert eine Abbildung g: N → M mit f ∘ g = id_{N}, so ist f surjektiv.

4. Es seien M und N Mengen und R ⊆ M × N eine Relation. Die Projektion auf die erste Koordinate, p_{1} : M × N → M, ist definiert durch p_{1}(x, y) = x für alle (x, y) ∈ M × N (vgl. Beispiel (f) nach Definition (1.17)).

Zeigen Sie, dass folgende drei Aussagen äquivalent sind:

(i) Die Einschränkung p_{1}|R: R → M von p_{1} auf R ist bijektiv.

(ii) Für jedes x ∈ M existiert genau ein y ∈ N, so dass (x, y) ∈ R.

(iii) Es existiert eine Funktion f: M → N mit graph(f) = R.

Abgabe: Donnerstag, 31. Oktober vor der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la1/