Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra I“ im Wintersemester 2002/03 bei Prof. V. Bangert

Blatt 11 9. Januar 2003

1. (a) Sei A = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ Gl_{2}(K). Zeigen Sie:

A\binom{x_{1}}{x_{2}} und \binom{x_{1}}{x_{2}} sind linear abhängig ⟺ x_{2} = 0.

(b) Sei A = ( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) mit b ≠ 0. Zeigen Sie: Für alle \binom{x_{1}}{x_{2}} ≠ \binom{0}{0} sind

A \binom{x_{1}}{x_{2}} und \binom{x_{1}}{x_{2}}

linear unabhängig.

Hinweis: Anwesenheitsaufgabe 2, Blatt 6

2. Sei A = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{2×2}.

(a) Berechnen Sie A^{n} für n ∈ ℕ.

(b) Die lineare Abbildung L ∈ End(ℝ^{2}) mit Mat(L) = A nennt man eine Scherung. Skizzieren Sie das Quadrat Q = {(x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ x_{1} ≤ 1, 0 ≤ x_{2} ≤ 1} und die Bildmengen L(Q) und L^{2}(Q).

3. Sei A ∈ K^{n×n} und es gelte AB = BA für alle B ∈ K^{n×n}. Zeigen Sie: Es existiert ein

a ∈ K, so dass A = (\begin{matrix}a & 0 & … & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & … & 0 & a \end{matrix}) ist.

Hinweis: Wenden Sie die Voraussetzung an auf die Basismatrizen B = E_{ij} (vgl. (4.13)).

4. Sei A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ K^{n×n} eine obere Dreiecksmatrix, d. h. für alle Paare (i, j) mit i > j gilt a_{ij} = 0:

A = (\begin{matrix}a_{11} & … & … & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & a_{nn} \end{matrix})

Zeigen Sie: Gilt für alle i ∈ {1, …, n}: a_{ii} ≠ 0, so ist A ∈ Gl_{n}(K).

Anleitung: Zeigen Sie, dass das homogene lineare Gleichungssystem Ax = 0 nur die Lösung x = 0 ∈ K^{n×1} besitzt, und verwenden Sie dann (4.8).

Zusatz: Gilt auch die Umkehrung?

Abgabe: Donnerstag, 16. Januar in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la1/