Klausur ”Lineare Algebra I“ WS 2002/03

Wiederholungsklausur Mittwoch, 23. April 2003

Aufgabe 1 Ein Mensch x heiße zu einem Menschen y eng verwandt, wenn eine der folgenden Aussagen richtig ist:

(i) x hat dieselben Eltern wie y.

(ii) x ist ein Kind von y.

(iii) y ist ein Kind von x.

Geben Sie für Ihre Antworten je eine kurze Begründung: Ist die Relation ”eng verwandt“ auf jeder Menge von Menschen

a) reflexiv? (1 Punkt)

b) symmetrisch? (1 Punkt)

c) transitiv? (1 Punkt)

Aufgabe 2 Es seien U_{1}, U_{2} dreidimensionale Unterräume des ℝ-Vektorraums ℝ^{5}. Welche natürlichen Zahlen können als dim(U_{1} + U_{2}) auftreten? Geben Sie ein Beispiel für jede der Möglichkeiten. (4 Punkte)

Aufgabe 3 Welche der folgenden Ausagen sind wahr, welche falsch? Geben Sie jeweils eine kurze Begründung oder ein Gegenbeispiel. ”Für alle endlich-dimensionalen ℝ-Vektorräume V und W und für jede lineare Abbildung L ∈ Hom(V, W) gilt:

a) Ist dim V < dim W, so ist L injektiv.“ (1 Punkt)

b) Ist dim V > dim W, so ist L nicht injektiv.“ (1 Punkt)

c) Ist L surjektiv und dim V = dim W, so ist L auch injektiv.“ (1 Punkt)

d) Ist dim V < dim W, so ist L nicht surjektiv.“ (1 Punkt)

Aufgabe 4 Sei σ ∈ S_{4} die Permutation von {1, 2, 3, 4} mit σ(1) = 3, σ(2) = 1, σ(3) = 4 und σ(4) = 2.

a) Berechnen Sie sgn(σ). (1 Punkt)

b) Berechnen Sie det (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}). (1 Punkt)

c) Ist die geordnete Basis (e_{3}, e_{1}, e_{4}, e_{2}) des ℝ^{4} positiv oder negativ orientiert? (Kurze Begründung!) (1 Punkt)

Aufgabe 5 Betrachten Sie den ℝ^{5} mit dem Standardskalarprodukt. Berechnen Sie den Kosinus des Winkels φ zwischen den Vektoren (1, 2, 3, 1, 1) und (2, 0, −1, 2, 0).

(2 Punkte)

Aufgabe 6 Betrachten Sie im ℝ^{4} die vier Vektoren v_{1} = (2, 1, 0, 0), v_{2} = (4, 1, 4, 0), v_{3} = (3, 1, 4, 0) und v_{4} = (4, 3, 1, 2). Berechnen Sie das Volumen (bzgl. der Standarddeterminantenform D_{0} des ℝ^{4}) des von v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} aufgespannten Parallelotops

P (v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}) = {∑_{i=1}^{4} s_{i}v_{i} | 0 ≤ s_{i} ≤ 1 für alle i ∈ {1, 2, 3, 4}} ⊆ ℝ^{4}

(3 Punkte)

Aufgabe 7 Betrachten Sie im ℝ^{4} die drei Vektoren v_{1} = (1, 2, 3, 4), v_{2} = (1, −1, 2, −2) und v_{3} = (−1, 4, −1, 8).

a) Bestimmen Sie die Dimension des von v_{1}, v_{2}, v_{3} aufgespannten Unterraums U = span{v_{1}, v_{2}, v_{3}} und eine Basis von U. (2 Punkte)

b) Ergänzen Sie diese Basis von U zu einer Basis des ℝ^{4}. (3 Punkte)

Aufgabe 8 Der Endomorphismus L ∈ End(ℝ^{2}) besitze bezüglich der geordneten Basis G = (v_{1}, v_{2}) mit v_{1} = (1, 2), v_{2} = (2, 3) des ℝ^{2} die Matrix

Mat_{G}^{G}(L) = (\begin{matrix}3 & 5 \\ 4 & 3 \end{matrix}) .

Berechnen Sie die Matrix von L bezüglich der Standardbasis G_{0} = (e_{1}, e_{2}). (7 Punkte)

Aufgabe 9

Sei A = (\begin{matrix}−1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{3×3} und L ∈ End(ℝ^{3}) der Endomorphismus

des ℝ^{3} mit Mat(L) = A (d. h. L besitzt bzgl. der Standardbasis des ℝ^{3} die Matrix A). Berechnen Sie alle Eigenwerte von L und zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor. Diese Eigenvektoren bilden eine Basis des ℝ^{3}. Wählen Sie eine Anordnung dieser Basis und geben Sie die Matrix von L bezüglich dieser geordneten Basis an. (8 Punkte)

Aufgabe 10 Sei L ∈ End(ℝ^{2}). Die Menge

graph(L) := {(x, L(x)) | x ∈ ℝ^{2}} ⊆ ℝ^{4}

heißt der Graph von L. Zeigen Sie:

a) graph(L) ist ein 2-dimensionaler Unterraum des ℝ-Vektorraums ℝ^{4}. (4 Punkte)

b) Bezeichnet V ⊆ ℝ^{4} den Unterraum

V = {(0, 0, x_{3}, x_{4}) | x_{3} ∈ ℝ, x_{4} ∈ ℝ} ,

so gilt graph(L) ⊕ V = ℝ^{4}. (2 Punkte)