Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra I“ im Wintersemester 2002/03 bei Prof. V. Bangert

Blatt 5 14. November 2002

1. Sei I das homogene lineare Gleichungssystem

\begin{aligned}5x_{1} & + & 10x_{2} & + & 20x_{3} & + & 2x_{4} & = & 0 \\ x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & + & x_{4} & = & 0 \end{aligned}

und L_{I} ⊆ ℝ^{4} der Lösungsraum von I.

Finden Sie ein Erzeugendensystem von L_{I}, das aus 2 Elementen besteht.

2. Sei V ein K-Vektorraum und seien U_{1} ⊆ V, U_{2} ⊆ V Unterräume von V. Zeigen Sie:

U_{1} ∪ U_{2} ist Unterraum von V ⟺ U_{1} ⊆ U_{2} oder U_{2} ⊆ U_{1}

Anleitung: Für die Richtung ”⇒“ können Sie einen indirekten Beweis führen. Nehmen Sie an, U_{1} ∪ U_{2} sei ein Unterraum, aber U_{1} ∖ U_{2} ≠ ∅ und U_{2} ∖ U_{1} ≠ ∅. Betrachten Sie v_{1} ∈ U_{1}∖U_{2} und v_{2} ∈ U_{2}∖U_{1} und untersuchen Sie, in welchen der Mengen U_{1}, U_{2}, U_{1}∪U_{2} das Element v_{1} + v_{2} liegt.

3. Sei U ein Unterraum des ℝ^{2} mit {(0, 0)} ≠ U ≠ ℝ^{2}. Zeigen Sie:

Es existiert ein v ∈ ℝ^{2} ∖ {(0, 0)}, so dass U = {rv | r ∈ ℝ}.

4. In der Vorlesung wurde auf der Menge V = {f | f: ℝ → ℝ} die Struktur eines ℝ-Vektorraums definiert. Ein f ∈ V heißt Polynomfunktion, falls es ein n ∈ ℕ und reelle Zahlen a_{0}, …, a_{n} gibt, so dass für alle x ∈ ℝ gilt:

f(x) = a_{0} + a_{1}x + ⋯ + a_{n}x^{n}

(a) Zeigen Sie: Gilt für alle x ∈ ℝ

a_{0} + a_{1}x + ⋯ + a_{n}x^{n} = b_{0} + b_{1}x + ⋯ + b_{n}x^{n} ,

so folgt a_{0} = b_{0}, a_{1} = b_{1}, …, a_{n} = b_{n}.

Hinweis: Sie können Ihre Schulkenntnisse über das Ableiten von Polynomfunktionen benutzen.

(b) Zeigen Sie: Die Menge P der Polynomfunktionen ist ein Unterraum von V. Die Menge {x^{n} | n ∈ ℕ} ist ein Erzeugendensystem von P.

(c) Ist f ∈ P, f(x) = a_{0} + a_{1}x + ⋯ + a_{n}x^{n} und a_{n} ≠ 0, so heißt n der Grad von f, n = grad(f). (Beachten Sie, dass der Grad für jede Polynomfunktion definiert ist, außer für die Nullfunktion f(x) = 0.) Für n ∈ ℕ sei P_{n} := {f ∈ P | f = 0 oder grad(f) ≤ n}. Zeigen Sie: P_{n} ist ein Unterraum von P. Finden Sie ein endliches Erzeugendensystem für P_{n}.

Abgabe: Donnerstag, 21. November in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la1/