(4.21) Def.: Der \underline{Rang} \underline{rg(A)} von A ∈ K^{m×n} ist die maximale Zahl linear unabhängiger Spaltenvektoren von A.

Bem.: 1) 0 ≤ rg(A) ≤ min{n, m}. Begründung: Da A n Spaltenvektoren hat, gilt rg(A) ≤ n. Da der Raum K^{m×1} ≃ K^{m} der Spaltenvektoren m-dimensional ist, gilt rg(A) ≤ m, vgl. (3.16) Austauschsatz von Steinitz.

2) Für A ∈ K^{n×n} gilt: rg(A) = n ⇔ A ∈ GL_{n}(K).

(4.22) Fakt: Sei L ∈ Hom(K^{n}, K^{m}) und A = Mat(L). Dann gilt

rg(A) = dim(span{Spaltenvektoren von A}) = dim(im L)
= n − dim(ker L) = n − dim{x ∈ K^{n×1} | Ax = 0}.

Bew.: Die 1. Gleichung folgt aus der Tatsache, daß die Dimension eines Vektorraums die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren dieses Vektorraums ist. Die 2. Gleichung, folgt aus “L(e_{j}) = j’ter Spaltenvektor von A” und im L = span{L(e_{j}) | 1 ≤ j ≤ n}. Die 3. Gleichung folgt aus (4.8) und die 4. Gleichung folgt aus der dritten.

(4.23) Satz. Für jedes A ∈ K^{m×n} ist rg(A) auch die maximale Zahl linear unabhängiger Zeilenvektoren von A (“Spaltenrang = Zeilenrang”).

Bew.: Siehe (4.25).

(4.24) Satz. Sei A = (a_{ij}) ∈ K^{m×n} und I das lineare Gleichungssystem

I A ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{m} )

und (A|b) ∈ K^{m×(n+1)} die Matrix ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} & b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} & b_{m} \end{matrix} )

Dann gilt: I besitzt eine Lösung ⇔ rg(A) = rg(A|b)

Bew.: A ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{m} ) ⇔ ( \begin{matrix}a_{11}x_{1} & + … + & a_{1n}x_{n} & = b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1}x_{1} & + … + & a_{mn}x_{n} & = b_{m} \end{matrix} ) ⇔

x_{1} \underbrace{( a_{11} ; ⋮ ; a_{m1} )}_{=:A_{1}} +x_{2} \underbrace{( a_{12} ; ⋮ ; a_{m2} )}_{=:A_{2}} + … + x_{n} \underbrace{( a_{1n} ; ⋮ ; a_{mn} )}_{=:A_{n}} = \underbrace{( b_{1} ; ⋮ ; b_{m} )}_{=b} ∈ K^{m×1}.

Also: I besitzt Lösung ⇔ span{A_{1}, …, A_{n}} = span{A_{1}, …, A_{n}, b} ⇔ rg(A) = rg(A|b)

Konkrete Rechenverfahren: (4.25) Lösen eines linearen Gleichungssystems mit dem Gaußschen Algorithmus in Matrizenschreibweise. (Zum Lösen von linearen Gleichungssystemen siehe auch (1.13), (1.15), (1.16), (3.25), (3.26) und (4.8) plus Anwendung).

Gegeben das lineare Gleichungssystem

a_{11}x_{1} + … + a_{1n}x_{n} = b_{1}
⋮  ⋮
a_{m1}x_{1} + … + a_{mn}x_{n} = b_{m}.

Setze

A_{1} := ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} & b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} & b_{m} \end{matrix} ) ∈ K^{m×(n+1)}.

1. Fall a_{11} ≠ 0:

A_{1} → A_{2} := ( \begin{matrix}1 & \frac{a_{12}}{a_{11}} & … & \frac{a_{1n}}{a_{11}} & \frac{b_{1}}{a_{11}} \\ 0 & a_{22} − a_{21} \frac{a_{12}}{a_{11}} & … & a_{2n} − a_{21} \frac{a_{1n}}{a_{11}} & b_{2} − a_{21} \frac{b_{1}}{a_{11}} \\ ⋮ & ⋮ & … & ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{m2} − a_{m1} \frac{a_{12}}{a_{11}} & … & a_{mn} − a_{m1} \frac{a_{1n}}{a_{11}} & b_{m} − a_{m1} \frac{b_{1}}{a_{11}} \end{matrix} )

2. Fall: a_{11} = 0, aber es existiert i > 1 : a_{i1} ≠ 0. Vertausche 1. und i’te Zeile von A_{1}. Dann 1. Fall.

3. Fall: a_{i1} = 0 für 1 ≤ i ≤ m, d.h.

A_{1} = ( \begin{matrix}0 a_{12} & … & b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ \\ 0 a_{m2} & … & b_{m} \end{matrix} ) ∈ K^{m×(n+1)}. Betrachte Ã_{1} = ( \begin{matrix}a_{12} & … & b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m2} & … & b_{m} \end{matrix} ) ∈ K^{m×n}.

Dann 1. Fall (für n − 1).

Iteriere! → Endergebnis ist eine Matrix (\overline{A}|\overline{b}) ∈ K^{m×(n+1)} in Treppenform, z.B.

\overline{A} = ( \begin{matrix}1 & ∗ & ∗ & · & · & · & ∗ \\ 0 & 0 & 1 & ∗ & · & · & ∗ \\ 0 & 0 & 0 & 1 & ∗ & · & ∗ \\ · & · & · & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) (hier ist j_{1} = 1, j_{2} = 3, j_{3} = 4),

d.h. es gibt Zahlen k ≤ min{m, n} und 1 ≤ j_{1} < j_{2} < … < j_{k} ≤ n (⇒ j_{i} ≥ i für i ∈ {1, …, k}) mit:

1) a_{ij_{i}} = 1 für 1 ≤ i ≤ k und a_{ij} = 0 für 1 ≤ i ≤ k und j < j_{i}.
2) a_{ij} = 0 für i > k.

Wegen (1.13) gilt für alle x = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) ∈ K^{n×1} und alle b = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{m} ) ∈ K^{m×1}:

(I)  Ax = b ⇔ \overline{A}x = \overline{b}  (\overline{I})

Falls b = 0, so \overline{b} = 0. Deshalb folgt aus (4.22):

rg(A) = n − dim\{x | Ax = 0\} = n − \underbrace{dim\{x | \overline{A}x = 0\}}_{=n−k} = rg(\overline{A}) = k.

Andererseits: rg(A) = k = dim(span\{Zeilenvektoren von \overline{A}\}) = dim(span\{Zeilenvektoren von A\})

Daraus folgt (4.23).

I besitzt Lösung ⇔ Für i > k = rg(A) gilt: \overline{b}_{i} = 0. Dann ist \overline{I} rekursiv auflösbar, beginnend mit der k’ten Zeile, und die Lösungsmenge von I (=Lösungsmenge von \overline{I}) ist ein (n−rg(A))- dimensionaler affiner Unterraum von K^{n}.

(4.26) Berechnung der inversen Matrix mit dem Gaußschen Algorithmus. Gegeben A ∈ K^{n×n}. Frage: Gilt A ∈ GL_{n}(K). Wenn ja, berechne A^{−1}.

Betrachte (A | E_{n}) = (A | \begin{matrix}1 & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & 1 \end{matrix} ) ∈ K^{n×(2n)} und wende (4.25) analog auf (A | E_{n})

an. Man erhält (\overline{A} | \overline{B}) ∈ K^{n×(2n)}, und es gilt A ∈ GL_{n}(K) ⇔ \overline{A} ∈ GL_{n}(K) ⇔ \overline{a}_{ii} = 1

für 1 ≤ i ≤ n. Ausserdem gilt \overline{a}_{ij} = 0 für i > j … (d.h. \overline{A} = ( \begin{matrix}1 & ∗ & … & ∗ \\ 0 & ... & & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ∗ \\ 0 & … & 0 & 1 \end{matrix} ) ). Durch

geeignete Additionen der letzten, der vorletzten, …, der 2. Zeile verwandelt man (\overline{A} | \overline{B}) in (E_{n} | \overline{\overline{B}}), und es gilt für j ∈ \{1, …, n\} und alle x ∈ K^{n×1}:

Ax = e_{j} ⇔ E_{n}x(= x) = j’te Zeile von \overline{\overline{B}} = \overline{\overline{B}}e_{j}.

Also: A\overline{\overline{B}}e_{j} = Ax = e_{j} für j ∈ \{1, …, n\} und damit A\overline{\overline{B}} = E_{n}. Also gilt:

\overline{\overline{B}} ist zu A inverse Matrix.

Zwei explizite Beispiele zu den Rechenverfahren.

Zu (4.25):

I \begin{aligned}x_{1} & + & x_{2} & − & x_{3} & − & x_{4} & = & −2 \\ 3x_{1} & + & 3x2 & − & x_{3} & − & 2x_{4} & = & 6 \\ −x_{1} & − & x_{2} & + & 3x_{3} & + & 2x_{4} & = & 14 \end{aligned}

(A|b) = \begin{matrix}( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & −1 \\ 3 & 3 & −1 & −2 \\ −1 & −1 & 3 & 2 \end{matrix} | \begin{matrix}−2 \\ 6 \\ 14 \end{matrix} ) & \begin{aligned}−3 | & + | \\ _{←}| & | \\ & _{←}| \end{aligned} \\ ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & −1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}−2 \\ 12 \\ 12 \end{matrix} ) & \begin{matrix}− | & : \frac{1}{2} \\ _{←}| \end{matrix} \\ ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} | \begin{matrix}−2 \\ 6 \\ 0 \end{matrix} ) & \begin{matrix}^{←}| \\ +| \end{matrix} \\ ( & \begin{matrix}1 & 1 & 0 & −\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} | & 4 6 0 & ) \end{matrix}

Es folgt: rg(A) = 2, I ist lösbar, der Lösungsraum L_{I} ist ein 2-dimensionaler affiner Unterraum.

Explizite Lösung:

x_{4} =: λ
x_{3} + \frac{1}{2}x_{4} = 6  ⇒ x_{3} = 6 − \frac{1}{2}λ
x_{2} =: μ
x_{1} + x_{2} − \frac{1}{2}x_{4} = 4 ⇒ x_{1} = \frac{1}{2}λ − μ + 4

L_{I} \begin{matrix}= \{(\frac{1}{2}λ − μ + 4, μ, 6 − \frac{1}{2}λ, λ) | (λ, μ) ∈ ℝ^{2}\} \\ = \{(4, 0, 6, 0) + λ(\frac{1}{2}, 0, −\frac{1}{2}, 1) + μ(−1, 1, 0, 0) | (λ, μ) ∈ ℝ^{2}\} \\ = (4, 0, 6, 0) + span\{(\frac{1}{2}, 0, −\frac{1}{2}, 1), (−1, 1, 0, 0)\} ⊆ ℝ^{4} \end{matrix}

Zu (4.26)

Berechnung von A^{−1} für A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{3×3}

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )  \begin{aligned}− | & − | \\ _{←}| & | \\ & _{←}| \end{aligned}

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} | \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \end{matrix} )  \begin{matrix}+| & ·(−1) \\ _{←}| \end{matrix}

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & −1 & 0 \\ −2 & 1 & 1 \end{matrix} )  \begin{aligned}& ^{←}| \\ ^{←}| & | \\ +| & −| \end{aligned}
( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}3 & −1 & −1 \\ −1 & 0 & 1 \\ −2 & 1 & 1 \end{matrix} )  \begin{matrix}^{←}| \\ −| \end{matrix}

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}4 & −1 & −2 \\ −1 & 0 & 1 \\ −2 & 1 & 1 \end{matrix} ) ⇒ A^{−1} = ( \begin{matrix}4 & −1 & −2 \\ −1 & 0 & 1 \\ −2 & 1 & 1 \end{matrix} ) ∈ GL_{3}(ℚ) ⊆ ℚ^{3×3}.

Speziell folgt: A ∈ GL_{3}(ℚ).