Anwesenheitsaufgaben zur ”Linearen Algebra I“ im Wintersemester 2002/03 bei Prof. V. Bangert

Blatt 4 11.–13. November 2002

1. Sei K ein Körper und a ∈ K. Zeigen Sie:

−a = (−1) a

2. Sei t ∈ ℚ mit t > 0 und \sqrt{t} ∈ ℝ ∖ ℚ und

K := \{r + s\sqrt{t} | r, s ∈ ℚ\} ⊆ ℝ .

Zeigen Sie: K, versehen mit der üblichen Addition und Multiplikation, ist ein Körper. Hinweis: Sie müssen insbesondere zeigen, dass die Einschränkung von Addition und Multiplikation auf K eine innere Verknüpfung auf K ist, d. h., dass für alle a, b ∈ K die Summe a + b und das Produkt ab wieder Elemente von K sind.

3. Sei z = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} ∈ ℂ.

Zeigen Sie: z^{3} = −1 und z^{6} = 1, und berechnen Sie z^{2}, z^{4} und z^{5}. Benutzen Sie dies, um zu zeigen, dass G := {1, z, z^{2}, z^{3}, z^{4}, z^{5}} mit der Multiplikation von komplexen Zahlen eine abelsche Gruppe bildet. Zeichnen Sie z, z^{2}, …, z^{6} in ein Koordinatensystem ein.