6. Euklidische Vektorräume

Im folgenden sei V ein Vektorraum über dem Körper ℝ.

(6.1) Def.: Eine Bilinearform b : V × V → ℝ heißt

(i) symmetrisch ⇔ ∀ v, w ∈ V: b(v, w) = b(w, v)

(ii) positiv definit ⇔ ∀ v ∈ V \ {0}: b(v, v) > 0 (iii) Skalarprodukt ⇔ b ist symmetrisch und positiv definit.

Bez.: Für ein Skalarprodukt b schreibt man oft: ⟨v, w⟩ := b(v, w). Ein reeller Vektorraum V mit einem Skalarprodukt ⟨, ⟩ heißt ein \underline{euklidischer Vektorraum}.

Bsp.: 1) \begin{matrix}V = ℝ^{n}, b(x, y) & := & ⟨x, y⟩ := ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} \\ b(x, x) & = & ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2} \end{matrix}

2) \begin{matrix}V = C^{0}([0, 2π], ℝ) & = & \{f | f : [0, 2π] → ℝ stetig\} \\ b(f_{1}, f_{2}) := ⟨f_{1}, f_{2}⟩_{L^{2}} & = & ∫_{0}^{2π}f_{1}(t)f_{2}(t)dt \end{matrix}

(6.2) Def.: Sei V, ⟨, ⟩ euklidischer Vektorraum. Dann heißt ∥ v ∥:= \sqrt{⟨v, v⟩} ≥ 0 die \underline{Norm} (oder \underline{Länge}) von v ∈ V (bzgl. ⟨, ⟩) und ∥v − w ∥ der \underline{Abstand} zwischen v und w.

(6.3) Satz. Sei V, ⟨, ⟩ euklidischer Vektorraum. Dann gilt für alle v, w ∈ V, λ ∈ ℝ:

(i) ∥v ∥≥ 0 und: ∥v ∥= 0 ⇔ v = 0

(ii) ∥λv ∥= |λ| ∥v ∥

(iii) |⟨v, w⟩| ≤∥v ∥∥w ∥ (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) mit “=” ⇔ v und w sind

linear abhängig. (iv) ∥v + w ∥≤∥v ∥ + ∥w ∥ (Dreiecksungleichung)

Bew.:

(i) ist klar

(ii) ∥λv ∥= \sqrt{⟨λv, λv⟩} = \sqrt{λ^{2}⟨v, v⟩} = |λ| ∥v ∥ (iii) Es genügt, den Fall w ≠ 0 zu betrachten. Dann gilt für alle t ∈ ℝ:

\begin{matrix}0 ≤ ⟨v + tw, v + tw⟩ =∥v ∥^{2} +2t⟨v, w⟩ + t^{2} ∥w ∥^{2} \\ = (t ∥w ∥ +\frac{⟨v,w⟩}{∥w∥})^{2} + ∥v ∥^{2} −\frac{⟨v,w⟩^{2}}{∥w∥^{2}} \end{matrix}

Als Funktion von t nimmt ⟨v + tw, v + tw⟩ für t_{0} = −\frac{⟨v,w⟩}{∥w∥^{2}} sein (nichtnegatives!) Minimum an. Daraus folgt (iii). Gleichheit in (iii) tritt genau dann ein, wenn dieses Minimum gleich Null ist, d.h. falls ⟨v+t_{0}w, v+t_{0}w⟩ = 0. Daraus folgt, daß v+t_{0}w = 0 gilt, d.h. v und w sind linear abhängig. Umgekehrt gilt für linear abhängige v und w offensichtlich Gleichheit in (iii).

(iv)

\begin{aligned}∥v + w ∥^{2} & = & ⟨v + w, v + w⟩ =∥v ∥^{2} +2⟨v, w⟩+ ∥v ∥^{2} \\ & ≤^{(iii)} & ∥v ∥^{2} +2 ∥v ∥∥w ∥ + ∥w ∥^{2}= (∥v ∥ + ∥w ∥)^{2}. \end{aligned}

(6.4) Def. Sei V, ⟨, ⟩ euklidischer Vektorraum und v, w ∈ V \ {0}. Dann ist der Winkel φ = φ(v, w) ∈ [0, π] zwischen v und w definiert durch:

cos φ = \frac{⟨v, w⟩}{∥v ∥∥w ∥} bzw. φ = arccos \frac{⟨v, w⟩}{∥v ∥∥w ∥} ∈ [0, π]

Bem. 1) (5.3)(iii) ⇒ −1 ≤ \frac{⟨v,w⟩}{∥v∥∥w∥} ≤ 1. cos : [0, π] → [−1, 1] ist bijektiv mit Umkehrabbildung arccos.

2) φ(v, w) = φ(w, v)

3) v und w heißen \underline{orthogonal} (senkrecht) zueinander ⇔ ⟨v, w⟩ = 0

4) Die Definition von φ ist so eingerichtet, daß der “Kosinussatz” gilt:

∥v − w ∥^{2}=∥v ∥^{2} −2⟨v, w⟩+ ∥w ∥^{2}=∥v ∥^{2} + ∥w ∥^{2} −2 cos φ ∥v ∥∥w ∥ .

(6.5) Def.: Eine Teilmenge S ⊆ V heißt Orthonormalsystem (ONS), falls gilt

(i) Für alle v ∈ S gilt ∥v ∥= 1 (“alle v ∈ S normiert”) und (ii) v, w ∈ S, v ≠ w ⇒ ⟨v, w⟩ = 0 (“je zwei orthogonal”)

Eine Orthonormalbasis (ONB) ist ein Orthonormalsystem, das V erzeugt.

Bem.: S ONS ⇒ S linear unabhängig: v_{1}, …, v_{n} ∈ S verschieden, r_{1}, …, r_{n} ∈ ℝ und

∑_{i=1}^{n} r_{i}v_{i} = 0 ⇒ 0 = ⟨∑_{i=1}^{n} r_{i}v_{i}, ∑_{j=1}^{n} r_{j}v_{j}⟩ = ∑_{i,j=1}^{n} r_{i}r_{j}⟨v_{i}, v_{j}⟩ = ∑_{i=1}^{n} r_{i}^{2} ⇒ alle r_{i} = 0.

Bsp.:

1) V = ℝ^{n}, ⟨x, y⟩ := ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} ⇒ {e_{1}, …, e_{n}} ist ONB von (ℝ^{n}, ⟨, ⟩).

2) V = C^{0}([0, 2π], ℝ), ⟨, ⟩ = ⟨, ⟩_{L^{2}}.

Sei f_{0} ∈ V definiert durch f_{0}(x) := \frac{1}{\sqrt{2π}} und für k ≥ 1:

f_{k}(x) := \frac{1}{\sqrt{π}} cos(kx), g_{k}(x) := \frac{1}{\sqrt{π}} sin(kx).

Dann ist S = {f_{k} | k ∈ ℕ} ∪ {g_{k} | k ∈ ℕ \ {0}} ein ONS.

(6.6) Satz:

(i) (Besselsche Ungleichung). Ist S ONS, v ∈ V und E ⊆ S endlich, so gilt

∑_{e∈E}⟨v, e⟩^{2} ≤∥v ∥^{2} .

(ii) Ist B = (v_{1}, …, v_{n}) ONB von V, so gilt

v = ∑_{i=1}^{n}⟨v, v_{i}⟩v_{i}.

Bem.: Im Fall von Bsp. 2) heißen a_{k} := ⟨f, f_{k}⟩_{L^{2}} für k ≥ 0 (d.h. a_{k} = \frac{1}{\sqrt{π}} ∫_{0}^{2π}f(x) cos(kx)dx

für k ≥ 1 und a_{0} = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{0}^{2π}f(x)dx) und b_{k} := ⟨f, g_{k}⟩_{L^{2}} = \frac{1}{\sqrt{π}} ∫_{0}^{2π}f(x) sin(kx)dx für k ≥ 1 die

Fourierkoeffizienten von f ∈ V = C^{0}([0, 2π], ℝ). Aus (6.6)(i) folgt:

a_{0}^{2} + ∑_{k=1}^{∞}(a_{k}^{2} + b_{k}^{2}) ≤∥f ∥_{L^{2}}^{2}= ∫_{0}^{2π}f^{2}(x)dx.

In Wahrheit ist diese Ungleichung stets eine Gleichheit (man sagt zu dieser Eigenschaft, daß dieses S ein \underline{vollständiges} ONS ist), aber das können wir hier nicht beweisen.

Bew.: (i) 0 ≤∥v − ∑_{e∈E}⟨v, e⟩e∥=∥v ∥^{2} −2 ∑_{e∈E}⟨v, e⟩^{2} + ∑_{e∈E}⟨v, e⟩^{2}

(ii) (v_{1}, …, v_{n}) Basis ⇒ ∃r_{1}, …, r_{n} ∈ ℝ : v = ∑_{j=1}^{n} r_{j}v_{j} ⇒ ⟨v, v_{i}⟩ = ∑_{j=1}^{n} r_{j}⟨v_{j}, v_{i}⟩ = r_{i}

(6.7) Satz (Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren). Seien v_{1}, …, v_{k} ∈ V linear unabhängig. Dann existiert ein ONS ṽ_{1}, …, ṽ_{k} ∈ V mit span{v_{1}, …, v_{i}} = span{ṽ_{1}, …, ṽ_{i}} für alle 1 ≤ i ≤ k. Insbesondere: Ist V endlichdimensional, so existiert eine ONB von V.

Bew.: Induktion nach k:

k = 1 : ṽ_{1} = \frac{1}{∥v_{1} ∥}v_{1} (v_{1} ≠ 0!)

Induktionsschritt: Nach Induktionsvoraussetzung existiert ein ONS ṽ_{1}, …, ṽ_{k−1} mit

span{v_{1}, …, v_{i}} = span{ṽ_{1}, …, ṽ_{i}} für alle 1 ≤ i ≤ k − 1.

Setze w_{k} = v_{k} − ∑_{j=1}^{k−1}⟨v_{k}, ṽ_{j}⟩ṽ_{j} (⇒ ⟨w_{k}, ṽ_{i}⟩ = 0 für 1 ≤ i ≤ k − 1) und ṽ_{k} := \frac{1}{∥w_{k}∥}w_{k}. Dann

ist ṽ_{1}, …, ṽ_{k} ONS und span{ṽ_{1}, …, ṽ_{k}} = span{v_{1}, …, v_{k}}.

(6.8) Def. Seien V, ⟨, ⟩ und Ṽ , ⟨,˜⟩ euklidische Vektorräume. Ein L ∈ Hom(V, Ṽ) heißt orthogonal(bzgl. ⟨, ⟩ und ⟨,˜⟩), falls für alle v, w ∈ V gilt: ⟨v, w⟩ = ⟨L(v), L(w)˜⟩.

Bem.:

1) L orthogonal ⇒ L injektiv (L(v) = 0 ⇒∥L(v)∥^{2}=∥v ∥^{2}= 0 ⇒ v = 0)

Speziell: Gilt dim V = dim Ṽ < ∞, so ist jede orthogonale Abbildung bijektiv.

2) Sei Ṽ = V, dim V < ∞, ⟨,˜⟩ = ⟨, ⟩. Dann bilden die orthogonalen L ∈ End(V) eine Untergruppe von (Aut(V), ∘), die orthogonale Grupe O(V) von V.

(6.9) Folgerung. Ist V, ⟨, ⟩_{V} euklidischer Vektorraum, dim V = n, so existiert eine (bijektive) orthogonale Abbildung L : (V, ⟨, ⟩_{V}) → (ℝ^{n}, ⟨, ⟩).

Bew.: Sei f_{1}, …, f_{n} ONB von V. Definiere L durch L(f_{i}) = e_{i} ∈ ℝ^{n}.

Ist v = ∑ r_{i}f_{i} und w = ∑ s_{j}f_{s} so folgt ⟨v, w⟩_{V}  = ∑ r_{i}s_{i}.
Daraus folgt L(v) = ∑ r_{i}e_{i}, L(w) = ∑ s_{j}e_{j} und  ⟨L(v), L(w)⟩ = ∑ r_{i}s_{i} = ⟨v, w⟩_{V} .

(6.10) Satz. Sei L ∈ End(V) und G = (e_{1}, …, e_{n}) ONB von V und A = Mat_{G}^{G}(L).

Dann gilt: L ∈ O(V) ⇔ A^{T} A = E_{n} (⇔ A^{T} = A^{−1})

Bew.: \begin{aligned}δ_{ij} = ⟨e_{i}, e_{j}⟩ & = & ⟨L(e_{i}), L(e_{j})⟩ = ⟨∑_{k=1}^{n} a_{ki}e_{k}, ∑_{l=1}^{n} a_{lj}e_{l}⟩ \\ & = & ∑_{k,l=1}^{n} a_{ki}a_{lj}δ_{kl} = ∑_{k=1}^{n} a_{ki}a_{kj} \\ ⇔ A^{T} A = E_{n}. \end{aligned}

Die Hauptachsentransformation

Im folgenden sei V ein n-dimensionaler ℝ-Vektorraum mit Skalarprodukt ⟨, ⟩ und b : V × V → ℝ eine symmetrische Bilinearform. Ist (e_{1}, …, e_{n}) eine Basis von V und sind x =

∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}, y = ∑_{j=1}^{n} y_{j}e_{j} beliebige Vektoren in V, so folgt aus der Bilinearität von b:

b(x, y) = b (∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}, ∑_{j=1}^{n} y_{j}e_{j}) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} x_{i}y_{j} b(e_{i}, e_{j}).

Man nennt die Matrix B = (b_{ij}) ∈ ℝ^{n×n} mit b_{ij} = b(e_{i}, e_{j}) die \underline{Matrix} \underline{von} b bzgl. der Basis (e_{1}, …, e_{n}). Ist b symmetrisch (wie wir vorausgesetzt haben), so gilt b_{ij} = b(e_{i}, e_{j}) = b(e_{j}, e_{i}) = b_{ji}, d.h. B = B^{⊤} (solche Matrizen heißen symmetrisch). Es gilt dann für x =

∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}, y = ∑_{j=1}^{n} y_{j}e_{j}:

b(x, y) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} x_{i}b_{ij}y_{j} = ( x_{1} … x_{n} ) B ( y_{1} ; ⋮ ; y_{n} ) ,

wobei der letzte Term als Produkt von Matrizen zu interpretieren ist.

Besonders einfach zu verstehen ist eine Bilinearform b, deren Matrix (bzgl. e_{1}, …, e_{n}) eine Diagonalmatrix b_{ij} = λ_{i}δ_{ij} ist. Dann gilt:

b(x, y) = ∑_{i=1}^{n} x_{i}λ_{i}y_{i}.

Zum Beispiel ist ein soches b genau dann positiv definit, wenn alle λ_{i} (für i = 1, …, n) positiv sind.

(6.11) Satz (Hauptachsentransformation). Zu jeder symmetrischen Bilinearform b : V ×

V → ℝ existiert eine ONB f_{1}, …, f_{n} von V und λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℝ, so daß für alle x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}f_{i},

y = ∑_{j=1}^{n} y_{j}f_{j} in V gilt

b(x, y) = ∑_{i=1}^{n} x_{i}λ_{i}y_{i}.

Anders ausgedrückt: Es existiert stets eine ONB von V, bezüglich derer die Matrix von b eine Diagonalmatrix ist. (Die λ_{i} sind dann gerade die Diagonalelemente der Matrix.)

Herkunft der Bezeichnung “Hauptachsentransformation”: Ist b : ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ positiv definite, symmetrische Bilinearform, so ist die Menge

E = {x ∈ ℝ^{2} | b(x, x) = 1}

eine Ellipse. Satz (6.11) besagt, daß es eine ONB f_{1}, f_{2} (bzgl. des üblichen Skalarprodukts) gibt, so daß

E = {x = x_{1}f_{1} + x_{2}f_{2} ∈ ℝ^{2} | λ_{1}x_{1}^{2} + λ_{2}x_{2}^{2} = 1}

gilt, d.h. die Geraden durch 0 ∈ ℝ^{2} in Richtung f_{1} bzw. f_{2} sind die “Hauptachsen” der Ellipse E mit zugehörigen Achsenabschnitten der Länge (λ_{1})^{− \frac{1}{2}} bzw. (λ_{2})^{− \frac{1}{2}} .

Satz (6.11) spielt in folgendem Zusammenhang in der Analysis II eine Rolle (“Kurvendiskussion für Funktionen f : ℝ^{n} → ℝ”): Ist f : ℝ^{n} → ℝ zweimal stetig differenzierbar, x_{0} ∈ ℝ^{n} und h ∈ ℝ^{n}, so gilt (siehe Analysis II)

f(x_{0} + h) = f(x_{0}) + Df(x_{0})(h) + \frac{1}{2} D^{2}f(x_{0})(h, h) + R_{f,x_{0}}(h),

wobei Df(x_{0}) : ℝ^{n} → ℝ linear (1. Ableitung von f an der Stelle x_{0}), D^{2}f(x_{0}) : ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ symmetrisch, bilinear (2. Ableitung von f an der Stelle x_{0}),

und R_{f,x_{0}}(h) eine Funktion mit lim_{h→0} \frac{R_{f,x_{0}}(h)}{∥h∥^{2}} = 0 ist. x_{0} heißt \underline{kritischer} \underline{Punkt} von f, falls

Df(x_{0}) = 0 gilt. Aus (6.11) folgt, daß man eine ONB des ℝ^{n} finden kann, bzgl. derer

D^{2}f(x_{0})(h, h) = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}h_{i}^{2} gilt. Daraus folgt für einen kritischen Punkt x_{0} von f:

alle λ_{i} > 0 (⇔ D^{2}f(x_{0}) positiv definiert) ⇒ x_{0} lokales Minimum.
alle λ_{i} < 0 (⇔ D^{2}f(x_{0}) negativ definiert) ⇒ x_{0} lokales Maximum.

Im Gegensatz zum (aus der Schule bekannten) Fall n = 1 gibt es für n > 1 noch andere wichtige Möglichkeiten für D^{2}f(x_{0}): Es kann z.B. für n = 2 λ_{1} > 0 und λ_{2} < 0 gelten. Dann sieht der Graph von f in einer Umgebung von x_{0} wie eine “Sattelfläche” aus.

Vorbereitung zum Beweis von Satz (6.11):

Wegen (6.9) können wir annehmen, daß V = ℝ^{n}, ⟨x, y⟩ = ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} gilt. Ist nämlich L : ℝ^{n} →

V orthogonal, so betrachte b̃ : ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ, b̃(x, y) := b(L(x), L(y)). Haben wir die Behauptung für b̃ bewiesen, so folgt sie leicht auch für b. (Als gesuchte ONB von V kann gerade das Bild unter L einer ONB des ℝ^{n} genommen werden, die b̃ diagonalisiert.)

Unter leichtem Missbrauch der Bezeichnung verwenden wir B auch als Symbol für die

lineare Abbildung B : ℝ^{n} → ℝ^{n} mit B(e_{i}) = ∑_{j=1}^{n} b_{ij}e_{j} = ∑_{j=1}^{n} b_{ji}e_{j}. Dann gilt:

(6.12) Lemma. b(x, y) = ⟨B(x), y⟩ = ⟨x, B(y)⟩ für alle x, y ∈ ℝ^{n}.

Bem.: Ein B ∈ End(ℝ^{n}) mit ⟨B(x), y⟩ = ⟨x, B(y)⟩ für alle x, y ∈ ℝ^{n} heißt “selbstadjungiert”.

Bew.: \begin{aligned}⟨B(x), y⟩ & = & ⟨B (∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}) , ∑_{k=1}^{n} y_{k}e_{k}⟩ \\ & = & ∑_{i=1}^{n} ∑_{k=1}^{n} x_{i}y_{k}⟨B(e_{i}), e_{k}⟩ \\ & = & ∑_{i=1}^{n} ∑_{k=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} x_{i}y_{k}b_{ij} \underbrace{⟨e_{j}, e_{k}⟩}_{=δ_{jk}} = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} x_{i}y_{j}b_{ij} \\ & = & b(x, y) \end{aligned}

Da b symmetrisch ist, folgt daraus:

⟨x, B(y)⟩ = ⟨B(y), x⟩ = b(y, x) = b(x, y) = ⟨B(x), y⟩.

Satz (6.11) ist also äquivalent dazu, daß es für jedes selbstadjungierte B ∈ End(ℝ^{n}) eine ONB f_{1}, …, f_{n} des ℝ^{n} aus Eigenvektoren von B gibt. Sind dann λ_{1}, …, λ_{n} die zugehörigen Eigenwerte von B, d.h. B(f_{i}) = λ_{i}f_{i} für i = 1, …, n, so gilt:

b_{ij} = b(f_{i}, f_{j}) = ⟨B(f_{i}), f_{j}⟩ = λ_{i}⟨f_{i}, f_{j}⟩ = λ_{i}δ_{ij}, wie in (6.11) behauptet.

Im ersten (schwierigeren) Schritt zeigen wir:

1. Schritt: B besitzt einen Eigenwert λ ∈ ℝ. Sei B̃ ∈ End(ℂ^{n}) die ℂ-lineare Fortsetzung von B ∈ End(ℝ^{n}) auf ℂ^{n}, d.h. B̃(z_{1}, …, z_{n}) =

(∑_{i=1}^{n} b_{1i}z_{i}, ∑_{i=1}^{n} b_{2i}z_{i}, …, ∑_{i=1}^{n} b_{ni}z_{i}). Wir verwenden nun (ohne das bewiesen zu haben), daß

ℂ algebraisch abgeschlossen ist. Daraus folgt, daß es einen Eigenwert λ ∈ ℂ ∈ ℂ ∈ ℂ von B̃ gibt (vgl. (5.24) und die daran anschließenden Bemerkungen).

Wir wollen zeigen, daß in Wahrheit λ ∈ ℝ ∈ ℝ ∈ ℝ gilt. Sei v = x + iy ∈ ℂ^{n} \ {0} mit x, y ∈ ℝ^{n} ein EV zum EW λ = α + iβ, α, β ∈ ℝ, von B̃. Dann gilt

B̃(x + iy) = B(x) + iB(y) mit B(x), B(y) ∈ ℝ^{n}

und andererseits wegen B̃(v) = λv:

B̃(x + iy) = (α + iβ)(x + iy) = (αx − βy) + i(βx + αy).

Also:

(∗) B(x) = αx − βy und B(y) = βx + αy

Aus (∗) folgt mit (6.12):

⟨B(x), y⟩ = α⟨x, y⟩ − β ∥y ∥^{2}= ⟨x, B(y)⟩ = β ∥x∥^{2} +α⟨x, y⟩.

Also 0 = β(∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2}), woraus wegen ∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2}> 0 (da v ≠ 0!) β = 0 folgt, d.h. λ = α ∈ ℝ und, nach (∗),

B(x) = λx, B(y) = λy.

Da v = x + iy ≠ 0 gilt, sind nicht beide x und y der Nullvektor, d.h. mindestens einer von beiden ist ein Eigenvektor von B (zum EW λ = α ∈ ℝ).

2. Schritt: Induktion über n = dim ℝ^{n}.

n = 1: Wähle f_{1} := e_{1} ∈ ℝ^{1}. Dann gilt: b(x_{1}e_{1}, x_{1}e_{1}) = x_{1}^{2} \underbrace{b(e_{1}, e_{1})}_{=:λ_{1}}.

n > 1: Wähle als f_{1} ∈ ℝ^{n} einen (nach Schritt 1 existierenden) Eigenvektor von B, der ohne Einschränkung als normiert angenommen werden kann, d.h. ∥f_{1} ∥= 1. Betrachte

(∗∗) U := {x ∈ ℝ^{n} | ⟨x, f_{1}⟩ = 0}.

Dann ist U ein (n − 1)-dimensionaler Untervektorraum des ℝ^{n} (vgl. (3.24)) und die Restriktion ⟨, ⟩ | U × U von ⟨, ⟩ auf U ist ein Skalarprodukt auf U. Entscheidend ist nun, daß B(U) ⊆ U gilt: Ist x ∈ U, d.h. x ∈ ℝ^{n} und ⟨x, f_{1}⟩ = 0, so folgt B(x) ∈ ℝ^{n} und

⟨B(x), f_{1}⟩ =^{(6.12)} ⟨x, B(f_{1})⟩ = ⟨x, λ_{1}f_{1}⟩ = λ_{1}⟨x, f_{1}⟩ = 0,

d.h. B(x) ∈ U. B | U ist also ein selbstadjungierter Endomorphismus von U, so daß nach der Induktionsvoraussetzung die Existenz einer ONB f_{2}, …, f_{n} von U aus Eigenvektoren von B | U (⇒ von B) existiert. Wegen (∗∗) ist dann f_{1}, …, f_{n} eine ONB des ℝ^{n} aus Eigenvektoren von B.