Nachtrag: Orientierung von ℝ-Vektorräumen.

Wir wollen nun (7.12) benutzen, um das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt genannt) zu definieren. Dazu benötigen wir den Begriff des “orientierten ℝ-Vektorraums”. Das folgende ist eine Verallgemeinerung von (5.25), und zwar auf den Fall beliebiger ℝ-Vektorräume V, mit 1 ≤ dim V = n < ∞.

(7.13) Def.: Zwei Basen (v_{1}, …, v_{n}), (w_{1}, …, w_{n}) von V heißen \underline{gleich orientiert}, falls für den Endomorphismus L ∈ End(V), der durch L(v_{i}) = w_{i}, 1 ≤ i ≤ n, definiert ist, gilt: det L > 0.

Bem.: 1) (v_{1}, …, v_{n}) und (w_{1}, …, w_{n}) sind genau dann gleich orientiert, falls für eine (⇒ jede) Determinantenform D auf V gilt:

\frac{D(w_{1}, …, w_{n})}{D(v_{1}, …, v_{n})} > 0, vgl. (5.19).

2) “gleich orientiert” ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der geordneten Basen V mit zwei Äquivalenzklassen.

(7.14) Def.: Eine Orientierung von V ist die Auswahl einer der beiden Äquivalenzklassen von geordneten Basen von V. Die Basen in der ausgewählten Äquivalenzklasse heißen positiv orientiert.

Bsp.: Die “übliche Orientierung” des ℝ^{n} besteht in der Auswahl der Äquivalenzklasse, die die Standardbasis (e_{1}, …, e_{n}) enthält, vgl. (5.25).

Bez.: Sei (V, ⟨, ⟩) orientierter euklidischer Vektorraum, 0 < dim V = n < ∞. Dann existiert genau eine Determinantenform D auf V, so daß für eine (⇒ jede) positiv orientierte ONB von V gilt: D(v_{1}, …, v_{n}) = 1. Dieses D heißt die \underline{kanonische} \underline{Determinantenform} von V.

Bem.: Ist (v_{1}, …, v_{n}) positiv orientierte ONB von V, so kann man für beliebige (w_{1}, …, w_{n})

∈ V^{n} den Wert D(w_{1}, …, w_{n}) wie folgt berechnen: Ist w_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}v_{i} und A := (a_{ij})_{1≤i,j≤n},

so gilt D(w_{1}, …, w_{n}) = det A. Das liegt daran, daß diese Formel eine Determinantenform definiert, die auf der gegebenen, positiv orientierten ONB (v_{1}, …, v_{n}) den Wert 1 hat (da in diesem Fall A = E_{n} gilt).

Speziell ist im Fall V = ℝ^{n} mit dem Standardskalarprodukt und der üblichen Orientierung, die kanonische Determinantenform gerade die “Standarddeterminantenform” D_{0}, vgl. (5.13).

Das Kreuzprodukt

(7.15) Def.: Sei (V, ⟨, ⟩) orientierter euklidischer Vektorraum, 3 ≤ dim V = n < ∞, mit kanonischer Determinantenform D. Zu je n − 1 Vektoren w_{1}, …, w_{n−1} in V existiert genau ein Vektor w ∈ V, so daß für alle v ∈ V gilt:

(∗) D(w_{1}, …, w_{n−1}, v) = ⟨w, v⟩.

Dieses w heißt das \underline{Kreuzprodukt} \underline{von} w_{1}, …, w_{n−1} und wird durch das Symbol w_{1} × … × w_{n−1} bezeichnet. Begründung: Die Abbildung v ∈ V → D(w_{1}, …, w_{n−1}, v) ∈ ℝ ist eine Linearform auf V. Da ⟨, ⟩ eine nichtausgeartete Bilinearform ist, folgt Existenz und Eindeutigkeit eines Vektors w, der (∗) für alle v ∈ V erfüllt, aus Folgerung (7.12).

Bem.: Es ist nur das Kreuzprodukt w_{1} × … × w_{n−1} von n − 1 Vektoren (n = dim V) definiert, d.h. für zwei Vektoren w_{1}, w_{2} ∈ ℝ^{4} ist w_{1} × w_{2} \underline{nicht} definiert!

Eigenschaften des Kreuzprodukts:

(i) Die Abbildung (w_{1}, …, w_{n−1}) ∈ V × … × V → w_{1} × … × w_{n−1} ∈ V ist multilinear und alternierend. Speziell gilt: w_{1}, …, w_{n−1} linear abhängig ⇒ w_{1} ×…×w_{n−1} = 0. Z.B. beweist man wie folgt die Additivität im 1. Argument:

⟨(w_{1} + w′_{1}) × w_{2} × … × w_{n−1}, ·⟩ = D(w_{1} + w′_{1}, w_{2}, …, w_{n−1}, ·)
= D(w_{1}, w_{2}, …, w_{n−1}, ·) + D(w′_{1}, w_{2}, …, w_{n−1}, ·)
= ⟨w_{1} × w_{2} × … × w_{n−1}, ·⟩ + ⟨w′_{1} × w_{2} × … × w_{n−1}, ·⟩
= ⟨w_{1} × … × w_{n−1} + w′_{1} × w_{2} × … × w_{n−1}, ·⟩

(ii) L ∈ O(V) ⇒ L(w_{1}) × … × L(w_{n−1}) = det L · L(w_{1} × … × w_{n−1}).

Bew.: ⟨L(w_{1}) × … × L(w_{n−1}), v⟩ = D(L(w_{1}), …, L(w_{n}), L(L^{−1}(v))) = det L D(w_{1}, …, w_{n−1}, L^{−1}(v)) = det L · ⟨w_{1} × … × w_{n−1}, L^{−1}(v)) =^{L∈O(V)} ⟨det L · L(w_{1} × … × w_{n−1}), v⟩

(iii) “Geometrische Definition des Kreuzprodukts”: Sind w_{1}, …, w_{n−1} linear unabhängig, so ist w_{1} × … × w_{n−1} der eineutig bestimmte Vektor mit:

(a) w_{1} × … × w_{n−1} ∈ (span{w_{1}, …, w_{n−1}})^{⊥},

(b) (w_{1}, …, w_{n−1}, w_{1} × … × w_{n−1}) ist positiv orientierte Basis von V, und

(c) ∥w_{1} × … × w_{n−1} ∥= vol_{n−1}^{⟨,⟩}(P (w_{1}, …, w_{n−1})).

Wir zeigen, daß w_{1} × … × w_{n−1} die Eigenschaften (a)–(c) hat: zu (a): ⟨w_{i}, w_{1} × … × w_{n−1}⟩ = D(w_{1}, …, w_{n−1}, w_{i}) = 0 für 1 ≤ i ≤ n − 1.

zu (b): \begin{aligned}D(w_{1}, …, w_{n−1}, w_{1} × … × w_{n−1}) & = & ⟨w_{1} × … × w_{n−1}, w_{1} × … × w_{n−1}⟩ \\ & = & ∥w_{1} × … × w_{n−1} ∥^{2} . \end{aligned}

zu (c): Zeige zunächst: w_{1}, …, w_{n−1} linear unabhängig ⇒ w := w_{1} × … × w_{n−1} ≠ 0.

Ergänze w_{1}, …, w_{n−1} zu einer Basis (w_{1}, …, w_{n−1}, v) von V. Dann gilt 0 ≠ D(w_{1}, …, w_{n−1}, v) = ⟨w_{1} × … × w_{n−1}, v⟩, also w = w_{1} × … × w_{n−1} ≠ 0.

Nun ist die Abbildung, die v_{1}, …, v_{n−1} ∈ span{w_{1}, …, w_{n−1}} die reelle Zahl D (v_{1}, …, v_{n−1}, \frac{w}{∥w∥}) zuordnet, eine normierte Determinantenform auf span\{w_{1}, …, w_{n−1}\}, also

vol_{n−1}^{⟨,⟩}(P (w_{1}, …, w_{n−1})) = D (w_{1}, …, w_{n−1}, \frac{w}{∥w∥}) =^{(b)}∥w_{1} × … × w_{n−1} ∥ .

Umgekehrt sieht man leicht, daß ein Vektor durch die Eigenschaften (a)–(c) eindeutig bestimmt ist.

Schließlich leiten wir eine explizite Formel her, die es erlaubt, w_{1} × … × w_{n−1} aus den Komponenten von w_{1}, …, w_{n−1} bezüglich einer positiv orientierten ONB zu berechnen.

(7.16) Fakt. Ist (v_{1}, …, v_{n}) positiv orientierte ONB von V und w_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}v_{i} für 1 ≤ j ≤

n − 1, so gilt

w_{1} × … × w_{n−1} = ∑_{i=1}^{n} ((−1)^{n+i} det A_{i})) v_{i},

wobei A^{i} ∈ ℝ^{(n−1)×(n−1)} aus A := (a_{ij})_{\begin{matrix}1≤i≤n \\ 1≤j≤n−1 \end{matrix}} ∈ ℝ^{n×(n−1)} durch Streichen der i’ten Zeile

entsteht.

Bsp.: Im Fall von V = ℝ^{3} mit der üblichen Orientierung und dem Standardskalarprodukt betrachten wir die positiv orientierte ONB (e_{1}, e_{2}, e_{3}) und

\begin{aligned}w_{1} & =: & a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = ∑_{i=1}^{3} a_{i} e_{i} ∈ ℝ^{3} und \\ w_{2} & =: & b = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) = ∑_{i=1}^{3} b_{i} e_{i} ∈ ℝ^{3}. \end{aligned}

Dann ist A ∈ ℝ^{3×2} die Matrix

( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \\ a_{3} & b_{2} \end{matrix} )

und es gilt: a × b = ∑_{i=1}^{3} ((−1)^{i+3} det A_{i}) e_{i} = (a_{2}b_{3} − a_{3}b_{1}, −a_{1}b_{3} + a_{3}b_{1}, a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1}).

Bew. von (7.16): Für alle x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}v_{i} ∈ V gilt aufgrund der Bem. nach (7.14):

D(w_{1}, …, w_{n−1}, x) = | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n−1} & x_{1} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nn−1} & x_{n} \end{matrix} | =^{Entwicklung nach der letzten Spalte} ∑_{i=1}^{n}(−1)^{n+i} det A_{i}x_{i}

= ⟨∑_{i=1}^{n} ((−1)^{n+i} det A_{i}) v_{i}, x⟩ .

Also: w_{1} × … × w_{n−1} = ∑_{i=1}^{n} ((−1)^{n+i} det A_{i}) v_{i}.

Bsp.: Es sei V = ℝ^{n+1} mit üblicher Orientierung und Standardskalarprodukt. Es sei e_{1}, …, e_{n} die Standardbasis des ℝ^{n} und s_{1}, …, s_{n} reelle Zahlen. Wir betrachten die Vektoren w_{1} := (e_{1}, s_{1}), …, w_{n} := (e_{n}, s_{n}) im ℝ^{n+1}. Dann gilt:

vol_{n}^{⟨,⟩}(P (w_{1}, …, w_{n})) = \sqrt{1 + ∑_{i=1}^{n}(s_{i})^{2}}

(vgl. Blatt 2, Aufgabe 4 für die Fälle n = 2, 3).

Bew.: Nach (c) und (7.16) gilt:

vol_{n}(P (w_{1}, …, w_{n})) =^{(c)}∥w_{1} × … × w_{n} ∥ =^{(7.16)} \sqrt{∑_{i=1}^{n+1}(det A_{i})^{2}}, wobei

A_{i} aus der ((n + 1) × n)-Matrix

A = ( \begin{matrix}1 & 0 & … & … & 0 \\ 0 & 1 & … & … & 0 \\ ⋮ & & ... \\ ⋮ & & & ... \\ 0 & & … & … & 1 \\ s_{1} & s_{2} & … & … & s_{n} \end{matrix} )

durch Streichen der i’ten Zeile entsteht. Offensichtlich gilt det A_{n+1} = 1 und | det A_{i}| = |s_{i}| für 1 ≤ i ≤ n.