Orthogonale Abbildungen

Wir wollen orthogonale Endomorphismen L ∈ O(V) eines euklidischen Vektorraums (V, ⟨, ⟩) untersuchen.

Erinnerung (an Def. (6.8)):

L ∈ O(V) ⇔ L ∈ End(V) und für alle v, w ∈ V gilt ⟨L(v), L(w)⟩ = ⟨v, w⟩.

Solche L ∈ O(V) sind stets injektiv und damit – falls dim V < ∞ – auch surjektiv. Wir setzen voraus, daß dim V = n < ∞ gilt. Dann ist O(V) eine Untergruppe von Aut(V) (mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen als Gruppenoperation). Nach Satz (6.10) gilt: Ist G = (v_{1}, …, v_{n}) ONB von V, ist L ∈ End(V) und A := Mat_{G}^{G}(L), so gilt:

L ∈ O(V) ⇔ A^{T} · A = E_{n}.

Speziell folgt daraus (wie im Beweis von (6.18) schon benutzt):

L ∈ O(V) ⇒ | det L| = | det A| = 1.

(6.20) Def.: A ∈ ℝ^{n×n} heißt orthogonal ⇔ A^{T} A = E_{n} O(n) := {A | A ∈ ℝ^{n×n} orthogonal} SO(n) := {A | A ∈ O(n), det A = 1} = O(n) ∩ SL_{n}(ℝ) SO(V) := {L | L ∈ O(V), det L = 1}

Da Mat_{G}^{G} : (Aut(V), ∘) → (GL_{n}(ℝ), ·) ein Gruppenisomorphismus ist (vgl. (4.18)), ist O(n) = Mat_{G}^{G}(O(V)) eine Untergruppe von GL_{n}(ℝ). Ebenso ist SO(n) (bzw. SO(V)) Untergruppe von O(n) (bzw. von O(V)).

Wir beschäftigen uns zunächst mit dem Spezialfall V = ℝ^{2}, ⟨, ⟩ = Standardskalarprodukt, d.h.

⟨(x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})⟩ := x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2}.

Beispiele von Elementen in O(ℝ^{2}):

1) “Drehungen”: Sei φ ∈ ℝ und D_{φ} ∈ End(ℝ^{2}) mit

Mat(D_{φ}) = ( \begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} )

Dann gilt

Mat(D_{φ})^{T} · Mat(D_{φ}) = ( \begin{matrix}cos φ & sin φ \\ − sin φ & cos φ \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}cos^{2} φ + sin^{2} φ & 0 \\ 0 & cos^{2} φ + sin^{2} φ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ,

d.h. Mat(D_{φ}) ∈ O(2) und damit D_{φ} ∈ O(ℝ^{2}). Wegen

| \begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} | = 1 gilt sogar D_{φ} ∈ SO(ℝ^{2}), Mat(D_{φ}) ∈ SO(2).

Offenbar gilt D_{φ+2π} = D_{φ} und D_{φ} ≠ D_{ψ}, falls 0 ≤ φ < ψ < 2π.

2) “Spiegelungen an Geraden durch 0 ∈ ℝ^{2}”: Sei U ⊆ ℝ^{2} 1-dimensionaler Untervektorraum. Wähle eine ONB G = (v_{1}, v_{2}) des ℝ^{2} mit span{v_{1}} = U. Definiere “die Spiegelung S_{U} ∈ End(ℝ^{2}) an U” durch

S_{U}(v_{1}) = v_{1}, S_{U}(v_{2}) = −v_{2}.

Dann gilt S_{U} ∈ O(ℝ^{2}) \ SO(ℝ^{2}), da Mat_{G}^{G}(S_{U}) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) ∈ O(2) \ SO(2).

S_{U} ist durch U eindeutig bestimmt!

(6.21) Fakt. Es gilt:

(i) SO(ℝ^{2}) = {D_{φ}|φ ∈ [0, 2π)}. (ii) O(ℝ^{2}) = {S_{U}|U 1-dimensionaler Unterraum des ℝ^{2}}. (iii) ∀φ, ψ ∈ ℝ : D_{φ+ψ} = D_{φ} ∘ D_{ψ}(= D_{ψ} ∘ D_{φ}), D_{0} = id_{ℝ^{2}} (d.h. φ ∈ (ℝ, +) → D_{φ} ∈

(SO(ℝ^{2}), ∘) ist surjektiver Gruppenhomomorphismus).

D_{φ} = id_{ℝ^{2}} ⇔ φ ∈ {2πk|k ∈ ℤ}

(iv) S_{U_{2}} ∘ S_{U_{1}} = D_{2φ}, wobei φ der Winkel ist, um den man U_{1} drehen muß, um U_{2} zu erhalten, d.h. D_{φ}(U_{1}) = U_{2}. (φ ist bis auf additive Vielfache φ + kπ, k ∈ ℤ, von π bestimmt.)

(v) D_{2φ} ∘ S_{U} = S_{D_{φ}(U)}, S_{U} ∘ D_{2φ} = S_{D_{−φ}(U)}.

Insbesondere folgt aus (iii), (iv) bzw. (v), daß SO(ℝ^{2}) abelsch ist, während O(ℝ^{2}) nicht abelsch ist.

Bew.:

(i) Sei L ∈ SO(ℝ^{2}), L(e_{1}) =: (x, y) ∈ ℝ^{2}. Dann gilt x^{2} + y^{2} = 1 und mit den Kenntnissen aus der Analysis I kann man einsehen, daß es genau ein φ ∈ [0, 2π) gibt mit (x, y) = (cos φ, sin φ), d.h. L(e_{1}) = D_{φ}(e_{1}). Dann sind L(e_{2}) und D_{φ}(e_{2}) beides Einheitsvektoren, die zu L(e_{1}) = D_{φ}(e_{1}) orthogonal sind und zusammen mit L(e_{1}) = D_{φ}(e_{1}) eine positiv orientierte Basis bilden. Da es nur einen solchen Vektor gibt (das ist anschaulich klar, muß aber im Prinzip durch eine Rechnung begründet werden), gilt auch L(e_{2}) = D_{φ}(e_{2}), also L = D_{φ}.

(ii) Sei L ∈ O(2) \ SO(2). Um zu zeigen, daß L eine Spiegelung ist, suchen wir einen 1-dimensionalen Unterraum U, der punktweise von L festgelassen wird, d.h. einen Vektor v ∈ ℝ^{2} \ {0} mit L(v) = v (⇔ v EV zum EW 1 von L). Ist Mat(L) =

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ), so gilt wegen det L = −1: det(L − λ id_{ℝ^{2}}) = λ^{2} − (a + d)λ − 1 =: p(λ).

Wegen p(0) = −1 und lim_{λ→±∞} p(λ) = ∞, hat p(λ) zwei Nullstellen (d.h. L zwei

Eigenwerte) λ_{2} < 0 < λ_{1}. Da L orthogonal ist, hat jeder Eigenwert von L den Betrag 1, also λ_{2} = −1, λ_{1} = 1. Sei v_{1} EV von L zum EW λ_{1} = 1 und (v_{1}, v_{2}) ONB von ℝ^{2}. Aus L ∈ O(ℝ^{2}), L ≠ id_{ℝ^{2}} und L(v_{1}) = v_{1}, folgt L(v_{2}) = −v_{2}, d.h. L = S_{U} für U := span{v_{1}}.

(iii) folgt aus den “Additionstheoremen” für sin und cos.

(iv) Es gelte D_{φ}(U_{1}) = U_{2}. Da det(S_{U_{2}} ∘ S_{U_{1}}) = det(S_{U_{2}}) det(S_{U_{1}}) = (−1)^{2} = 1 ist, ist S_{U_{2}} ∘ S_{U_{1}} ∈ SO(ℝ^{2}), d.h. S_{U_{2}} ∘ S_{U_{1}} ist eine Drehung.

Wie in der Vorlesung mit einem einfachen elementargeometrischen Argument (und ähnlich für (v)) gezeigt wurde, ist S_{U_{2}} ∘ S_{U_{1}} in der Tat eine Drehung um den Winkel 2φ. Dieses Argument muß aber in der hier aufgebauten “Analytischen Geometrie” durch eine Rechnung bewiesen werden. Es ist nun so, daß solche Rechnungen statt mit (2×2)-Matrizen sehr viel weniger aufwendig mit komplexen Zahlen ausgeführt werden können. Deshalb zunächst der

Exkurs: Beschreibung von Drehungen und Spiegelungen des ℝ^{2} mit Hilfe der komplexen Zahlen.

Identifizieren wir wie üblich (x, y) ∈ ℝ^{2} mit x + iy ∈ ℂ und definieren (!) wir für φ ∈ ℝ

e^{iφ} := cos φ + i sin φ

(für diese Definition gibt es einen mathematischen Hintergrund, der uns jetzt nicht zu interessieren braucht), so berechnet man:

D_{φ}(z) = e^{iφ} · z.

Die Additionstheoreme für sin und cos sind äquivalent zur Gleichung e^{i(φ+ψ)} = e^{iφ} · e^{iψ} für alle φ, ψ ∈ ℝ. Außerdem gilt \overline{e^{iφ}} = e^{−iφ} und |e^{iφ}| = \sqrt{cos^{2} + sin^{2} φ} = 1. Ist U = span_{ℝ}{e^{iψ}} := {se^{iψ} | s ∈ ℝ}, so zeigen wir, daß S_{U} durch

S_{U}(z) = e^{2iψ}\overline{z}

gegeben ist: Die Abbildung z ∈ ℂ ≃ ℝ^{2} → \overline{z} ∈ ℂ ≃ ℝ^{2} ist gerade die Spiegelung an der x-Achse, so daß die Abbildung

z → e^{2iψ}\overline{z} = D_{2ψ}(\overline{z})

in O(ℝ^{2})\SO(ℝ^{2}) liegt. Wendet man sie auf z = e^{iψ} an, so erhält man e^{iψ} → e^{2iψ}·e^{−iψ} = e^{iψ}. Da auch S_{U}(e^{iψ}) = e^{iψ} gilt, folgt

S_{U}(z) = e^{2iψ}\overline{z}

für alle z ∈ ℂ, denn beide Abbildungen sind Spiegelungen, die die Gerade span_{ℝ}{e^{2iψ}} fest lassen.

Wir kommen nun zu einem “analytischen” Beweis von (6.21)(iv) und (v):

(iv): Es sei U_{1} = span_{ℝ}{e^{iψ_{1}}} = D_{ψ_{1}}(ℝ × {0}) und U_{2} = span_{ℝ}{e^{iψ_{2}}} = D_{ψ_{2}}(ℝ × {0}).

Dann gilt D_{ψ_{2}−ψ_{1}}(U_{1}) = D_{ψ_{2}−ψ_{1}}(D_{ψ_{1}}(ℝ×{0}) =^{(iii)} D_{ψ_{2}}(ℝ×{0}) = U_{2}, d.h. für φ := ψ_{2} −ψ_{1}

gilt D_{φ}(U_{1}) = U_{2}. Andererseits berechnen wir für alle z ∈ ℂ:

S_{U_{2}} ∘ S_{U_{1}}(z) = S_{U_{2}}(e^{2iψ_{1}} \overline{z}) = e^{2iψ_{2}} \overline{(e^{2iψ_{1}} \overline{z})} = e^{i2(ψ_{2}−ψ_{1})}z = D_{2φ}(z)

(v): Ist U = span_{ℝ}{e^{iψ}}, so gilt

D_{2φ} ∘ S_{U}(z) = e^{2iφ}e^{2iψ}\overline{z} = e^{2i(φ+ψ)}\overline{z} = S_{D_{φ}(U)}(z),

da D_{φ}(U) = span_{ℝ}{D_{φ}(e^{iψ})} = span_{ℝ}{e^{i(φ+ψ)}}. Ebenso erhalten wir:

S_{U} ∘ D_{2φ}(z) = e^{2iψ}(e^{−2iφ}\overline{z}) = e^{2i(ψ−φ)}\overline{z} = S_{D_{−φ}(U)}(z).