Klausur ”Lineare Algebra I“ WS 2002/03

Montag, 17. Februar 2003

mit Lösungsvorschlägen

Aufgabe 1 Welche der folgenden Aussagen ist wahr, welche falsch? Begründen Sie kurz oder geben Sie ein Gegenbeispiel an. ”Sind f: A → B und g: B → C Abbildungen und ist f injektiv und g surjektiv, so ist die Abbildung g ∘ f: A → C

a) bijektiv.“ (1 Punkt)

Falsch, da g ∘ f weder injektiv noch surjektiv zu sein braucht, siehe b), c)

b) surjektiv.“ (1 Punkt)

Falsch. Beispiel: A = {1}, B = C = {1, 2}, f(1) = 1, g(1) = 1, g(2) = 2.

c) injektiv.“ (1 Punkt)

Falsch. Beispiel: A = B = {1, 2}, C = {1}, f(1) = 1, f(2) = 2, g(1) = g(2) = 1.

Aufgabe 2 Seien U_{1}, U_{2} zweidimensionale Untervektorräume des ℝ-Vektorraums ℝ^{4}.

a) Welche natürlichen Zahlen können als dim(U_{1} ∩ U_{2}) auftreten? (Ohne Begründung) (1 Punkt)

0, 1, 2

b) Welche dieser Zahlen tritt in den ”meisten“ Fällen auf? (Ohne Begründung) (1 Punkt)

Aufgabe 3 Welche der folgenden Mengen von Vektoren des ℝ^{3} sind Untervektorräume des ℝ^{3}? Geben Sie eine kurze Begründung.

a) M_{1} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) | x_{1} + 2x_{2} − 3x_{3} = 0} (1 Punkt)

Ja. Lösungsmenge eines homogenen LGS.

b) M_{2} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) | x_{1}^{2} = x_{2}^{2}} (1 Punkt)

Nein. Nicht abgeschlossen unter Addition: a = (1, 1, 0) ∈ M_{2}, b = (1, −1, 0) ∈ M_{2}, aber a + b = (2, 0, 0) ∉ M_{2}.

c) M_{3} = {(0, 0, 0)} (1 Punkt)

Ja. Das ist der triviale Unterraum.

d) Es sei L ∈ End(ℝ^{3}) und M_{4} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) | L(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (1, 0, 0)}.

(1 Punkt)

Nein. Da L((0, 0, 0)) = (0, 0, 0) ≠ (1, 0, 0), ist (0, 0, 0) ∉ M_{4}.

e) M_{5} = {(1, 1, 1)} (1 Punkt)

Nein, da (0, 0, 0) ∉ M_{5}.

Aufgabe 4 Geben Sie eine endliche Menge M von Vektoren des ℝ^{3} an mit span(M) = ℝ^{3}, die keine Basis des ℝ^{3} ist. (2 Punkte)

M = {e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{1} + e_{2}}.

Aufgabe 5 Welche natürlichen Zahlen können als Dimension des Bildes im L = L(ℝ^{4}) eines ℝ-Vektorraumhomomorphismus L: ℝ^{4} → ℝ^{7} auftreten? (Ohne Begründung) (1 Punkt)

0, 1, 2, 3, 4

Aufgabe 6 Sei n ≥ 2. Welche der folgenden Aussagen ist wahr, welche falsch? Begründen Sie kurz oder geben Sie ein Gegenbeispiel. ”Für alle A, B ∈ ℝ^{n×n} und alle α ∈ ℝ gilt:

a) det(αA) = α det A.“ (1 Punkt)

Falsch. Gegenbeispiel:

n = 2, α = 2, A = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ). det(2A) = 4 ≠ 2 = 2 det A.

b) det(αA) = α^{n} det A.“ (1 Punkt)

Wahr. Laut Vorlesung.

(det ist n-linear als Funktion der Spalten.)

c) det(A + B) = det A + det B“. (2 Punkte)

Falsch. Gegenbeispiel: n = 2, A = B = E_{2}. det A + det B = 1 + 1 = 2, det(A + B) = | \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} | = 4.

Aufgabe 7 Sei n ≥ 2, seien λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℝ und sei die symmetrische Bilinearform b: ℝ^{n}×

ℝ^{n} → ℝ gegeben durch b(x, y) = ∑_{i=1}^{n} x_{i}λ_{i}y_{i}.

Welche der folgenden Aussagen ist wahr, welche falsch? Begründen Sie oder geben Sie ein Gegenbeispiel. ”b ist positiv definit, falls gilt:

a) λ_{i} > 0 für alle i ∈ {1, …, n}.“ (1 Punkt)

Wahr. b(x, x) = ∑ λ_{i}x_{i}^{2} ≥ 0, und aus b(x, x) = 0 folgt ∑ λ_{i}x_{i}^{2} = 0, also x_{i} = 0 ∀i, also x = 0.

b) λ_{1} · λ_{2} · . . . · λ_{n} > 0.“ (1 Punkt)

Falsch. Gegenbeispiel: n = 2, λ_{1} = λ_{2} = −1 (⇒ λ_{1} · λ_{2} = 1 > 0), x = e_{1} ⇒ b(x, x) = −1 < 0.

c) λ_{i} ≥ 0 für alle i ∈ {1, …, n}.“ (1 Punkt)

Falsch. Gegenbeispiel: λ_{1} = ⋯ = λ_{n} = 0 ⇒ b(x, x) = 0 für alle x ∈ ℝ^{n}.

d) es existiert ein i ∈ {1, …, n}, für das λ_{i} > 0 ist.“ (1 Punkt)

Falsch. Gegenbeispiel: n = 2, λ_{1} = −1, λ_{2} = 1 > 0, x = e_{1} ⇒ b(x, x) = −1.

Aufgabe 8

Sei A = (\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \\ 0 & −1 & −1 \end{matrix}) und B = (\begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & −1 & −1 \end{matrix} ).

Welche der folgenden Ausdrücke sind mathematisch sinnvoll? Geben Sie eine Begründung, falls ein Ausdruck nicht sinnvoll ist. Berechnen Sie die Ausdrücke, die sinnvoll sind.

a) AB, b) BA, c) B^{T} A, d) B^{−1}A, e) det(BA), f) det(A^{2}), g) rg(A), h) rg(B). (8 Punkte)

a) nicht sinnvoll: Zahl der Spalten von A ≠ Zahl der Zeilen von B.

b) BA = (\begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & −1 & −1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \\ 0 & −1 & −1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}5 & 12 & 3 \\ −1 & −4 & 0 \end{matrix})

c) nicht sinnvoll: Zahl der Spalten von B^{T} ≠ Zahl der Zeilen von A.

d) nicht sinnvoll: B nicht quadratisch ⇒ B^{−1} nicht definiert.

e) nicht sinnvoll: BA nicht quadratisch ⇒ det(BA) nicht definiert.

f) det(A^{2}) = det(A)^{2}. det(A) =^{Sarrus} −5 + 0 − 2 − 0 + 4 + 1 = −2 ⇒ det(A^{2}) = det(A)^{2} = 4.

g) det(A) ≠ 0 ⇒ A ist regulär ⇒ rg(A) ist maximal, also rg(A) = 3.

h) B ist in Stufenform ⇒ die Zeilen sind linear unabhängig ⇒ rg(B) = 2.

Aufgabe 9 Sei A = (\begin{matrix}2 & a & b \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & −1 & −2 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{3×3} und L ∈ End(ℝ^{3}) der Endomorphismus des ℝ^{3} mit Mat(L) = A (d. h. L besitzt bzgl. der Standardbasis des ℝ^{3} die Matrix A). Berechnen Sie alle Eigenwerte und einen Eigenvektor von L. (8 Punkte)

p_{L}(λ) = |\begin{matrix}λ − 2 & a & b \\ 0 & 3 − λ & 1 \\ 0 & −1 & −2 − λ \end{matrix}| =^{Entwickeln} (2 − λ) |\begin{matrix}3 − λ & 1 \\ −1 & −2 − λ \end{matrix}|
= (2 − λ)((3 − λ)(−2 − λ) + 1) = (2 − λ)(λ^{2} − λ − 5)

Nullstellen von p_{L}(λ):

λ_{1} = 2, λ_{2,3} = \frac{1}{2} ± \sqrt{\frac{1}{4} + 5} = \frac{1}{2} ± \frac{1}{2}\sqrt{21}

Also, Eigenwerte sind: 2, \frac{1}{2} − \frac{1}{2} \sqrt{21}, \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{21}.

Eigenvektor zu λ_{1} = 2:

Offensichtlich ist L(e_{1}) = ( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) = 2e_{1} (erste Spalte der Matrix) ⇒ e_{1} ist Eigenvektor zum Eigenwert 2.

Aufgabe 10 Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über dem Körper K und seien J, L ∈ End(V). Beweisen Sie:

a) J ∘ L = 0 (0-Abbildung) ⟺ im L ⊆ ker J. (4 Punkte)

”⇒“: Sei w ∈ im L ⇒ ∃v ∈ V : w = L(v).

J(w) = J(L(v)) = (J ∘ L)(v) =^{Voraus.} 0 ⇒ w ∈ ker J. ”⇐“: Sei v ∈ V. Dann ist w := L(v) ∈ im L.

Nach Voraussetzung ist im L ⊆ ker J, also w ∈ ker J. Daraus folgt 0 = J(w) = J(L(v)) = (J ∘ L)(v). Dies gilt für alle v ∈ V, also J ∘ L = 0.

b) Aus J ∘ L = 0 folgt: dim(ker J) + dim(ker L) ≥ n. (4 Punkte)

Aus a) folgt: im L ⊆ ker J ⇒ dim(im L) ≤ dim(ker J). Dimensionsformel: n = dim V = dim(im L) + dim(ker L). Zusammen folgt: n = dim(im L) + dim(ker L) ≤ dim(ker J) + dim(ker L).