Speziell besagt (5.22): Die Abbildung A → det A ist ein Gruppenhomomorphismus von (GL_{n}(K), ·) auf (K \ {0}, ·). SL_{n}(K) = {A ∈ GL_{n}(K)| det A = 1} ist Untergruppe von GL_{n}(K), die \underline{spezielle lineare Gruppe}.

Eigenwerte und Eigenvektoren (eine Anwendung der Determinante)

(5.23) Def.: Sei V K-Vektorraum, L ∈ End(V). λ ∈ K heißt \underline{Eigenwert} (EW) \underline{von} L, falls ein v ∈ V \ \{0\} existiert mit L(v) = λv. v ∈ V heißt \underline{Eigenvektor} (EV) \underline{von} L, falls v ≠ 0 gilt und ein λ ∈ K existiert mit L(v) = λv. In diesem Fall heißt v ein Eigenvektor zum Eigenwert λ.

Bem.: v EV zum EW λ, α ∈ K \ {0} ⇒ αv EV zum EW λ.

Bsp.:

1) Ist L = λ id_{V}, so ist λ der einzige EW von L und jedes v ∈ V \ {0} ist EV zum EW λ.

2) Ist L : K^{n} → K^{n} definiert durch L(e_{i}) = λ_{i}e_{i} für alle i ∈ {1, …, n}, d.h.

Mat(L) = ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & … & 0 & λ_{n} \end{matrix} ) ,

so sind λ_{1}, …, λ_{n} Eigenwerte von L und e_{1}, …, e_{n} Eigenvektoren von L.

3) L : ℝ^{2} → ℝ^{2}, L(x_{1}, x_{2}) = (x_{1} + x_{2}, x_{2}) “Scherung”, mit

Mat(L) = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

Dann ist λ = 1 der einzige EW von L und x ∈ ℝ^{2} ist genau dann EV von L, wenn x = (x_{1}, 0) für ein x_{1} ≠ 0 gilt.

4) L : ℝ^{2} → ℝ^{2}, L(x_{1}, x_{2}) = (ax_{1} − bx_{2}, bx_{1} + ax_{2}) mit

Mat(L) = ( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) .

Es folgt aus Aufgabe 1b), Blatt 11, daß L für b ≠ 0 keinen (reellen) EW hat. Geometrisch ist L eine “Drehstreckung”. Identifiziert man ℝ^{2} mit ℂ durch (x_{1}, x_{2}) ↔ x_{1}+ix_{2}, vgl. Kap. 2, so kann man L schreiben als: L(x_{1}+ix_{2}) = (a+ib)(x_{1}+ix_{2}). Die Abbildung, die z ∈ ℂ die Zahl (a + ib)z ∈ ℂ zuordnet, ist also eine Drehstreckung.

5) “Gekoppelte Schwingungen”: Gegeben A ∈ End(ℝ^{n}), gesucht Lösungen x : ℝ → ℝ^{n} der “Differentialgleichung”:

(∗) x′′(t) = A(x(t)) für alle t ∈ ℝ.

Ist v ∈ ℝ^{n} EV von A zum EW λ ∈ ℝ und ist f : ℝ → ℝ Lösung von f′′(t)-λf(t) = 0 (diese sind explizit bekannt!), so ist x(t) := f(t)v Lösung von (∗):

x′′(t) = f′′(t)v = λf(t)v = f(t)A(v) = A(f(t)v) = A(x(t)).

(5.24) Satz. Sei 1 ≤ dim V < ∞, L ∈ End(V). Dann gilt:

λ EW von L ⇔ det(L − λ id_{V}) = 0.

Bew.: det(L − λ id_{V}) = 0 ⇔^{(5.20)(ii)} (L − λ id_{V}) ∉ Aut(V) ⇔^{(4.8)} kern(L − λ id_{V}) ≠ {0} ⇔ ∃v ∈ V \ {0} : (L − λ id_{V})(v) = 0 ⇔ ∃v ∈ V \ {0} : L(v) = λv.

Bem.: Ist Mat_{G}^{G}(L) = (a_{ij}) ∈ K^{n×n}, so gilt Mat_{G}^{G}(L − λ id_{V}) = (a_{ij} − λδ_{ij})_{1≤i,j≤n}. Also nach (5.21):

det(L − λ id_{V}) = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)(a_{1σ(1)} − λδ_{1σ(1)}) · . . . · (a_{nσ(n)} − λδ_{nσ(n)})
= (−1)^{n}λ^{n} + (∑_{i=1}^{n} a_{ii}) (−1)^{n−1}λ^{n−1}+?λ^{n−2} + … +?λ + det L,

mit von den a_{ij} abhängenden Koeffizienten ?, die uns im Moment nicht weiter interessieren. Einen Ausdruck dieser Art nennt man “ein Polynom in (der Variablen) λ”.

Bez.: P_{L}(λ) := det(L − λ id_{V}) heißt das \underline{charakteristische Polynom von} L.

(5.24) besagt: λ EW von L ⇔ P_{L}(λ) = 0 ⇔^{def.} λ Nullstelle von P_{L}. Ob Polynome (vom Grad ≥ 1) \underline{stets} Nullstellen haben, hängt vom Körper K ab!

K = ℚ, ℝ → nicht immer, z.B. λ^{2} + 1
K = ℂ  → stets (“Fundamentalsatz der Algebra”)

Verfahren zur Bestimmung von EW’en und EV’en eines L ∈ End(V):

1) Berechne P_{L} (= det(L − λ id_{V})).

2) Bestimme Nullstellen von P_{L} (= EW’e von L). Das ist oft nur approximativ möglich.

3) λ Nullstelle von P_{L} ⇒ Das lineare Gleichungssystem L(v) = λv besitzt Lösung v ≠ 0. Bestimme alle Lösungen ≠ 0(= EVen zum EW λ).

Es ist leicht zu zeigen: Besitzt P_{L} n(= dim V) verschiedene Nullstellen, so ist L diago-

nalisierbar (⇔ es existiert Basis G von V: Mat_{G}^{G}(L) = ( \begin{matrix}λ_{1} \\ & ... & 0 \\ & 0 & ... \\ & & & λ_{n} \end{matrix} ), nämlich:

G = (v_{1}, …, v_{n}), v_{i} EV von L zum EW λ_{i}).

Weitere Anwendungen der Determinante:

(5.25) Def.: Eine (geordnete) Basis (v_{1}, …, v_{n}) des ℝ^{n} heißt positiv orientiert (oder Rechtssystem), falls D_{0}(v_{1}, …, v_{n}) > 0 (sonst negativ orientiert oder Linkssystem).

Bsp.: (e_{1}, …, e_{n}) ist positiv orientiert, (−e_{1}, e_{2}, …, e_{n}) und (e_{2}, e_{1}, e_{3}, …, e_{n}) sind negativ orientiert.

Bem.: Ist L ∈ Aut(ℝ^{n}), det L > 0, so gilt:

(v_{1}, …, v_{n}) positiv orientierte Basis ⇔ (L(v_{1}), …, L(v_{n})) positiv orientierte Basis.

(5.26) Cramersche Regel (Gabriel Cramer 1704-1752). Sei

I \begin{matrix}a_{11}x_{1} & + … + & a_{1n}x_{n} = & b_{1} \\ ⋮ & & & ⋮ \\ a_{n1}x_{1} & + … + & a_{nn}x_{n} = & b_{1} \end{matrix} oder kurz: A ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{n} ) = b

Gleichungssystem mit n Gleichungen für n Unbekannte. Dann gilt: Ist det A ≠ 0, so ist

x_{k} = \frac{1}{det A} | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1,k−1} & b_{1} & a_{1,k+1} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{n,k−1} & b_{n} & a_{n,k+1} & … & a_{nn} \end{matrix} | ( für k = 1, …, n)

die (einzige) Lösung von I.

Bew.: det A ≠ 0 ⇔^{(5.20)(ii)} x ∈ ℝ^{n} → Ax ∈ ℝ^{n} ist bijektiv. Also existiert genau eine Lösung von I, d.h. genau ein x ∈ ℝ^{n}: Ax = b. Sind A_{1}, …, A_{n} die Spaltenvektoren von A, so bedeutet Ax = b gerade

x_{1}A_{1} + x_{2}A_{2} + … + x_{n}A_{n} = b (vgl. I!)

Also gilt:

D_{0}(A_{1}, …, A_{k−1}, b, A_{k+1}, …, A_{n})  =  D_{0}(A_{1}, …, A_{k−1}, ∑_{i=1}^{n} x_{i}A_{i}, A_{k+1}, …, A_{n})
=^{D_{0} n-linear}  ∑_{i=1}^{n} x_{i}D_{0}(A_{1}, …, A_{k−1}, A_{i}, A_{k+1}, …, A_{n})

D_{0} alternierend

= x_{k} det A.

Eine weitere Erkenntnis, die uns die Determinante schenkt:

Nach (5.15)(iii) wissen wir, daß eine \underline{reelle} quadratische Matrix A ∈ K^{n×n} genau dann in GL(n, ℝ) liegt, wenn det A ≠ 0 gilt. Daraus folgt mit etwas Analysis: Für die “meisten” Matrizen (“für eine offene, dichte Menge” bzw. “für alle bis auf eine Menge vom Maß 0”)

A ∈ ℝ^{n×n} gilt A ∈ GL_{n}(R). Speziell: “Typischerweise” ist ein System von n linearen Gleichungen für n (reelle) Unbekannte eindeutig lösbar. Oder geometrisch: “Typischerweise” schneiden sich (z.B.) zwei 3-dim. affine Unterräume des ℝ^{6} in genau einem Punkt des ℝ^{6} (2mal 3 lineare Gleichungen für 6 Unbekannte).

Zum Abschluß des Kapitels noch eine (i.a. nicht besonders praktische) Möglichkeit zum Berechnen von Determinanten - der Laplacesche Entwicklungssatz (Pierre Simon Laplace 1749-1827)).

(5.27) Lemma. Ist Ã ∈ K^{(n−1)×(n−1)} und A := ( \begin{matrix}1 & 0 … 0 \\ 0 \\ ⋮ & Ã \\ 0 \end{matrix} ) ∈ K^{n×n}, so gilt

det A = det Ã.

Bew.: Als Funktion der Spaltenvektoren von Ã ist det A (n−1)-linear, alternierend, und für Ã = E_{n−1} gilt A = E_{n} und det E_{n} = 1. Mit der Eindeutigkeitsaussage von (5.10) impliziert das: det Ã = det A.

Bez.: Zu A ∈ K^{n×n} und 1 ≤ i, j ≤ n bezeichne A_{ij} ∈ K^{(n−1)×(n−1)} die Matrix, die aus A durch \underline{Streichen} der i’ten Zeile und der j’ten Spalte entsteht.

Bsp.:

A : ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 8 & 7 & 6 & 5 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{matrix} ) ⇒ A_{23} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 4 \\ 8 & 7 & 5 \\ 4 & 3 & 1 \end{matrix} ) .

(5.28) Entwicklungssatz. Für alle A ∈ K^{n×n}, j ∈ {1, …, n} gilt:

det A = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij} (Entwicklung nach der j’ten Spalte).

Für alle i ∈ {1, …, n} gilt:

det A = ∑_{j=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij} (Entwicklung nach der i’ten Spalte).

Bsp.:

| \begin{matrix}1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} |

Entwicklung nach der 3. Spalte

= (−1)^{1+3}  | \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix} | + (−1)^{3+3} | \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix} | = −2

oder Entwicklung nach der 4. Zeile

= (−1)^{1+3}  | \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} | + (−1)^{4+4} · 2 · | \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \end{matrix} | = −2.

Bew.: A_{1} = ( a_{11} ; ⋮ ; a_{n1} ) , …, A_{n} = ( a_{1n} ; ⋮ ; a_{nn} ) seien die Spaltenvektoren von A.

\begin{aligned}det A & = & D_{0}(A_{1}, …, A_{n}) = D_{0}(A_{1}, …, A_{j} = ∑ a_{ij}e_{i}, …, A_{n}) \\ & = & ∑_{i=1}^{n} a_{ij}D_{0}(A_{1}, …, A_{j−1}, e_{i}, A_{j+1} …, A_{n}) \end{aligned}

Es bleibt zu zeigen: D_{0}(A_{1}, …, A_{j−1}, e_{i}, A_{j+1} …, A_{n}) = (−1)^{i+j} det A_{ij} D_{0}(A_{1}, …, A_{j−1}, e_{i}, A_{j+1} …, A_{n}) = (−1)^{j−1}D_{0}(e_{i}, A_{1}, …, A_{j−1}, A_{j+1}, …, A_{n})

\begin{matrix}= & (−1)^{j−1} & | 0 a_{11} …; ⋮ ; 1 a_{i1} …; ⋮ ; 0 a_{n1} … | … a_{1n} ; ⋮ ; … a_{in} ; ⋮ ; … a_{nn} | = (−1)^{i+j−2} | \begin{matrix}1 & a_{i1} & … \\ 0 & a_{11} & … \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{i−1,1} & … \\ 0 & a_{i+1,1} & … \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n1} & … \end{matrix} | … a_{in} ; … a_{1n} ; ⋮ ; … a_{i−1,n} ; … a_{i+1,n} ; ⋮ ; … a_{nn} | \\ = & (−1)^{i+j} & | \begin{matrix}1 & 0 & … \\ 0 & a_{11} & … \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{i−1,1} & … \\ 0 & a_{i+1,1} & … \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n1} & … \end{matrix} | … 0 ; … a_{1n} ; ⋮ ; … a_{i−1,n} ; … a_{i+1,n} ; ⋮ ; … a_{nn} | \\ =^{(5.27)} & (−1)^{i+j} & det A_{ij} \end{matrix}

(hierbei soll der senkrechte Strich in den Determinanten andeuten, daß die j’te Spalte gestrichen ist!)