Anwesenheitsaufgaben zur ”Linearen Algebra I“ im Wintersemester 2002/03 bei Prof. V. Bangert

Blatt 13 27.–29. Januar 2003

1. (a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion: #S_{n} = n!

(b) Zeigen Sie: #\{σ ∈ S_{n} | σ ist gerade\} = #\{σ ∈ S_{n} | σ ist ungerade\} = \frac{1}{2}n! .

2. Geben Sie die zu

σ = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \end{matrix})

inverse Permutation σ^{−1} an. (Zur Notation vgl. Aufgabe 2 der Hausaufgaben.) Berechnen Sie die Fehlstandszahlen von σ und σ^{−1}, sgn(σ) und sgn(σ^{−1}).

3. Sei K ein Körper, in dem 1 + 1 ≠ 0 gilt, V ein K-Vektorraum und f: V × V → K eine Bilinearform, d. h. eine 2-Linearform. Zeigen Sie: Gilt für alle v, w ∈ V

f(v, w) = −f(w, v) ,

so ist f alternierend. Warum braucht man die Bedingung 1 + 1 ≠ 0 ? (Bemerkung: Das analoge Resultat gilt auch für k-Linearformen für beliebiges k ≥ 2.)