Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra I“ im Wintersemester 2002/03 bei Prof. V. Bangert

Blatt 4 7. November 2002

1. (a) Seien m ≥ 2 und n ≥ 1 natürliche Zahlen und p = mn. Sei a = [n]_{p} ∈ ℤ_{p}. Zeigen Sie:

\underbrace{a + ⋯ + a}_{m-mal} = 0

(wobei 0 (= [0]_{p}) hier das neutrale Element von ℤ_{p} bezüglich der Addition bezeichnet).

(b) Sei (G, ⊤) eine Gruppe und a, b ∈ G. Zeigen Sie: Es existiert genau eine Lösung x ∈ G der Gleichung a ⊤ x = b und genau eine Lösung y ∈ G der Gleichung y ⊤ a = b.

2. Sei (G, ⊤) eine Gruppe. Für a ∈ G sei die Abbildung f_{a}: G → G definiert durch f_{a}(x) = a ⊤ x für alle x ∈ G. Zeigen Sie:

Die Abbildung f_{a} ist bijektiv (also f_{a} ∈ S_{G}). Es gilt

f_{a} = id_{G} ⟺ a = e

und für alle a, b ∈ G ist f_{a} ∘ f_{b} = f_{a⊤b}.

3. (a) Zeigen Sie, dass G := {1, −1, i, −i} ⊆ ℂ, mit der Multiplikation von komplexen Zahlen als Verknüpfung, eine abelsche Gruppe bildet. Stellen Sie die Verknüpfungstafel von G auf.

(b) Sei t ∈ ℚ, t > 0. Zeigen Sie:

K := \{r + i s\sqrt{t} | r, s ∈ ℚ\} ⊆ ℂ, versehen mit der Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen, ist ein Körper.

4. Zeigen Sie das Assoziativgesetz für die in der Vorlesung definierte Multiplikation von komplexen Zahlen.

Abgabe: Donnerstag, 14. November in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la1/