Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra I“ im Wintersemester 2002/03 bei Prof. V. Bangert

Blatt 7 28. November 2002

1. Bestimmen Sie (in Abhängigkeit vom Parameter λ ∈ ℝ) eine Basis des Lösungsraums des folgenden homogenen linearen Gleichungssystems.

x_{1} + 3x_{2} + λx_{3} + 2x_{4} = 0
2x_{1} + 4x_{2} + x_{3} + 4x_{4} = 0
x_{1} + x_{2}  + 2x_{4} = 0

2. (a) Zeigen Sie, dass die Menge B = {(1, 2, 3, 4), (2, 0, 1, −1), (−1, 0, 0, 1), (0, 2, 3, 0)} eine Basis des ℝ^{4} ist.

(b) Ergänzen Sie die Menge {(0, 4, 5, 9), (3, 3, 3, 3)} durch Vektoren aus B zu einer Basis des ℝ^{4}.

3. Sei K ein Körper mit q Elementen und V ein K-Vektorraum mit dim V = n. Zeigen Sie:

V hat genau q^{n} Elemente.

(Hinweis: Benutzen Sie die Existenz einer Basis von V.)

4. Mit d sei der Hammingabstand auf {0, 1}^{n} bezeichnet. Bestimmen Sie für x ∈ {0, 1}^{n} (in Abhängigkeit von n) die Anzahl der Elemente von

B(x, 2) := {y ∈ {0, 1}^{n} | d(x, y) ≤ 2} .

Leiten Sie daraus eine (möglichst kleine) obere Schranke für die Anzahl der Codewörter her, die ein 2-fehlerkorrigierender Code der Länge n enthält.

Abgabe: Donnerstag, 5. Dezember in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la1/