(3.2) Rechenregeln. Für alle α ∈ K, v ∈ V gilt

(i) 0v = \underline{0}, α\underline{0} = \underline{0}

(ii) αv = \underline{0} ⇒ α = 0 oder v = \underline{0}

(iii) (−α)v = α(−v) = −(αv) (=: −αv)

Bew.:

(i) 0v = 0v + (v − v) = (0v + 1v) − v = (0 + 1)v − v = 1 · v − v = v − v = \underline{0} α\underline{0} = α\underline{0} + (α\underline{0} − α\underline{0}) = α(\underline{0} + \underline{0}) − α\underline{0} = α\underline{0} − α\underline{0} = \underline{0}

(ii) Sei αv = \underline{0} und α ≠ 0 ⇒^{(i)} α^{−1}(αv) = \underline{0} ⇒ (α^{−1}α)v = \underline{0} ⇒ 1v = \underline{0} ⇒ v = \underline{0}

(iii) (−α)v + αv = ((−α) + α)v = 0v =^{(i)} \underline{0} ⇒ (−α)v = −(αv)

α(−v) + αv = α((−v) + v) = α\underline{0} =^{(i)} \underline{0} ⇒ α(−v) = −(αv)

(3.3) Def.: Sei V K-Vektorraum und U ⊆ V. U heißt Unter(vektor)raum von V, falls

(i) U ≠ ∅

(ii) v_{1}, v_{2} ∈ U ⇒ v_{1} + v_{2} ∈ U

(iii) α ∈ K, v ∈ U ⇒ αv ∈ U

(3.4) Folgerung: Sei V K-Vektorraum, U ⊆ V Unterraum. Dann ist U (mit den von V auf U eingeschränkten Strukturen) ein K-Vektorraum.

Bew.: Sei U Unterraum.

(i) ⇒ + ist innere Verknüpfung auf U(⇒ (G_{1})).

(ii) ⇒ die Multiplikation mit Skalaren ist eine Abbildung K × U → U.

Wir zeigen: (U, +) ist abelsche Gruppe: v ∈ U ⇒^{(ii)} (−1)v ∈ U ⇒^{(3.2)(iii)} −v ∈ U

U ≠ ∅ ⇒ ∃v ∈ U ⇒ v und −v ∈ U ⇒^{(ii)} v + (−v) = \underline{0} ∈ V

Daraus folgen (G_{2}), (G_{3}) für (U, +), (G_{1}) für (U, +) folgt aus (G_{1}) für (V, +). Die anderen Eigenschaften sind offensichtlich erfüllt.

Beispiele:

1) {0} und V sind Unterräume von V

2) Ist m < n, so ist K^{m} × \{ \underbrace{(0, …, 0}_{(n−m)−mal}\} = \{(x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n} | x_{m+1} = … = x_{n} = 0\}

Unterraum von K^{n}

3) Ist I homogenes lineares Gleichungssystem für n Unbekannte mit Koeffizienten a_{ij} in K, so ist L_{I} Unterraum von K^{n}, vgl. (1.15).

4) V = {f | f : M → ℝ}, vgl. Bsp. 4) nach (3.1). Zu festem a ∈ M sei U = {f ∈ V | f(a) = 0}. Dann ist U Unterraum von V.

(3.5) Fakt. Ist V ein K-Vektorraum und U eine Menge von Unterräumen von K, so ist W := ⋂_{U∈U} U Unterraum von V .

Bew.: ∀U ∈ U : \underline{0} ∈ U ⇒ \underline{0} ∈ W

v_{1}, v_{2} ∈ W ⇔ ∀U ∈ U : v_{1}, v_{2} ∈ U ⇒^{(3.3)(ii)} ∀U ∈ U : v_{1} + v_{2} ∈ U ⇔ v_{1} + v_{2} ∈ W

Ebenso: α ∈ K, v ∈ W ⇒ αv ∈ W.

(3.6) Def.: Sei V K-Vektorraum, M ⊆ V. U_{M} := {U | U Unterraum von V mit M ⊆ U}

Dann heißt span(M) := ⋂_{U∈U_{M}} U der von M aufgespannte (oder erzeugte) Unterraum. M

heißt Erzeugendensystem von V, falls span(M) = V gilt. V heißt endlich erzeugt, falls es eine endliche Menge M ⊆ V gibt mit span(M) = V.

Bem.: (3.5) ⇒ span(M) ist Unterraum von V, der (bzgl. der Inklusion) kleinste, M enthaltende Unterraum.

Bsp.:

1) M = ∅ oder M = \{\underline{0}\} ⇒ span(M) = \{\underline{0}\}

2) Ist M Unterraum von V, so span(M) = M

(3.7) Satz. Sei V K-Vektorraum, ∅ ≠ M ⊆ V. Dann gilt:

span(M) = {v ∈ V | ∃k ∈ ℕ, α_{1}, …, α_{k} ∈ K, v_{1}, …, v_{k} ∈ M : v = α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k}}

Bez.: α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k} heißt eine Linearkombination der Vektoren v_{1}, …, v_{k}.

abgekürzt: α_{1}v_{1} + α_{s} v_{2} + … + α_{k}v_{k} = ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i}

Bew.: Wir bezeichnen die Menge auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens in (3.7) durch U_{0}.

1) Zeige U_{0} ist Unterraum von V. Wegen M ≠ ∅ gilt U_{0} ≠ ∅. Seien v, w ∈ U_{0}, v = α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k}, w = β_{1}w_{1} + … + β_{j}w_{j} mit α_{1}, …, β_{j} ∈ K, v_{1}, …, w_{j} ∈ M. Dann gilt v + w = α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k} + β_{1}w_{1} + … + β_{j}w_{j} ∈ U_{0}.

Sei α ∈ K, v = ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} ∈ U_{0} mit v_{i} ∈ M. Dann gilt

αv = α(α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k}) = α(α_{1}v_{1}) + … + α(α_{k}v_{k}) = (αα_{1})v_{1} + … + (αα_{k})v_{k} ∈ U_{0}.

(Kürzer: α ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} = ∑_{i=1}^{k} αα_{i}v_{i}).

Also ist U_{0} ein M enthaltender Unterraum. Nach Definition (3.6) folgt span(M) ⊆ U_{0}.

2) Zeige U_{0} ⊆ span(M). Seien v_{1}, …, v_{k} ∈ M, α_{1}, …, α_{k} ∈ K. Da span(M) Unterraum ist, folgt nach (3.3)(iii): α_{1}v_{1} ∈ span(M), …, α_{k}v_{k} ∈ span(M), und nach (3.3)(ii) α_{1}v_{1}+α_{2}v_{2} ∈ span(M), (α_{1}v_{1} + α_{2}v_{2}) + α_{3}v_{3} ∈ span(M), u.s.w. bis

α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k} ∈ span(M).

Also U_{0} ⊆ span(M).

Bsp.: Betrachte K^{n} und e_{1} := (1, 0, …, 0) ∈ K^{n}, e_{2} := (0, 1, 0, …, 0) ∈ K^{n}, …, e_{n} = (0, …, 0, 1) ∈ K^{n}. Dann ist M = {e_{1}, …, e_{n}} Erzeugendensystem für K^{n}. Es genügt, K^{n} ⊆ span(M) zu zeigen. Ist x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n}, so gilt x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + … + x_{n}e_{n} ∈ span(M).

(3.8) Def.: Die Vektoren v_{1}, …, v_{k} heißen \underline{linear unabhängig}, falls gilt: Ist α_{1} ∈ K, …, α_{k} ∈ K und α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k} = \underline{0}, so folgt α_{1} = α_{2} = … = α_{k} = 0. Sonst heißen die Vektoren v_{1}, …, v_{k} linear abhängig. Eine Teilmenge M von V heißt linear unabhängig, falls gilt: Ist k ∈ ℕ und sind v_{1}, …, v_{k} verschiedene Vektoren in M, so sind die v_{1}, …, v_{k} linear unabhängig. Sonst heißt M linear abhängig.

Bem.: v_{1}, …, v_{k} linear abhängig ⇔ ∃α_{1}, …, α_{k} ∈ K \underline{nicht} \underline{alle} = 0:

α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k} = \underline{0}

Bsp.:

1) \underline{0} ∈ M ⇒ M linear abhängig. Denn: 1 · \underline{0} = \underline{0}.

2) M = \{v\} linear unabhängig ⇔ v ≠ 0. Denn: αv = \underline{0}, v ≠ \underline{0} ⇒^{(3.2)(ii)} α = 0.

3) Sei M ⊆ M′ ⊆ V. Dann: M linear abhängig ⇒ M′ linear abhängig M′ linear unabhängig ⇒ M linear unabhängig

4) e_{1}, …, e_{n} sind linear unabhängig in K^{n}. Denn:

x_{1}e_{1} + … + x_{n}e_{n} = (x_{1}, …, x_{n}) = \underline{0} ⇔ x_{1} = … = x_{n} = 0.

5) V = {f | f : ℝ → ℝ}. Die Funktion x → sin x und x → cos x sind linear unabhängig. Seien r, s ∈ ℝ und r sin x + s cos x = 0 \underline{für alle} x ∈ ℝ. Dann gilt das speziell für x = 0 und x = \frac{π}{2}, d.h.

r \underbrace{sin 0}_{=0} +s \underbrace{cos 0}_{=1} = 0  ⇒ s = 0
r \underbrace{sin (\frac{π}{2} )}_{=1} +s \underbrace{cos (\frac{π}{2} )}_{=0} = 0 ⇒ r = 0.

(3.9) Fakt. Die Vektoren v_{1}, …, v_{k} seien linear unabhängig. Dann gilt:

α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k} = β_{1}v_{1} + … + β_{k}v_{k} ⇒ α_{1} = β_{1}, …, α_{k} = β_{k}

Bew.: Voraussetzung ⇒ (α_{1} − β_{1})v_{1} + (α_{2} − β_{2})v_{2} + … + (α_{k} − β_{k})v_{k} = \underline{0} ⇒^{l. unabh.} α_{1} − β_{1} = 0, …, α_{k} − β_{k} = 0 ⇒ α_{1} = β_{1}, …, α_{k} = β_{k}.

(3.10) Def.: Eine Teilmenge M von V heißt \underline{Basis von} V, falls M linear unabhängig und ein Erzeugendensystem von V (⇔ span(M) = V) ist.

Bsp.: {e_{1}, …, e_{n}} ⊆ K^{n} ist Basis von K^{n}, die “Standardbasis von K^{n}”.

Eine Beispielrechnung zur linearen Unabhängigkeit von Vektoren:

Wir fragen, ob die Vektoren (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, −1) im ℝ-Vektorraum ℝ^{3} linear unabhängig sind. Dazu nehmen wir an, daß für die reellen Zahlen r, s und t gilt:

r(1, 0, 1) + s(0, 1, 1) + t(1, 1, −1) = (0, 0, 0)

Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn wir aus dieser Gleichung folgern können, daß r = s = t = 0 gilt, vgl. Def. (3.8). Die Gleichung ist äquivalent zum homogenen linearen Gleichungssystem

r + t = 0 | −
s + t  = 0 |
r + s − t  = 0 _{←}|

Wir lösen es nach dem Gaußschen Eliminationsverfahren:

r  + t = 0
s + t = 0 | −
s − 2t = 0 _{←}|
r  + t = 0
s + t = 0
− 3t = 0

Aus der letzten Gleichung folgt t = 0, damit aus der vorletzten s = 0 und aus der ersten r = 0.

Vorsicht: Bezeichnet man im Körper (ℤ_{3}, +, ·) wie in Körpern üblich das 0-Element mit 0, das 1-Element mit 1 und das additive Inverse von 1 mit −1, so kann man die Vektoren (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, −1) auch als Element des ℤ_{3}-Vektorraums (ℤ_{3})^{3} auffassen. In diesem sind sie linear abhängig, denn

(1, 0, 1) + (0, 1, 1) − (1, 1, −1) = (0, 0, 0) in (ℤ_{3})^{3}!

(3.11) Lemma. (i) v ∈ span(M) ⇒ span(M ∪ {v}) = span(M) (ii) v ∈ span(M) \ M ⇒ M ∪ {v} linear abhängig

Beweis von (i): span(M) ⊆ span(M ∪ {v}) ist klar.

Sei w ∈ span(M ∪ {v}), w = αv + ∑_{j=1}^{l} β_{j}w_{j} mit w_{j} ∈ M.

v ∈ span(M) ⇒ v = ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} ⇒ w = ∑_{i=1}^{k}(αα_{i})v_{i} + ∑_{j=1}^{l} β_{j}w_{j} ∈ span(M).

Beweis von (ii): (3.7) ⇒ Es existiert k ∈ ℕ, α_{1}, …, α_{k} ∈ K, v_{1}, …, v_{k} ∈ M: v =^{(∗)} ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i}.

Wir können (mittels der Vektorraumaxiome) etwaige Summanden α_{i}v_{i} und α_{j}v_{j} mit v_{i} = v_{j} zu (α_{i} + α_{j})v_{i} zusammenfassen und dann annehmen, daß alle v_{1}, …, v_{k} verschieden sind. v ∉ M ⇒ v, v_{1}, …, v_{k} sind alle verschieden.

(∗) ⇒ 1 · v − ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} = 0 ⇒ M ∪ {v} linear abhängig.

(3.12) Satz. Folgende Aussage über eine Teilmenge M von V sind äquivalent:

(i) M ist Basis (ii) M ist linear unabhängig und jede echte Obermenge M′ ⊆ V von M ist linear

abhängig. (“M ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V.”) (iii) Es gilt span(M) = V und für jede echte Teilmenge M′′ von M gilt: span(M′′) ≠ V.

(“M ist ein minimales Erzeugendensystem von V.”)

Bew.: V = {0} ⇔ M = ∅ ist Basis von V. Dann ist (3.12) klar. Es genügt also, den Fall M ≠ ∅ zu betrachten.

1) (i) ⇒ (ii): Es ist zu zeigen, daß jede echte Obermenge M′ ⊆ V von M linear abhängig ist. Sei v ∈ M′ \ M. Wegen span(M) = V (M Basis!) gilt v ∈ span(M) \ M. Nach (3.11)(ii) ist M ∪ {v} und damit auch M′ ⊇ M ∪ {v} linear abhängig.

2) (ii) ⇒ (iii). Wir zeigen zunächst, daß span(M) = V gilt. Sei v ∈ V \ M. Wegen (ii) ist M ∪{v} linear abhängig. Es existieren also verschiedene v_{1}, …, v_{k} ∈ M und α, α_{1}, …, α_{k} ∈ K, nicht alle = 0, mit

αv + ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} = \underline{0}

Da M linear unabhängig ist ((ii)!), gilt α ≠ 0. Also

v = ∑_{i=1}^{k} (\frac{−α_{i}}{α} ) v_{i} ∈ span(M)

Also V \ M ⊆ span(M), und damit: V = span(M). Sei schließlich M′′ eine echte Teilmenge von M, v ∈ M\M′′. Wäre v ∈ span(M′′), so würde aus (3.11)(ii) folgen, daß M′′ ∪{v} ⊆ M linear abhängig ist, im Widerspruch dazu, daß M nach Voraussetzung ((ii)!) linear unabhängig ist. Also v ∉ span(M′′) und deshalb span(M′′) ≠ V.

3) (iii) ⇒ (i). Zu zeigen ist, daß M linear unabhängig ist. Seien v_{1}, …, v_{k} verschiedene Elemente in M, α_{1}, …, α_{k} ∈ K und

∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} = \underline{0}

wäre eines der α_{i} ungleich 0, z.B. α_{1} ≠ 0, so folgt:

v_{1} = ∑_{i=1}^{k} (\frac{−α_{i}}{α_{1}} ) v_{i} ∈ span\{v_{2}, …, v_{k}\} ⊆ span(M \ \{v_{1}\})

Wegen (3.11)(i) folgt span(M) = span(M \{v_{1}}), also span(M \{v_{1}}) = V, im Widerspruch zu (iii).

(3.13) Satz. Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.

Bem.: Wir zeigen sogar: Ist M_{0} ⊆ V linear unabhängig, so existiert eine M_{0} enthaltende Basis von V.

Bew.: 1) Wir betrachten zunächst den Spezialfall, daß es ein endliches Erzeugendensystem, genannt M_{1}, von V gibt. Dann existiert das kleinste n ∈ ℕ, so daß es eine n-elementige Teilmenge von M_{1} gibt, die V erzeugt. Sei M ein solches Erzeugendensystem. Dann folgt aus (3.12), daß M eine Basis von V ist. Zusätzlich gilt M ⊆ M_{1}.

2) Für den allgemeinen Fall benötigen wir folgendes

(3.14) Lemma von Zorn. Sei M ≠ ∅ eine Menge, deren Elemente Mengen sind. Gilt für jede Kette K ⊆ M, daß ⋃_{M∈K} M ∈ M gilt, so existiert ein maximales Element in M,

d.h. ein M ∈ M, so daß aus M ⊆ M′ ∈ M folgt M = M′.

Dabei heißt eine Teilmenge K von M \underline{Kette}, falls K ≠ ∅ und falls für je zwei Elemente M_{1}, M_{2} ∈ K gilt:

(∗) M_{1} ⊆ M_{2} oder M_{2} ⊆ M_{1}

Wir nehmen das Lemma von Zorn als Axiom der Mengenlehre hin und definieren in Abhängigkeit von einer gegebenen, linear unabhängigen Menge M_{0} ⊆ V:

M := {M | M_{0} ⊆ M ⊆ V, M linear unabhängig}

Wegen M_{0} ∈ M gilt M ≠ ∅. Wir wollen die Voraussetzung von (3.14) nachweisen. Sei also K eine Kette in M. Dann gilt M_{0} ⊆ ⋃_{M∈K} M und es bleibt zu zeigen, daß ⋃_{M∈K} M linear

unabhängig ist.

Seien v_{1}, …, v_{k} verschiedene Vektoren in ⋃_{M∈K} M. Dann existieren M_{1}, …, M_{k} ∈ K mit

v_{1} ∈ M_{1}, …, v_{k} ∈ M_{k}. Wegen (∗) existiert eine der Mengen M_{1}, …, M_{k}, sagen wir M_{j}, die die anderen enthält. Dann sind v_{1}, …, v_{k} verschiedene Elemente in M_{j} und damit linear unabhängig (, da M_{j} ∈ M linear unabhängig ist). Also ⋃_{M∈K} M ∈ M. Nach (3.2) ist ein

maximales Element von M, das nach (3.14) existiert, eine M_{0} enthaltende Basis von V.

\underline{Wichtig}: Es gibt im allgemeinen sehr viele Basen eines Vektorraumes. Sie haben aber alle “gleich viele” Elemente, siehe (3.16). Zum Beispiel bilden zwei Vektoren v = (a, b), w = (c, d) des ℝ^{2} genau dann eine Basis des ℝ^{2}, wenn ad − bc ≠ 0 (, was “meistens” der Fall ist!).

Bemerkung: Die “Lösung eines homogenen linearen Gleichungssystems”, d.h. das Auffinden einer Parameterdarstellung des Lösungsraums, besteht gerade darin, eine Basis dieses Lösungsraums zu finden.