(1.11) Rechenregeln (für Vereinigung, Durchschnitt, Komplement) Sind A, B, C Mengen, so gilt:

(a) A ∪ B  = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A “Kommutativgesetze”
(b) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)  “Assoziativgesetze”
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(c) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)  “Distributivgesetze”
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(d) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)  “De Morgansche Regeln”
A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)

Beweis von (c): Sei x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇒ x ∈ A und (x ∈ B oder x ∈ C) ⇒ (x ∈ A und x ∈ B) oder (x ∈ A und x ∈ C) ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Sei x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⇒ (x ∈ A und x ∈ B) oder (x ∈ A und x ∈ C) ⇒ x ∈ A und (x ∈ B oder x ∈ C) ⇒ x ∈ A ∩ (B ∪ C) (1.12) Kartesische Produkt (benannt nach R. Descartes 1596-1650). Sind A, B Mengen, so ist das \underline{kartesische Produkt} A × B \underline{von} A \underline{und} B die Menge aller geordneten Paare (a, b) mit a ∈ A und b ∈ B.

A × B := {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

Bem.: (a, b) = (a′, b′) ⇔ a = a′ und b = b′! Bem.: ℝ × ℝ =: ℝ^{2} Allgemeiner: Sind A_{1}, …, A_{n} Mengen, so

A_{1} × … × A_{n} = {(a_{1}, …, a_{n}) | a_{1} ∈ A_{1}, a_{2} ∈ A_{2}, …, a_{n} ∈ A_{n}}

Dabei gilt – per definitionem – (a_{1}, …, a_{n}) = (a′_{1}, …, a′_{n}) genau dann, wenn a_{1} = a′_{1}, …, a_{n} = a′_{n} gelten. Bem.: \underbrace{ℝ × … × ℝ}_{n-mal} =: ℝ^{n}. Ein Element (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n} heißt \underline{n-Tupel} von reellen Zahlen.

Exkurs: Nochmals lineare Gleichungssysteme Das allgemeine lineare Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten:

I \begin{aligned}I_{1} & a_{11}x_{1} & + & a_{12}x_{2} & + … + & a_{1n}x_{n} & = & b_{1} \\ I_{2} & a_{21}x_{1} & + & a_{22}x_{2} & + … + & a_{2n}x_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & & ⋮ & & ⋮ \\ I_{m} & a_{m1}x_{1} & + & a_{m2}x_{2} & + … + & a_{mn}x_{n} & = & b_{m} \end{aligned}

Gegeben sind die a_{11}, …, a_{mn}, b_{1}, …, b_{m}, gesucht die x_{1}, …, x_{n}. Lösungsmenge L_{I} = {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} | (x_{1}, …, x_{n}) löst I}

(1.13) Satz. Sei a_{11} ≠ 0 und sei I′ das Gleichungssystem mit den Zeilen

I′_{1} = 1, I′_{2} = I_{2} − \frac{a_{21}}{a_{11}} I_{1}, …, I′_{m} = I_{m} − \frac{a_{m1}}{a_{11}} I_{1}.

Dann gilt: L_{I} = L_{I′} Beweis: Sei \overline{x} = (\overline{x}_{1}, …, \overline{x}_{n}) ∈ L_{I}. Dann erfüllt \overline{x} die Gleichung I′_{1} (= I_{1}). Ist 2 ≤ i ≤ m, so erfüllt \overline{x} auch die Gleichung I_{i}, also auch I′_{i} = I_{i} − \frac{a_{i1}}{a_{11}} I_{1}. Also x ∈ L_{I′}. Sei \overline{x} = (\overline{x}_{1}, …, \overline{x}_{n}) ∈ L_{I′}. Dann erfüllt \overline{x} die Gleichung I_{1} (= I′_{1}). Ist 2 ≤ i ≤ m, so erfüllt \overline{x} auch die Gleichung I′_{i}, also auch

I_{i} = I′_{i} + \frac{a_{i1}}{a_{11}} I_{1}.

Also x ∈ L_{I}. (1.14) Definition. Das lineare Gleichungssystem I heißt homogen, falls b_{i} = 0 gilt für alle i ∈ {1, …, m}. Bemerkung: Ist I homogen, so ist (0, …, 0) ∈ ℝ^{n} Lösung von I. Auf ℝ^{n} definieren wir eine Addition durch

(x_{1}, …, x_{n}) + (y_{1}, …, y_{n}) := (x_{1} + y_{1}, …, x_{n} + y_{n}) (komponentenweise Addition) und eine Multiplikation mit reellen Zahlen r ∈ ℝ durch

r(x_{1}, …, x_{n}) := (rx_{1}, …, rx_{n})

(1.15) Satz. Ist I ein homogenes lineares Gleichungssystem, so hat seine Lösungsmenge L_{I} folgende Eigenschaften:

Ist x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ L_{I} und y = (y_{1}, …, y_{n}) ∈ L_{I}, so gilt x + y ∈ L_{I}.
Ist x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ L_{I} und r ∈ ℝ,  so gilt rx ∈ L_{I}.

Beweis: x ∈ L_{I} und y ∈ L_{I} ⇒ Für alle i ∈ {1, …, m} gelten: a_{i1}x_{1} + … + a_{in}x_{n} = 0 und a_{i1}y_{1} + … + a_{in}y_{n} = 0. Summiert man diese Gleichungen, so folgt

a_{i1}(x_{1} + y_{1}) + … + a_{in}(x_{n} + y_{n}) = 0 + 0 = 0

Also erfüllt x+y = (x_{1}+y_{1}, …, x_{n}+y_{n}) für alle i ∈ {1, …, m} die Gleichung I_{i}, d.h. x+y ∈ L_{I}.

Die 2. Behauptung folgt analog durch Multiplikation von I_{i} mit r.

Bemerkung: Besitzt ein homogenes lineares Gleichungssystem I eine Lösung x ≠ (0, …, 0), so besitzt I nach (1.15) unendlich viele Lösungen (∀r ∈ ℝ : rx ∈ L_{I}).

Zu einem linearen Gleichungssystem I bezeichne I^{hom} das zugehörige homogene lineare Gleichungssystem, das sich nur dadurch von I unterscheidet, daß alle rechten Seiten von I durch 0 ersetzt werden.

(1.16) Satz. Es existiere eine Lösung \overline{x} = (\overline{x}_{1}, …, \overline{x}_{n}) des linearen Gleichungssystems I. Dann gilt

L_{I} = \{\overline{x} + x | x ∈ L_{Ihom}\}.

Ohne die Mengensprechweise drückte man die Aussage von (1.16) früher durch folgenden langen Satz aus: Die allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems ist eine spezielle Lösung dieses Gleichungssystems plus die allgemeine Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems.

Beweis:

a) Sei y ∈ L_{I}. Wie zeigen: y − \overline{x} ∈ L_{Ihom} (wobei y − \overline{x} := y + (−1)\overline{x}).

\begin{aligned}\{y, \overline{x}\} ⊆ L_{I} ⇒ ∀i ∈ \{1, …, m\} & : & a_{i1}y_{1} + … + a_{in}y_{n} = b_{i} und \\ & & a_{i1}\overline{x}_{1} + … + a_{in}\overline{x}_{n} = b_{i} \end{aligned}

Subtraktion dieser Gleichungen liefert:

a_{i1}(y_{1} − \overline{x}_{1}) + … + a_{in}(y_{n} − \overline{x}_{n}) = b_{i} − b_{i} = 0

Also: y − \overline{x} ∈ L_{Ihom}. Wir nennen y − \overline{x} =: x ∈ L_{Ihom} und erhalten y = \overline{x} + x mit x ∈ L_{Ihom}.

b) Sei x ∈ L_{Ihom}. Dann gilt für alle i ∈ {1, …, m}:

a_{i1}x_{1} + … + a_{in}x_{n} = 0

Wegen y ∈ L_{I} gilt für alle i ∈ {1, …, m}:

a_{i1}y_{1} + … + a_{in}y_{n} = b_{i}

Addition dieser Gleichungen liefert:

a_{i1}(x_{1} + y_{1}) + … + a_{im}(x_{m} + y_{m}) = b_{i} (für alle i ∈ {1, …, m})

also y + x ∈ L_{I}.