Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra I“ im Wintersemester 2002/03 bei Prof. V. Bangert

Blatt 14 30. Januar 2003

1. (a) Berechnen Sie

|\begin{matrix}1 & 0 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & −1 & 1 \\ 3 & 2 & 0 & 1 \\ −1 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}|

(b) Berechnen Sie das Volumen vol_{D_{0}}(P) des Parallelotops P = P (v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}) ⊆ ℝ^{4} mit v_{1} = (2, 1, 1, −1), v_{2} = (1, 0, 1, −1), v_{3} = (0, 0, 1, 2), v_{4} = (1, 2, 3, 4).

2. Sei L ∈ End ℝ^{2} der Endomorphismus von ℝ^{2} mit der Matrix Mat(L) = ( \begin{matrix}3 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix} ).

(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von L und alle zugehörigen Eigenvektoren.

(b) Geben Sie eine geordnete Basis G von ℝ^{2} an, die aus Eigenvektoren von L besteht, und die Matrix Mat_{G}^{G}(L) von L bezüglich G.

3. Betrachten Sie den ℝ-Vektorraum P_{n} der Polynome vom Grad ≤ n und den Endomorphismus L: P_{n} → P_{n}, gegeben durch L(p)(x) = p(x − 1).

Berechnen Sie det L.

Hinweis: Zeigen Sie, dass die Matrix von L bezüglich der Standardbasis (1, x, …, x^{n}) eine obere Dreiecksmatrix ist, und verwenden Sie Aufgabe 4 von Blatt 11.

4. (a) Für A ∈ ℝ^{n×n} gelte AA^{T} = E_{n}. Zeigen Sie: |det A| = 1.

(b) Eine Matrix A ∈ K^{n×n} heißt schiefsymmetrisch, wenn A^{T} = −A.

Sei K ein Körper mit 1 + 1 ≠ 0, sei n ungerade und sei A ∈ K^{n×n} schiefsymmetrisch. Zeigen Sie: det A = 0.

(c) Der Matrix A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ K^{n×n} werde die Matrix Ã = (ã_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ K^{n×n} mit ã_{ij} := (−1)^{i+j}a_{ij} zugeordnet. Zeigen Sie: det Ã = det A.

Abgabe: Donnerstag, 6. Februar in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la1/