Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra I“ im Wintersemester 2002/03 bei Prof. V. Bangert

Blatt 13 23. Januar 2003

1. Gegeben sei eine 30 × 30-Matrix A = (a_{ij}) ∈ K^{30×30} und eine Maschine, die pro Sekunde 1 Milliarde = 10^{9} Produkte von 30 Zahlen von der Art der a_{ij} berechnen kann.

Zeigen Sie durch eine Abschätzung von 30! nach unten, dass die Zeit, die die Maschine brauchen würde, um alle Terme in der Leibnizschen Determinantenformel für det A zu berechnen, viel größer ist, als die geschätzte Lebensdauer des Sonnensystems (≈ 10^{10} Jahre).

2. Man schreibt Permutationen σ ∈ S_{n} oft in der Form

σ = (\begin{matrix}1 & 2 & … & n \\ σ(1) & σ(2) & … & σ(n) \end{matrix}) .

Berechnen Sie sgn(σ) für

σ = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{matrix})

auf zwei Arten: mit der Formel (5.4) und mit der Fehlstandszahl.

3. Geben Sie alle 6 = 3! Permutationen in S_{3} an und berechnen Sie deren Signum.

Zeigen Sie damit die Regel von Sarrus für die Berechnung von (3 × 3)-Determinanten.

4. Sei A = (a_{ij}) ∈ K^{n×n} eine obere Dreiecksmatrix (d. h. a_{ij} = 0, falls i > j). Zeigen Sie mittels der Leibnizschen Formel (5.15):

det A = a_{11} · . . . · a_{nn} .

Abgabe: Donnerstag, 30. Januar in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la1/