Anwesenheitsaufgaben zur ”Linearen Algebra I“ im Wintersemester 2002/03 bei Prof. V. Bangert

Blatt 8 9.–11. Dezember 2002

1. Prüfen Sie für die beiden Unterräume U_{1} := {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ ℝ^{4} | x_{3} = 0} ⊆ ℝ^{4} und U_{2} := {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ ℝ^{4} | x_{1} + x_{2} = 0} ⊆ ℝ^{4} die Aussage des Dimensionssatzes (3.22) nach.

2. Sei V ein Vektorraum und U ⊆ V ein Unterraum von V, und sei v ∈ V.

Zeigen Sie: Ist u ∈ U und v′ := v + u, so gilt v + U = v′ + U.

Fertigen Sie eine Skizze an für den Fall, dass U eindimensional ist.

3. Sei V ein Vektorraum und seien A_{0}, A_{1} affine Unterräume von V, A_{0} = v_{0} + U_{0}, A_{1} = v_{1} + U_{1}, wobei U_{0}, U_{1} Unterräume von V sind und v_{0}, v_{1} ∈ V. Zeigen Sie:

(a) A_{0} und A_{1} besitzen genau dann mindestens einen Schnittpunkt (A_{0} ∩ A_{1} ≠ ∅), wenn v_{1} − v_{0} ∈ U_{0} + U_{1} ist.

(b) Ist v ∈ A_{0} ∩ A_{1}, so ist A_{0} ∩ A_{1} = v + (U_{0} ∩ U_{1}). (Insbesondere ist die Menge A_{0} ∩ A_{1}, wenn sie nicht leer ist, wieder ein affiner Unterraum.)