Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra I“ im Wintersemester 2002/03 bei Prof. V. Bangert

Blatt 8 5. Dezember 2002

1. Stellen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems

I \begin{matrix}x + y − z − w = 1 \\ x − y + z + w = 3 \end{matrix}

als affinen Unterraum dar (d. h., bestimmen Sie eine Lösung (x_{0}, y_{0}, z_{0}, w_{0}) von I und eine linear unabhängige Menge B ⊆ ℝ^{4}, so dass L_{I} = (x_{0}, y_{0}, z_{0}, w_{0}) + span B.)

2. Seien U_{1}, U_{2} ⊆ ℝ^{4} gegeben durch U_{1} = span {(1, −1, 2, 1), (1, 2, 1, 1), (1, 0, 2, 0)} und U_{2} = span {(2, −3, 5, 0), (1, 0, 0, 0)}.

Bestimmen Sie dim U_{1}, dim U_{2} und dim(U_{1} + U_{2}) und errechnen Sie daraus dim(U_{1} ∩ U_{2}).

3. Sei V der ℝ-Vektorraum der Funktionen f: ℝ → ℝ. Eine Funktion g: ℝ → ℝ heißt gerade, falls für alle x ∈ ℝ gilt g(x) = g(−x). Eine Funktion h: ℝ → ℝ heißt ungerade, falls für alle x ∈ ℝ gilt h(x) = −h(−x).

Zeigen Sie:

(a) Die Menge G der geraden Funktionen und die Menge U der ungeraden Funktionen sind Unterräume von V.

(b) Es gilt G ⊕ U = V.

Hinweis: Machen Sie für eine Funktion f den Ansatz f = g + h mit unbekannten Funktionen g ∈ G und h ∈ U, setzen Sie in diese Gleichung einmal x und einmal −x ein und bestimmen Sie so g und h.

4. (a) Sei V ein Vektorraum, U_{0} und U_{1} Unterräume von V und v_{0}, v_{1} ∈ V. Zeigen Sie:

v_{0} + U_{0} = v_{1} + U_{1} ⟺ U_{0} = U_{1} und v_{1} − v_{0} ∈ U_{0}

(b) Seien U_{0}, U_{1} zweidimensionale Unterräume des ℝ^{4} mit U_{0} ∩ U_{1} = {0} und seien v_{0}, v_{1} ∈ ℝ^{4}. Zeigen Sie: Die affinen Ebenen v_{0} + U_{0} und v_{1} + U_{1} besitzen genau einen Schnittpunkt.

Abgabe: Donnerstag, 12. Dezember in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la1/