Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra I“ im Wintersemester 2002/03 bei Prof. V. Bangert

Blatt 3 31. Oktober 2002

1. Sei f: M → N eine Abbildung. Zeigen Sie:

(a) Ist f injektiv, so gilt für alle Teilmengen A und B von M:

(i) f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B), (ii) f(M ∖ A) = f(M) ∖ f(A).

(b) Gilt (i) oder (ii) für alle Teilmengen A und B von M, so ist f injektiv.

2. Zeigen Sie: Die Gruppe (S_{3}, ∘) ist nicht abelsch. D. h., finden Sie zwei Elemente von S_{3}, also zwei bijektive Abbildungen f und g der Menge {1, 2, 3} auf sich (”Permutationen“), so dass f ∘ g ≠ g ∘ f. Schließen Sie daraus, dass die Gruppe (S_{M}, ∘) nicht abelsch ist, wenn die Menge M mindestens drei Elemente enthält.

3. Wir wollen wie folgt eine Verknüpfung ·: ℤ_{p} × ℤ_{p} → ℤ_{p} definieren:

Sind a, b ∈ ℤ_{p} so gibt es m, n ∈ ℤ mit a = [m]_{p} und b = [n]_{p}. Wir setzen a · b := [m · n]_{p}. Zeigen Sie, dass die Definition von a · b nicht davon abhängt, welche Repräsentanten m und n man für a und b gewählt hat. (Sie müssen also zeigen: Sind m′ und n′ ∈ ℤ mit a = [m]_{p} = [m′]_{p} und b = [n]_{p} = [n′]_{p}, so ist [m · n]_{p} = [m′ · n′]_{p}.)

4. Sei R ⊆ ℝ × ℝ eine Relation auf ℝ. Wenn Sie sich R als Teilmenge der Koordinatenebene ℝ^{2} vorstellen, dann entsprechen der Reflexivität und der Symmetrie von R einfache geometrische Eigenschaften von R, vgl. Vorlesung. Die Transitivität von R hat keine einfache geometrische Interpretation. Diese Aufgabe beleuchtet diese Fragestellung, falls R schon als reflexiv und symmetrisch vorausgesetzt ist.

(a) Sei M die Zerlegung von ℝ, die aus den Intervallen I_{n} = {x ∈ ℝ | n ≤ x < n + 1} für n ∈ ℤ besteht, d. h. M = {I_{n} | n ∈ ℤ}, und R ⊆ ℝ × ℝ die Äquivalenzrelation auf ℝ mit den Äquivalenzklassen I_{n}, n ∈ ℤ. Zeichnen Sie R in ein Koordinatensystem des ℝ^{2} ein.

(b) Sei R ⊆ ℝ × ℝ eine reflexive und symmetrische Relation auf ℝ. Zeigen Sie:

Für alle x ∈ ℝ gilt

[x]_{R} = p_{2}(R ∩ ({x} × ℝ))

(wobei p_{2} : ℝ^{2} → ℝ die Projektion auf die y-Achse ist). Begründen Sie: R ist genau dann eine Äquivalenzrelation, wenn für alle x, x̃ ∈ ℝ die Projektionen von R ∩ ({x} × ℝ) und von R ∩ ({x̃} × ℝ) auf die y-Achse entweder disjunkt oder gleich sind.

(c) Finden Sie eine Relation R auf ℝ, die reflexiv und symmetrisch, aber nicht transitiv ist.

Abgabe: Donnerstag, 7. November in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la1/