Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra I“ im Wintersemester 2002/03 bei Prof. V. Bangert

Blatt 6 21. November 2002

1. Sei (G, ⊤) eine Gruppe. Eine Teilmenge H von G heißt Untergruppe von G, falls H ≠ ∅ und für alle a, b ∈ H gilt: a ⊤ b^{−1} ∈ H.

Zeigen Sie:

(a) Ist H eine Untergruppe von G, so ist H mit der von G×G auf H ×H eingeschränkten Verknüpfung ⊤ eine Gruppe.

(b) Ist H eine Menge von Untergruppen von G, so ist ⋂_{H∈H} H eine Untergruppe von G.

(Zur Erinnerung: ⋂_{H∈H} H = {g | ∀H ∈ H: g ∈ H}.)

2. Seien u, v, w linear unabhängige Vektoren in einem ℝ-Vektorraum. Zeigen Sie:

(a) Die Vektoren u + v − 2w, u − v − w, u + w sind linear unabhängig.

(b) Die Vektoren u + v − 3w, u + 3v − w, v + w sind linear abhängig.

3. (a) Sind die Vektoren v_{1} = (1, 1, 2, 1), v_{2} = (2, 1, 3, 2), v_{3} = (2, 0, 0, 1), v_{4} = (2, 1, 1, 1) im ℚ-Vektorraum ℚ^{4} linear unabhängig?

(b) Bestimmen Sie eine Basis von span{v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}}.

4. Betrachten Sie den ℝ-Vektorraum V = {f | f: ℝ → ℝ}.

(a) Zeigen Sie: Die Funktionen f_{1} : ℝ → ℝ, f_{1}(x) = x^{2}, und f_{2} : ℝ → ℝ, f_{2}(x) = e^{x}, sind linear unabhängig.

(b) Für a ∈ ℝ sei g_{a}: ℝ → ℝ definiert durch g_{a}(a) = 1, und g_{a}(x) = 0, falls x ≠ a. Zeigen Sie: Die Menge M := {g_{a} | a ∈ ℝ} ⊆ V ist linear unabhängig.

(c) Zeigen Sie: span(M) ist die Menge aller f ∈ V, für die die Menge {x ∈ ℝ | f(x) ≠ 0} endlich ist.

Abgabe: Donnerstag, 28. November in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la1/