Zurück zur Mengenlehre: Abbildungen zwischen Mengen (1.17) Def.: Es seien M, N Mengen. Eine \underline{Abbildung} f : M → N \underline{von} M \underline{nach} N ist eine Vorschrift, die jedem x ∈ M genau ein Element f(x) ∈ N zuordnet. Beispiele:

a) M = N = ℝ, f : ℝ → ℝ, ∀x ∈ ℝ : f(x) := 3x^{3} − x + 1

b) M = ℝ, N = ℝ_{>0} = {x ∈ ℝ | x > 0}, ∀x ∈ ℝ : f(x) := e^{x}.

c) f : ℤ → \{0, 1\}, f(x) := \{ \begin{matrix}0 & x gerade \\ 1 & x ungerade \end{matrix}

d) M Menge. id_{M} : M → M, ∀x ∈ M : id_{M}(x) := x. “Identität von M”.

e) A ⊆ B. i : A → B, ∀x ∈ A : i(x) := x “Inklusionsabbildung”

f) Seien A_{1}, …, A_{n} Mengen und i ∈ {1, …, n}. p_{i} : A_{1} × … × A_{n} → A_{i}, p_{i}(a_{1}, …, a_{n}) := a_{i} “Projektion auf die i’te Komponente”.

g) + : ℝ^{2} → ℝ, ∀(x, y) ∈ ℝ^{2} : +(x, y) := x + y (1.18) Def.: Eine Abbildung f : M → N heißt

(a) injektiv, falls für alle x ∈ M, y ∈ M gilt: x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y).

(b) surjektiv, falls für alle y ∈ N ein x ∈ M existiert, so daß f(x) = y gilt.

(c) bijektiv, falls f injektiv und surjektiv is. Von den obigen Beispielen ist a) surjektiv, aber nicht injektiv, während b) bijektiv ist. (1.19) Def. (Komposition, Hintereinanderausführung) Seien A, B, C, D Mengen mit B ⊆ C und f : A → B, g : C → D Abbildungen. Dann ist g ∘ f : A → D definiert durch: Für alle

x ∈ A ist (g ∘ f)(x) := g(\underbrace{f(x)}_{∈B}).

Symbolisch: \overbrace{A →^{f} B ⊆ C →^{g} D}^{g∘f}

Bem.: A →^{f} B →^{g} C →^{h} D ⇒ h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f =: h ∘ g ∘ f

Schreibweise: Ist f : A → B Abbildung und C ⊆ A, so bezeichne

f(C) := {y ∈ B | ∃x ∈ C : f(x) = y}“Bild von C unter f”

Ist D ⊆ B, so bezeichne

f^{−1}(D) := {x ∈ A | f(x) ∈ D} “Urbild von D unter f”

Bem:

f : A → B surjektiv ⇔ f(A) = B.
f : A → B injektiv ⇔ Für alle y ∈ B enthält f^{−1}({y}) höchstens 1 Element.

(1.20) Rechenregeln: Sei f : M → N Abbildung, A ⊆ M, B ⊆ M. Dann gilt (a) f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)

(b) f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B)

(c) f(M \ A) ⊇ f(M) \ f(A) (⇔ f(M) \ f(A) ⊆ f(M \ A)) Für alle C ⊆ N, D ⊆ N gilt:

(d) f^{−1}(C ∪ D) = f^{−1}(C) ∪ f^{−1}(D)

(e) f^{−1}(C ∩ D) = f^{−1}(C) ∩ f^{−1}(D)

(f) f^{−1}(N \ C) = M \ f^{−1}(C) Beweis von (f):

x ∈ f^{−1}(N \ C) ⇒ x ∈ M und f(x) ∈ N \ C
⇒ x ∈ M und f(x) ∉ C ⇒ x ∈ M \ f^{−1}(C)
x ∈ M \ f^{−1}(C) ⇒ x ∈ M und x ∉ f^{−1}(C) ⇒ x ∈ M und f(x) ∉ C
⇒ f(x) ∈ N \ f^{−1}(C)

Beispiel zu (b):

f : ℝ → ℝ, f(x) = x^{2}
A = {x ∈ ℝ | x < 0}, B = {x ∈ ℝ | x > 0}
⇒ A ∩ B = ∅, aber f(A) = f(B) = {x ∈ ℝ | x > 0}(=: ℝ_{>0})
d.h. f(A) ∩ f(B) = ℝ_{>0} ≠ ∅.

(1.21) Def.: Ist f : M → N Abbildung und A ⊆ M, so ist die \underline{Einschränkung} (Restriktion) f|A(= f|_{A}) : A → N \underline{von} f \underline{auf} A definiert durch: Für alle x ∈ A ist (f|A)(x) = f(x). Bemerkung: Bezeichnet i : A → M die Inklusion, so gilt f|A = f ∘ i (1.22) Fakt: Ist f : M → N bijektive Abbildung, so existiert genau eine Abbildung f^{−1} : N → M, so daß f^{−1}∘f = id_{M} gilt. Für diese Abbildung f^{−1} gilt auch f ∘f^{−1} = id_{N}. Vorsicht: Das Symbol f^{−1} wird in unterschiedlichen Bedeutungen verwendet! Bew.: f bijektiv ⇔ ∀y ∈ N ex. genau ein x ∈ M : f(x) = y. Eindeutigkeit von f^{−1}: Gilt f(x) = y, so muß f^{−1}(y) = f^{−1}(f(x)) = (f^{−1} ∘ f)(x) = id_{M}(x) = x gelten.

Definiere f^{−1} : N → M durch f^{−1}(y) = x ⇔ y = f(x) (1.23) Def.: Seien M, N Mengen. Eine \underline{Relation auf} (M, N) ist eine Teilmenge von M ×N. (Ist M = N, so spricht man von einer Relation auf M) Schreibweise: Sei R ⊆ M × N. Statt (x, y) ∈ R schreibt man auch xRy. Beispiele:

1) Δ_{M} = \{(x, x) | x ∈ M\} die \underline{Diagonale} in M × M.

2

2) Sei f : M → N Abbildung. Dann ist der \underline{Graph von} f,

graph (f) := {(x, f(x)) | x ∈ M}

eine Relation auf (M, N). Bem.: Δ_{M} = graph (id_{M})

3) Sei M = N = ℝ und R := {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x = y^{2}}. Diese Relation ist nicht Graph einer Funktion f : ℝ → ℝ.

(1.24) Def. Sei M Menge, R ⊆ M × M Relation auf M. Dann heißt

(a) R reflexiv ⇔ ∀x ∈ M : xRx (⇔ Δ_{M} ⊆ R)

(b) R symmetrisch ⇔ (∀x, y ∈ M : xRy ⇔ yRx)

(c) R transitiv ⇔ (∀x, y, z ∈ M : xRy und yRz ⇒ xRz)

(d) R Äquivalenzrelation ⇔ R ist reflexiv, symmetrisch und transitiv

Bei Äquivalenzrelationen R schreibt man oft statt xRy: x ∼_{R} y oder kurz x ∼ y (wenn klar ist, welches R gemeint ist).

Beispiele:

1) Auf M = ℝ kennen wir die Relation “kleiner gleich”, d.h.

R = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x ≤ y}

R ist reflexiv und transitiv, aber nicht symmetrisch. (Beweis?)

2) Sei M = ℤ, p ≥ 2 feste natürliche Zahl.

R := {(m, n) ∈ ℤ^{2} | n − m ist durch p teilbar}.

Wir zeigen: R ist eine Äquivalenzrelation

(a) ∀m ∈ ℤ: m ∼_{R} m, da m − m = 0 durch p teilbar: 0 = 0 · p

(b) Es gelte m ∼_{R} n ⇒ n − m durch p teilbar ⇒ m − n durch p teilbar ⇒ n ∼_{R} m

(c) Es gelte k ∼_{R} m und m ∼_{R} n ⇒ ∃j ∈ ℤ, l ∈ ℤ : m − k = jp, n − m = lp ⇒ n − k = (l + j)p und l + j ∈ ℤ ⇒ k ∼_{R} n.

Langes Beispiel: Eine \underline{Zerlegung} M \underline{einer Menge} M, ist eine Menge M, deren Elemente Teilmengen von M sind, so daß gilt:

(1) A ∈ M, B ∈ M ⇒ A = B oder A ∩ B = ∅.

(2) ⋃_{A∈M} A = M. (wobei ⋃_{A∈M} A := {x | ∃A ∈ M : x ∈ A})

Wir werden sehen, daß eine Äquivalenzrelation auf M im Grunde das gleiche ist, wie eine Zerlegung von M. Zunächst überlegen wir, wie wir aus einer Zerlegung eine Äquivalenzrelation erhalten: Zu einer Zerlegung M von M definieren wir die Relation

R = {(x, y) ∈ M × M | ∃A ∈ M : {x, y} ⊆ A}

Wir zeigen: R ist eine Äquivalenzrelation.

(a) Sei x ∈ M. Wir wollen zeigen, daß (x, x) ∈ R gilt. Wegen (2) existiert ein A ∈ M, so daß x ∈ A gilt. Also gilt {x, x}(= {x}) ⊆ A, d.h. (x, x) ∈ R.

(b) {x, y} ⊆ A ⇔ {y, x} ⊆ A

(c) Es gelte (x, y) ∈ R und (y, z) ∈ R ⇒ ∃A ∈ M, B ∈ M mit {x, y} ⊆ A, {y, z} ⊆ B

⇒ y ∈ A ∩ B, d.h. A ∩ B ≠ ∅ ⇒^{(1)} A = B ⇒ {x, z} ∈ A ⇒ (x, z) ∈ R.

Bezeichnung: Sei R ⊆ M × M eine Äquivalenzrelation und x ∈ M. Dann heißt

[x]_{R} := {y ∈ M | (x, y) ∈ R} die Äquivalenzklasse von x und
M/R := {[x]_{R} | x ∈ M} die Menge der Äquivalenzklassen, die auch “M modulo R”

genannt wird.

(1.25) Fakt: Sei R ⊆ M × M eine Äquivalenzrelation. Dann ist M/R eine Zerlegung von M.

Beweis: Offensichtlich ist jedes Element von M/R eine Teilmenge von M (nämlich eine Äquivalenzklasse). Wir zeigen, daß die Menge M/R die Eigenschaften (1) und (2) hat.

Zu (2): Offensichtlich gilt ⋃_{[x]_{R}∈M/R}[x]_{R} ⊆ M. Sei umgekehrt x ∈ M. Die Reflexivität (a)

von R besagt, daß (x, x) ∈ R gilt, also x ∈ [x]_{R}. Damit M ⊆ ⋃_{[x]_{R}∈M/R}[x]_{R}.

Zu (1): Wir zeigen, daß folgende Aussagen (α), (β), (γ) über Elemente x ∈ M, y ∈ M äquivalent sind:

(α) [x]_{R} ∩ [y]_{R} ≠ ∅ (β) x ∼ y (γ) [x]_{R} = [y]_{R}

1. Schritt: (α) ⇒ (β): Sei z ∈ [x]_{R} ∩ [y]_{R}, d.h. es gelten x ∼ z und y ∼ z. Die Symmetrie und Transitivität von ∼ implizieren dann x ∼ y.

2. Schritt: (β) ⇒ (γ): Wegen der Symmetrie der Voraussetzung x ∼ y genügt es, [y]_{R} ⊆ [x]_{R} zu zeigen. Sei w ∈ [y]_{R}, d.h. y ∼ w. Unsere Voraussetzung x ∼ y ergibt zusammen mit y ∼ w und der Transitivität, daß x ∼ w gilt, d.h. w ∈ [x]_{R}.

3. Schritt: (γ) ⇒ (α): Wegen x ∈ [x]_{R} folgt aus [x]_{R} = [y]_{R}, daß [x]_{R} ∩ [y]_{R} = [x]_{R} ≠ ∅ gilt.

Sind nun A und B Elemente von M/R, etwa A = [x]_{R} und B = [y]_{R} für Elemente x, y von M, so gilt wegen (α) ⇔ (β) entweder A ∩ B = ∅ oder A = B. Das beweist (1).

Beispiel: Es sei nun wieder p ∈ ℕ, p ≥ 2 und wir betrachten die Äquivalenzrelation auf ℤ, die durch

m ∼ n ⇔ n − m ist durch p teilbar

definiert ist, vgl. Bsp. 2 nach (1.24). Dann sind die Äquivalenzklassen von ∼ genau die Teilmengen von ℤ, die aus den ganzen Zahlen bestehen, die bei Division (mit Rest) durch p, den gleichen Rest ergeben. Sie heißen deshalb auch die “Restklassen mod p”. Es gibt genau p verschiedene solche Restklassen mod p, nämlich

[0]_{p}  = {np | n ∈ ℤ}  Rest 0 bei Division durch p
[1]_{p}  = {np + 1 | n ∈ ℤ}  Rest 1 bei Division durch p
⋮
[p − 1]_{p} = {np + (p − 1) | n ∈ ℤ} Rest p − 1 bei Division durch p
= {np − 1 | n ∈ ℤ}

Für diese Äquivalenzrelation ist folgende Bezeichnung gebräuchlich:

m ∼ n ⇔ m ≡ n(mod p)