(3.15) Austauschlemma. Sei B = {v_{1} …, v_{n}} eine Basis von V mit n Elementen und w ∈ V \ {0}. Dann existiert j ∈ {1, …, n}, so daß B′ = (B \ {v_{j}}) ∪ {w} Basis von V ist.

Bew.: Wegen span(B) = V existieren α_{1}, …, α_{n} ∈ K, so daß

(∗) w = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i}

gilt. Da w ≠ 0 ist, existiert ein j, 1 ≤ j ≤ n mit α_{j} ≠ 0. Wir zeigen, daß \underline{für jedes solche} j gilt: B′ = (B \ {v_{j}}) ∪ {w} = {v_{1}, …, v_{j−1}, v_{j−1}, …, v_{n}, w} ist Basis.

Zunächst gilt v_{j} ∈ span(B′), da aus (∗) folgt

v_{j} = \frac{1}{α_{j}} (w − ∑_{i≠j^{i=1}}^{n} α_{i}v_{i}) = \frac{1}{α_{j}} w + ∑_{i≠j^{i=1}}^{n} (\frac{−α_{i}}{α_{j}} ) v_{i}

und die rechte Seite ist eine Linearkombination von Elementen von B′.

Nach (3.11)(i) folgt

span(B′) =^{(3.11)(i)} span(B′ ∪ {v_{j}}) = span(B ∪ {w}) =^{(3.11)(i)} span(B) = V,

d.h. B′ ist Erzeugendensystem von V. Um die lineare Unabhängigkeit von B′ zu zeigen, nehmen wir an, daß für β ∈ K, β_{1}, …, β_{j−1}, β_{j+1}, …, β_{n} ∈ K gilt:

(∗∗) βw + ∑_{i≠j^{i=1}}^{n} β_{i}v_{i} = \underline{0}

Mit (∗) folgt

β ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i} + ∑_{i≠j^{i=1}}^{n} β_{i}v_{i} = \underline{0},

also

βα_{j}v_{j} + ∑_{i≠j^{i=1}}^{n}(βα_{i} + β_{i})v_{i} = \underline{0}.

Da B = {v_{1}, …, v_{n}} linear unabhängig ist, folgt aus der vorangehenden Gleichung βα_{j} = 0 und βα_{i} + β_{i} = 0 für alle i ≠ j. Da wir j so gewählt hatten, daß α_{j} ≠ 0 ist, folgt β = 0 und daraus β_{i} = 0 für alle i ≠ j. Damit haben wir gezeigt, daß in (∗∗) alle Koeffizienten β und β_{i} für i ≠ j gleich 0 sind, d.h. B′ ist linear unabhängig.

(3.16) Austauschsatz von Steinitz. Sei B = {v_{1}, …, v_{n}} eine Basis von V mit n Elementen und seien w_{1}, …, w_{m} m linear unabhängige Vektoren in V. Dann gilt

(i) m ≤ n

(ii) Es gibt (n − m) Vektoren in B, bei geeigneter Numerierung v_{m+1}, …, v_{n}, so daß {w_{1}, …, w_{m}, v_{m+1}, …, v_{n}} eine Basis von V ist.

Speziell gilt: Jede Basis von V hat n Elemente.

Bew.: Induktion nach m.

1) m = 1. \underline{0} ≠ w_{1} ∈ V ⇒ V ≠ \{0\} ⇒ n ≥ 1 = m ⇒ (i). (ii) folgt aus (3.15).

2) m > 1. Induktionsvoraussetzung: (i) und (ii) gelten für m − 1. Seien w_{1}, …, w_{m} linear unabhängig gegeben. Die Induktionsvoraussetzung impliziert: (m−1) ≤ n und es existieren n − m + 1 Vektoren in B, o.E. v_{m} …, v_{n}, so daß {w_{1}, …, w_{m−1}, v_{m} …, v_{n}} eine Basis von V ist.

Zeige (i): m ≤ n. Sonst gilt nach der vorangehenden Überlegung m − 1 = n und die Menge {w_{1}, …, w_{m−1}} ist Basis von V (n − m + 1 = 0!), im Widerspruch zur Voraussetzung, daß {w_{1}, …, w_{m}} linear unabhängig ist. Das beweist m ≤ n.

Zeige (ii): Wir wollen in der Basis {w_{1}, …, w_{m−1}, v_{m}, …, v_{n}} eines der v_{i}, m ≤ i ≤ n, gegen w_{m} “austauschen” und zwar so, daß wieder eine Basis entsteht. Da span{w_{1}, …, w_{m−1}, v_{m}, …, v_{n}} = V gilt, existieren α_{1}, …, α_{n} ∈ K, so daß

w_{m} = α_{1}w_{1} + … + α_{m−1}w_{m−1} + α_{m}v_{m} + … + α_{n}v_{n}

gilt. Da {w_{1}, …, w_{m}} linear unabhängig ist, existiert ein j ∈ {m, …, n} mit α_{j} ≠ 0. Wir können annehmen, daß j = m ist. Wendet man das Austauschlemma (3.15) (vgl. auch den Anfang des Beweises von (3.15)!) auf w := w_{m} und die Basis {w_{1}, …, w_{m−1}, v_{m}, …, v_{n}} an, so folgt, daß {w_{1}, …, w_{m}, v_{m+1}, …, v_{n}} eine Basis von V ist. Das beweist (ii).

(3.17) Def.: Ist V endlich erzeugter Vektorraum, so heißt die Anzahl der Elemente einer (⇒ jeder) Basis von V die \underline{Dimension} \underline{von} V (abgekürzt: dim V).

Ist V nicht endlich erzeugt, so setzen wir dim V := ∞.

Beispiele:

1) V = \{\underline{0}\} ⇔ dim V = 0 (mit Basis M = ∅)

2) Für den K-Vektorraum K^{n} gilt: dim(K^{n}) = n Begründung: Die Standardbasis {e_{1}, …, e_{n}} von K^{n} hat n Elemente.

3) V = {f | f : ℝ → ℝ}, vgl. Bsp. 4) nach (3.1). Für diesen ℝ-Vektorraum gilt dim V = ∞, vgl. Blatt 6, Aufgabe 4(b).

Bem.: V endlich erzeugt ⇔ V endlich-dimensional.

(3.18) Folgerungen. Sei V Vektorraum, dim V = n < ∞. Dann gilt:

(i) Ist M ⊆ V linear unabhängig, so gilt #M ≤ n, und es gilt #M = n genau dann, wenn M Basis von V ist.

(ii) Ist M ⊆ V Erzeugendensystem von V, so gilt #M ≥ n, und es gilt #M = n genau dann, wenn M Basis von V ist.

(iii) Ist U ⊆ V Unterraum, so gilt dim U ≤ dim V. Jede Basis von U ist in einer Basis von V enthalten. Es gilt genau dann dim U = dim V, wenn U = V gilt.

Lösung von Blatt 5, Aufgabe 3: Sei U Unterraum des ℝ^{2} mit {(0, 0)} ≠ U ≠ ℝ^{2}. Dann existiert v ∈ ℝ^{2} \ {(0, 0)}, so daß U = {rv | r ∈ ℝ}.

Bew.: Es gilt 0 < dim U < 2 = dim(ℝ^{2}), also dim U = 1. Sei {v} Basis von U ⇒ Beh.

Beweis von (3.18):

(i) (3.16)(i) ⇒ #M ≤ n. Speziell: Ist #M = n, so ist M (im Sinne von (3.12)!) eine maximale linear unabhängige Teilmenge, also nach (3.12) eine Basis.

(ii) Analog zu (i).

(iii) Ist B′ Basis von U, so ist B′ als Teilmenge von V linear unabhängig, also dim U = #B′ ≤ n = dim V nach (i). Aus (3.16)(ii) folgt, daß B′ in einer Basis von V enthalten ist. Gilt dim U = dim V, so ist nach (i) jede Basis B′ von U auch Basis von V, d.h. U = span(B′) = V.

(3.19) Def.: Seien U_{1}, U_{2} Unterräume eines Vektorraums V. Dann heißt der Unterraum

U_{1} + U_{2} := span(U_{1} ∪ U_{2})

die \underline{Summe von} U_{1} \underline{und} U_{2}. Gilt U_{1} ∩ U_{2} = \{\underline{0}\}, so nennt man span(U_{1} ∪ U_{2}) die \underline{direkte} \underline{Summe von} U_{1} \underline{und} U_{2} und schreibt

span(U_{1} ∪ U_{2}) =: U_{1} ⊕ U_{2}

Bsp.: Für 0 < m < n gilt: K^{n} = (K^{m} × \{\underline{0}\}) ⊕ (\{\underline{0}\} × K^{n−m})

(3.20) Fakt. (i) U_{1} + U_{2} = {u_{1} + u_{2} | u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}} (ii) Gilt U_{1} ∩ U_{2} = {0}, so existieren für jedes v ∈ U_{1} ⊕ U_{2} genau zwei Vektoren u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}, so daß v = u_{1} + u_{2} gilt.

Bsp.: 1) V = ℝ^{2}, U_{1}, U_{2} Unterräume der Dimension 1, U_{1} ≠ U_{2}. Dann: U_{1} ∩ U_{2} = {(0, 0)}, U_{1} ⊕ U_{2} = ℝ^{2}.

2) V = ℝ^{3}, U_{1} ≠ U_{2} Unterräume der Dimension 2. Dann: dim(U_{1} ∩ U_{2}) = 1, U_{1} + U_{2} = ℝ^{3}.

Beweis: Die Menge {u_{1} + u_{2} | u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}} ist Unterraum (!), der U_{1} und U_{2} enthält, also span(U_{1} ∪ U_{2}) ⊆ {u_{1} + u_{2} | u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}}, vgl. Def. (3.6). Die Inklusion {u_{1} + u_{2} | u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}} ⊆ span(U_{1} ∪ U_{2}) ist klar!

Gilt v = u_{1} + u_{2} = u′_{1} + u′_{2} mit {u_{1}, u′_{1}} ⊆ U_{1}, {u_{2}, u′_{2}} ⊆ U_{2}, so folgt

u_{1} − u′_{1} = u′_{2} − u_{2} ∈ U_{1} ∩ U_{2} = \{\underline{0}\}, also u_{1} = u′_{1}, u_{2} = u′_{2}.

(3.21) Lemma.

(i) Ist U Unterraum von V, so existiert ein Unterraum W von V, so daß U ∩ W = \{\underline{0}\} und U ⊕ W = V gilt. (W heißt ein zu U \underline{komplementärer Unterraum})

(ii) Sind U_{1}, U_{2} Unterräume von V mit U_{1} ∩ U_{2} = {0}, so gilt

dim(U_{1} ⊕ U_{2}) = dim U_{1} + dim U_{2}.

Bem.: Im allgemeinen gibt es sehr viele zu U komplementäre Unterräume. Beispiel: Es sei U = ℝ × {0} ⊆ ℝ^{2} und es sei v = (v_{1}, v_{2}) ∈ ℝ^{2} und v_{2} ≠ 0. Dann ist W = span{v} zu U komplementär.

Bew.: (i) Ergänze eine Basis B′ von U nach (3.18)(iii) zu einer Basis B von V und setze W := span(B \ B′). (ii) Für i = 1, 2 seien B_{1}, B_{2} Basen von U_{1}, U_{2}. Aus U_{1} ∩ U_{2} = {0} folgt B_{1} ∩ B_{2} = ∅. Wir zeigen, daß B_{1} ∪ B_{2} Basis von U_{1} ⊕ U_{2} ist (⇒ dim(U_{1} ⊕ U_{2}) = #(B_{1} ∪ B_{2}) = #B_{1} + #B_{2} = dim U_{1} + dim U_{2}). Wegen (3.20)(i) ist B_{1} ∪ B_{2} Erzeugendensystem von U_{1} ⊕ U_{2}. Um zu zeigen, daß B_{1} ∪ B_{2} linear unabhängig ist, sei

∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} + ∑_{j=1}^{l} β_{j}w_{j} = \underline{0},

wobei α_{1}, …, β_{l} ∈ K, v_{1}, …, v_{k} verschiedene Elemente von B_{1}, w_{1}, …, w_{l} verschiedene Elemente von B_{2} sind. Dann folgt

∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} = ∑_{j=1}^{l}(−β_{j})w_{j} ∈ U_{1} ∩ U_{2}.

Wegen U_{1} ∩ U_{2} = {0} folgt

∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} = \underline{0} = ∑_{j=1}^{l}(−β_{j})w_{j}.

Da B_{1} und B_{2} beide linear unabhängig sind, folgt aus den vorangehenden Gleichungen α_{1} = … = α_{k} = 0 und β_{1} = … = β_{l} = 0. Das beweist die lineare Unabhängigkeit von B_{1} ∪ B_{2}.

Bem.: (3.21)(ii) gilt – richtig interpretiert – auch für den Fall, daß U_{1} oder U_{2} unendlichdimensional sind. Für den Rest des Kapitels werden wir aber \underline{dim V < ∞} voraussetzen.

(3.22) Dimensionssatz. Seien U_{1}, U_{2} Unterräume eines Vektorraums V. Dann gilt

dim(U_{1} + U_{2}) = dim U_{1} + dim U_{2} − dim(U_{1} ∩ U_{2})

Bew.: U_{1} ∩ U_{2} =: U_{12}. Nach (3.21)(i) existieren Unterräume W_{1}(von U_{1} ⇒ von V) und W_{2}, so daß U_{1} = U_{12} ⊕ W_{1} und U_{2} = U_{12} ⊕ W_{2} gilt. Dann folgt

(∗) U_{1} + U_{2} = (U_{12} ⊕ W_{1}) ⊕ W_{2}

Denn einerseits läßt sich jedes Element v ∈ U_{1} + U_{2} als

v = u_{1} + u_{2} = u_{12} + w_{1} + u′_{12} + w_{2} = (u_{12} + u′_{12}) + w_{1} + w_{2}

mit u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}, u_{12}, u′_{12} ∈ U_{12}, w_{1} ∈ W_{1} und w_{2} ∈ W_{2} schreiben und andererseits gilt (U_{12} ⊕ W_{1}) ∩ W_{2} = U_{1} ∩ (U_{2} ∩ W_{2}) = U_{12} ∩ W_{2} = \{\underline{0}\}.

Nach (3.21)(ii) folgt aus (∗): dim(U_{1} + U_{2}) = dim U_{12} + dim W_{1} + dim W_{2}, und aus U_{1} = U_{12} ⊕ W_{1}, U_{2} = U_{12} ⊕ W_{2}:

dim U_{1} = dim U_{12} + dim W_{1}
dim U_{2} = dim U_{12} + dim W_{2}

Subtrahiert man diese beiden Gleichungen von der vorangehenden, so folgt

dim(U_{1} + U_{2}) − dim U_{1} − dim U_{2} = − dim U_{12}

oder

dim(U_{1} + U_{2}) = dim U_{1} + dim U_{2} − dim U_{12},

wie behauptet. Bez.: Ein Unterraum H ⊆ V heißt \underline{Hyperebene}, falls dim H = dim V − 1 gilt. (3.23) Folgerung. Ist U ⊆ V Unterraum, H ⊆ V Hyperebene, so gilt entweder

dim(U ∩ H) = dim U − 1

oder U ⊆ H(⇔ U = U ∩ H ⇔ dim(U ∩ H) = dim U).

Bew.: Aus (3.22) folgt (∗) dim(U ∩ H) = dim U + (dim V − 1) − dim(U + H). Gilt dim(U + H) < dim V, so folgt aus (3.18)(iii) angewendet auf H ⊆ U + H, daß H = U +H, d.h. U ⊆ H gilt. Gilt dim(U +H) = dim V, so folgt aus (∗): dim(U ∩H) = dim U −1. (3.24) Lemma. Ist K ein Körper und sind a_{1}, …, a_{n} ∈ K nicht alle = 0, so ist der Lösungsraum L_{I} ⊆ K^{n} der Gleichung

I a_{1}x_{1} + … + a_{n}x_{n} = 0

eine Hyperebene in K^{n}. Bew.: Sei etwa a_{j} ≠ 0. Dann folgt durch Auflösen von I nach x_{j}:

L_{I} = \{x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} | x_{j} = ∑_{i≠j^{i=1}}^{n} (−\frac{a_{i}}{a_{j}} ) x_{i}\}.

Wir definieren für i ≠ j die Vektoren v_{i} = e_{i} − \frac{a_{i}}{a_{j}} e_{j} ∈ K^{n}. Dann gilt

L_{I} = span{v_{i} | i ∈ {1, …, n} \ {j}}.

Da die Vektoren v_{i}, i ≠ j, linear unabhängig sind (!), folgt dim L_{I} = n − 1. (3.25) Satz. Sei K ein Körper und

a_{11} x_{1} + … + a_{1n} x_{n} = 0
I ⋮ ⋮ ⋮
a_{k1} x_{1} + … + a_{kn} x_{n} = 0

ein homogenes lineares Gleichungssystem mit a_{ij} ∈ K für 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n. Dann gilt dim L_{I} ≥ n − k.

Beweis: Induktion nach k. k = 1: Nach (3.24) ist der Lösungsraum L_{I} ⊆ K^{n} einer einzigen linearen Gleichung (n−1)- dimensional, es sei denn, alle Koeffizienten der Gleichung sind 0 (und in diesem Fall gilt L_{I} = K^{n}). In jedem Fall gilt dim L_{I} ≥ n − 1.

k > 1: Es sei I′ das Gleichungssystem, das aus den ersten (k − 1) Gleichungen von I besteht, und I_{k} sei die k’te (=letzte) Gleichung von I. Dann gilt

L_{I} = L_{I′} ∩ L_{I_{k}}

Die Induktionsvoraussetzung besagt: dim L_{I′} ≥ n − k + 1. Sind alle Koeffizienten von I_{k} gleich 0, so gilt L_{I_{k}} = K^{n}, also L_{I} = L_{I′} und damit dim L_{I} = dim L_{I′} ≥ n − k + 1 > n − k. Sind nicht alle Koeffizienten von I_{k} gleich 0, so ist L_{I_{k}} nach (3.24) eine Hyperebene. Dann folgt aus (3.23), angewendet auf U = L_{I′}, H = L_{I_{k}}: dim L_{I} = dim(L_{I′} ∩ L_{I_{k}}) ≥ dim(L_{I′}) − 1 ≥ n − k.

Bez.: Eine Teilmenge A von V heißt \underline{k-dimensionaler} \underline{affiner} \underline{Unterraum}, falls es ein v ∈ V und einen k-dimensionalen Unterraum U ⊆ V gibt, so daß A = {v + u | u ∈ U} =: v + U gilt. Ist k = 1, so nennt man A eine affine Gerade, ist k = 2, eine affine Ebene und ist k = dim V − 1, eine affine Hyperebene.

Bem.: Ein affiner Unterraum A von V ist genau dann ein Unter(vektor)raum von V, wenn \underline{0} ∈ A gilt. Sind v_{0}, v_{1} ∈ V und sind U_{0}, U_{1} Unterräume von V, so gilt v_{0} + U_{0} = v_{1} + U_{1} genau dann, wenn U_{0} = U_{1} und v_{1} − v_{0} ∈ U_{0} gilt.

(3.26) Folgerung. Sei K ein Körper und I ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit k Gleichungen für n Unbekannte. Dann gilt entweder L_{I} = ∅ oder L_{I} ist ein affiner Unterraum von K^{n} der Dimension ≥ n − k. Insbesondere besitzt I höchstens dann genau eine Lösung (d.h. #L_{I} = 1), wenn k ≥ n gilt.

Bew.: Die Behauptung folgt durch Kombination von (1.6) mit (3.25).

Bem.: Die Aussagen von (3.25) und (3.26) kann man auch direkt mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren einsehen.