Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra I“ im Wintersemester 2002/03 bei Prof. V. Bangert

Blatt 10 19. Dezember 2002

1. Mit G_{n} sei die geordnete Basis (1, x, x^{2}, …, x^{n}) des Raums P_{n} der Polynomfunktionen vom Grad ≤ n bezeichnet (vgl. Blatt 5, Aufgabe 4) und D ∈ Hom(P_{n}, P_{n−1}) sei die Abbildung, die einer Polynomfunktion p ∈ P_{n} ihre Ableitung D(p) := p′ zuordnet.

Bestimmen Sie die Matrix Mat_{G_{n}}^{G_{n−1}}(D) von D bzgl. G_{n} und G_{n−1}.

2. Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und G = (v_{1}, …, v_{n}) eine geordnete Basis von V. Zeigen Sie:

Der Isomorphismus L: V → K^{n} mit L(v_{i}) = e_{i} für alle i ∈ {1, …, n} ist gegeben durch

L(v) = (α_{1}, …, α_{n}) ⟺ v = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i}.

3. (a) Entscheiden Sie, in welcher Reihenfolge die Matrizen

(\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}) und (\begin{matrix}3 & 0 \\ −1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix})

multipliziert werden können und berechnen Sie das Produkt.

(b) Berechnen Sie für die (3 × 3)-Matrizen

A = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}) und B = (\begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & −2 & 0 \end{matrix})

die Produkte AB und BA und den Kommutator [A, B] := AB − BA.

4. Eine Matrix A ∈ ℝ^{3×3} heißt magisches Quadrat, wenn für jede Zeile, jede Spalte und beide Diagonalen die Summer ihrer Einträge dieselbe Zahl s_{A} ergibt.

Sei M := {A ∈ ℝ^{3×3} | A ist magisches Quadrat}.

(a) Zeigen Sie, dass M ein Unterraum von ℝ^{3×3} ist.

(b) Bestimmen Sie eine Basis von M. Hinweis: Zeigen Sie: Ist A = (a_{ij}) ein magisches Quadrat, so gilt für den ”mittleren“ Matrixeintrag a_{22} die Beziehung 3a_{22} = s_{A}. Drücken Sie die Bedingungen an A durch ein homogenes lineares Gleichungssystem aus.

Abgabe: Donnerstag, 9. Januar in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la1/