Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra I“ im Wintersemester 2002/03 bei Prof. V. Bangert

Blatt 9 12. Dezember 2002

1. (a) Seien n, m ∈ ℕ, n > m, und sei L: K^{n} → K^{m}, L(x_{1}, …, x_{n}) = (x_{1}, …, x_{m}).

Zeigen Sie, dass L linear ist, und bestimmen Sie ker L und im L.

(b) Seien a_{1}, …, a_{n} ∈ K. Zeigen Sie, dass die Abbildung L: K^{n} → K, definiert durch L(x_{1}, …, x_{n}) = a_{1}x_{1} + ⋯ + a_{n}x_{n}, linear ist. Zeigen Sie: Ist L: K^{n} → K linear, so existieren a_{1}, …, a_{n} ∈ K, so dass für alle (x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n} gilt: L(x_{1}, …, x_{n}) = a_{1}x_{1} + …, +a_{n}x_{n}.

2. Für n ∈ ℕ sei P_{n} der ℝ-Vektorraum der Polynomfunktionen f: ℝ → ℝ vom Grad ≤ n, vgl. Blatt 5, Aufgabe 4. Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Bestimmen Sie für diese den Kern und das Bild.

(a) F_{1} : P_{n} → P_{n+1}, F_{1}(f) = f̃ mit f̃(x) = xf(x) + 1

(b) F_{2} : P_{n} → P_{n}, F_{2}(f) = f̃ mit f̃(x) = f(x) − f(0)

(c) F_{3} : P_{n} → P_{n}, F_{3}(f) = f̃ mit f̃(x) = f(x − 1)

(d) F_{4} : P_{n} → P_{n−1}, definiert durch:

Ist f(x) = a_{n}x^{n} + ⋯ + a_{1}x + a_{0}, so ist F_{4}(f)(x) = na_{n}x^{n−1} + ⋯ + a_{1}.

3. Sei L ∈ Hom(V, W) und M ⊆ V. Zeigen Sie: L(span M) = span L(M).

4. (a) Seien V, W, Z K-Vektorräume, L_{1} ∈ Hom(V, W), L_{2} ∈ Hom(W, Z).

Zeigen Sie: L_{2} ∘ L_{1} ∈ Hom(V, Z).

(b) Zeigen Sie: Ist L: V → W ein Isomorphismus, so ist auch L^{−1} : W → V ein Isomorphismus.

5. Diese Aufgabe ist besonders für Studierende der Mathematik und der Physik gedacht. Die erzielten Punkte sind Bonuspunkte.

Sei V = C^{∞}(ℝ, ℝ) der ℝ-Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen f: ℝ → ℝ. Sei ω ∈ ℝ ∖ {0} und L: V → V die Abbildung L(f) = f′′ + ω^{2}f. Zeigen Sie:

(a) L ist linear.

(b) Die Funktionen x ↦ cos(ωx) und x ↦ sin(ωx) liegen in ker L.

(c) Ist f ∈ ker L, so ist die Funktion ω^{2}f^{2} + (f′)^{2} konstant. Anleitung: Differenzieren Sie.

(d) ker L = {f | ∃a, b ∈ ℝ ∀x ∈ ℝ: f(x) = a cos(ωx) + b sin(ωx)}.

Anleitung: Ist f ∈ ker L, so wenden Sie Teil (c) auf die durch g(x) := f(x) − (f(0) cos(ωx) + \frac{f′(0)}{ω} sin(ωx)) definierte Funktion g ∈ ker L an.

Abgabe: Donnerstag, 19. Dezember in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la1/