Normalform von orthogonalen Abbildungen

(6.22) Def.: Sei L ∈ End(V). Ein Untervektorraum U von V heißt L-invariant, falls L(U) ⊆ U gilt.

Bem.: {0} und V sind L-invariant für jedes L ∈ End(V).

Ein großes Ziel bei der Untersuchung eines L ∈ End(V) ist es, L-invariante Unterräume U_{1} ≠ {0}, U_{2} ≠ {0} zu finden, so daß V die direkte Summe von U_{1} und U_{2} ist, d.h. V = U_{1}⊕ U_{2}. Dann reduziert sich die Untersuchung von L auf die Untersuchung von L|U_{1} ∈ End(U_{1}) und L|U_{2} ∈ End(U_{2}). (Leider ist das nicht immer möglich, z.B. nicht für die “Scherung”

L ∈ End(ℝ^{2}) mit Mat(L) = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ).)

Man wird natürlich versuchen, solche L-invarianten Unterräume U_{1} und U_{2} in noch kleinere L-invariante Unterräume zu zerlegen, und dazu benötigen wir den Begriff der direkten Summe von endlich vielen Unterräumen (vgl. (3.19)–(3.21) und Blatt 3, Aufgabe 4): Sind U_{1}, …, U_{k} Unterräume eines Vektorraums V, so heißt V die direkte Summe von U_{1}, …, U_{k}

(geschrieben V = U_{1} ⊕ … ⊕ U_{k} = ⊕_{i=1}^{k} U_{i}), falls gilt:

(i) V = span( ⋃_{i=1}^{k} U_{i}) und

(ii) Für alle i ∈ \{1, …, k\} gilt: U_{i} ∩ span( ⋃_{\begin{matrix}j=1 \\ j≠i \end{matrix}}^{k} U_{j}) = \{0\}.

Daraus folgt: Ist für i = 1, …, k B_{i} eine Basis von U_{i}, so gilt B_{i} ∩ B_{j} = ∅ für i ≠ j, und

B := ⋃_{i=1}^{k} B_{i} ist Basis von V. Ist dim V < ∞, so folgt:

dim V = ∑_{i=1}^{k} dim U_{i}.

Im Fall eines euklidischen Vektorraums (V, ⟨, ⟩) ist folgender Spezialfall der direkten Summe wichtig:

(6.23) Def.: Seien U_{1}, …, U_{k} Unterräume von V Dann heißt V die orthogonale Summe von U_{1}, …, U_{k}, falls gilt:

(i) V = span( ⋃_{i=1}^{k} U_{i}) und

(ii) Für alle 1 ≤ i ≠ j ≤ k gilt U_{i} ⊆ U_{j}^{⊥}.

Zur Bedingung (ii) sagt man, die U_{i}, 1 ≤ i ≤ k, seien paarweise orthogonal.

Aus (6.23)(i) und (ii) folgt, daß V die direkte Summe von U_{1}, …, U_{k} ist.

(6.24) Satz. Sei L ∈ O(V). Dann existieren k ∈ ℕ, 2-dimensionale, L-invariante Unterräume U_{1}, …, U_{k} von V und L-invariante Unterräume U_{−} und U_{+} von V, so daß V die orthogonale Summe von U_{1}, …, U_{k}, U_{−},U_{+} ist und so daß gilt

(i) L|U_{i} ∈ SO(U_{i}) \ {± id_{U_{i}}} für 1 ≤ i ≤ k (ii) L|U_{−} = −(id_{U_{−}}) (iii) L|U_{+} = id_{U_{+}}

Bem.: 1) Es kann k = 0 oder U_{−} = {0} oder U_{+} = {0} gelten.

2) Jedes v ∈ V läßt sich dann eindeutig darstellen als

v = u_{1} + … + u_{k} + u_{−} + u_{+}

mit u_{i} ∈ U_{i} für 1 ≤ i ≤ k, u_{−} ∈ U_{−} und u_{+} ∈ U_{+}. Es gilt dann:

L(v) = L(u_{1}) + … + L(u_{k}) − u_{−} + u_{+}.

L setzt sich also aus k “Drehungen” in den 2-dimensionalen Unterräumen U_{i}, 1 ≤ i ≤ k, aus der “Punktspiegelung” −(id_{U_{−}}) im Unterraum U_{−} und der Identität auf U_{+} zusammen.

3) Es gilt 2k + dim U_{−} + dim U_{+} = n. Ist n ungerade, so folgt dim U_{−} + dim U_{+} ≠ 0.

4) det(L) = (−1)^{dim U_{−}}, vgl. Blatt 3, Aufgabe 3.

Umformuliert für Matrizen besagt (6.24):

(6.24)’ Satz. Sei L ∈ O(V). Dann existieren eine ONB G = (v_{1}, …, v_{n}) von V, k ∈ ℕ und φ_{1}, …, φ_{k} ∈ (0, π), so daß gilt:

Mat_{G}^{G}(L) = ( cos φ_{1} − sin φ_{1} sin φ_{1} cos φ_{1} cos φ_{2} − sin φ_{2} sin φ_{2} cos φ_{2}  0 ... 0  cos φ_{k} − sin φ_{k} sin φ_{k} cos φ_{k} \begin{aligned}−1 \\ & . & . & . \\ & & & & −1 \\ & & & & & 1 \\ & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & 1 \end{aligned} )

Äquivalent dazu ist: Zu jedem A ∈ O(n) existiert ein B ∈ O(n), so daß B^{T} AB die obige Form hat.

(6.25) Lemma. Sei L ∈ End(ℝ^{n}). Dann existiert ein L-invarianter Untervektorraum U des ℝ^{n} mit 0 < dim U ≤ 2.

Bew.: Das wurde im 1. Schritt des Beweis von Satz (6.11) (Hauptachsentransformation) wie folgt gezeigt: Wir betrachten die ℂ-lineare Fortsetzung L̃ von L auf ℂ^{n} und erhalten einen EW λ = α + iβ ∈ ℂ mit α, β ∈ ℝ und einen zugehörigen EV v = x + iy ∈ ℂ^{n} \ {0} mit x, y ∈ ℝ^{n}. Dann gilt:

(∗) L(x) = αx − βy und L(y) = βx + αy.

Das zeigt, daß span{x, y} L-invariant ist. Wegen v = x + iy ≠ 0 gilt span{x, y} ≠ {0}.

Beweis von (6.24): Durch vollständige Induktion nach n = dim V.

Induktionsanfang: Ist dim V = 1, so gilt O(V) = {± id_{V} }. Die Behauptung ist richtig mit k = 0 und entweder U_{+} = V oder U_{−} = V.

Induktionsschritt: Sei L ∈ O(V) und dim V = n > 1. Wegen (6.9) genügt es, den Fall zu betrachten, daß (V, ⟨, ⟩) der ℝ^{n} mit dem Standardskalarprodukt ist. Aus Lemma (6.25) folgt, daß ein L-invarianter Unterraum U ⊆ ℝ^{n} existiert mit 0 < dim U ≤ 2.

(i) Gilt n = 2 und U = ℝ^{n}, so folgt die Behauptung aus (6.21):

Entweder L ist eine Spiegelung ( → Mat_{G}^{G}(L) = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) für eine geeignete ONB

des ℝ^{2}), oder L = D_{φ} für ein φ ∈ [0, 2π).

Ist φ = 0, so L = id_{ℝ^{2}} (⇒ k = 0, U_{−} = {0}, U_{+} = ℝ^{2}).

Ist φ = π, so L = − id_{ℝ^{2}} (⇒ k = 0, U_{−} = ℝ^{2}, U_{+} = {0}). Sonst gilt D_{φ} ∈ SO(ℝ^{2}) \ {± id_{ℝ^{2}}}.

(ii) Gilt U⫋ℝ^{n}, so folgt aus (6.15)

ℝ^{n} = U ⊕ U^{⊥}

Da U L-invariant ist und L orthogonal ist, ist auch U^{⊥} L-invariant (vgl. Blatt 1, Aufgabe 1). Wegen dim U^{⊥} = n − dim U < n ist auf L|U^{⊥} die Induktionsvoraussetzung anwendbar. Daraus folgt zusammen mit unseren Kenntnissen über O(ℝ) und O(ℝ^{2}) die Behauptung.

Die einzige zusätzliche Information, die man zum Beweis von (6.24)’ benötigt, ist folgende: Ist dim V = 2 und L ∈ SO(V) \ {± id_{V} }, so existiert eine ONB G von V und φ ∈ (0, π),

so daß Mat_{G}^{G}(L) = (\begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix}) gilt. Das sieht man so ein. Ist G̃ = (v_{1}, v_{2}) irgendeine

ONB von V, so existiert φ̃ ∈ (0, π) ∪ (π, 2π) mit

MatG̃ ; G̃(L) = (\begin{matrix}cos φ̃ & − sin φ̃ \\ sin φ̃ & cos φ̃. \end{matrix})

Ist φ̃ ∈ (π, 2π), so betrachten wir G = (v_{1}, −v_{2}) und erhalten

Mat_{G}^{G}(L) = (\begin{matrix}cos φ̃ & sin φ̃ \\ − sin φ̃ & cos φ̃. \end{matrix})

Wegen cos(−φ̃) = cos φ̃, sin(−φ̃) = − sin φ̃ folgt mit φ := 2π − φ̃ ∈ (0, π):

Mat_{G}^{G}(L) = (\begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ, \end{matrix})

wie behauptet.

Die anschauliche Begründung für die letzte Überlegung ist wie folgt: Ist dim V = 2 und L ∈ SO(V), so ist der “Drehwinkel” φ̃ von L erst nach Wahl einer Orientierung (⇒ eines “positiven Drehsinns”) für V definiert. Ändert man die Orientierung, so geht φ̃ in −φ̃ über. Ist φ̃ ∈ (π, 2π), so ist −φ̃ ∈ (−2π, −π) und statt −φ̃ kann man natürlich auch φ := 2π − φ̃ ∈ (0, π) nehmen.

Oft ist es wichtig zu wissen, ob die Unterräume in (6.24) und ob die Normalform in (6.24)’ und die zugehörige ONB eindeutig durch L bestimmt sind.

Hierzu kann man folgendes sagen: Es gilt U_{+} = ker(L − id_{V}), U_{−} = ker(L + id_{V}), so daß U_{−}, U_{+} und damit auch k = \frac{1}{2}(n − (dim U_{−} + dim U_{+})) eindeutig durch L bestimmt sind. Die φ_{1}, …, φ_{k} ∈ (0, π) sind (bis auf ihre Reihenfolge) eindeutig durch L bestimmt (und damit auch die Normalform in (6.24)’), da e^{iφ_{1}}, e^{−iφ_{1}}, … e^{iφ_{k}}, e^{−iφ_{k}} gerade die Eigenwerte ≠ ±1 von L̃ sind. Aus (6.24)’ folgt nämlich sofort:

det(L − λ id) = ∏_{j=1}^{k} \underbrace{(λ^{2} − 2(cos φ_{j})λ + 1)}_{(λ−e^{iφ_{j}})(λ−e^{−iφ_{j}})} ·(1 + λ)^{dim U_{−}} · (1 − λ)^{dim U_{+}}

Eine ONB, in der die Matrix von L die Normalform (6.24)’ annimmt, ist nicht eindeutig durch L bestimmt. Z.B. ist die Matrix einer Drehung, D_{φ} ∈ SO(ℝ^{2}), φ ∈ (0, π), bezüglich

jeder positiv orientierten ONB des ℝ^{2} in der Normalform (\begin{matrix}cos φ_{1} & − sin φ_{1} \\ sin φ_{1} & cos φ_{1} \end{matrix}).

Nach so vielen Worten möchte man hoffen, nun alles über orthogonale Abbildungen zu wissen. Weit gefehlt! Über die Gruppenstruktur von SO(n) für n ≥ 3 wurde etwa noch nichts gesagt. Man möchte auch gern die Elemente von SO(3) durch 3 (warum gerade 3?) reelle “Parameter” beschreiben (so wie wir die Elemente von SO(2) durch den Drehwinkel φ mod 2π beschrieben haben). Aber geht das und wie am besten? Da gibt es Fragen und Antworten, genug für ein ganzes Mathematikstudium...