Kapitel 3: Vektorräume

(3.1) Def.: Ein Vektorraum über einem Körper K ist eine abelsche Gruppe (V, +) zusammen mit einer Abbildung K × V → V, (α, v) ∈ K × V ↦ αv, so daß für alle α, β ∈ K und alle v, w ∈ V gilt:

(i) α(βv) = (αβ)v (=: αβv)

(ii) (α + β)v = (αv) + (βv) (=: αv + βv)

(iii) α(v + w) = (αv) + (αw) (=: αv + αw)

(iv) 1v = v (, wobei 1 das Einselement von K bezeichnet!)

Sprechweisen und Bezeichnungen: “Punkt vor Strich” αv + βw := (αv) + (βw), außerdem: v − w := v + (−w) Vektorraum über einem Körper K = K-Vektorraum

Das neutrale Element von (V, +) wird (zunächst) mit \underline{0} bezeichnet, zur Unterscheidung vom neutralen Element 0 von (K, +).

Elemente von V werden “Vektoren” (des Vektorraums V) genannt, Elemente des Körpers werden auch “Skalare” genannt.

Beispiele:

1) K := ℝ und V := ℝ^{n} mit den vor (1.15) eingeführten Operationen

(x_{1}, …, x_{n}) + (y_{1}, …, y_{n}) := (x_{1} + y_{1}, …, x_{n} + y_{n})
r(x_{1}, …, x_{n}) := (rx_{1}, …, rx_{n}).

In diesem Fall \underline{0} = (0, …, 0)

2) Allgemeiner: Sei K beliebiger Körper, n ∈ ℕ, n ≥ 1. Dann können wir genau wie in Beispiel 1) die Menge

K^{n} = {(x_{1}, …, x_{n}) | x_{1} ∈ K, …, x_{n} ∈ K}

zu einem Vektorraum über dem Körper K machen.

3) Sei I ein \underline{homogenes} lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten x_{1}, …, x_{n} und Koeffizienten a_{11}, …, a_{mn} in K. Dann bildet die Lösungsmenge

L_{I} = {x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n} | x löst I}

mit den wie in 1) definierten Operationen einen K-Vektorraum, vgl. (1.15).

4) Sei K := ℝ, M ≠ ∅ eine Menge und V = {f | f : M → ℝ}.

Für r ∈ ℝ, f, g ∈ V definieren wir f + g ∈ V und rf ∈ V durch

(a) ∀x ∈ M : (f + g)(x) := f(x) + g(x)

(b) ∀x ∈ M : (rf)(x) := rf(x)

Mit diesen Operationen ist V ein ℝ-Vektorraum (wobei \underline{0} ∈ V die Abbildung ist, die jedes x ∈ M auf 0 ∈ ℝ abbildet).

Wir beweisen exemplarisch, daß (3.1)(iii) gilt: Seien f, g ∈ V, r ∈ ℝ. Zu zeigen ist:

(∗) r(f + g) = rf + rg

Auf beiden Seiten von (∗) stehen Abbildungen von M nach ℝ. Wir haben also zu zeigen, daß für alle x ∈ M gilt:

(r(f + g))(x) = (rf + rg)(x)

Wendet man auf beide Seiten (a) und (b) an (auf der linken Seite zunächst (b) dann (a)), so erhält man für die linke Seite

(r(f + g)(x)) =^{(b)} r((f + g)(x)) =^{(a)} r(f(x) + g(x))

und für die rechte Seite

(rf + rg)(x) =^{(a)} (rf)(x) + (rg)(x) =^{(b)} rf(x) + rg(x)

Schließlich gilt r(f(x) + g(x)) = rf(x) + rg(x) aufgrund des Distributivgesetzes für die reellen Zahlen.