Zur Einleitung: Lineare Gleichungssysteme

Wir untersuchen zunächst mit Methoden, die Sie vermutlich aus der Schule kennen, explizit einige kleine lineare Gleichungssysteme. Das Gleichungssystem I wird dabei sukzessive in “einfachere” Gleichungssysteme II, III, ... umgeformt. Die Umformungen sind so, daß sich die Lösungsmenge nicht ändert.

1) 1 Gleichung, 1 Unbekannte:

I  3x + 5 = 9  | − 5
II  3x = 4  | : 3
II  x = \frac{4}{3}

Lösungsmenge LI = \{x ∈ ℝ | 3x + 5 = 9\} = LII = \{x ∈ ℝ | 3x = 4\} = LIII = \{\frac{4}{3}\}

2) 1 Gleichung, 2 Unbekannte:

\begin{matrix}I & 2x + 4y = 8 & | : 4| − \frac{x}{2} \\ II & y = −\frac{x}{2} + 2 \end{matrix}

Betrachte geordnete Paare (x, y) mit x ∈ ℝ, y ∈ ℝ und setze ℝ^{2} = {(x, y) | x ∈ ℝ und y ∈ ℝ}

L_{I} = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | 2x + 4y = 8\} = L_{II} = \{(x, −\frac{x}{2} + 2) | x ∈ ℝ\}

Es gibt unendlich viele Lösungen!

3) 2 Gleichungen, 2 Unbekannte:

I  \begin{aligned}2x + 4y & = & 8 & | & · (−\frac{3}{2}) \\ 3x − 6y & = & 4 & _{←}| \end{aligned}

II  \begin{aligned}2x + 4y & = & 8 \\ 0x − 12y & = & −8 & | & : (−12) \end{aligned}

III  \begin{aligned}2x + 4y & = & 8  2x + \frac{8}{3} = 8 2x = \frac{16}{3}  x = \frac{8}{3} \\ y & = & \frac{2}{3} \end{aligned}

IV  \begin{aligned}x & = & \frac{8}{3} \\ y & = & \frac{2}{3} \end{aligned}

L_{I} = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | (x, y) löst (I)\} = \{(\frac{8}{3}, \frac{2}{3})\}, genau eine Lösung.

4) 2 Gleichungen, 2 Unbekannte:

I  \begin{aligned}2x + 4y & = & 8 & | & · (−\frac{3}{2}) \\ 3x + 6y & = & 4 & _{←}| \end{aligned}

II  \begin{aligned}2x + 4y & = & 8 \\ 0x + 0y & = & −8 \end{aligned}

keine Lösung, L_{I} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | (x, y) erfüllt (I)} = ∅

Geometrische Interpretation: Für eine Gleichung ax + by = c mit a ≠ 0 oder b ≠ 0 (das wird im folgenden Abschnitt stets vorausgesetzt) ist die Lösungsmenge eine Gerade in der Ebene ℝ^{2}. (Für b ≠ 0 etwa gegeben durch y = −\frac{a}{b}x+ \frac{c}{b}). Zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten entsprechen also zwei Geraden und der Lösungsmenge des Gleichungssystems entspricht die Menge der Punkte, die auf jeder der beiden Geraden liegen. Im allgemeinen gibt es also genau eine Lösung des Gleichungssystems (= genau einen Schnittpunkt der beiden Geraden). Folgende Ausnahmefälle sind möglich:

a Verschiedene parallele Geraden (⇒ keine Lösung des Gleichungssystems)

b die beiden Geraden stimmen überein (⇒ unendlich viele Lösungen des Gleichungssystems, Lösungsraum durch einen reellen Parameter parametrisierbar).

Bemerkung: Zum Lösen haben wir nur die Grundrechenarten benützt. Sind die Koeffizienten (a, b etc. ) rational (oder komplex), so liefert dieses Verfahren rationale (oder komplexe) Lösungen.

Gaußsches Eliminationsverfahren (überführt Gleichungssystem in äquivalentes in Stufenform → rekursiv auflösbar).

5) 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten (genannt x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}).

I  \begin{aligned}2x_{1} & + & 4x_{2} & + & 4x_{3} & + & 6x_{4} & = & 2 & | & · (−\frac{3}{2}) & | \\ 3x_{1} & + & 7x_{2} & + & 5x_{3} & + & 9x_{4} & = & 4 & _{←}| & & | & · (−\frac{1}{2}) \\ x_{1} & + & 3x_{2} & − & x_{3} & + & 5x_{4} & = & 1 & & & _{←}| \end{aligned}

II  \begin{aligned}2x_{1} + 4x_{2} + 4x_{3} + 6x_{4} & = & 2 \\ x_{2} − x_{3} & = & 1 & | & (−1) \\ x_{2} − 3x_{3} + 2x_{4} & = & 0 & _{←}| \end{aligned}

III

2x_{1} + 4x_{2} + 4x_{3} + 6x_{4} = 2 III_{1}
x_{2} − x_{3} = 1 III_{2} Gleichungssystem in Stufenform
− 2x_{3} + 2x_{4} = −1 III_{3}  (“rekursiv ausflösbar”)

Lösung: Wähle x_{4} = r ∈ ℝ beliebig

III_{3} ⇒ x_{3} = x_{4} + \frac{1}{2}  = r + \frac{1}{2}
III_{2} ⇒ x_{2} = x_{3} + 1  = r + \frac{3}{2}
III_{1} ⇒ x_{1} = −2x_{2} − 2x_{3} − 3x_{4} + 1 = −7r − 3

ℝ^{4} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) | x_{1} ∈ ℝ, x_{2} ∈ ℝ, x_{3} ∈ ℝ, x_{4} ∈ ℝ}
L_{I} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ ℝ^{4} | (x_{1}, x_{3}, x_{3}, x_{4}) löst I}
= \{(−7r − 3, r + \frac{3}{2}, r + \frac{1}{2}, r) | r ∈ ℝ\} Parameterdarstellung des Lösungsraums

Kapitel 1: Zur Sprache der Mathematik

übliche Sprache + Fachausdrücke + mathematische Symbole

Abkürzende logische Symbole

(1.1) “A ⇒ B” bedeutet “aus Aussage A folgt Aussage B”.

Beispiel: x ∈ ℝ ⇒ x^{2} ≥ 0 Andere sprachliche Formen: “A impliziert B” oder “A ist hinreichend für B” “B ist notwendig für A”

(1.2) “A ⇔ B” bedeutet “A ⇒ B und B ⇒ A”.

Beispiel: x ∈ ℝ und 3x ∈ ℚ ⇔ x ∈ ℚ Andere sprachliche Formen: “A und B sind äquivalent” oder “A gilt genau dann (dann und nur dann), wenn B gilt”.

(1.3) “∃” steht für “Es existiert (mindestens) ein ...”

Beispiel: “∃x ∈ ℝ : x^{2} = 2 steht für “Es existiert ein x ∈ ℝ, so daß x^{2} = 2 gilt” (nämlich x = \sqrt{2} oder x = −\sqrt{2}.

(1.4) “∀” steht für “Für alle ...”

Beispiel: “∀x ∈ ℝ : x^{2} ≥ 0” steht für “Für alle reellen Zahlen x gilt: x^{2} ≥ 0”

Schließlich: “oder” ist nicht ausschließend (im Gegensatz zu “entweder ... oder”). Die Aussage “Es gilt 1 + 1 = 2 oder es gilt 1 − 1 = 0” ist wahr. Die Aussage “Entweder es gilt 1 + 1 = 2 oder es gilt 1 − 1 = 0” ist falsch.

(1.5) “A := B” steht für “A ist durch B definiert” oder “A ist nach Definition gleich B”.

\underline{Mengen und Abbildungen} (Georg Cantor 1845-1918)

Menge = Zusammenfassung von (mathematischen) Objekten (=Elementen) “x ∈ M” steht für “x ist Element der Menge M”, “x ∉ M” steht für “x ist nicht Element der Menge M”.

Angabe von Mengen:

(1.6) Aufzählend, z.B. M = {1, 3, 5, 7}(= {1, 1, 3, 5, 7}) (1.7) Durch Angabe von Eigenschaften: Sei M eine Menge und A(x) eine Aussage über

die Elemente von M. Dann kann man eine Menge N definieren durch

N = {x | x ∈ M und A(x) ist wahr} = {x ∈ M | A(x) ist wahr}

z.B. ℚ = \{x ∈ ℝ | ∃p ∈ ℤ, ∃q ∈ ℕ, q ≠ 0 : x = \frac{p}{q}\} Menge der rationalen Zahlen oder M = {x ∈ ℕ | x ist ungerade natürliche Zahl kleiner als 9}.

Beispiele von Mengen: ℕ = {x ∈ ℝ | x natürliche Zahl} = {0, 1, 2, 3, …} ℤ = {x ∈ ℝ | x ganze Zahl} = {0, 1, −1, 2, −2, …} Vielleicht kennen Sie schon ℂ = {x + iy | x ∈ ℝ, y ∈ ℝ} ∅ die leere Menge (enthält kein Element)

(1.8) Def.: Eine Menge A heißt \underline{Teilmenge einer Menge} B(“A ⊆ B”), falls jedes Element von A auch Element von B ist, d.h. falls gilt

x ∈ A ⇒ x ∈ B.

Beispiel: ∅ ⊆ ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ ⊆ ℂ

(1.9) Zwei Mengen A und B sind gleich (“A = B”), wenn A und B die selben Elemente

enthalten, d.h. falls gilt

x ∈ A ⇔ x ∈ B

Oder: A = B ⇔ A ⊆ B und B ⊆ A.

Beispiel: {x | x ∈ ℕ, x ungerade natürliche Zahl kleiner 9} = {1, 3, 5, 7}

Konstruktionen mit Mengen A und B:

(1.10) \underline{Schnittmenge} (Durchschnitt) A ∩ B \underline{von} A \underline{und} B:

x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A und x ∈ B

\underline{Vereinigung} A ∪ B \underline{von} A \underline{und} B:

x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A oder x ∈ B

\underline{Komplement} A \ B \underline{von} B \underline{in} A (Differenzmenge von A und B)

x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A und x ∉ B