Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra I“ im Wintersemester 2002/03 bei Prof. V. Bangert

Blatt 15 6. Februar 2003

1. Bestimmen Sie, ob die Basis ((1, 1, 1), (−1, 1, 2), (3, 2, 2)) des ℝ^{3} positiv oder negativ orientiert ist.

2. Gegeben seien x_{0}, …, x_{n} ∈ ℝ und b_{0}, …, b_{n} ∈ ℝ. Gesucht ist ein reelles Polynom p(x) = ∑_{j=0}^{n} a_{j}x^{j} vom Grad ≤ n für das p(x_{i}) = b_{i} für 0 ≤ i ≤ n gilt.

Zeigen Sie: Es gibt genau ein solches Polynom, falls

|\begin{matrix}1 & x_{0} & x_{0}^{2} & … & x_{0}^{n} \\ 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & … & x_{1}^{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & … & x_{n}^{n} \end{matrix}| ≠ 0 .

Bemerkung: Diese Determinante heißt Vandermondesche Determinante und hat den Wert ∏_{1≤i<j≤n}(x_{j} − x_{i}). Sie finden die Berechnung z. B. in Beutelsbacher, Seite 193.

3. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion und Entwicklung nach der letzten Spalte: Für

A = (\begin{matrix}a_{1} & a_{2} & a_{3} & … & a_{n} \\ −1 & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & −1 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & −1 & 0 \end{matrix})

gilt det(A + xE_{n}) = x^{n} + a_{1}x^{n−1} + ⋯ + a_{n−1}x + a_{n}.

4. Zu einer symmetrischen Bilinearform B: V ×V → ℝ heißt q_{B}: V → ℝ, q_{B}(v) := B(v, v), die zugehörige quadratische Form.

Zeigen Sie: Für alle v, w ∈ V gilt B(v, w) = \frac{1}{2}(q_{B}(v + w) − q_{B}(v) − q_{B}(w)).

(D. h., wenn man q_{B} kennt, so kann man daraus B zurückgewinnen.)

Abgabe: Donnerstag, 13. Februar in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la1/