Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra I“ im Wintersemester 2002/03 bei Prof. V. Bangert

Blatt 12 16. Januar 2003

1. Sei A = (\begin{matrix}1 & 2 & −1 & 0 \\ 2 & 6 & −3 & −3 \\ 3 & 10 & −5 & −4 \end{matrix}). Lösen Sie das lineare Gleichungssystem A (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix}4 \\ 5 \\ 6 \end{matrix})

nach dem Gaußschen Algorithmus in Matrizenschreibweise gemäß (4.25) und bestimmen Sie den Rang von A.

2. Berechnen Sie nach dem Gaußschen Algorithmus gemäß (4.26) die Inverse der Matrix

A = (\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{matrix}) .

3. (a) Seien V, W, Z endlich-dimensionale Vektorräume, L ∈ Hom(V, W), J ∈ Hom(W, Z). Zeigen Sie:

dim ( im(J ∘ L)) ≤ min { dim ( im(J)), dim ( im(L))} .

(b) Seien A ∈ K^{k×m}, B ∈ K^{m×n}. Zeigen Sie mit Hilfe von (a):

rg(AB) ≤ min { rg(A), rg(B)} .

4. Für die Matrix A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ K^{n×n} gelte a_{ij} = 0 für alle (i, j) mit j ≤ i. (A ist also eine obere Dreiecksmatrix wie in Blatt 11, Aufgabe 4 definiert, die zusätzlich noch a_{11} = ⋯ = a_{nn} = 0 erfüllt.)

Für k ∈ ℕ ist die k-te Potenz A^{k} von A definiert durch A^{k} = \underbrace{A · A · . . . · A}_{k-mal}.

Mit 0 ∈ K^{n×n} werde die Nullmatrix, deren Einträge alle gleich 0 ∈ K sind, bezeichnet.

Zeigen Sie: A^{n} = 0.

Anleitung: Zeigen Sie per Induktion für alle k ∈ {1, …, n}: Ist A^{k} = (b_{ij})_{1≤i,j≤n}, so ist b_{ij} = 0 für alle (i, j) mit j ≤ i + k − 1.

Abgabe: Donnerstag, 23. Januar in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la1/