Anwesenheitsaufgaben zur ”Linearen Algebra I“ im Wintersemester 2002/03 bei Prof. V. Bangert

Blatt 15 10.–12. Februar 2003

1. Sei L ∈ End(V), seien λ_{1}, …, λ_{k} verschiedene Eigenwerte von L und seien v_{1}, …, v_{k} zugehörige Eigenvektoren. Zeigen Sie: v_{1}, …, v_{k} sind linear unabhängig.

Sei (V, ⟨ , ⟩) ein euklidischer Vektorraum.

2. Seien v, w ∈ V mit ⟨v, w⟩ = 0.

Beweisen und veranschaulichen Sie sich den Satz von Pythagoras:

∥v + w∥^{2} = ∥v∥^{2} + ∥w∥^{2}

3. Seien v, w ∈ V mit w ≠ 0. Berechnen Sie λ ∈ ℝ, so dass

⟨v − λw, w⟩ = 0 .