5. Die Determinante

Motivation: Ist V ein ℝ-Vektorraum der Dimension n und sind v_{1}, …, v_{n} linear unabhängige Vektoren in V, so heißt

P (v_{1}, …, v_{n}) = {∑_{i=1}^{n} t_{i}v_{i} | ∀i ∈ {1, …, n} : 0 ≤ t_{i} ≤ 1}

das von v_{1}, …, v_{n} aufgespannte Parallelotop.

Bsp.: n = 2: Parallotop = Parallelogramm.

Wie es bisher für uns keinen mathematischen Sinn hat von der “Länge eines Vektors v ∈ V ” zu sprechen (dazu benötigt man eine zusätzliche “mathematische Struktur” - eine Norm oder ein Skalarprodukt auf V), so benötigt man auch eine zusätzliche Struktur auf V, um “das” Volumen eines Parallelotops definieren zu können. Diese zusätzliche Struktur auf dem ℝ-Vektorraum V heißt eine Determinantenform und ist eine Funktion D : V^{n} = \underbrace{V × … × V}_{n-mal} → ℝ, die einer geordneten Basis (v_{1}, …, v_{n}) von V eine reelle Zahl (≠ 0)

zuordnet, deren Betrag wir als Definition für das Volumen von P (v_{1}, …, v_{n}) nehmen wollen. (Es stellt sich heraus, daß die Funktion D, die positive und negative Werte annimmt, das mathematisch natürliche Objekt ist. Das Vorzeichen von D(v_{1}, …, v_{n}) sagt etwas über die “Orientierung” der geordneten Basis (v_{1}, …, v_{n}) aus, d.h. im Fall V = ℝ^{3} (und in physikalischer Sprechweise) ob (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ein Rechts- oder ein Linkssystem ist). Damit man so zu einem vernünftigen Volumenbegriff kommt, wird D besondere Eigenschaften haben müssen. Es ist eine erfreuliche Tatsache, daß D durch folgende natürliche Forderungen nahezu eindeutig (d.h. bis auf Multiplikation mit einer reellen Zahl ≠ 0) bestimmt ist.

(V_{1}) (v_{1}, …, v_{n}) Basis ⇒ D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0.

(V_{2}) Für alle i ∈ {1, …, n}, (v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n} und r ∈ ℝ gilt:

D(v_{1}, …, v_{i−1}, rv_{i}, v_{i+1}, …, v_{n}) = rD(v_{1}, …, v_{n})

(V_{3}) Für alle 1 ≤ i < j ≤ n und alle (v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n} gilt

D(v_{1}, …, v_{i−1}, v_{i} + v_{j}, v_{i+1}, …, v_{n}) = D(v_{1}, …, v_{n}) = D(v_{1}, …, v_{j−1}, v_{i} + v_{j}, …, v_{n})

Dabei hat (V_{2}) die anschauliche Interpretation, daß das Volumen von P (v_{1}, …, v_{i−1}, rv_{i}, v_{i+1}, …, v_{n}) das |r|-fache des Volumens von P (v_{1}, …, v_{n}) sein soll.

Die anschauliche Bedeutung von (V_{3}) ist die “Scherungsinvarianz” des Volumens.

(5.1) Def. Sei V ein K-Vektorraum, k ∈ ℕ. Eine Abbildung f : V^{k} → K heißt

(i) k-linear (k-Linearform), falls f in jedem Argument linear ist, d.h. falls für jedes i ∈ {1, …, k} und alle v_{1}, …, v_{i−1}, v, w, v_{i+1}, …, v_{k} ∈ V, α, β ∈ K gilt:

\begin{aligned}f(v_{1}, …, v_{i−1}, αv + βw, v_{i+1}, …, v_{k}) & = & αf(v_{1}, …, v_{i−1}, v, v_{i+1}, …, v_{k}) \\ & + & βf(v_{1}, …, v_{i−1}, w, v_{i+1}, …, v_{k}) \end{aligned}

(ii) alternierend (oder schiefsymmetrisch) falls für alle 1 ≤ i < j ≤ k und alle v_{1}, …, v_{k} ∈ V gilt: v_{i} = v_{j} ⇒ f(v_{1}, …, v_{i}, …, v_{j}, …, v_{k}) = 0

(5.2) Lemma. Sei V K-Vektorraum, dim V = n und f : V^{n} → K. f erfüllt genau dann die Bedingungen (V_{2}) (für K statt ℝ) und (V_{3}), wenn f alternierend und n-linear ist.

Bew.: siehe R. Walter, Einf. i.d. Lin. Alg. (Vieweg-Verlag 1982) S. 146, Satz D).

(5.3) Lemma. Für jede alternierende k-Linearform f : V^{k} → K gilt:

(i) ∀1 ≤ i < j ≤ k: f(…, v^{i}, …, w^{j}, …) = −f(…, w^{i}, …, v^{j}, …)

(ii) v_{1}, …, v_{n} linear abhängig ⇒ f(v_{1}, …, v_{n}) = 0

(iii) ∀1 ≤ i < j ≤ k: f(…, v^{i}, …, w + λv^{j}, …) = f(…, v^{i}, …, w^{j}, …)

Bew.:

(i)

0 = f(…, v + w, …, v + w, …)
= f(…, v, …, v + w, …) + f(…, w, …, v + w, …)
= \underbrace{f(…, v, …, v, …)}_{=0} +f(…, v, …, w, …)

+f(…, w, …, v, …) + \underbrace{f(…, w, …, w, …)}_{=0}

(ii) Sei etwa v_{i} = ∑_{\begin{matrix}j=1 \\ j≠i \end{matrix}}^{k} α_{j}v_{j}. Dann:

f(v_{1}, …, v_{n}) = ∑_{\begin{matrix}j=1 \\ j≠i \end{matrix}}^{n} α_{j} \underbrace{f(v_{1}, …, v_{i−1}, v_{j}, v_{i+1}, …, v_{k})}_{=0} = 0

(iii) klar.

Wir werden uns als nächstes damit beschäftigen, herauszufinden, wie sich der Wert einer alternierenden Form ändert, wenn man die Argumente ganz beliebig vertauscht (“permutiert”). Zunächst einiges zu diesen Permutationen:

Die Menge S_{n} = {σ | σ : {1, …, n} → {1, …, n}, σ bijektiv} mit der Komposition ∘ von Abbildungen als Verknüpfung bildet eine Gruppe, die symmetrische Gruppe. Ein σ ∈ S_{n} heißt eine Permutation von {1, …, n}.

Sind a_{1}, …, a_{k} Körperelemente, so führen wir in Analogie zum Summensymbol Σ ein:

∏_{i=1}^{k} a_{i} := a_{1} · a_{2} · . . . · a_{k}.

(5.4) Def.: Ist σ ∈ S_{n}, so heißt

sgn(σ) := ∏_{1≤i<j≤n} \frac{σ(j) − σ(i)}{j − i}

das Signum von σ.

Bsp.: 1) σ = id_{{1,...,n}} ⇒ sgn(σ) = 1.

2) Ist σ ∈ S_{2} mit σ(1) := 2, σ(2) := 1, so sgn(σ) = \frac{1−2}{2−1} = −1.

3) σ ∈ S_{n} heißt \underline{Transposition} ⇔ ∃1 ≤ i < j ≤ n: σ(i) = j, σ(j) = i und σ(k) = k, falls k ∈ {1, …, n} \ {i, j}.

(5.5) Fakt.

(i) sgn : S_{n} → {±1}

(ii) sgn(σ) = (−1)^{Fehlstandszahl von σ}, wobei die Fehlstandszahl von σ die Anzahl der

Paare (i, j) ist mit 1 ≤ i < j ≤ n und σ(i) > σ(j). (iii) σ ∈ S_{n} Transposition ⇒ sgn(σ) = −1 (σ hat 2(j − i) − 1 Fehlstände!).

Bez.: Eine Permutation σ heißt gerade, falls sgn(σ) = 1, sonst ungerade.

(5.6) Satz. Für alle σ, τ ∈ S_{n} gilt sgn(σ ∘ τ) = sgn(σ) sgn(τ), d.h. σ ist Homomorphismus von (S_{n}, ∘) in die Gruppe(!) ({±1}, ·).

Bew.: Vorbemerkung: Wegen \frac{σ(j)−σ(i)}{j−i} = \frac{σ(i)−σ(j)}{i−j} kann man in der Definition von sgn(σ) statt über alle Paare (i, j) mit 1 ≤ i < j ≤ n zu multiplizieren über irgendeine Menge von Paaren (i, j) multiplizieren, die die Eigenschaft hat, daß die Menge der zugehörigen Paarmengen {i, j} die Menge aller 2-elementigen Teilmengen von {1, …, n} ist.

sgn(σ ∘ τ) = ∏_{1≤i<j≤n} \frac{σ(τ(j)) − σ(τ(i))}{j − i} = \underbrace{∏_{1≤i<j≤n} \frac{σ(τ(j)) − σ(τ(i))}{τ(j) − τ(i)}}_{= sgn(σ) (vgl. Vorbemerkung)} \underbrace{∏_{1≤i<j≤n} \frac{τ(j) − τ(i)}{j − i}}_{=:sgn(τ)}

(5.7) Folgerung.

(i) sgn(σ^{−1}) = sgn(σ).

(ii) Sei τ ∈ S_{n} ungerade. Dann bildet die Abbildung σ → τ ∘ σ die Menge der geraden Permutationen bijektiv auf die Menge der ungeraden Permutationen ab.

Bew.:

(i) 1 = sgn(id) = sgn(σ ∘ σ^{−1}) = sgn(σ) sgn(σ^{−1}) ⇒ sgn(σ) = sgn(σ^{−1}).

(ii) sgn(σ) = 1 ⇒ sgn(τ ∘ σ) = −1. Die Abbildung σ → τ ∘ σ ist injektiv, da aus τ ∘ σ_{1} = τ ∘ σ_{2} folgt τ^{−1} ∘ (τ ∘ σ_{1}) = σ_{1} = τ^{−1} ∘ (τ ∘ σ_{2}) = σ_{2}. Ist σ̃ ∈ S_{n} ungerade, so gilt τ ∘ (τ^{−1} ∘ σ̃) = σ̃ und sgn(τ^{−1} ∘ σ̃) = sgn(τ^{−1}) sgn(σ̃) =^{(i)} sgn(τ) sgn(σ̃) = (−1)(−1) = 1.

(5.8) Fakt. Ist n ≥ 2 und σ ∈ S_{n}, so existiert k ∈ {1, …, n} und Transpositionen τ_{1}, …, τ_{k}, so daß σ = τ_{1} ∘ … ∘ τ_{k} gilt. Es gilt dann sgn(σ) = (−1)^{k}. Bew.: Offensichtlich (oder per Induktion). sgn(σ) = (−1)^{k} folgt aus (5.6) und (5.5) (iii). (5.9) Lemma. Sei V K-Vektorraum und f : V^{k} → K k-linear und alternierend. Dann gilt für alle (v_{1}, …, v_{k}) ∈ V^{k} und alle σ ∈ S_{k}:

f(v_{σ(1)}, …, v_{σ(k)}) = sgn(σ)f(v_{1}, …, v_{k}).

Bew.: Folgt aus (5.3) (i) und (5.8). (5.10) Satz. Sei V K-Vektorraum, dim V = n, (v_{1}, …, v_{n}) Basis V und α ∈ K. Dann gibt es genau eine alternierende n-Linearform f : V^{n} → K mit f(v_{1}, …, v_{n}) = α und für

dieses f gilt: Ist (w_{1}, …, w_{n}) ∈ V^{n}, w_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}v_{i}, so

(∗) f(w_{1}, …, w_{n}) = α ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{σ(1)1} · a_{σ(2)2} · . . . · a_{σ(n)n}.

Speziell: Ist f(v_{1}, …, v_{n}) = 0 für eine Basis (v_{1}, …, v_{n}), so ist f ≡ 0. Bew.: (i) Eindeutigkeit: Sei f alternierende n-Form, f(v_{1}, …, v_{n}) = α

f(w_{1}, …, w_{n})  =  f ( ∑_{i_{1}=1}^{n} a_{i_{1}1}v_{i_{1}}, ∑_{i_{2}=1}^{n} a_{i_{2}2}v_{i_{2}}, …, ∑_{i_{n}=1}^{n} a_{i_{n}n}v_{i_{n}})
=^{f n-linear}  ∑_{i_{1}=1}^{n} ∑_{i_{2}=1}^{n} … ∑_{i_{n}=1}^{n} a_{i_{1}1} · a_{i_{2}2} · . . . · a_{i_{n}n} \underbrace{f(v_{i_{1}}, v_{i_{2}}, …, v_{i_{n}})}_{= 0, falls k → i_{k} nicht injektiv}

f alternierend =  ∑_{σ∈S_{n}} a_{σ(1)1} · a_{σ(2)2} · . . . · a_{σ(n)n}f(v_{σ(1)}, …, v_{σ(n)})

=^{(5.9)}  α ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{σ(1)1} · . . . · a_{σ(n)n}

Vorbem. zu (ii): σ ∈ S_{n} ⇒ ∏_{i=1}^{n} b_{i} = ∏_{i=1}^{n} b_{σ(i)} (· kommutativ!)

(ii) Wir zeigen: ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{1σ(1)} · . . . · a_{nσ(n)} = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{σ(1)1} · . . . · a_{σ(n)n}.

Denn ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{1σ(1)}·. . .·a_{nσ(n)} =^{σ∈S_{n}→σ^{−1}∈S_{n} bijektiv} ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ^{−1}) \underbrace{a_{1σ^{−1}(1)} · . . . · a_{nσ^{−1}(n)}}_{= ∏_{i=1}^{n} b_{i} für b_{i}:=a_{iσ^{−1}(i)}} =^{(5.7)(i)}  ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ) \underbrace{a_{σ(1)1} · . . . · a_{σ(n)n}}_{= ∏_{i=1}^{n} b_{σ(i)}}

(iii) Existenz: Definiere f durch (∗). Man sieht leicht, daß f n-linear ist. Außerdem gilt

wegen v_{j} = ∑_{i=1}^{n} δ_{ij}v_{i} (mit δ_{ij} = 1 für i = j, δ_{ij} = 0 für i ≠ j):

f(v_{1}, …, v_{n}) = α ∑ sgn(σ)δ_{σ(1)1} · . . . · δ_{σ(n)n} = α sgn(id) = α.

Bleibt zu zeigen, daß f(w_{1}, …, w_{n}) = 0 gilt, falls für ein Paar (i, j) mit 1 ≤ i < j ≤ n gilt:

w_{i} = w_{j}. Ist w_{k} = ∑_{l=1}^{n} a_{lk}v_{l}, 1 ≤ k ≤ n, so folgt aus w_{i} = w_{j}:

(∗∗) a_{li} = a_{lj} für 1 ≤ l ≤ n.

Sei τ die Transposition, die i und j vertauscht.

f(w_{1}, …, w_{n}) =^{(ii)} α ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{1σ(1)} · . . . · a_{nσ(n)} =^{(5.7)(ii)}
= α ∑_{σ∈S_{n}gerade} a_{1σ(1)} · . . . · a_{nσ(n)} − α ∑_{σ∈S_{n}gerade} a_{1τ∘σ(1)} · . . . · a_{nτ∘σ(n)} = 0,

da aus (∗∗) folgt: a_{lσ(l)} = a_{lτ∘σ(l)} für alle l ∈ {1, …, n} und alle σ ∈ S_{n}.

(5.11) Def.: Sei V K-Vektorraum, dim V = n. Eine alternierende n-Linearform D : V^{n} → K, D ≠ 0, heißt \underline{Determinantenform} \underline{auf} V.

Erinnerung: D ≠ 0 bedeutet: Es existiert (v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n}: D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0.

Bsp.: D_{0} : ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ, D_{0}((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) = x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1}.

D_{0}(e_{1}, e_{2}) = 1

(5.12) Folgerung. Sei D Determinantenform auf dem n-dimensionalen K-Vektorraum V und (v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n}. Dann gilt

(i) (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V ⇔ D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0.

(ii) Ist f : V^{n} → K alternierende n-Linearform, so existiert α ∈ K : f = αD.

Bem.: 1) (ii) ⇔ {f | f alternierende n-Linearform} ist 1-dimensionaler K-Vektorraum. Die Determinantenformen sind die Elemente ≠ 0 dieses Vektorraumes.

2) f = αD, (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V ⇒ α = \frac{f(v_{1},...,v_{n})}{D(v_{1},...,v_{n})}

5

Bew.: (i) Sei (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V. Dann folgt aus (5.10) (“Speziell:”) und D ≠ 0, daß D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0 gilt. Ist D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0, so folgt aus (5.3)(ii), daß die v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig sind, also - wegen dim V = n - eine Basis von V.

(ii) Sei (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V und α := \frac{f(v_{1},...,v_{n})}{D(v_{1},...,v_{n})}. Dann sind f und αD alternierende n-Linearformen, die auf der Basis (v_{1}, …, v_{n}) den gleichen Wert annehmen. Also folgt aus (5.10) (Eindeutigkeit): f = αD.

Einschub: Die Determinante quadratischer Matrizen.

In K^{n} haben wir die Standardbasis (e_{1}, …, e_{n}), die - nach (5.10) - eine “Standarddeterminantenform” D_{0} : K^{n} × … × K^{n} → K durch

D_{0}(e_{1}, …, e_{n}) = 1

eindeutig bestimmt. Ist A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ K^{n}, so seien A_{j} := ∑_{i=1}^{n} a_{ij}e_{i} die “Spaltenvekto-

ren” von A.

(5.13) Def. Die Determinante det : K^{n×n} → K ist definiert durch

det A := D_{0}(A_{1}, …, A_{n})

Bezeichnungsweise: det A = | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{matrix} |

(5.14) Folgerung (Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716). Ist A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ K^{n×n}, so

det A = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{σ(1)1} · . . . · a_{σ(n)n}.

Bem.: Beweis (5.10)(ii) ⇒ det A = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{1σ(1)} · . . . · a_{nσ(n)}.

Bew.: det(A) = D_{0}(A_{1}, …, A_{n}), A_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}e_{i}, D_{0}(e_{1}, …, e_{n}) = 1 ⇒^{(5.10)} Beh.

Speziell: \begin{matrix}n = 1 : & A = (a_{11}) → & det A = a_{11} \\ n = 2 : & A = \binom{a_{11}a_{12}}{a_{21}a_{22}} → & det A = a_{11}a_{22} − a_{12}a_{21} \end{matrix}

n = 3: Regel von Sarrus (Rechenverfahren)

a_{11}  a_{12}  a_{13}  a_{11}  a_{12}
⧹  ×  ×  ⧸
a_{21}  a_{22}  a_{23}  a_{21}  a_{22}
⧸  ×  ×  ⧹
a_{31}  a_{32}  a_{33}  a_{31}  a_{32}

\begin{aligned}det A & = & a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ & − & a_{31}a_{22}a_{13} − a_{32}a_{23}a_{11} − a_{33}a_{21}a_{12} \end{aligned}

(5.15) Satz (einige Eigenschaften von det A)

(i) det A ist n-linear und alternierend in den Spaltenvektoren von A.

(ii) det E_{n} = 1.

(iii) det A ≠ 0 ⇔ A ∈ GL_{n}(K).

Bew.:

(i) folgt direkt aus der Definition.

(ii) det E_{n} = D_{0}(e_{1}, …, e_{n}) = 1.

(iii) det A ≠ 0 ⇔^{(5.12)(i)} Spaltenvektoren linear unabhängig ⇔ A ∈ GL_{n}(K).

Folgerungen aus (5.15)(i):

| \begin{matrix}a_{11} & … & αa_{1j} & … & a_{n1} \\ ⋮ & & & & ⋮ \\ a_{m1} & … & αa_{nj} & … & a_{nn} \end{matrix} | = α | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{n1} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{matrix} |

und: det(αA) = α^{n} det A.

Vertauscht man 2 Spalten von A, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Addiert man zu einer Spalte eine Linearkombination \underline{der anderen} Spalten, so ändert sich det A nicht, z.B.

| \begin{matrix}a_{11} + αa_{12} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} + αa_{22} & a_{22} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} + αa_{n2} & a_{n2} & … & a_{nn} \end{matrix} | = | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{matrix} |

(5.15)(iii): det A = 0 ⇔ Spaltenvektoren sind linear abhängig.

(5.16) Def. Sei A ∈ K^{m×n}. Die \underline{transponierte} \underline{Matrix} A^{T} ∈ K^{n×m} \underline{zu} A hat als Zeilen gerade die Spalten von A (in der gleichen Reihenfolge), d.h.

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} \end{matrix} ) ⇒ A^{T} = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{m1} \\ a_{12} & … & a_{m2} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{1n} & … & a_{mn} \end{matrix} )

oder: A = (a_{ij})_{\begin{matrix}1≤i≤m \\ 1≤j≤n \end{matrix}} ∈ K^{m×n}, so A^{T} = (ã_{ji})_{\begin{matrix}1≤j≤n \\ 1≤i≤m \end{matrix}} mit ã_{ji} = a_{ij}.

Bsp.: A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{2×3} ⇒ A^{T} = ( \begin{matrix}1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{3×2}.

(5.17) Folgerung (aus Bew. (5.10)(ii)).

(i) ∀A ∈ K^{n×n} : det A = det(A^{T}).

(ii) det A ist auch in den Zeilenvektoren von A n-linear und alternierend. (D.h. (5.15)(i) + Folgerungen gelten auch für Zeilenvektoren).

Bew.:

(i) (A^{T} = (ã_{ji})_{\begin{matrix}1≤j≤n \\ 1≤i≤n \end{matrix}} mit ã_{ji} = a_{ij}.

det(A^{T}) = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)ã_{σ(1)1} · . . . · ã_{σ(n)n} ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{1σ(1)} · . . . · a_{nσ(n)} =^{Bew.(5.10)(ii)} det A.

(ii) folgt aus (i).

Konkretes Verfahren zur Berechnung von det A für größere n: Durch Addition von Vielfachen von Zeilen zu anderen Zeilen und - falls nötig - durch Vertauschung von Zeilen verwandle A in “obere Dreiecksmatrix” \overline{A} = (\overline{a}_{ij}) (d.h. \overline{a}_{ij} = 0 für i > j), analog zu (4.25). Dann gilt, wenn k die Anzahl der Zeilenvertauschungen bezeichnet:

det A = (−1)^{k} det \overline{A} = (−1)^{k}\overline{a}_{11} · . . . · \overline{a}_{nn}. Denn:

(5.18) Lemma. Ist A = (a_{ij}) ∈ K^{n×n} obere (oder untere) Dreiecksmatrix, so gilt det A = a_{11} · . . . · a_{nn}.

Bew.: a_{σ(1)1} · . . . · a_{σ(n)n} ≠ 0 ⇒ ∀i ∈ {1, …, n} : σ(i) ≤ i ⇒ σ = id ⇒ Beh.

Bsp.:

| \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 8 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{matrix} | \begin{aligned}−4 | & −7 | \\ _{←}| & | \\ & _{←}| \end{aligned} = | \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & −6 \\ 0 & −6 & −11 \end{matrix} | = − | \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & −6 & −11 \\ 0 & 0 & −6 \end{matrix} | = −36

Zurück zur Theorie:

Bem.: Ist K = ℝ, dim V = n und D : V^{n} → ℝ Determinantenform, so definiert man das Volumen (bzgl. D) vol_{D}(P) eines Parallelotops P = P (v_{1}, …, v_{n}) ⊆ V durch vol_{D}(P) = |D(v_{1}, …, v_{n})|. Wegen (5.12)(ii) gilt:

Sind D, D̃ Determinantenformen auf V, so existiert α ∈ ℝ_{>0}, so daß für alle Parallelotope P = P (v_{1}, …, v_{n}) ⊆ V gilt:

volD̃(P) = α vol_{D}(P).

(5.19) Satz und Def. Sei V n-dimensionaler K-Vektorraum und L ∈ End(V). Dann ist für jede Basis (v_{1}, …, v_{n}) von V und jede Determinantenform D auf V der Quotient \frac{D(L(v_{1}),...,L(v_{n}))}{D(v_{1},...,v_{n})} das gleiche Element von K und wir definieren

det L := \frac{D(L(v_{1}), …, L(v_{n}))}{D(v_{1}, …, v_{n})}.

Bem.: Sei K = ℝ. Dann gilt für jedes Parallelotop P ⊆ V^{n} und jede Determinantenform D: vol_{D}(L(P)) = | det L| vol_{D}(P). (L linear ⇒ L(P (v_{1}, …, v_{n})) = P (L(v_{1}), …, L(v_{n}))!)

Bew. von (5.19): Wegen (5.12)(i) gilt D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0. Aus (5.12)(ii) folgt, daß det L unabhängig von der Wahl von D ist. Um die Unabhängigkeit von der Wahl der Basis zu beweisen, bemerken wir, daß

f : (w_{1}, …, w_{n}) ∈ V^{n} → D(L(w_{1}), …, L(w_{n}))

eine alternierende n-Linearform ist, so daß aus (5.12)(ii) folgt: Es existiert α ∈ K:

f = αD.

Für jede Basis v_{1}, …, v_{n}) von V gilt also:

α = \frac{f(v_{1}, …, v_{n})}{D(v_{1}, …, v_{n})} = \frac{D(L(v_{1}), …, L(v_{n}))}{D(v_{1}, …, v_{n})}(=: det L).

(5.20) Folgerung. Seien L, L_{1}, L_{2} ∈ End(V), α ∈ K. Dann gilt:

(i) det(id_{V}) = 1 (ii) L ∈ Aut(V) ⇔ det L ≠ 0 (iii) det(L_{2} ∘ L_{1}) = det L_{2} det L_{1} (iv) L ∈ Aut(V) ⇒ det(L^{−1}) = (det L)^{−1}

(v) det(αL) = α^{n} det(L)

Bew.:

(ii)

L ∈ Aut(V)  ⇔^{(4.5)}  Ist(v_{1}, …, v_{n}) Basis, so auch(L(v_{1}), …, L(v_{n}))
⇔^{(5.12)(i), (5.19)} det L ≠ 0.

(iii) 1. Fall: L_{1} ∈ Aut(V). Sei (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V. Dann ist (L(v_{1}), …, L(v_{n})) Basis von V, und es gilt:

det(L_{2} ∘ L_{1}) = \frac{D(L_{2}(L_{1}(v_{1})),...,L_{2}(L_{1}(v_{n})))}{D(v_{1},...,v_{n})}
= \frac{D(L_{2}(L_{1}v_{1}),...,L_{2}(L_{1}(v_{n})))}{D(L_{1}(v_{1}),...,L_{1}(v_{n}))} · det L_{1}
= det L_{2} · det L_{1}

2. Fall: L_{1} ∉ Aut(V)(⇔^{(ii)} det L_{1} = 0). Dann ist L_{1} nicht injektiv, vgl. (4.8). Also ist auch L_{2} ∘ L_{1} nicht injektiv, also det(L_{2} ∘ L_{1}) = 0. Daraus folgt:

0 = det L_{2} \underbrace{det L_{1}}_{=0} = det(L_{2} ∘ L_{1})

(iv) L ∈ Aut(V) ⇒ 1 =^{(i)} det(id_{V}) = det(L^{−1} ∘ L) =^{(iii)} det(L^{−1}) det L ⇒ Beh.

(v) folgt direkt auf Def. (5.19).

Zusammenhang mit der Determinante von Matrizen:

(5.21) Fakt.

(i) Sei L ∈ End(K^{n}) und Mat(L) = A, d.h. “L(x) = A ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) ”.

Dann gilt: det L = det A.

(ii) Sei V K-Vektorraum G = (v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n} Basis von V und L ∈ End(V).

Dann gilt: det L = det(Mat_{G}^{G}(L)).

Bew.:

(i) Mat(L) = A ⇔ L(e_{j}) = A_{j} ⇒

det L = \frac{D_{0}(L(e_{1}), …, L(e_{n}))}{D_{0}(e_{1}, …, e_{n})} = D_{0}(A_{1}, …, A_{n}) = det A.

(ii) Sei J ∈ Hom(K^{n}, V) der Isomorphismus mit J(e_{j}) = v_{j} für j ∈ {1, …, n}, vgl.

(4.5). Dann gilt Mat(J^{−1} ∘ L ∘ J) = Mat_{G}^{G}(L), da J^{−1} ∘ L ∘ J(e_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ij} \underbrace{e_{i}}_{=J^{−1}(v_{i})} ⇔

L(v_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}v_{i}. Wir verwenden auf V die Determinantenform (!) D, die durch

D(w_{1}, …, w_{n}) = D_{0}(J^{−1}(w_{1}), …, J^{−1}(w_{n}))

definiert ist. Dann gilt D(v_{1}, …, v_{n}) = D_{0}(e_{1}, …, e_{n}) = 1 und damit

det L = D(L(v_{1}), …, L(v_{n})) = D_{0}(J^{−1} ∘ L(v_{1}), …, J^{−1} ∘ L(v_{1})) = D_{0}(J^{−1} ∘ L ∘ J(e_{1}), …, J^{−1} ∘ L ∘ J(e_{n})) = det(J^{−1} ∘ L ∘ J) =^{(i)} det(Mat(J^{−1} ∘ L ∘ J)) = det(Mat_{G}^{G}(L)).

Bem.: Es gilt i.a. \underline{nicht} det L = det(Mat\overline{G} ; G(L)), wenn G und \overline{G} verschiedene Basen von V sind.

(5.22) Folgerung (aus (5.20)(ii), (iii), (5.21) und (4.15)).

(i) A, B ∈ K^{n×n} ⇒ det(AB) = det A · det B.

(ii) A ∈ GL_{n}(K) ⇒ det(A^{−1}) = (det A)^{−1}

Speziell besagt (5.22): Die Abbildung A → det A ist ein Gruppenhomomorphismus von (GL_{n}(K), ·) auf (K \ {0}, ·). SL_{n}(K) = {A ∈ GL_{n}(K)| det A = 1} ist Untergruppe von GL_{n}(K), die \underline{spezielle lineare Gruppe}.

Eigenwerte und Eigenvektoren (eine Anwendung der Determinante)

(5.23) Def.: Sei V K-Vektorraum, L ∈ End(V). λ ∈ K heißt \underline{Eigenwert} (EW) \underline{von} L, falls ein v ∈ V \ \{0\} existiert mit L(v) = λv. v ∈ V heißt \underline{Eigenvektor} (EV) \underline{von} L, falls v ≠ 0 gilt und ein λ ∈ K existiert mit L(v) = λv. In diesem Fall heißt v ein Eigenvektor zum Eigenwert λ.

Bem.: v EV zum EW λ, α ∈ K \ {0} ⇒ αv EV zum EW λ.

Bsp.:

1) Ist L = λ id_{V}, so ist λ der einzige EW von L und jedes v ∈ V \ {0} ist EV zum EW λ.

2) Ist L : K^{n} → K^{n} definiert durch L(e_{i}) = λ_{i}e_{i} für alle i ∈ {1, …, n}, d.h.

Mat(L) = ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & … & 0 & λ_{n} \end{matrix} ) ,

so sind λ_{1}, …, λ_{n} Eigenwerte von L und e_{1}, …, e_{n} Eigenvektoren von L.

3) L : ℝ^{2} → ℝ^{2}, L(x_{1}, x_{2}) = (x_{1} + x_{2}, x_{2}) “Scherung”, mit

Mat(L) = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

Dann ist λ = 1 der einzige EW von L und x ∈ ℝ^{2} ist genau dann EV von L, wenn x = (x_{1}, 0) für ein x_{1} ≠ 0 gilt.

4) L : ℝ^{2} → ℝ^{2}, L(x_{1}, x_{2}) = (ax_{1} − bx_{2}, bx_{1} + ax_{2}) mit

Mat(L) = ( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) .

Es folgt aus Aufgabe 1b), Blatt 11, daß L für b ≠ 0 keinen (reellen) EW hat. Geometrisch ist L eine “Drehstreckung”. Identifiziert man ℝ^{2} mit ℂ durch (x_{1}, x_{2}) ↔ x_{1}+ix_{2}, vgl. Kap. 2, so kann man L schreiben als: L(x_{1}+ix_{2}) = (a+ib)(x_{1}+ix_{2}). Die Abbildung, die z ∈ ℂ die Zahl (a + ib)z ∈ ℂ zuordnet, ist also eine Drehstreckung.

5) “Gekoppelte Schwingungen”: Gegeben A ∈ End(ℝ^{n}), gesucht Lösungen x : ℝ → ℝ^{n} der “Differentialgleichung”:

(∗) x′′(t) = A(x(t)) für alle t ∈ ℝ.

Ist v ∈ ℝ^{n} EV von A zum EW λ ∈ ℝ und ist f : ℝ → ℝ Lösung von f′′(t)-λf(t) = 0 (diese sind explizit bekannt!), so ist x(t) := f(t)v Lösung von (∗):

x′′(t) = f′′(t)v = λf(t)v = f(t)A(v) = A(f(t)v) = A(x(t)).

(5.24) Satz. Sei 1 ≤ dim V < ∞, L ∈ End(V). Dann gilt:

λ EW von L ⇔ det(L − λ id_{V}) = 0.

Bew.: det(L − λ id_{V}) = 0 ⇔^{(5.20)(ii)} (L − λ id_{V}) ∉ Aut(V) ⇔^{(4.8)} kern(L − λ id_{V}) ≠ {0} ⇔ ∃v ∈ V \ {0} : (L − λ id_{V})(v) = 0 ⇔ ∃v ∈ V \ {0} : L(v) = λv.

Bem.: Ist Mat_{G}^{G}(L) = (a_{ij}) ∈ K^{n×n}, so gilt Mat_{G}^{G}(L − λ id_{V}) = (a_{ij} − λδ_{ij})_{1≤i,j≤n}. Also nach (5.21):

det(L − λ id_{V}) = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)(a_{1σ(1)} − λδ_{1σ(1)}) · . . . · (a_{nσ(n)} − λδ_{nσ(n)})
= (−1)^{n}λ^{n} + (∑_{i=1}^{n} a_{ii}) (−1)^{n−1}λ^{n−1}+?λ^{n−2} + … +?λ + det L,

mit von den a_{ij} abhängenden Koeffizienten ?, die uns im Moment nicht weiter interessieren. Einen Ausdruck dieser Art nennt man “ein Polynom in (der Variablen) λ”.

Bez.: P_{L}(λ) := det(L − λ id_{V}) heißt das \underline{charakteristische Polynom von} L.

(5.24) besagt: λ EW von L ⇔ P_{L}(λ) = 0 ⇔^{def.} λ Nullstelle von P_{L}. Ob Polynome (vom Grad ≥ 1) \underline{stets} Nullstellen haben, hängt vom Körper K ab!

K = ℚ, ℝ → nicht immer, z.B. λ^{2} + 1
K = ℂ  → stets (“Fundamentalsatz der Algebra”)

Verfahren zur Bestimmung von EW’en und EV’en eines L ∈ End(V):

1) Berechne P_{L} (= det(L − λ id_{V})).

2) Bestimme Nullstellen von P_{L} (= EW’e von L). Das ist oft nur approximativ möglich.

3) λ Nullstelle von P_{L} ⇒ Das lineare Gleichungssystem L(v) = λv besitzt Lösung v ≠ 0. Bestimme alle Lösungen ≠ 0(= EVen zum EW λ).

Es ist leicht zu zeigen: Besitzt P_{L} n(= dim V) verschiedene Nullstellen, so ist L diago-

nalisierbar (⇔ es existiert Basis G von V: Mat_{G}^{G}(L) = ( \begin{matrix}λ_{1} \\ & ... & 0 \\ & 0 & ... \\ & & & λ_{n} \end{matrix} ), nämlich:

G = (v_{1}, …, v_{n}), v_{i} EV von L zum EW λ_{i}).

Weitere Anwendungen der Determinante:

(5.25) Def.: Eine (geordnete) Basis (v_{1}, …, v_{n}) des ℝ^{n} heißt positiv orientiert (oder Rechtssystem), falls D_{0}(v_{1}, …, v_{n}) > 0 (sonst negativ orientiert oder Linkssystem).

Bsp.: (e_{1}, …, e_{n}) ist positiv orientiert, (−e_{1}, e_{2}, …, e_{n}) und (e_{2}, e_{1}, e_{3}, …, e_{n}) sind negativ orientiert.

Bem.: Ist L ∈ Aut(ℝ^{n}), det L > 0, so gilt:

(v_{1}, …, v_{n}) positiv orientierte Basis ⇔ (L(v_{1}), …, L(v_{n})) positiv orientierte Basis.

(5.26) Cramersche Regel (Gabriel Cramer 1704-1752). Sei

I \begin{matrix}a_{11}x_{1} & + … + & a_{1n}x_{n} = & b_{1} \\ ⋮ & & & ⋮ \\ a_{n1}x_{1} & + … + & a_{nn}x_{n} = & b_{1} \end{matrix} oder kurz: A ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{n} ) = b

Gleichungssystem mit n Gleichungen für n Unbekannte. Dann gilt: Ist det A ≠ 0, so ist

x_{k} = \frac{1}{det A} | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1,k−1} & b_{1} & a_{1,k+1} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{n,k−1} & b_{n} & a_{n,k+1} & … & a_{nn} \end{matrix} | ( für k = 1, …, n)

die (einzige) Lösung von I.

Bew.: det A ≠ 0 ⇔^{(5.20)(ii)} x ∈ ℝ^{n} → Ax ∈ ℝ^{n} ist bijektiv. Also existiert genau eine Lösung von I, d.h. genau ein x ∈ ℝ^{n}: Ax = b. Sind A_{1}, …, A_{n} die Spaltenvektoren von A, so bedeutet Ax = b gerade

x_{1}A_{1} + x_{2}A_{2} + … + x_{n}A_{n} = b (vgl. I!)

Also gilt:

D_{0}(A_{1}, …, A_{k−1}, b, A_{k+1}, …, A_{n})  =  D_{0}(A_{1}, …, A_{k−1}, ∑_{i=1}^{n} x_{i}A_{i}, A_{k+1}, …, A_{n})
=^{D_{0} n-linear}  ∑_{i=1}^{n} x_{i}D_{0}(A_{1}, …, A_{k−1}, A_{i}, A_{k+1}, …, A_{n})

D_{0} alternierend

= x_{k} det A.

Eine weitere Erkenntnis, die uns die Determinante schenkt:

Nach (5.15)(iii) wissen wir, daß eine \underline{reelle} quadratische Matrix A ∈ K^{n×n} genau dann in GL(n, ℝ) liegt, wenn det A ≠ 0 gilt. Daraus folgt mit etwas Analysis: Für die “meisten” Matrizen (“für eine offene, dichte Menge” bzw. “für alle bis auf eine Menge vom Maß 0”) A ∈ ℝ^{n×n} gilt A ∈ GL_{n}(R). Speziell: “Typischerweise” ist ein System von n linearen Gleichungen für n (reelle) Unbekannte eindeutig lösbar. Oder geometrisch: “Typischerweise” schneiden sich (z.B.) zwei 3-dim. affine Unterräume des ℝ^{6} in genau einem Punkt des ℝ^{6} (2mal 3 lineare Gleichungen für 6 Unbekannte).

Zum Abschluß des Kapitels noch eine (i.a. nicht besonders praktische) Möglichkeit zum Berechnen von Determinanten - der Laplacesche Entwicklungssatz (Pierre Simon Laplace 1749-1827)).

(5.27) Lemma. Ist Ã ∈ K^{(n−1)×(n−1)} und A := ( \begin{matrix}1 & 0 … 0 \\ 0 \\ ⋮ & Ã \\ 0 \end{matrix} ) ∈ K^{n×n}, so gilt

det A = det Ã.

Bew.: Als Funktion der Spaltenvektoren von Ã ist det A (n−1)-linear, alternierend, und für Ã = E_{n−1} gilt A = E_{n} und det E_{n} = 1. Mit der Eindeutigkeitsaussage von (5.10) impliziert das: det Ã = det A.

Bez.: Zu A ∈ K^{n×n} und 1 ≤ i, j ≤ n bezeichne A_{ij} ∈ K^{(n−1)×(n−1)} die Matrix, die aus A durch \underline{Streichen} der i’ten Zeile und der j’ten Spalte entsteht.

Bsp.:

A : ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 8 & 7 & 6 & 5 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{matrix} ) ⇒ A_{23} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 4 \\ 8 & 7 & 5 \\ 4 & 3 & 1 \end{matrix} ) .

(5.28) Entwicklungssatz. Für alle A ∈ K^{n×n}, j ∈ {1, …, n} gilt:

det A = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij} (Entwicklung nach der j’ten Spalte).

Für alle i ∈ {1, …, n} gilt:

det A = ∑_{j=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij} (Entwicklung nach der i’ten Spalte).

Bsp.:

| \begin{matrix}1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} |

Entwicklung nach der 3. Spalte

= (−1)^{1+3}  | \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix} | + (−1)^{3+3} | \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix} | = −2

oder Entwicklung nach der 4. Zeile

= (−1)^{1+3}  | \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} | + (−1)^{4+4} · 2 · | \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \end{matrix} | = −2.

Bew.: A_{1} = ( a_{11} ; ⋮ ; a_{n1} ) , …, A_{n} = ( a_{1n} ; ⋮ ; a_{nn} ) seien die Spaltenvektoren von A.

\begin{aligned}det A & = & D_{0}(A_{1}, …, A_{n}) = D_{0}(A_{1}, …, A_{j} = ∑ a_{ij}e_{i}, …, A_{n}) \\ & = & ∑_{i=1}^{n} a_{ij}D_{0}(A_{1}, …, A_{j−1}, e_{i}, A_{j+1} …, A_{n}) \end{aligned}

Es bleibt zu zeigen: D_{0}(A_{1}, …, A_{j−1}, e_{i}, A_{j+1} …, A_{n}) = (−1)^{i+j} det A_{ij} D_{0}(A_{1}, …, A_{j−1}, e_{i}, A_{j+1} …, A_{n}) = (−1)^{j−1}D_{0}(e_{i}, A_{1}, …, A_{j−1}, A_{j+1}, …, A_{n})

\begin{matrix}= & (−1)^{j−1} & | 0 a_{11} …; ⋮ ; 1 a_{i1} …; ⋮ ; 0 a_{n1} … | … a_{1n} ; ⋮ ; … a_{in} ; ⋮ ; … a_{nn} | = (−1)^{i+j−2} | \begin{matrix}1 & a_{i1} & … \\ 0 & a_{11} & … \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{i−1,1} & … \\ 0 & a_{i+1,1} & … \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n1} & … \end{matrix} | … a_{in} ; … a_{1n} ; ⋮ ; … a_{i−1,n} ; … a_{i+1,n} ; ⋮ ; … a_{nn} | \\ = & (−1)^{i+j} & | \begin{matrix}1 & 0 & … \\ 0 & a_{11} & … \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{i−1,1} & … \\ 0 & a_{i+1,1} & … \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n1} & … \end{matrix} | … 0 ; … a_{1n} ; ⋮ ; … a_{i−1,n} ; … a_{i+1,n} ; ⋮ ; … a_{nn} | \\ =^{(5.27)} & (−1)^{i+j} & det A_{ij} \end{matrix}

(hierbei soll der senkrechte Strich in den Determinanten andeuten, daß die j’te Spalte gestrichen ist!)