Anwesenheitsaufgaben zur ”Linearen Algebra I“ im Wintersemester 2002/03 bei Prof. V. Bangert

Blatt 3 4.–6. November 2002

1. Zeigen Sie:

Die Abbildung f: ℝ ∖ \{0\} → ℝ ∖ \{0\}, f(x) = \frac{1}{x}, ist bijektiv. Berechnen Sie die Umkehrabbildung f^{−1} von f.

2. Betrachten Sie die Isometriegruppe G des gleichseitigen Dreiecks. (a) Stellen Sie eine Verknüpfungstafel von G auf.

(b) Für n ∈ ℕ und g ∈ G ist g^{n} wie folgt definiert: g^{0} = e und

g^{n} = \underbrace{g ∘ ⋯ ∘ g}_{n-mal}

(oder rekursiv: g^{n+1} = g ∘ g^{n}). Gibt es ein Element g ∈ G, so dass G = {g^{n} | n ∈ ℕ}, (d. h., so dass es zu jedem h ∈ G ein n ∈ ℕ gibt, so dass h = g^{n})?