Kapitel 4: Lineare Abbildungen und Matrizen.

Wie überall, so sind auch in der Mathematik nicht nur die einzelnen Objekte wichtig, sondern auch die Beziehungen zwischen ihnen, die hier meist durch Abbildungen beschrieben werden, die (in einem zu definierenden Sinn) die Struktur der Objekte erhalten, sogenannte Homomorphismen. Im folgenden seien V und W Vektorräume über \underline{demselben} Körper K.

(4.1) Definition. Eine Abbildung L : V → W heißt \underline{linear} (oder \underline{Vektorraumhomomorphismus}), falls für alle v, v_{1}, v_{2} ∈ V und alle α ∈ K gilt:

(i)  L(v_{1} + v_{2}) = L(v_{1}) + L(v_{2})  (L ist “additiv”)
(ii)  L(αV)  = αL(v)  (L ist “homogen”)

Bez.: Statt “lineare Abbildung” ist auch “linearer Operator” üblich. Im Fall W = K spricht man oft von einem “linearen Funktional” oder einer “Linearform” L : V → K.

Hom(V, W) := {L | L : V → W linear}.

Eine lineare Abbildung L : V → V heißt \underline{Endomorphismus}, End(V) = \{L | L : V → V linear}.

Ein Homomorphismus L : V → W heißt \underline{Isomorphismus}, falls L bijektiv ist. Zwei K-Vektorräume V und W heißen \underline{isomorph}, falls es einen Isomorphismus L : V → W gibt.

Beispiele:

0) id_{V} ∈ End(V).

Ist L : V → W die “0-Abbildung” definiert durch

∀v ∈ V : Lv = \underline{0} ∈ W,

so gilt L ∈ Hom(V, W). Ist U ⊆ V Unterraum, so ist die Inklusion i : U → V, ∀u ∈ U: i(u) := u, eine lineare Abbildung.

1) Für α ∈ K sei S_{α} : V → V, S_{α}(v) := αv, die “Streckung” um α. Dann gilt: S_{α} ∈ End(V).

2) V := der ℝ-Vektorraum ℝ. L ∈ End(ℝ) ⇔ ∃m ∈ ℝ ∀x ∈ ℝ : L(x) = mx. Nämlich:

m := L(1). Dann gilt: L(x) = L(x · 1) =^{(ii)} x · L(1) = m · x.

3) Zu reellen Zahlen a < b ist C^{0}([a, b], ℝ) = {f | f : [a, b] → ℝ stetig} ein ℝ-Vektorraum, vgl. Bsp. 4 nach (3.1).

L : C^{0}([a, b], ℝ) → ℝ, L(f) := ∫_{a}^{b} f(x)dx

L ist linearer Operator von C^{0}([a, b], ℝ) nach ℝ (“Lineares Funktional”).

4) C^{1}(ℝ, ℝ) = {f | f : ℝ → ℝ ist differenzierbar und f′ : ℝ → ℝ ist stetig} D : C^{1}(ℝ, ℝ) → C^{0}(ℝ, ℝ), D(f) := f′. D ist linearer Operator.

5) Die im Exkurs über Codes definierte Abbildung F : (ℤ_{2})^{n} → (ℤ_{2})^{p} ist linear.

Wichtig ist folgender Zusammenhang mit der Analysis: Ganz grob gesprochen ist die Analysis die Kunst, nichtlineare Funktionen (in einer kleinen Umgebung eines festen Punktes x_{0}) durch lineare Funktionen zu approximieren und aus Eigenschaften der approximierenden linearen Funktion (, mit der man gut explizit rechnen kann) auf Eigenschaften der ursprünglichen nichtlinearen Funktion zu schließen.

Im Fall von (nichtlinearen) Funktionen f : ℝ → ℝ und x_{0} ∈ ℝ ist die approximierende lineare Funktion gegeben durch h ∈ ℝ → f′(x_{0})h ∈ ℝ, und es gilt für den durch f(x_{0}+h) = f(x_{0}) + f′(x_{0})h + R(h) definierten “Approximationsfehler” R(h) : lim_{h→0} \frac{R(h)}{h} = 0. Betrachtet

man (z.B. in der Analysis II) Funktionen f : ℝ^{n} → ℝ^{m} und x_{0} ∈ ℝ^{n}, so wird in der analogen Definition der Differenzierbarkeit aus der linearen Funktion h ∈ ℝ → f′(x_{0})h ∈ ℝ eine lineare Abbildung Df(x_{0}) ∈ Hom(ℝ^{n}, ℝ^{m}). Noch allgemeiner betrachtet man in der Theorie der Differentialgleichungen (und in der Physik und in anderen Wissenschaften) nichtlineare Differentialoperatoren zwischen unendlich-dimensionalen Funktionenräumen, die durch lineare Operatoren zwischen solchen Funktionenräumen approximiert werden. Oft verwendet man in der Physik direkt diese linearisierten Operatoren (z.B. Wellengleichung, Wärmeleitungsgleichung).

Bez.: Ist L ∈ Hom(V, W), so heißt

ker L := \{v ∈ V | L(v) = \underline{0} ∈ W \} = L^{−1}(\{\underline{0}\})

der Kern von L und

im L := {w ∈ W | ∃v ∈ V : L(v) = w} = L(V)

das Bild von L.

(4.2) Fakt. Sei L ∈ Hom(V, W), U_{1} Unterraum von V, U_{2} Unterraum von W. Dann gilt:

(i) L(U_{1}) ist Unterraum von W.

(ii) L^{−1}(U_{2}) ist Unterraum von V.

Speziell: ker L ist Unterraum von V, im L ist Unterraum von W, und es gilt L(\underline{0}) = \underline{0}.

Bew.:

(i) Sind w_{1}, w_{2} ∈ L(U_{1}), so existieren v_{1}, v_{2} ∈ U_{1}, so daß L(v_{1}) = w_{1} und L(v_{2}) = w_{2} gilt. Da U_{1} Unterraum ist, gilt v_{1} +v_{2} ∈ U_{1}, also L(v_{1} +v_{2}) ∈ L(U_{1}). Die Additivität von L impliziert: w_{1} + w_{2} = L(v_{1}) + L(v_{2}) = L(v_{1} + v_{2}) ∈ L(U_{1}). Analog folgt: Ist w ∈ L(U_{1}), α ∈ K, so gilt αw ∈ L(U_{1}). Schließlich impliziert U_{1} ≠ ∅, daß L(U_{1}) ≠ ∅ gilt.

(ii) Ist v ∈ L^{−1}(U_{2}), α ∈ K, so gilt αL(v) ∈ U_{2}, da U_{2} ein Unterraum ist. Die Homogenität von L impliziert: L(αv) = αL(v) ∈ U_{2}, also αv ∈ L^{−1}(U_{2}). Analog folgt: Sind v_{1}, v_{2} ∈ L^{−1}(U_{2}), so gilt v_{1}, v_{2} ∈ L^{−1}(U_{2}). Schließlich zeigen wir, daß L(\underline{0}) = \underline{0}, gilt. Daraus folgt dann \underline{0} ∈ L^{−1}(U_{2}), speziell L^{−1}(U_{2}) ≠ ∅. L(\underline{0}) = L(0\underline{0}) = 0L(\underline{0}) = \underline{0}, vgl. (3.2)(i).

(4.3) Fakt. Sei L ∈ Hom(V, W). Folgende Aussagen sind äquivalent.

(i) L ist injektiv.

(ii) ker L = \{\underline{0}\}.

(iii) Ist M ⊆ V linear unabhängig, so ist L(M) ⊆ W linear unabhängig.

Bew.: (i) ⇒ (ii): Ist L injektiv, so ist \underline{0} ∈ V das einzige Element von V, das durch L auf \underline{0} ∈ W abgebildet wird, also ker L = \{\underline{0}\}. (ii) ⇒ (iii): Es gelte ker L = \{\underline{0}\} und M ⊆ V sei linear unabhängig. Seien w_{1}, …, w_{k}

verschiedene Elemente von L(M), α_{1}, …, α_{k} ∈ K, und es gelte ∑_{i=1}^{k} α_{i}w_{i} = \underline{0}. Wir wollen

zeigen, daß α_{1} = … = α_{k} = 0 gilt. Zu jedem w_{i} ∈ L(M) existiert ein v_{i} ∈ M mit L(v_{i}) = w_{i}. Da die w_{1}, …, w_{k} verschieden sind, sind auch die v_{1}, …, v_{k} verschieden. Durch Induktion folgt aus der Linearität von L, daß

L (∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i}) = ∑_{i=1}^{k} α_{i}L(v_{i})

gilt. Aus ∑_{i=1}^{k} α_{i}L(v_{i}) = ∑_{i=1}^{k} α_{i}w_{i} = \underline{0} folgt also

∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} ∈ ker L = {0},

d.h. ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} = \underline{0}. Da die v_{1}, …, v_{k} verschiedene Elemente der linear unabhängigen Menge

M sind, folgt α_{1} = … = α_{k} = 0.

(iii) ⇒ (i): Seien v_{1} ≠ v_{2} ∈ V. Dann gilt v_{2} −v_{1} ≠ \underline{0}, d.h. die Menge M = \{v_{2} −v_{1}\} ⊆ V ist linear unabhängig. Nach (iii) ist dann auch L(M) = {L(v_{2} − v_{1})} ⊆ W linear unabhängig, d.h. L(v_{2} − v_{1}) ≠ \underline{0}. Nun gilt (vgl. (3.2)(iii)):

\underline{0} ≠ L(v_{2} − v_{1}) = L(v_{2} + (−1)v_{1}) = L(v_{2}) + L((−1)v_{1}) = L(v_{2}) − L(v_{1}).

Also L(v_{1}) ≠ L(v_{2}), d.h. L ist injektiv.

Bem.: Die linke Seite eines linearen Gleichungssystems I mit k Gleichungen und n Unbekannten definiert wie folgt eine lineare Abbildung L ∈ Hom(K^{n}, K^{k}):

L(x_{1}, …, x_{n}) := (a_{11}x_{1} + … + a_{1n}x_{n}, …, a_{k1}x_{1} + … + a_{kn}x_{n}) ∈ K^{k}.

Das Problem, für eine gegebene rechte Seite b = (b_{1}, …, b_{k}) ∈ K^{k} von I die Lösungsmenge L_{I} zu finden, ist also gerade das Problem die Urbildmenge L^{−1}({b}) zu finden,

L_{I} = L^{−1}({b}).

Es gilt also: I ist besitzt für die rechte Seite b = (b_{1}, …, b_{k}) eine Lösung ⇔ b ∈ im L.

I besitzt für jede rechte Seite höchstens eine Lösung ⇔ L injektiv ⇔ ker L = \{\underline{0}\}. I besitzt für jede rechte Seite genau eine Lösung ⇔ L Isomorphismus.

(4.4) Lemma. Sei L ∈ Hom(V, W), M ⊆ V. Dann gilt:

L(span(M)) = span L(M).

Bew.: Übungsaufgabe.

(4.5) Folgerung. Sei L ∈ Hom(V, W). Dann sind äquivalent:

(i) L ist Isomorphismus (⇔ L bijektiv).

(ii) Für jede Basis B von V gilt: L|B ist injektiv und L(B) ist Basis von W.

(iii) Es existiert eine Basis B von V, so daß L|B injektiv und L(B) Basis von W ist.

Bew.:

(i) ⇒ (ii). Sei B ⊆ V Basis ⇒^{(4.3)} L(B) ist linear unabhängig.

span L(B) =^{(4.4)} L(span B) = L(V) =^{L surjektiv} W ⇒ L(B) ist Erzeugendensystem von W. L injektiv ⇒ L|B injektiv.

(ii) ⇒ (iii): klar, da nach (3.13) eine Basis von V existiert.

(iii) ⇒ (i). Zeige: L ist injektiv. Sei v ∈ ker L. Dann existiert k ∈ ℕ und verschiedene

v_{1}, …, v_{k} ∈ B und α_{1}, …, α_{k} ∈ K: v = ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i}. Daraus folgt

(∗) \underline{0} = L(v) = ∑_{i=1}^{k} α_{i}L(v_{i}).

Da L|B injektiv ist, sind die L(v_{1}), …, L(v_{k}) verschiedene Elemente der Basis L(B). Also folgt aus (∗): α_{1} = … = α_{k} = 0 und daraus v = 0. Also ker L = \{\underline{0}\}, d.h. L ist injektiv.

L(V) = L span B) =^{(4.4)} span L(B) = W ⇒ L ist surjektiv.

Bez.: Eine geordnete Basis G eines n-dimensionalen Vektorraums V ist ein n-Tupel von Vektoren G = (v_{1}, …, v_{n}), so daß {v_{1}, …, v_{n}} eine Basis von V ist.

(4.6) Satz. Sei dim V = n < ∞, G = (v_{1}, …, v_{n}) geordnete Basis von V und w_{1}, …, w_{n} beliebige Elemente von W. Dann existiert genau ein L ∈ Hom(V, W), so daß Lv_{1} = w_{1} …, Lv_{n} = w_{n} gilt.

Beweis: Vorbemerkung: Wegen span{v_{1}, …, v_{n}} = V existieren zu jedem v ∈ V Skalare

α_{1}, …, α_{n} ∈ K, so daß v = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i} gilt, und da die v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig sind, sind

die α_{1}, …, α_{n} eindeutig durch v bestimmt, vgl. (3.9).

(i) Eindeutigkeit von L: Es seien L, L′ ∈ Hom(V, W) und Lv_{i} = L′v_{i} für alle i ∈

{1, …, n}. Sei v = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i} ∈ V. Dann gilt

L(v) = L (∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i}) = ∑_{i=1}^{n} α_{i}L(v_{i}) = ∑_{i=1}^{n} α_{i}L′(v_{i}) = L′(∑ α_{i}v_{i}) = L′(v).

(ii) Existenz von L: Für v = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i} ∈ V definieren wir

L(v) := ∑_{i=1}^{n} α_{i}w_{i} ∈ W.

Ist v = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i}, v′ = ∑^{n} α′_{i}v_{i}, so v + v′ = ∑_{i=1}^{n}(α_{i} + α′_{i})v_{i} und damit:

L(v + v′) = ∑_{i=1}^{n}(α_{i} + α′_{i})w_{i} = ∑_{i=1}^{n} α_{i}w_{i} + ∑_{i=1}^{n} α′_{i}w_{i} = L(v) + L(v′), d.h. L ist additiv. Analog

folgt, daß L homogen ist, also L ∈ Hom(V, W). Offensichtlich gilt L(v_{i}) = w_{i} für alle i ∈ {1, …, n}.

Bem.: Eine (4.6) entsprechende Aussage gilt auch im Fall dim V = ∞.

(4.7) Folgerung. Seien V, W K-Vektorräume, dim V = n < ∞. Dann gilt:

(i) V ist isomorph zu K^{n}.

(ii) V ist isomorph zu W ⇔ dim V = dim W.

Bew.:

(i) Sei (v_{1}, …, v_{n}) geordnete Basis von V. Nach (4.6) existiert ein L ∈ Hom(V, K^{n}) mit L(v_{1}) = e_{1}, …, L(v_{n}) = e_{n}. Nach (4.5) ist L Isomorphismus.

(ii) Analog folgt aus dim V = dim W, daß V und W isomorph sind. Ist umgekehrt L : V → W Isomorphismus, so folgt aus (4.5), daß dim V = dim W gilt.

(4.8) Dimensionssatz für lineare Abbildungen. Ist L ∈ Hom(V, W) und dim V < ∞, so gilt dim(ker L) < ∞, dim(im L) < ∞ und

dim V = dim(ker L) + dim(im L).

Speziell folgt: Ist dim V = dim W, so gilt: L injektiv ⇔ L surjektiv ⇔ L bijektiv.

Bew.: Aus (3.21) folgt die Existenz eines zu ker L komplementären Unterraums U von V, d.h. ker L ⊕ U = V und

dim(ker L) + dim U = dim V.

Wir zeigen, daß L|U : U → im L ein Isomorphismus ist und damit dim U = dim(im L), woraus mit der vorangehenden Gleichung die Behauptung folgt.

L|U ist injektiv, da ker(L|U) = ker L ∩ U = \{\underline{0}\}, vgl. (4.3). Zu jedem w ∈ im L existiert ein v ∈ V mit L(v) = w. Wegen ker L ⊕ U = V existieren v_{1} ∈ ker L und u ∈ U, so daß v = v_{1} + u gilt. Dann folgt w = L(v) = L(v_{1}) + L(u), d.h. w ∈ L(U). Das zeigt, daß L|U : U → im L surjektiv ist.

Anwendung:

Sei I die linke Seite eines linearen Gleichungssystems mit n Unbekannten und k Gleichungen und Koeffizienten a_{ij} ∈ K. Sei L : K^{n} → K^{k} die zugehörige lineare Abbildung, vgl. Bem. nach (4.3). Dann gilt: L_{I^{hom}} = ker L und

{b = (b_{1}, …, b_{k}) ∈ K^{k} | ∃ Lösung von I mit der rechten Seite b} = im L.

Aus (4.8) folgt: dim L_{I^{hom}} = n − dim(im L) ≥ n − k. Das wurde schon in (3.25) gezeigt.

I ist für beliebige rechte Seiten (b_{1}, …, b_{k}) lösbar ⇔ dim(im L) = k
⇔ dim(L_{I^{hom}}) = n − k

d.h. ist n ≥ k und ist I für beliebige rechte Seite lösbar, so ist die Lösungsmenge für jede rechte Seite ein (n − k)-dimensionaler affiner Unterraum. Ist k = n, so gilt: I ist für beliebige rechte Seiten (b_{1}, …, b_{n}) lösbar ⇔ L_{I^{hom}} = {0} ⇔ I besitzt für jede rechte Seite (b_{1}, …, b_{n}) genau eine Lösung.