5. Die Determinante

Motivation: Ist V ein ℝ-Vektorraum der Dimension n und sind v_{1}, …, v_{n} linear unabhängige Vektoren in V, so heißt

P (v_{1}, …, v_{n}) = {∑_{i=1}^{n} t_{i}v_{i} | ∀i ∈ {1, …, n} : 0 ≤ t_{i} ≤ 1}

das von v_{1}, …, v_{n} aufgespannte Parallelotop.

Bsp.: n = 2: Parallotop = Parallelogramm.

Wie es bisher für uns keinen mathematischen Sinn hat von der “Länge eines Vektors v ∈ V ” zu sprechen (dazu benötigt man eine zusätzliche “mathematische Struktur” - eine Norm oder ein Skalarprodukt auf V), so benötigt man auch eine zusätzliche Struktur auf V, um “das” Volumen eines Parallelotops definieren zu können. Diese zusätzliche Struktur auf dem ℝ-Vektorraum V heißt eine Determinantenform und ist eine Funktion D : V^{n} = \underbrace{V × … × V}_{n-mal} → ℝ, die einer geordneten Basis (v_{1}, …, v_{n}) von V eine reelle Zahl (≠ 0)

zuordnet, deren Betrag wir als Definition für das Volumen von P (v_{1}, …, v_{n}) nehmen wollen. (Es stellt sich heraus, daß die Funktion D, die positive und negative Werte annimmt, das mathematisch natürliche Objekt ist. Das Vorzeichen von D(v_{1}, …, v_{n}) sagt etwas über die “Orientierung” der geordneten Basis (v_{1}, …, v_{n}) aus, d.h. im Fall V = ℝ^{3} (und in physikalischer Sprechweise) ob (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ein Rechts- oder ein Linkssystem ist). Damit man so zu einem vernünftigen Volumenbegriff kommt, wird D besondere Eigenschaften haben müssen. Es ist eine erfreuliche Tatsache, daß D durch folgende natürliche Forderungen nahezu eindeutig (d.h. bis auf Multiplikation mit einer reellen Zahl ≠ 0) bestimmt ist.

(V_{1}) (v_{1}, …, v_{n}) Basis ⇒ D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0.

(V_{2}) Für alle i ∈ {1, …, n}, (v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n} und r ∈ ℝ gilt:

D(v_{1}, …, v_{i−1}, rv_{i}, v_{i+1}, …, v_{n}) = rD(v_{1}, …, v_{n})

(V_{3}) Für alle 1 ≤ i < j ≤ n und alle (v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n} gilt

D(v_{1}, …, v_{i−1}, v_{i} + v_{j}, v_{i+1}, …, v_{n}) = D(v_{1}, …, v_{n}) = D(v_{1}, …, v_{j−1}, v_{i} + v_{j}, …, v_{n})

Dabei hat (V_{2}) die anschauliche Interpretation, daß das Volumen von P (v_{1}, …, v_{i−1}, rv_{i}, v_{i+1}, …, v_{n}) das |r|-fache des Volumens von P (v_{1}, …, v_{n}) sein soll.

Die anschauliche Bedeutung von (V_{3}) ist die “Scherungsinvarianz” des Volumens.

(5.1) Def. Sei V ein K-Vektorraum, k ∈ ℕ. Eine Abbildung f : V^{k} → K heißt

(i) k-linear (k-Linearform), falls f in jedem Argument linear ist, d.h. falls für jedes i ∈ {1, …, k} und alle v_{1}, …, v_{i−1}, v, w, v_{i+1}, …, v_{k} ∈ V, α, β ∈ K gilt:

\begin{aligned}f(v_{1}, …, v_{i−1}, αv + βw, v_{i+1}, …, v_{k}) & = & αf(v_{1}, …, v_{i−1}, v, v_{i+1}, …, v_{k}) \\ & + & βf(v_{1}, …, v_{i−1}, w, v_{i+1}, …, v_{k}) \end{aligned}

(ii) alternierend (oder schiefsymmetrisch) falls für alle 1 ≤ i < j ≤ k und alle v_{1}, …, v_{k} ∈ V gilt: v_{i} = v_{j} ⇒ f(v_{1}, …, v_{i}, …, v_{j}, …, v_{k}) = 0

(5.2) Lemma. Sei V K-Vektorraum, dim V = n und f : V^{n} → K. f erfüllt genau dann die Bedingungen (V_{2}) (für K statt ℝ) und (V_{3}), wenn f alternierend und n-linear ist.

Bew.: siehe R. Walter, Einf. i.d. Lin. Alg. (Vieweg-Verlag 1982) S. 146, Satz D).

(5.3) Lemma. Für jede alternierende k-Linearform f : V^{k} → K gilt:

(i) ∀1 ≤ i < j ≤ k: f(…, v^{i}, …, w^{j}, …) = −f(…, w^{i}, …, v^{j}, …)

(ii) v_{1}, …, v_{n} linear abhängig ⇒ f(v_{1}, …, v_{n}) = 0

(iii) ∀1 ≤ i < j ≤ k: f(…, v^{i}, …, w + λv^{j}, …) = f(…, v^{i}, …, w^{j}, …)

Bew.:

(i)

0 = f(…, v + w, …, v + w, …)
= f(…, v, …, v + w, …) + f(…, w, …, v + w, …)
= \underbrace{f(…, v, …, v, …)}_{=0} +f(…, v, …, w, …)

+f(…, w, …, v, …) + \underbrace{f(…, w, …, w, …)}_{=0}

(ii) Sei etwa v_{i} = ∑_{\begin{matrix}j=1 \\ j≠i \end{matrix}}^{k} α_{j}v_{j}. Dann:

f(v_{1}, …, v_{n}) = ∑_{\begin{matrix}j=1 \\ j≠i \end{matrix}}^{n} α_{j} \underbrace{f(v_{1}, …, v_{i−1}, v_{j}, v_{i+1}, …, v_{k})}_{=0} = 0

(iii) klar.

Wir werden uns als nächstes damit beschäftigen, herauszufinden, wie sich der Wert einer alternierenden Form ändert, wenn man die Argumente ganz beliebig vertauscht (“permutiert”). Zunächst einiges zu diesen Permutationen:

Die Menge S_{n} = {σ | σ : {1, …, n} → {1, …, n}, σ bijektiv} mit der Komposition ∘ von Abbildungen als Verknüpfung bildet eine Gruppe, die symmetrische Gruppe. Ein σ ∈ S_{n} heißt eine Permutation von {1, …, n}.

Sind a_{1}, …, a_{k} Körperelemente, so führen wir in Analogie zum Summensymbol Σ ein:

∏_{i=1}^{k} a_{i} := a_{1} · a_{2} · . . . · a_{k}.

(5.4) Def.: Ist σ ∈ S_{n}, so heißt

sgn(σ) := ∏_{1≤i<j≤n} \frac{σ(j) − σ(i)}{j − i}

das Signum von σ.

Bsp.: 1) σ = id_{{1,...,n}} ⇒ sgn(σ) = 1.

2) Ist σ ∈ S_{2} mit σ(1) := 2, σ(2) := 1, so sgn(σ) = \frac{1−2}{2−1} = −1.

3) σ ∈ S_{n} heißt \underline{Transposition} ⇔ ∃1 ≤ i < j ≤ n: σ(i) = j, σ(j) = i und σ(k) = k, falls k ∈ {1, …, n} \ {i, j}.

(5.5) Fakt.

(i) sgn : S_{n} → {±1}

(ii) sgn(σ) = (−1)^{Fehlstandszahl von σ}, wobei die Fehlstandszahl von σ die Anzahl der

Paare (i, j) ist mit 1 ≤ i < j ≤ n und σ(i) > σ(j). (iii) σ ∈ S_{n} Transposition ⇒ sgn(σ) = −1 (σ hat 2(j − i) − 1 Fehlstände!).

Bez.: Eine Permutation σ heißt gerade, falls sgn(σ) = 1, sonst ungerade.

(5.6) Satz. Für alle σ, τ ∈ S_{n} gilt sgn(σ ∘ τ) = sgn(σ) sgn(τ), d.h. σ ist Homomorphismus von (S_{n}, ∘) in die Gruppe(!) ({±1}, ·).

Bew.: Vorbemerkung: Wegen \frac{σ(j)−σ(i)}{j−i} = \frac{σ(i)−σ(j)}{i−j} kann man in der Definition von sgn(σ) statt über alle Paare (i, j) mit 1 ≤ i < j ≤ n zu multiplizieren über irgendeine Menge von Paaren (i, j) multiplizieren, die die Eigenschaft hat, daß die Menge der zugehörigen Paarmengen {i, j} die Menge aller 2-elementigen Teilmengen von {1, …, n} ist.

sgn(σ ∘ τ) = ∏_{1≤i<j≤n} \frac{σ(τ(j)) − σ(τ(i))}{j − i} = \underbrace{∏_{1≤i<j≤n} \frac{σ(τ(j)) − σ(τ(i))}{τ(j) − τ(i)}}_{= sgn(σ) (vgl. Vorbemerkung)} \underbrace{∏_{1≤i<j≤n} \frac{τ(j) − τ(i)}{j − i}}_{=:sgn(τ)}

(5.7) Folgerung.

(i) sgn(σ^{−1}) = sgn(σ).

(ii) Sei τ ∈ S_{n} ungerade. Dann bildet die Abbildung σ → τ ∘ σ die Menge der geraden Permutationen bijektiv auf die Menge der ungeraden Permutationen ab.

Bew.:

(i) 1 = sgn(id) = sgn(σ ∘ σ^{−1}) = sgn(σ) sgn(σ^{−1}) ⇒ sgn(σ) = sgn(σ^{−1}).

(ii) sgn(σ) = 1 ⇒ sgn(τ ∘ σ) = −1. Die Abbildung σ → τ ∘ σ ist injektiv, da aus τ ∘ σ_{1} = τ ∘ σ_{2} folgt τ^{−1} ∘ (τ ∘ σ_{1}) = σ_{1} = τ^{−1} ∘ (τ ∘ σ_{2}) = σ_{2}. Ist σ̃ ∈ S_{n} ungerade, so gilt τ ∘ (τ^{−1} ∘ σ̃) = σ̃ und sgn(τ^{−1} ∘ σ̃) = sgn(τ^{−1}) sgn(σ̃) =^{(i)} sgn(τ) sgn(σ̃) = (−1)(−1) = 1.

(5.8) Fakt. Ist n ≥ 2 und σ ∈ S_{n}, so existiert k ∈ {1, …, n} und Transpositionen τ_{1}, …, τ_{k}, so daß σ = τ_{1} ∘ … ∘ τ_{k} gilt. Es gilt dann sgn(σ) = (−1)^{k}. Bew.: Offensichtlich (oder per Induktion). sgn(σ) = (−1)^{k} folgt aus (5.6) und (5.5) (iii). (5.9) Lemma. Sei V K-Vektorraum und f : V^{k} → K k-linear und alternierend. Dann gilt für alle (v_{1}, …, v_{k}) ∈ V^{k} und alle σ ∈ S_{k}:

f(v_{σ(1)}, …, v_{σ(k)}) = sgn(σ)f(v_{1}, …, v_{k}).

Bew.: Folgt aus (5.3) (i) und (5.8). (5.10) Satz. Sei V K-Vektorraum, dim V = n, (v_{1}, …, v_{n}) Basis V und α ∈ K. Dann gibt es genau eine alternierende n-Linearform f : V^{n} → K mit f(v_{1}, …, v_{n}) = α und für

dieses f gilt: Ist (w_{1}, …, w_{n}) ∈ V^{n}, w_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}v_{i}, so

(∗) f(w_{1}, …, w_{n}) = α ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{σ(1)1} · a_{σ(2)2} · . . . · a_{σ(n)n}.

Speziell: Ist f(v_{1}, …, v_{n}) = 0 für eine Basis (v_{1}, …, v_{n}), so ist f ≡ 0. Bew.: (i) Eindeutigkeit: Sei f alternierende n-Form, f(v_{1}, …, v_{n}) = α

f(w_{1}, …, w_{n})  =  f ( ∑_{i_{1}=1}^{n} a_{i_{1}1}v_{i_{1}}, ∑_{i_{2}=1}^{n} a_{i_{2}2}v_{i_{2}}, …, ∑_{i_{n}=1}^{n} a_{i_{n}n}v_{i_{n}})
=^{f n-linear}  ∑_{i_{1}=1}^{n} ∑_{i_{2}=1}^{n} … ∑_{i_{n}=1}^{n} a_{i_{1}1} · a_{i_{2}2} · . . . · a_{i_{n}n} \underbrace{f(v_{i_{1}}, v_{i_{2}}, …, v_{i_{n}})}_{= 0, falls k → i_{k} nicht injektiv}

f alternierend =  ∑_{σ∈S_{n}} a_{σ(1)1} · a_{σ(2)2} · . . . · a_{σ(n)n}f(v_{σ(1)}, …, v_{σ(n)})

=^{(5.9)}  α ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{σ(1)1} · . . . · a_{σ(n)n}

Vorbem. zu (ii): σ ∈ S_{n} ⇒ ∏_{i=1}^{n} b_{i} = ∏_{i=1}^{n} b_{σ(i)} (· kommutativ!)

(ii) Wir zeigen: ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{1σ(1)} · . . . · a_{nσ(n)} = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{σ(1)1} · . . . · a_{σ(n)n}.

Denn ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{1σ(1)}·. . .·a_{nσ(n)} =^{σ∈S_{n}→σ^{−1}∈S_{n} bijektiv} ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ^{−1}) \underbrace{a_{1σ^{−1}(1)} · . . . · a_{nσ^{−1}(n)}}_{= ∏_{i=1}^{n} b_{i} für b_{i}:=a_{iσ^{−1}(i)}} =^{(5.7)(i)}  ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ) \underbrace{a_{σ(1)1} · . . . · a_{σ(n)n}}_{= ∏_{i=1}^{n} b_{σ(i)}}

(iii) Existenz: Definiere f durch (∗). Man sieht leicht, daß f n-linear ist. Außerdem gilt

wegen v_{j} = ∑_{i=1}^{n} δ_{ij}v_{i} (mit δ_{ij} = 1 für i = j, δ_{ij} = 0 für i ≠ j):

f(v_{1}, …, v_{n}) = α ∑ sgn(σ)δ_{σ(1)1} · . . . · δ_{σ(n)n} = α sgn(id) = α.

Bleibt zu zeigen, daß f(w_{1}, …, w_{n}) = 0 gilt, falls für ein Paar (i, j) mit 1 ≤ i < j ≤ n gilt:

w_{i} = w_{j}. Ist w_{k} = ∑_{l=1}^{n} a_{lk}v_{l}, 1 ≤ k ≤ n, so folgt aus w_{i} = w_{j}:

(∗∗) a_{li} = a_{lj} für 1 ≤ l ≤ n.

Sei τ die Transposition, die i und j vertauscht.

f(w_{1}, …, w_{n}) =^{(ii)} α ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{1σ(1)} · . . . · a_{nσ(n)} =^{(5.7)(ii)}
= α ∑_{σ∈S_{n}gerade} a_{1σ(1)} · . . . · a_{nσ(n)} − α ∑_{σ∈S_{n}gerade} a_{1τ∘σ(1)} · . . . · a_{nτ∘σ(n)} = 0,

da aus (∗∗) folgt: a_{lσ(l)} = a_{lτ∘σ(l)} für alle l ∈ {1, …, n} und alle σ ∈ S_{n}.

(5.11) Def.: Sei V K-Vektorraum, dim V = n. Eine alternierende n-Linearform D : V^{n} → K, D ≠ 0, heißt \underline{Determinantenform} \underline{auf} V.

Erinnerung: D ≠ 0 bedeutet: Es existiert (v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n}: D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0.

Bsp.: D_{0} : ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ, D_{0}((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) = x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1}.

D_{0}(e_{1}, e_{2}) = 1

(5.12) Folgerung. Sei D Determinantenform auf dem n-dimensionalen K-Vektorraum V und (v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n}. Dann gilt

(i) (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V ⇔ D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0.

(ii) Ist f : V^{n} → K alternierende n-Linearform, so existiert α ∈ K : f = αD.

Bem.: 1) (ii) ⇔ {f | f alternierende n-Linearform} ist 1-dimensionaler K-Vektorraum. Die Determinantenformen sind die Elemente ≠ 0 dieses Vektorraumes.

2) f = αD, (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V ⇒ α = \frac{f(v_{1},...,v_{n})}{D(v_{1},...,v_{n})}

5

Bew.: (i) Sei (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V. Dann folgt aus (5.10) (“Speziell:”) und D ≠ 0, daß D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0 gilt. Ist D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0, so folgt aus (5.3)(ii), daß die v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig sind, also - wegen dim V = n - eine Basis von V.

(ii) Sei (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V und α := \frac{f(v_{1},...,v_{n})}{D(v_{1},...,v_{n})}. Dann sind f und αD alternierende n-Linearformen, die auf der Basis (v_{1}, …, v_{n}) den gleichen Wert annehmen. Also folgt aus (5.10) (Eindeutigkeit): f = αD.

Einschub: Die Determinante quadratischer Matrizen.

In K^{n} haben wir die Standardbasis (e_{1}, …, e_{n}), die - nach (5.10) - eine “Standarddeterminantenform” D_{0} : K^{n} × … × K^{n} → K durch

D_{0}(e_{1}, …, e_{n}) = 1

eindeutig bestimmt. Ist A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ K^{n}, so seien A_{j} := ∑_{i=1}^{n} a_{ij}e_{i} die “Spaltenvekto-

ren” von A.

(5.13) Def. Die Determinante det : K^{n×n} → K ist definiert durch

det A := D_{0}(A_{1}, …, A_{n})

Bezeichnungsweise: det A = | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{matrix} |

(5.14) Folgerung (Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716). Ist A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ K^{n×n}, so

det A = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{σ(1)1} · . . . · a_{σ(n)n}.

Bem.: Beweis (5.10)(ii) ⇒ det A = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{1σ(1)} · . . . · a_{nσ(n)}.

Bew.: det(A) = D_{0}(A_{1}, …, A_{n}), A_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}e_{i}, D_{0}(e_{1}, …, e_{n}) = 1 ⇒^{(5.10)} Beh.

Speziell: \begin{matrix}n = 1 : & A = (a_{11}) → & det A = a_{11} \\ n = 2 : & A = \binom{a_{11}a_{12}}{a_{21}a_{22}} → & det A = a_{11}a_{22} − a_{12}a_{21} \end{matrix}

n = 3: Regel von Sarrus (Rechenverfahren)

a_{11}  a_{12}  a_{13}  a_{11}  a_{12}
⧹  ×  ×  ⧸
a_{21}  a_{22}  a_{23}  a_{21}  a_{22}
⧸  ×  ×  ⧹
a_{31}  a_{32}  a_{33}  a_{31}  a_{32}

\begin{aligned}det A & = & a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ & − & a_{31}a_{22}a_{13} − a_{32}a_{23}a_{11} − a_{33}a_{21}a_{12} \end{aligned}

(5.15) Satz (einige Eigenschaften von det A)

(i) det A ist n-linear und alternierend in den Spaltenvektoren von A.

(ii) det E_{n} = 1.

(iii) det A ≠ 0 ⇔ A ∈ GL_{n}(K).

Bew.:

(i) folgt direkt aus der Definition.

(ii) det E_{n} = D_{0}(e_{1}, …, e_{n}) = 1.

(iii) det A ≠ 0 ⇔^{(5.12)(i)} Spaltenvektoren linear unabhängig ⇔ A ∈ GL_{n}(K).

Folgerungen aus (5.15)(i):

| \begin{matrix}a_{11} & … & αa_{1j} & … & a_{n1} \\ ⋮ & & & & ⋮ \\ a_{m1} & … & αa_{nj} & … & a_{nn} \end{matrix} | = α | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{n1} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{matrix} |

und: det(αA) = α^{n} det A.

Vertauscht man 2 Spalten von A, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Addiert man zu einer Spalte eine Linearkombination \underline{der anderen} Spalten, so ändert sich det A nicht, z.B.

| \begin{matrix}a_{11} + αa_{12} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} + αa_{22} & a_{22} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} + αa_{n2} & a_{n2} & … & a_{nn} \end{matrix} | = | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{matrix} |

(5.15)(iii): det A = 0 ⇔ Spaltenvektoren sind linear abhängig.

(5.16) Def. Sei A ∈ K^{m×n}. Die \underline{transponierte} \underline{Matrix} A^{T} ∈ K^{n×m} \underline{zu} A hat als Zeilen gerade die Spalten von A (in der gleichen Reihenfolge), d.h.

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} \end{matrix} ) ⇒ A^{T} = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{m1} \\ a_{12} & … & a_{m2} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{1n} & … & a_{mn} \end{matrix} )

oder: A = (a_{ij})_{\begin{matrix}1≤i≤m \\ 1≤j≤n \end{matrix}} ∈ K^{m×n}, so A^{T} = (ã_{ji})_{\begin{matrix}1≤j≤n \\ 1≤i≤m \end{matrix}} mit ã_{ji} = a_{ij}.

Bsp.: A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{2×3} ⇒ A^{T} = ( \begin{matrix}1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{3×2}.

(5.17) Folgerung (aus Bew. (5.10)(ii)).

(i) ∀A ∈ K^{n×n} : det A = det(A^{T}).

(ii) det A ist auch in den Zeilenvektoren von A n-linear und alternierend. (D.h. (5.15)(i) + Folgerungen gelten auch für Zeilenvektoren).

Bew.:

(i) (A^{T} = (ã_{ji})_{\begin{matrix}1≤j≤n \\ 1≤i≤n \end{matrix}} mit ã_{ji} = a_{ij}.

det(A^{T}) = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)ã_{σ(1)1} · . . . · ã_{σ(n)n} ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{1σ(1)} · . . . · a_{nσ(n)} =^{Bew.(5.10)(ii)} det A.

(ii) folgt aus (i).

Konkretes Verfahren zur Berechnung von det A für größere n: Durch Addition von Vielfachen von Zeilen zu anderen Zeilen und - falls nötig - durch Vertauschung von Zeilen verwandle A in “obere Dreiecksmatrix” \overline{A} = (\overline{a}_{ij}) (d.h. \overline{a}_{ij} = 0 für i > j), analog zu (4.25). Dann gilt, wenn k die Anzahl der Zeilenvertauschungen bezeichnet:

det A = (−1)^{k} det \overline{A} = (−1)^{k}\overline{a}_{11} · . . . · \overline{a}_{nn}. Denn:

(5.18) Lemma. Ist A = (a_{ij}) ∈ K^{n×n} obere (oder untere) Dreiecksmatrix, so gilt det A = a_{11} · . . . · a_{nn}.

Bew.: a_{σ(1)1} · . . . · a_{σ(n)n} ≠ 0 ⇒ ∀i ∈ {1, …, n} : σ(i) ≤ i ⇒ σ = id ⇒ Beh.

Bsp.:

| \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 8 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{matrix} | \begin{aligned}−4 | & −7 | \\ _{←}| & | \\ & _{←}| \end{aligned} = | \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & −6 \\ 0 & −6 & −11 \end{matrix} | = − | \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & −6 & −11 \\ 0 & 0 & −6 \end{matrix} | = −36

Zurück zur Theorie:

Bem.: Ist K = ℝ, dim V = n und D : V^{n} → ℝ Determinantenform, so definiert man das Volumen (bzgl. D) vol_{D}(P) eines Parallelotops P = P (v_{1}, …, v_{n}) ⊆ V durch vol_{D}(P) = |D(v_{1}, …, v_{n})|. Wegen (5.12)(ii) gilt:

Sind D, D̃ Determinantenformen auf V, so existiert α ∈ ℝ_{>0}, so daß für alle Parallelotope P = P (v_{1}, …, v_{n}) ⊆ V gilt:

volD̃(P) = α vol_{D}(P).

(5.19) Satz und Def. Sei V n-dimensionaler K-Vektorraum und L ∈ End(V). Dann ist für jede Basis (v_{1}, …, v_{n}) von V und jede Determinantenform D auf V der Quotient \frac{D(L(v_{1}),...,L(v_{n}))}{D(v_{1},...,v_{n})} das gleiche Element von K und wir definieren

det L := \frac{D(L(v_{1}), …, L(v_{n}))}{D(v_{1}, …, v_{n})}.

Bem.: Sei K = ℝ. Dann gilt für jedes Parallelotop P ⊆ V^{n} und jede Determinantenform D: vol_{D}(L(P)) = | det L| vol_{D}(P). (L linear ⇒ L(P (v_{1}, …, v_{n})) = P (L(v_{1}), …, L(v_{n}))!)

Bew. von (5.19): Wegen (5.12)(i) gilt D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0. Aus (5.12)(ii) folgt, daß det L unabhängig von der Wahl von D ist. Um die Unabhängigkeit von der Wahl der Basis zu beweisen, bemerken wir, daß

f : (w_{1}, …, w_{n}) ∈ V^{n} → D(L(w_{1}), …, L(w_{n}))

eine alternierende n-Linearform ist, so daß aus (5.12)(ii) folgt: Es existiert α ∈ K:

f = αD.

Für jede Basis v_{1}, …, v_{n}) von V gilt also:

α = \frac{f(v_{1}, …, v_{n})}{D(v_{1}, …, v_{n})} = \frac{D(L(v_{1}), …, L(v_{n}))}{D(v_{1}, …, v_{n})}(=: det L).

(5.20) Folgerung. Seien L, L_{1}, L_{2} ∈ End(V), α ∈ K. Dann gilt:

(i) det(id_{V}) = 1 (ii) L ∈ Aut(V) ⇔ det L ≠ 0 (iii) det(L_{2} ∘ L_{1}) = det L_{2} det L_{1} (iv) L ∈ Aut(V) ⇒ det(L^{−1}) = (det L)^{−1}

(v) det(αL) = α^{n} det(L)

Bew.:

(ii)

L ∈ Aut(V)  ⇔^{(4.5)}  Ist(v_{1}, …, v_{n}) Basis, so auch(L(v_{1}), …, L(v_{n}))
⇔^{(5.12)(i), (5.19)} det L ≠ 0.

(iii) 1. Fall: L_{1} ∈ Aut(V). Sei (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V. Dann ist (L(v_{1}), …, L(v_{n})) Basis von V, und es gilt:

det(L_{2} ∘ L_{1}) = \frac{D(L_{2}(L_{1}(v_{1})),...,L_{2}(L_{1}(v_{n})))}{D(v_{1},...,v_{n})}
= \frac{D(L_{2}(L_{1}v_{1}),...,L_{2}(L_{1}(v_{n})))}{D(L_{1}(v_{1}),...,L_{1}(v_{n}))} · det L_{1}
= det L_{2} · det L_{1}

2. Fall: L_{1} ∉ Aut(V)(⇔^{(ii)} det L_{1} = 0). Dann ist L_{1} nicht injektiv, vgl. (4.8). Also ist auch L_{2} ∘ L_{1} nicht injektiv, also det(L_{2} ∘ L_{1}) = 0. Daraus folgt:

0 = det L_{2} \underbrace{det L_{1}}_{=0} = det(L_{2} ∘ L_{1})

(iv) L ∈ Aut(V) ⇒ 1 =^{(i)} det(id_{V}) = det(L^{−1} ∘ L) =^{(iii)} det(L^{−1}) det L ⇒ Beh.

(v) folgt direkt auf Def. (5.19).

Zusammenhang mit der Determinante von Matrizen: (5.21) Fakt.

(i) Sei L ∈ End(K^{n}) und Mat(L) = A, d.h. “L(x) = A ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) ”.

Dann gilt: det L = det A.

(ii) Sei V K-Vektorraum G = (v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n} Basis von V und L ∈ End(V).

Dann gilt: det L = det(Mat_{G}^{G}(L)).

Bew.:

(i) Mat(L) = A ⇔ L(e_{j}) = A_{j} ⇒

det L = \frac{D_{0}(L(e_{1}), …, L(e_{n}))}{D_{0}(e_{1}, …, e_{n})} = D_{0}(A_{1}, …, A_{n}) = det A.

(ii) Sei J ∈ Hom(K^{n}, V) der Isomorphismus mit J(e_{j}) = v_{j} für j ∈ {1, …, n}, vgl.

(4.5). Dann gilt Mat(J^{−1} ∘ L ∘ J) = Mat_{G}^{G}(L), da J^{−1} ∘ L ∘ J(e_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ij} \underbrace{e_{i}}_{=J^{−1}(v_{i})} ⇔

L(v_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}v_{i}. Wir verwenden auf V die Determinantenform (!) D, die durch

D(w_{1}, …, w_{n}) = D_{0}(J^{−1}(w_{1}), …, J^{−1}(w_{n}))

definiert ist. Dann gilt D(v_{1}, …, v_{n}) = D_{0}(e_{1}, …, e_{n}) = 1 und damit

det L = D(L(v_{1}), …, L(v_{n})) = D_{0}(J^{−1} ∘ L(v_{1}), …, J^{−1} ∘ L(v_{1})) = D_{0}(J^{−1} ∘ L ∘ J(e_{1}), …, J^{−1} ∘ L ∘ J(e_{n})) = det(J^{−1} ∘ L ∘ J) =^{(i)} det(Mat(J^{−1} ∘ L ∘ J)) = det(Mat_{G}^{G}(L)).

Bem.: Es gilt i.a. \underline{nicht} det L = det(Mat\overline{G} ; G(L)), wenn G und \overline{G} verschiedene Basen von V sind. (5.22) Folgerung (aus (5.20)(ii), (iii), (5.21) und (4.15)).

(i) A, B ∈ K^{n×n} ⇒ det(AB) = det A · det B.

(ii) A ∈ GL_{n}(K) ⇒ det(A^{−1}) = (det A)^{−1}