Orthogonales Komplement und Orthogonalprojektion

Wir betrachten weiterhin einen euklidischen Vektorraum V, ⟨, ⟩.

(6.13) Def.: Ist M ⊆ V, so heißt

M^{⊥} := {v ∈ V | ∀w ∈ M : ⟨v, w⟩ = 0}

das orthogonale Komplement von M.

(6.14) Fakt.

(i) M^{⊥} ist Untervektorraum von V.

(ii) M_{1} ⊆ M_{2} ⊆ V ⇒ M_{2}^{⊥} ⊆ M_{1}^{⊥} (iii) M^{⊥} = (span(M))^{⊥} (iv) M ⊆ (M^{⊥})^{⊥}

Bew. von (iii): Wegen (ii) genügt es, M^{⊥} ⊆ (span(M))^{⊥} zu beweisen. Sei also v ∈ M^{⊥}. Wir müssen zeigen, daß für alle w ∈ span(M) gilt: ⟨v, w⟩ = 0. Zu jedem w ∈ span(M) existieren k ∈ ℕ, r_{1}, …, r_{k} ∈ ℝ und w_{1}, …, w_{k} ∈ M:

w = ∑_{i=1}^{k} r_{i}w_{i} (siehe (3.7)).

Wegen v ∈ M^{⊥} und w_{i} ∈ M gilt ⟨v, w_{i}⟩ = 0 für 1 ≤ i ≤ k. Also:

⟨v, w⟩ = ⟨v, ∑_{i=1}^{k} r_{i}w_{i}⟩ = ∑_{i=1}^{k} r_{i}⟨v, w_{i}⟩ = 0.

Bsp.: V = ℝ^{3} mit dem Standardskalarprodukt

M = {e_{1}, e_{2}} ⇒ span(M) = ℝ^{2} × {0}
M^{⊥} = (span(M))^{⊥} = {(0, 0)} × ℝ

(6.15) Satz. Sei dim V < ∞. Dann gilt für jeden Untervektorraum U von V:

U ⊕ U^{⊥} = V und (U^{⊥})^{⊥} = U.

Speziell: dim U + dim U^{⊥} = dim V.

Bew.: Sei dim U =: k. Ergänze eine Basis (v_{1}, …, v_{k}) von U zu einer Basis (v_{1}, …, v_{n}) von V, vgl. (3.16). Nach (6.7) (Gram-Schmidt) existiert eine ONB (w_{1}, …, w_{n}) von V, so daß

span{w_{1}, …, w_{k}} = span{v_{1}, …, v_{k}} = U

gilt. Wir zeigen, daß U^{⊥} = span{w_{k+1}, …, w_{n}} gilt. Denn:

(i) Ist i ≤ k < j, so gilt ⟨w_{i}, w_{j}⟩ = 0, also w_{j} ∈ {w_{1}, …, w_{k}}^{⊥} = U^{⊥}. Wegen (6.14)(i)

folgt span{w_{k+1}, …, w_{n}} ⊆ U^{⊥}.

(ii) Ist v = ∑_{j=1}^{n} r_{j}w_{j} ∈ U^{⊥}, so gilt für 1 ≤ i ≤ k:

0 = ⟨v, w_{i}⟩ = ∑_{j=1}^{n} r_{j}⟨w_{j}, w_{i}⟩ = r_{i}.

Also v = ∑_{j=k+1}^{n} r_{j}w_{j} ∈ span{w_{k+1}, …, w_{n}}^{⊥}.

Aus U = span{w_{1}, …, w_{k}} und U^{⊥} = span{w_{k+1}, …, w_{n}} folgt V = U ⊕ U^{⊥} und (U^{⊥})^{⊥} = U.

Bem.: 1) Der Beweis von (6.15) liefert ein Rechenverfahren zur Bestimmung einer ONB {w_{1}, …, w_{n}} von V, so daß {w_{1}, …, w_{k}} eine ONB von U und {w_{k+1}, …, w_{n}} eine ONB von U^{⊥} ist.

2) (6.15) gilt nicht ohne die Voraussetzung dim V < ∞!

Ist U Untervektorraum eines endlich-dimensionalen euklidischen Vektorraums V, so ist U^{⊥} ein zu U komplementärer Vektorraum, vgl. (3.21). Unter den vielen zu U komplementären Untervektorräumen ist U^{⊥} durch die Eigenschaft ausgezeichnet, daß jedes v ∈ U^{⊥} zu allen u ∈ U orthogonal ist (d.h. der Name “orthogonales Komplement”). Ist dim V = ∞, so kann U ⊕ U^{⊥} ⫋ V gelten. In diesem Fall ist das orthogonale Komplement U^{⊥} also \underline{kein} zu U komplementärer Unterraum. (Ein “orthogonales Komplement” ist also nicht notwendig ein “Komplement”. So etwas tritt in der mathematischen Sprache öfters auf, wie auch in der Umgangssprache, in der mit einem “tollen Hecht” oft kein Hecht gemeint ist.)

(6.16) Def.: Sei U Untervektorraum von V und V = U ⊕U^{⊥}. Dann existiert für jedes v ∈ V genau ein Paar (u_{0}, u_{1}) ∈ U × U^{⊥}, so daß v = u_{0} + u_{1} gilt. Die Abbildung P_{U} : V → U, P_{U}(v) := u_{0}, heißt \underline{Orthogonalprojektion von} V \underline{auf} U.

Bem.:

0) P_{U}(v) ist durch die Eigenschaften P_{U}(v) ∈ U und v − P_{U}(v) ∈ U^{⊥} eindeutig bestimmt.

1) P_{U} ∈ Hom(V, U).

2) Für alle u ∈ U gilt P_{U}(u) = u (d.h. P_{U}|U = id_{U}) und für alle v ∈ U^{⊥} gilt P_{U}(v) = 0.

3) Ist (v_{1}, …, v_{k}) ONB von U, so gilt für alle v ∈ V:

P_{U}(v) = ∑_{i=1}^{k}⟨v, v_{i}⟩v_{i}.

4) Ist (v_{k+1}, …, v_{n}) ONB von U^{⊥}, so gilt für alle v ∈ V:

P_{U}(v) = v − ∑_{i=k+1}^{n}⟨v, v_{i}⟩v_{i}.

Bez.: Ist ∅ ≠ M ⊆ V und v ∈ V, so heißt

d(v, M) := inf{∥v − u∥ | u ∈ M}

der Abstand von v zu M.

(6.17) Satz. Sei U ⊆ V Untervektorraum und V = U ⊕ U^{⊥}. Dann gilt für jedes v ∈ V: Es existiert genau ein \overline{u} ∈ U mit d(v, U) = ∥v − \overline{u}∥, nämlich \overline{u} = P_{U}(v). Speziell gilt: d(v, U) = ∥v − P_{U}(v)∥.

Bew.: Sei u ∈ U beliebig. Zerlege v = P_{U}(v)+(v −P_{U}(v)), wobei P_{U}(v) ∈ U, (v −P_{U}(v)) ∈ U^{⊥}. Dann gilt

∥v − u∥^{2} = ∥(P_{U}(v) − u) + (v − P_{U}(v))∥^{2} = ∥(P_{U}(v) − u)∥^{2} + ∥v − P_{U}(v)∥^{2}.

Also ∥v − u∥ ≥ ∥v − P_{U}(v)∥, wobei Gleichheit genau für u = P_{U}(v) eintritt.

Bsp.: Approximation komplizierter Funktionen durch einfache: die \underline{Fourierentwicklung}. Wir betrachten den ℝ-Vektorraum

V = C^{0}([0, 2π], ℝ) = {f | f : [0, 2π] → stetig}

mit dem sogenannten L^{2}-Skalarprodukt

⟨f, g⟩ := ∫_{0}^{2π}f(x)g(x)dx

und dem ONS f_{0}(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}}, f_{k}(x) = \frac{1}{\sqrt{π}} cos(kx), g_{k}(x) = \frac{1}{\sqrt{π}} sin(kx), vgl. Bsp. 1 nach (6.1) und Bsp. nach (6.5). Es sei

U_{n} := span{f_{0}, …, f_{n}, g_{1}, …, g_{n}}.

Wegen Bem. 3 nach (6.16) gilt für alle f ∈ V:

(∗) P_{U_{n}}(f) = ∑_{k=0}^{n}⟨f, f_{k}⟩f_{k} + ∑_{k=1}^{n}⟨f, g_{k}⟩g_{k}.

Im Gegensatz zu dem nach (6.6) geschriebenen, definiert man üblicherweise die \underline{Fourierkoef-} \underline{fizienten} a_{k} = a_{k}(f) und b_{k} = b_{k}(f) durch

a_{k} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π}f(x) cos(kx)dx = \{ \begin{matrix}\sqrt{\frac{2}{π}}⟨f, f_{0}⟩ & für k = 0 \\ \frac{1}{\sqrt{π}}⟨f, f_{k}⟩ & für k > 0 \end{matrix}
b_{k} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π}f(x) sin(kx)dx = \frac{1}{\sqrt{π}}⟨f, g_{k}⟩ für k > 0.

Damit schreibt sich (∗) als

P_{U_{n}}(f)(x) = \frac{a_{0}}{2} + ∑_{k=1}^{n} (a_{k} cos(kx) + b_{k} sin(kx)) .

Satz (6.17) besagt, daß P_{U_{n}}(f) das eindeutig bestimmte Element von U_{n} mit minimalem L^{2}-Abstand von f ist, d.h. die beste (L^{2}-)Approximation von f durch ein Element von U_{n}. Die (hier nicht bewiesene) Tatsache, daß {f_{0}} ∪ {f_{k}, g_{k} | k > 0} ein vollständiges ONS bilden, heißt gerade, daß für jedes f ∈ V gilt

( lim_{n→∞} d(f, U_{n}) =) lim_{n→∞}∥f − P_{U_{n}}(f)∥ = 0.

Die Gramsche Determinante (J.P. Gram, dän. Math. 1850-1916)

(6.18) Satz. Sei V euklidischer Vektorraum, 0 < dim V = n < ∞. Dann existieren genau zwei Determinantenformen ±D auf V, so daß gilt:

Ist v_{1}, …, v_{n} ONB von V, so gilt | ± D(v_{1}, …, v_{n})| = 1.

Bez.: Ein solches D heiße \underline{normierte} Determinantenform des euklidischen Vektorraums V.

Bew.: Existenz: Sei (\overline{v}_{1}, …, \overline{v}_{n}) eine (feste) ONB vn V. Nach (5.10) existiert genau eine Determinantenform D von V mit

D(\overline{v}_{1}, …, \overline{v}_{n}) = 1.

Wir müssen zeigen, daß dann für jede ONB (v_{1}, …, v_{n}) von V |D(v_{1}, …, v_{n})| = 1 gilt. Sei L ∈ End V durch L(\overline{v}_{i}) = v_{i} für 1 ≤ i ≤ n definiert. Nach Definition (5.19) gilt:

D(v_{1}, …, v_{n}) = det L D(\overline{v}_{1}, …, \overline{v}_{n}) = det L.

Nach (6.10) gilt für die Matrix A von L bzgl. (v_{1}, …, v_{n}):

A^{T} A = E_{n}.

Also 1 = det E_{n} = det(A^{T} A) =^{(5.20)} det A^{T} det A =^{(5.17)} (det A)^{2} =^{(5.21)} (det L)^{2} und damit

|D(v_{1}, …, v_{n}| = | det L| = 1.

Daß ±D die einzigen solchen Determinantenformen sind, folgt direkt aus (5.10).

Aus Satz (6.18) folgt, daß in endlich-dimensionalen euklidischen Vektorräumen (V, ⟨, ⟩) ein natürlicher Volumenbegriff für Parallelotope existiert. Ist D eine normierte Determinantenform und sind w_{1}, …, w_{n} ∈ V, so definieren wir

vol_{n}^{⟨,⟩}(P (w_{1}, …, w_{n})) := |D(w_{1}, …, w_{n})|.

Ist (v_{1}, …, v_{n}) eine ONB von V, so nennt man P (v_{1}, …, v_{n}) einen Würfel der Kantenlänge 1, und es folgt:

vol_{n}^{⟨,⟩}(P (v_{1}, …, v_{n})) = 1.

Die Gramsche Determinante berechnet vol_{n}^{⟨,⟩}(P (w_{1}, …, w_{n})) mittels der Skalarprodukte ⟨w_{i}, w_{k}⟩ für 1 ≤ i, k ≤ n:

(6.19) Satz (Gramsche Determinante). Sei (V, ⟨, ⟩) n-dimensionaler euklidischer Vektorraum und w_{1}, …, w_{n} ∈ V. Dann gilt

vol_{n}^{⟨,⟩}(P (w_{1}, …, w_{n})) = \sqrt{det((⟨w_{i}, w_{k}⟩)_{1≤i,k≤n})}.

Bsp.: Wir betrachten ℝ^{2} mit dem Standardskalarprodukt. Dann ist D_{0} eine normierte Determinantenform, da D_{0}(e_{1}, e_{2}) = 1. In diesem Fall sagt (6.19):

vol_{2}^{⟨,⟩}(P (w_{1}, w_{2})) = \sqrt{det ( \begin{matrix}⟨w_{1}, w_{1}⟩ & ⟨w_{1}, w_{2}⟩ \\ ⟨w_{2}, w_{1}⟩ & ⟨w_{2}, w_{2}⟩ \end{matrix} )} = \sqrt{∥w_{1}∥^{2}∥w_{2}∥^{2} − ⟨w_{1}, w_{2}⟩^{2}}
= ∥w_{1}∥∥w_{2}∥\sqrt{1 − cos^{2} φ} = ∥w_{1}∥∥w_{2}∥ sin φ,

wobei φ den Winkel zwischen w_{1} und w_{2} bezeichnet. Das ist die Formel für die Fläche des Parallelogramms P (w_{1}, w_{2}) mit den Seitenlängen ∥w_{1}∥ und ∥w_{2}∥ und dem eingeschlossenen Winkel φ.

Beweis von (6.19): Sei G = (v_{1}, …, v_{n}) eine ONB von V und L ∈ End(V) durch L(v_{j}) = w_{j} für 1 ≤ j ≤ n definiert. Dann ist A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} = Mat_{G}^{G}(L) durch

w_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}v_{i}

definiert, und es gilt mit einer normierten Determinantenform D:

(∗) vol_{n}^{⟨,⟩}(P (w_{1}, …, w_{n})) = |D(w_{1}, …, w_{n})| = | det A||D(v_{1}, …, v_{n})| = | det A|.

Andererseits:

\begin{aligned}⟨w_{i}, w_{k}⟩ & = & ⟨∑_{j=1}^{n} a_{ji}v_{j}, ∑_{l=1}^{n} a_{lk}v_{l}⟩ = ∑_{j,l=1}^{n} a_{ji}a_{lk} \underbrace{⟨v_{j}, v_{l}⟩}_{=δ_{jl}} = ∑_{j=1}^{n} a_{ji}a_{jk} \\ & = & (A^{T} · A)_{ik} \end{aligned}

Also: (⟨w_{i}, w_{k}⟩)_{1≤i,k≤n} = A^{T} A.

Daraus folgt: (∗∗) det(⟨w_{i}, w_{k}⟩)_{1≤i,k≤n} = det(A^{T} A) = (det A)^{2}.

Aus (∗) und (∗∗) folgt die Behauptung.

Jeder Unterraum U eines euklidischen Vektorraums (V, ⟨, ⟩) “erbt” das Skalarprodukt von V, d.h. ⟨, ⟩ | U × U ist ein Skalarprodukt auf U. Damit ist auch das Volumen von k (≤ n)-dimensionalen Parallelotopen in V definiert:

Sind v_{1}, …, v_{k} ∈ V linear unabhängig, so heißt

P (v_{1}, …, v_{k}) = {∑_{i=1}^{k} s_{i}v_{i} | 0 ≤ s_{i} ≤ 1} ⊆ span{v_{1}, …, v_{k}}

das von v_{1}, …, v_{k} aufgespannte (k-dimensionale) Parallelotop.

Ist D^{U} normierte Determinantenform auf U := span{v_{1}, …, v_{k}}, so besagt (6.19)

|D^{U}(v_{1}, …, v_{k})| = \sqrt{det((⟨v_{i}, v_{j}⟩)_{1≤i,j≤k}})

und wir definieren diesen Wert als das k-dimensionale Volumen vol_{k}^{⟨,⟩}(P (v_{1}, …, v_{k})) von P (v_{1}, …, v_{k}). Sind v_{1}, …, v_{k} linear abhängig, so definieren wir vol_{k}^{⟨,⟩}(P (v_{1}, …, v_{k})) = 0.