Anwesenheitsaufgaben zur ”Linearen Algebra I“ im Wintersemester 2002/03 bei Prof. V. Bangert

Blatt 2 28.–30. Oktober 2002

1. Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem

I \begin{aligned}x + y + z & = & 1 I_{1} \\ x − y + z & = & 0 I_{2} \\ x + y − z & = & 0 I_{3} \end{aligned}

und das lineare Gleichungssystem II mit den Zeilen

II_{1} = I_{1}, II_{2} = I_{1} + I_{2} + I_{3}, II_{3} = I_{2} + I_{3}.

Zeigen Sie: L_{I} ⊆ L_{II}, aber L_{I} ≠ L_{II}. Diskutieren Sie, woran es liegt, dass sich die Lösungsmenge beim Übergang von I zu II ändert.

2. Beweisen Sie eine der ”Rechenregeln“ (1.20) (a) und (b):

Sei f: M → N eine Abbildung und A, B ⊆ M. Dann gilt:

(a) f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)

(b) f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B)

3. Sei n ≥ 1 eine natürliche Zahl und seien A_{1}, …, A_{n} Mengen. Sei A := A_{1}∪⋯∪A_{n} und sei B die Menge aller Abbildungen f: {1, …, n} → A mit f(i) ∈ A_{i} für jedes i ∈ {1, …, n}. Für a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ A_{1} × ⋯ × A_{n} sei G(a) ∈ B die Abbildung G(a): {1, …, n} → A, die gegeben ist durch G(a)(i) = a_{i}. Machen Sie sich klar, was die Definition bedeutet, und dass hierdurch eine Abbildung G: A_{1} × ⋯ × A_{n} → B definiert wird. Zeigen Sie, dass G bijektiv ist.