Anwesenheitsaufgaben zur ”Linearen Algebra I“ im Wintersemester 2002/03 bei Prof. V. Bangert

Blatt 11 13.–15. Januar 2003

1. Sei G = (v_{1}, …, v_{n}) eine geordnete Basis von V, L ∈ End(V) und A = Mat_{G}^{G}(L). Zeigen Sie:

A ist genau dann ähnlich zu einer Diagonalmatrix

(\begin{matrix}d_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & … & 0 & d_{n} \end{matrix}) ,

wenn eine geordnete Basis \overline{G} = (\overline{v}_{1}, …, \overline{v}_{n}) von V existiert, so dass L(\overline{v}_{i}) = d_{i}\overline{v}_{i} für i = 1, …, n.

2. Sei V ein K-Vektorraum mit Basis (v_{1}, v_{2}). Seien L_{1}, L_{2} ∈ End(V) definiert durch L_{1}(v_{1}) = v_{1}, L_{1}(v_{2}) = 0 und L_{2}(v_{1}) = 0, L_{2}(v_{2}) = v_{2}, vgl. Satz (4.6).

(a) Zeigen Sie:

L_{1} ∘ L_{2} = L_{2} ∘ L_{1} = 0

Hier bezeichnet 0 (∈ End(V)) die 0-Abbildung, die jeden Vektor v ∈ V auf \underline{0} ∈ V abbildet.

(b) Finden Sie mittels (a) Matrizen A_{1}, A_{2} ∈ K^{2×2} ∖ {0}, so dass

A_{1}A_{2} = A_{2}A_{1} = 0 (∈ K^{2×2})

ist.

(c) Finden Sie Matrizen A, B ∈ K^{2×2} ∖ {0}, so dass AB = 0 aber BA ≠ 0 ist.