Anwesenheitsaufgaben zur ”Linearen Algebra I“ im Wintersemester 2002/03 bei Prof. V. Bangert

Blatt 14 3.–5. Februar 2003

1. (a) Berechnen Sie

|\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}|

(b) Berechnen Sie das Volumen vol_{D_{0}}(P) des Parallelotops P = P (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ⊆ ℝ^{3} mit

v_{1} = (1, 0, 1), v_{2} = (1, 1, 1), v_{3} = (−1, 1, 2).

2. Betrachten Sie den ℝ-Vektorraum P_{n} der Polynome vom Grad ≤ n und den Endomorphismus L: P_{n} → P_{n}, gegeben durch L(p)(x) = p(−x). Berechnen Sie det L. Hinweis: Bestimmen Sie die Matrix von L bezüglich der Standardbasis (1, x, x^{2}, …, x^{n}).

3. Sei K ein Körper, in dem 1 + 1 ≠ 0 gilt.

Eine quadratische Matrix A ∈ K^{n×n} heißt symmetrisch, falls A^{T} = A. Sie heißt schiefsymmetrisch, falls A^{T} = −A. Sei U_{+} ⊆ K^{n×n} die Menge der symmetrischen (n × n)-Matrizen und U_{−} ⊆ K^{n×n} die Menge der schiefsymmetrischen. Machen Sie sich klar, dass U_{−} und U_{+} Unterräume des K-Vektorraums K^{n×n} sind, und zeigen Sie, dass

K^{n×n} = U_{−} ⊕ U_{+} .

Berechnen Sie dim U_{−} und dim U_{+}.