9. Die Jordansche Normalform. Etwas verkürzt ausgedrückt geht es in diesem Kapitel darum, zu einem L ∈ End(V), dim V = n < ∞, eine Basis G zu finden, in der Mat_{G}^{G}(L) eine möglichst einfache Form hat. (9.1) Def.:

(i) L ∈ End(V) heißt diagonalisierbar, falls es eine Basis G = (v_{1}, …, v_{n}) von V aus Eigenvektoren v_{i} von L gibt.

(ii) A ∈ K^{n×n} heißt diagonalisierbar, falls es ein B ∈ GL_{n}(K) gibt, so daß B^{−1}AB eine Diagonalmatrix ist (d.h. so daß (B^{−1}AB)_{ij} = 0 für i ≠ j).

Bem.: 1) Ist G = (v_{1}, …, v_{n}) Basis aus Eigenvektoren von L, so gilt

Mat_{G}^{G}(L) = ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & . & . & . \\ 0 & & & & & & & λ_{n} \end{matrix} )

wobei λ_{i} der EW von L zum EV v_{i} ist.

2) Ist L ∈ End(V), G̃ beliebige Basis von V und A := MatG̃ ; G̃(L), so gilt:

L diagonalisierbar ⇔ A diagonalisierbar

(vgl. (4.19)). Bsp.: 1) Ist A ∈ ℝ^{n×n} symmetrisch, d.h. A = A^{T}, so ist A diagonalisierbar, vgl. den Beweis von (6.11) (Hauptachsentransformation).

2) Ist V, ⟨, ⟩ euklidischer Vektorraum und ist L ∈ End(V) selbstadjungiert (⇔ ∀v, w ∈ V : ⟨L(v), w⟩ = ⟨v, L(w)⟩), so ist L diagonalisierbar, vgl. (6.11). Diagonalisierbarkeit einer Matrix A ∈ K^{n×n} oder eines L ∈ End(V) ist die beste Lösung unseres Problems, die wir uns erhoffen können. Wir werden uns zunächst mit diesem einfachen (aber häufigen) Fall beschäftigen. (9.2) Fakt. Ist L ∈ End(V) und sind v_{1}, …, v_{k} EVen zu \underline{verschiedenen} EWen λ_{1}, …, λ_{k} von L, so sind die v_{1}, …, v_{k} linear unabhängig. Bew.: Durch Induktion nach k. Induktionsanfang: k = 1. Da v_{1} EV ist, gilt v_{1} ≠ 0, d.h. v_{1} ist linear unabhängig.

Induktionsschritt: Wir können voraussetzen, daß v_{1}, …, v_{k−1} linear unabhängig sind. Sei ∑_{i=1}^{k} a_{i}v_{i} = 0. Dann gilt

0 = L (∑_{i=1}^{k} a_{i}v_{i}) = ∑_{i=1}^{k} a_{i}L(v_{i}) = ∑_{i=1}^{k} a_{i}λ_{i}v_{i}

und

0 = λ_{k} (∑_{i=1}^{k} a_{i}v_{i}) = ∑_{i=1}^{k} a_{i}λ_{k}v_{i}.

Subtraktion der vorangehenden Gleichungen ergibt

∑_{i=1}^{k−1} a_{i}(λ_{i} − λ_{k})v_{i} = 0.

Da v_{1}, …, v_{k−1} linear unabhängig sind, folgt

a_{i}(λ_{i} − λ_{k}) = 0

für 1 ≤ i ≤ k − 1 und wegen λ_{i} ≠ λ_{k} auch a_{i} = 0 für 1 ≤ i ≤ k − 1. Damit reduziert sich ∑_{i=1}^{k} a_{i}v_{i} = 0 auf a_{k}v_{k} = 0. Wegen v_{k} ≠ 0 folgt auch a_{k} = 0.

(9.3) Folgerung. Seien dim V = n, L ∈ End(V). Besitzt L n verschiedene EWe, so ist L diagonalisierbar. Bem.: L besitzt genau dann n verschiedene EWe, wenn P_{L} n verschiedene Nullstellen besitzt. Bew.: Seien v_{1}, …, v_{n} EVen zu den verschiedenen EWen von L. Dann zeigt (9.2), daß G = (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis aus EVen ist. (9.4) Def.: Ist λ EW von L ∈ End(V), so heißt

E(λ) = ker(L − λ id_{V}) = {v ∈ V | L(v) = λv}

der Eigenraum von L zum EW λ. Bem.: E(λ) ist Untervektorraum von V und E(λ) \ {0} ist genau die Menge der EVen von L zum EW λ. (9.5) Satz (Diagonalisierbarkeitskriterium). Sei L ∈ End(V). L ist genau dann diagonalisierbar, wenn

dim V = ∑_{i=1}^{k} dim E(λ_{i})

gilt, wobei λ_{1}, …, λ_{k} die verschiedenen EWe von L bezeichnen.

Bew.: Setze d_{i} := dim E(λ_{i}). Aus (9.2) folgt, daß E(λ_{1}) ⊕ … ⊕ E(λ_{k}) eine direkte Summe

ist, also ∑_{i=1}^{k} d_{i} ≤ n.

”⇒” Ist G = (v_{1}, …, v_{n}) Basis aus EVen, so gilt offenbar auch ∑ d_{i} ≥ n, also ∑ d_{i} = n.

”⇐” Gilt ∑_{i=1}^{k} d_{i} = n, so dim(E(λ_{1}) ⊕ … ⊕ E(λ_{k})) = n, also E(λ_{1}) ⊕ … ⊕ E(λ_{k}) = V.

Also ist die (disjunkte!) Vereinigung von Basen der Eigenräume E(λ_{i}), 1 ≤ i ≤ k, eine Basis von V.

Bem.: Wenn man (9.3) oder (9.5) auf einen konkreten Endomorphismus L anwenden will, muß man seine EWe, d.h. die Nullstellen von P_{L} bestimmen. Das wird oft nicht explizit, sondern nur approximativ (mit Hilfe der Numerik) möglich sein. Kennt man die EWe, so ist die Bestimmung der Eigenräume leicht. Sie sind die Lösungsmengen von homogenen linearen Gleichungssystemen {v ∈ V | L(v) − λv = 0}, λ EW von L.

Es ist wichtig zu wissen, daß etwa im Fall des Körpers K = ℂ, ”die meisten“ A ∈ ℂ^{n×n} (bzw. die meisten Endomorphismen) diagonalisierbar sind. Auf die Frage, was ”die meisten“ mathematisch bedeuten soll, gibt es (mindestens) zwei (verschiedene) Antworten.

Gegeben eine Eigenschaft E, die Punkte x ∈ ℝ^{n} haben können oder nicht.

1) Definition I: Die meisten x ∈ ℝ^{n} haben die Eigenschaft E, falls die Menge {x ∈ ℝ^{n} | x hat Eigenschaft E} eine offene und dichte Teilmenge des ℝ^{n} enthält.

2) Definition II: Die meisten x ∈ ℝ^{n} haben die Eigenschaft E, falls die Menge {x ∈ ℝ^{n} | x hat nicht Eigenschaft E} (Lebesgue-)Maß 0 hat.

Dabei heißt eine Teilmenge A des ℝ^{n} vom Maß 0, falls es für jedes ϵ > 0 abzählbar viele Würfel W_{i} ⊆ ℝ^{n} gibt, so daß A ⊆ ⋃_{i∈ℕ}W_{i} und ∑_{i∈ℕ}vol_{n}(W_{i}) ≤ ϵ gilt. Definition I benutzt

topologische, Definition II maßtheoretische Begriffe.

Bsp.: 1) Ist E die Eigenschaft eines x ∈ ℝ, irrational zu sein, so haben im Sinn von Def. I \underline{nicht} die meisten x ∈ ℝ Eigenschaft E, d.h. es gilt nicht, daß die meisten x ∈ ℝ irrational sind: Die Menge ℝ \ ℚ enthält überhaupt keine nichtleere offene Teilmenge von ℝ. Im Sinn von Definition II sind dagegen die meisten x ∈ ℝ irrational: Ist ϵ > 0 gegeben, so wählen wir eine Folge (r_{i})_{i∈ℕ}, die alle rationalen Zahlen durchläuft, und setzen W_{i} = [r_{i}− \frac{ϵ}{2^{i+2}} , r_{i}+ \frac{ϵ}{2^{i+2}} ].

Dann gilt ℚ ⊆ ⋃_{i∈ℕ}W_{i} und ∑_{i∈ℕ}vol_{1}(W_{i}) = ∑_{i∈ℕ} \frac{ϵ}{2^{i+1}} = ϵ.

2) Es ist nicht schwer, mit einer Konstruktion ähnlich der Konstruktion der Cantormenge eine Teilmenge A von ℝ zu finden, so daß ℝ \ A offen und dicht ist, aber A nicht Maß 0 hat. Dann sind im Sinn von Def. I die meisten x ∈ ℝ nicht Elemente von A, während das im Sinn von Def. II nicht gilt.

Identifiziert man ℂ^{n×n} mit ℝ^{(2n)×(2n)} ≃ ℝ^{4n^{2}}, so lassen sich diese Begriffe auch auf Matrizen A ∈ ℂ^{n×n} anwenden. Folgender Satz gilt für beide Definitionen von ”die meisten“.

(9.6) Satz (ohne Beweis)

(i) Die meisten p ∈ ℂ[x] mit grad p ≤ n haben n verschiedene Nullstellen.

(ii) Die meisten A ∈ ℂ^{n×n} sind diagonalisierbar.

In (i) wird V := {p ∈ ℂ[x] | grad p ≤ n} mit ℂ^{n+1} ≃ ℝ^{2(n+1)} identifiziert.

Beweisidee für (i): Wir wollen zeigen, daß die Menge {p ∈ V | p hat nicht n verschiedene Nullstellen} Maß 0 hat. Wir betrachten die Abbildung

F : ℂ^{n+1} → V, F (a, λ_{1}, …, λ_{n}) = a ∏_{i=1}^{n}(x − λ_{i}).

Der ”Fundamentalsatz der Algebra“ impliziert (mit (8.10) und (8.13)), daß jedes p ∈ ℂ[x] \ {0} zerfällt. Das zeigt, daß

F (ℂ^{n+1}) = {p ∈ V | grad p = n}

gilt, d.h. F (ℂ^{n+1}) = V \ H, wobei H = {p ∈ V | grad p < n} eine Hyperebene ist und Maß 0 hat. Die Menge

B := {(a, λ_{1}, …, λ_{n}) ∈ ℂ^{n+1} | ∃1 ≤ i < j ≤ n : λ_{i} = λ_{j}}

ist eine Vereinigung von \frac{n(n−1)}{2} Hyperebenen in ℂ^{n+1} und hat ebenfalls Maß 0 (in ℂ^{n+1} ≃ ℝ^{2(n+1)}). Wir benötigen nun den leicht zu beweisenden Satz, daß C^{1}-Abbildungen ℝ^{n} → ℝ^{n} Mengen vom Maß 0 auf Mengen vom Maß 0 abbilden. Wegen dim_{ℝ} ℂ^{n+1} = 2(n + 1) = dim_{ℝ} V und da F C^{1} (sogar polynomial) ist, folgt, daß F (B) ⊆ V Maß 0 hat. Die Mengen aller p ∈ V, die nicht n verschiedene Nullstellen haben, ist aber gerade H ∪ F (B), und da sowohl H als auch F (B) Maß 0 haben, folgt das auch für H ∪ F (B). Behauptung (ii) läßt sich unter Verwendung von (i) mit ähnlichen Methoden zeigen.

Ziel dieses Exkurses war, zu demonstrieren, wie Ideen und Techniken, die in der Analysis I und II vermittelt werden, hier in der Linearen Algebra nützlich und nötig sind.

Nach (9.6) sind im Fall K = ℂ Endomorphismen L bzw. quadratische Matrizen A in der Regel diagonalisierbar.

Im Rest dieses Kapitels befassen wir uns mit den nicht diagonalisierbaren Ausnahmefällen. Zwar können wir für solche L keine Basis aus EVen finden, aber doch eine Basis, in der die Matrix von L eine besonders einfache Gestalt – die Jordansche Normalform – annimmt. Die Überlegungen dazu sind weder kurz noch einfach, und Sie können die hier gewählte Darstellung auch im Buch R. Walter: Einführung in die lineare Algebra, Vieweg 1982, nachlesen.

Im folgenden sei V ein K-Vektorraum, dim V = n, und L ∈ End(V).

(9.7) Def.:

(i) Ein Untervektorraum U von V heißt L-invariant, falls L(U) ⊆ U gilt.

(ii) Ein L-invarianter Untervektorraum heißt L-reduzibel, falls L-invariante Untervek-

torräume U_{1}, U_{2} existieren, so daß U = U_{1} ⊕ U_{2} gilt. (iii) Ein L-invarianter Untervektorraum U heißt L-irreduzibel, falls U nicht L-reduzibel

ist.

Unser Ziel ist, eine Zerlegung von V in L-irreduzible Unterräume U_{i} zu finden, für die jedes L|U_{i} von einer einfachen Bauart ist.

(9.8) Def.: Sei λ EW von L. Dann heißt

E′(λ) = {v ∈ V | ∃k ∈ ℕ : (L − λ id_{V})^{k}(v) = 0}

der Hauptraum (oder verallgemeinerte Eigenraum) zum EW λ.

Bem.: Es gilt E(λ) = ker(L − λ id_{V}) ⊆ E′(λ) = ⋃_{k∈ℕ}ker(L − λ id_{V})^{k}.

Fakt: E′(λ) ist L-invarianter Untervektorraum.

Wir zeigen: v ∈ E′(λ) ⇒ L(v) ∈ E′(λ). Ist k ∈ ℕ so, daß (L − λ id_{V})^{k}(v) = 0 gilt, so folgt

(L − λ id_{V})^{k}(L(v)) = (L ∘ (L − λ id_{V})^{k})(v) = 0,

d.h. L(v) ∈ E′(λ).

(9.9) Bem.: λ ist der einzige EW von L|E′(λ).

Bew.:

(i) λ ist EW von L|E′(λ): Da λ EW von L ist, existiert 0 ≠ v ∈ V mit L(v) = λv, also (L − λ id_{V})(v) = 0. Daraus folgt v ∈ E′(λ), und das zeigt, daß λ EW von L|E′(λ) ist.

(ii) Annahme: μ ≠ λ ist ein weiterer EW von L|E′(λ). Dann existiert 0 ≠ w ∈ E′(λ) mit L(w) = μw. Daraus folgt (L − λ id_{V})(w) = (μ − λ)v und daraus

(L − λ id_{V})^{k}(w) = (μ − λ)^{k}w ≠ 0

für alle k ∈ ℕ, im Widerspruch zu w ∈ E′(λ).

(9.10) Lemma. Es existiert eine kleinste Zahl f(λ) ∈ ℕ, genannt der Index von λ, so daß ker(L − λ id_{V})^{f(λ)} = E′(λ) gilt. Es gilt V = E′(λ) ⊕ im(L − λ id_{V})^{f(λ)}.

Bem.: Wegen L ∘ (L − λ id_{V})^{f(λ)} = (L − λ id_{V})^{f(λ)} ∘ L ist im (L − λ id_{V})^{f(λ)} L-invarianter Unterraum von V.

Bew.: Sei v_{1}, …, v_{l} Basis von E′(λ). Dann existiert für jedes i ∈ {1, …, l} ein kleinstes k_{i} ∈ ℕ mit (L − λ id_{V})^{k_{i}}(v_{i}) = 0. Sei f(λ) := max_{1≤i≤l} k_{i}. Dann gilt (L − λ id_{V})^{f(λ)}(v_{i}) = 0 für alle i ∈ {1, …, l}, also

E′(λ) ⊆ ker(L − λ id_{V})^{f(λ)}.

Nach Definition von E′(λ) folgt daraus E′(λ) = ker(L − λ id_{V})^{f(λ)}, und f(λ) ist offenbar die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft.

Schlielich zeigen wir, daß

ker(L − λ id_{V})^{f(λ)} ⊕ im(L − λ id_{V})^{f(λ)} = V

gilt. Wegen des Dimensionssatzes (4.8) gilt

dim ker(L − λ id_{V})^{f(λ)} + im(L − λ id_{V})^{f(λ)} = dim V ,

so daß sich die Behauptung auf

ker(L − λ id_{V})^{f(λ)} ∩ im(L − λ id_{V})^{f(λ)} = {0}

reduziert. Sei also v ∈ ker(L − λ id_{V})^{f(λ)} ∩ im(L − λ id_{V})^{f(λ)}. Dann existiert ein w ∈ V, so dass

v = (L − λ id_{V})^{f(λ)}(w)

gilt. Wegen v ∈ ker(L − λ id_{V})^{f(λ)}, folgt ker(L − λ id_{V})^{2f(λ)}(w) = 0, also w ∈ E′(λ). Aus E′(λ) = ker(L − λ id_{V})^{f(λ)} folgt nun

v = (L − λ id_{V})^{f(λ)}(w) = 0 .

(9.11) Lemma. Seien λ_{1}, …, λ_{s} verschiedene EWe von L. Dann ist die Summe der E′(λ_{i}) für 1 ≤ i ≤ s direkt: E′(λ_{1}) ⊕ … ⊕ E′(λ_{s}).

Bew.: Wir zeigen durch Induktion nach s, daß für alle i ∈ {1, …, l} gilt:

E′(λ_{i}) ∩ span ( ⋃_{\begin{matrix}j=1 \\ j≠i \end{matrix}}^{s} E′(λ_{j})) = \{0\}.

Für s = 1 ist das offensichtlich richtig. Im Induktionsschritt können wir nach Umnumerierung der λ_{j} annehmen, daß i = s gilt. Sei v ∈ E′(λ_{s}), v_{j} ∈ E′(λ_{j}) für 1 ≤ j < s, und es gelte

v = ∑_{j=1}^{s−1} v_{j}.

Wir müssen beweisen, daß v = 0 gilt. Nach Definition von f(λ_{s}) gilt:

(∗) 0 = (L − λ_{s} id_{V})^{f(λ_{s})}(v) = ∑_{j=1}^{s−1}(L − λ_{s} id_{V})^{f(λ_{s})}(v_{j}).

Da E′(λ_{j}) L-invariant – und damit auch (L−λ_{s} id_{V})-invariant – ist, gilt (L−λ_{s} id_{V})^{f(λ_{s})}(v_{j}) ∈ E′(λ_{j}) für 1 ≤ j < s. Aus der Induktionsvoraussetzung und (∗) folgt nun (L − λ_{s} id_{V})^{f(λ_{s})}(v_{j}) = 0 für 1 ≤ j < s und daraus v_{j} ∈ E′(λ_{s}) ∩ E′(λ_{j}). Wir zeigen, daß daraus v_{j} = 0 folgt: Sonst sei k ∈ ℕ minimal mit (L − λ_{s} id_{V})^{k}(v_{j}) = 0. Wäre v_{j} ≠ 0, so k ≥ 1, und wir können w_{j} := (L − λ_{s} id_{V})^{k−1}(v_{j}) betrachten. Dann gilt 0 ≠ w_{j} ∈ E′(λ_{j}) und (L − λ_{s} id_{V})(w_{j}) = 0, im Widerspruch zu (9.9). Das zeigt, daß v_{j} = 0 für 1 ≤ j < s, und daraus folgt v = 0, wie behauptet.

(9.12) Satz (1. Zerlegungssatz).Das charakteristische Polynom P_{L} ∈ K[x] von L zerfalle. Es seien λ_{1}, …, λ_{s} die verschiedenen EWe von L. Dann gilt

V = E′(λ_{1}) ⊕ … ⊕ E′(λ_{s}).

Bew.: Nach (9.11) wissen wir schon, daß die Summe direkt ist. Wir beweisen durch Induktion nach n = dim V, daß sie ganz V ist. Ist n = 1, so gilt s = 1 und V = E(λ_{1}) = E′(λ_{1}).

Im Induktionsschritt verwenden wir, daß nach (9.10) ein L-invarianter Unterraum U (nämlich im(L − λ_{1} id_{V})^{f(λ_{1})}) existiert, für den

(∗) V = E′(λ_{1}) ⊕ U

gilt. Wegen dim E′(λ_{1}) ≥ 1, gilt dim U = dim V − dim E′(λ_{1}) < n. Wir wollen die Induktionsvoraussetzung auf \overline{L} := L|U ∈ End(U) anwenden und müssen dazu wissen, daß auch P\overline{L} zerfällt. Aus (∗) folgt, daß

P_{L} = P_{L|E′(λ_{1})} · P\overline{L}

gilt, vgl. Blatt 3, Aufgabe 3. Nach (8.16) zerfällt auch P\overline{L}, und (9.9) impliziert, daß λ_{2}, …, λ_{s} die verschiedenen Nullstellen von P\overline{L} sind. Die Induktionsvoraussetzung ergibt nun, daß

U = E′ ; \overline{L}(λ_{2}) + … + E′ ; \overline{L}(λ_{s})

gilt, wobei E′ ; \overline{L}(λ_{j}) ⊆ E′(λ_{j}) den Hauptraum von \overline{L} zum EW λ_{j} von \overline{L} bezeichnet. Daraus folgt mit (∗)

V = E′(λ_{1}) + E′(λ_{2}) + … + E′(λ_{s}),

wie behauptet.

Unser nächstes Ziel ist die Untersuchung von L_{i} := L|E′(λ_{i}) ∈ End(E′(λ_{i})) für 1 ≤ i ≤ s. Für T_{i} := L_{i} − λ_{i} id_{E′(λ_{i})} und f_{i} := f(λ_{i}) gilt (nach (9.10)):

(T_{i})^{f_{i}} = 0.

(9.13) Def.: Ein T ∈ End(V) heißt \underline{nilpotent}, falls es ein k ∈ ℕ_{>0} gibt, so daß T^{k} = 0 ∈ End(V) gilt. Das kleinste solche k heißt dann der Nilpotenzgrad g = g(T) von T.

(9.14) Lemma. Sei 0 ≠ T ∈ End(V) nilpotent. Ist v ∈ V \ker(T^{g−1}), so sind v, T (v), …, T^{g−1}(v) linear unabhängig und spannen einen g-dimensionalen T -invarianten Unterraum von V auf. Speziell gilt g ≤ dim V.

Bew.: Gilt ∑_{i=0}^{g−1} a_{i}T^{i}(v) = 0, so auch

0 = T^{g−1} (∑_{i=0}^{g−1} a_{i}T^{i}(v)) = ∑_{i=0}^{g−1} a_{i}T^{g−1+i}(v).

Nach Definition von g gilt T^{g−1+i}(v) = 0 für i ≥ 1. Also reduziert sich die vorangehende Gleichung auf a_{0}T^{g−1}(v) = 0. Nach Voraussetzung gilt T^{g−1}(v) ≠ 0, also a_{0} = 0. Wendet

man T^{g−2} auf ∑_{i=0}^{g−1} a_{i}T^{i}(v) = 0 an, so erhält man a_{0}T^{g−2}(v) + a_{1}T^{g−1}(v) = 0. Wegen a_{0} = 0

folgt wie vorher: a_{1} = 0. Induktiv erhalten wir durch Anwenden von T^{g−2}, …, T^{0} = id_{V} auf

∑_{i=0}^{g−1} a_{i}T^{i}(v) = 0, daß auch a_{2} = 0, …, a_{g−1} = 0 gilt. Das beweist, daß v, T (v), …, T^{g−1}(v)

linear unabhängig sind. Die T -Invarianz von span{v, …, T^{g−1}(v)} folgt aus der Tatsache, daß die Basis {v, …, T^{g−1}(v)} von span{v, …, T^{g−1}(v)} durch T auf die Teilmenge {T (v), …, T^{g−1}(v), 0} von span{v, …, T^{g−1}(v)} abgebildet wird.

Nilpotente Endomorphismen T mit Nilpotenzgrad g(T) = dim V = n sind leicht zu verstehen:

(9.15) Lemma. Sei T ∈ End(V) nilpotent, g(T) = n = dim V. Dann ist V T -irreduzibel, und es existiert eine Basis G = (v, T (v), …, T^{n−1}(v)) von V, so daß

Mat_{G}^{G}(T) = ( \begin{matrix}0 & … & … & … & 0 \\ 1 & ... & & & ⋮ \\ 0 & ... & ... & & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

gilt.

Bew.: Zum Beweis der Irreduzibilität von V nehmen wir an, daß V = U_{1} ⊕ U_{2} mit zwei T -invarianten Unterräumen U_{1} ≠ 0, U_{2} ≠ 0 gilt. Dann sind T_{i} := T |U_{i} ∈ End(U_{i}) für i = 1, 2 nilpotent und wegen (9.14) gilt g(T_{i}) ≤ dim U_{i} < n. Daraus folgt

g(T) = max{g(T_{1}), g(T_{2})} < n,

im Widerspruch zur Voraussetzung g(T) = n. Die restliche Behauptung von (9.15) folgt direkt aus (9.14).

Bem.: Haben wir also für einen - jetzt nicht als nilpotent vorausgesetzten - Endomorphismus L ∈ End(V) einen EW λ_{i}, so daß

T_{i} := (L − λ_{i} id_{V}) | E′(λ_{i})

den Nilpotenzgrad f_{i}(= g(T_{i})) = dim E′(λ_{i}) hat, so können wir mit (9.15) eine Basis G_{i} von E′(λ_{i}) finden, so daß

Mat_{G_{i}}^{G_{i}}(T |E′(λ_{i})) = ( \begin{matrix}λ_{i} & … & … & … & 0 \\ 1 & ... & & & ⋮ \\ 0 & ... & ... & & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & 1 & λ_{i} \end{matrix} )

gilt.

Nun betrachten wir den Fall eines nilpotenten T ∈ End(V) mit g(T) < n.

(9.16) Lemma (2. Zerlegungssatz). Sei T ∈ End(V) nilpotent und g = g(T) < n = dim V. Dann ist V T -reduzibel.

Bew.: Wegen T^{g−1} ≠ 0 können wir ein v ∈ V \ ker(T^{g−1}) wählen und dazu ein l ∈ V^{∗} mit l(T^{g−1}(v)) ≠ 0. Wir definieren

U_{1} := span{v, …, T^{g−1}(v)} und
U_{2} := ker(l) ∩ ker(l ∘ T) ∩ … ∩ ker(l ∘ T^{g−1}).

Dann ist U_{1} T -invariant, und es gilt 0 < dim U_{1} = g < n. Wir haben (9.16) bewiesen, wenn wir zeigen können, daß U_{2} T -invariant ist und daß V = U_{1} ⊕ U_{2} gilt.

T -Invarianz von U_{2}: Ist w ∈ U_{2}, so gilt l(w) = 0, …, l(T^{g−1}(w)) = 0, also speziell l(T (w)) = 0, …, l(T^{g−2}(T (w)) = 0 und außerdem wegen T^{g}(w) = 0: l(T^{g}(w)) = l(T^{g−1}(T (w)) = 0. Zusammen zeigen diese Gleichungen, daß T (w) ∈ U_{2} gilt. Also ist U_{2} T -invariant.

Zeige U_{1} ∩ U_{2} = {0}: Sei w ∈ U_{1} ∩ U_{2}. Da w ∈ U_{1} ist, existieren a_{0}, …, a_{g−1} ∈ K mit

w = ∑_{i=0}^{g−1} a_{i}T^{i}(v). Da w ∈ U_{2} ist, gilt l(T^{g−1}(w))) … = l(w) = 0.

Wegen T^{g−1}(w) = a_{0}T^{g−1}(v) gilt 0 = l(T^{g−1}(w)) = a_{0}l(T^{g−1}(v)), und wegen l(T^{g−1}(v)) ≠ 0 folgt daraus a_{0} = 0. Wie im Beweis von (9.14) folgt induktiv a_{1} = 0, …, a_{g−1} = 0, also w = 0. Das beweist U_{1} ∩ U_{2} = {0}. Es liegt also eine direkte Summe U_{1} ⊕ U_{2} vor, und wir haben

dim U_{1} ⊕ U_{2} = dim U_{1} + dim U_{2}.

Es gilt dim U_{1} = g und aus (3.23) folgt dim U_{2} ≥ n − g, also

dim U_{1} ⊕ U_{2} ≥ g + (n − g) = n = dim V.

Da U_{1} ⊕ U_{2} Untervektorraum von V ist, folgt daraus V = U_{1} ⊕ U_{2}, wie behauptet.

Zusammen besagen (9.15) und (9.16) gerade, daß für ein nilpotentes 0 ≠ T ∈ End(V) gilt:

V T -irreduzibel ⇔ g(T) = dim V.

Auf jedem T -irreduziblen Unterraum U von V ist T |U also von der einfachen, in (9.15) beschriebenen Bauart. Daß eine Zerlegung in irreduzible Unterräume möglich ist, folgt direkt aus der Definition von irreduzibel:

(9.17) Lemma. Sei L ∈ End(V), V ≠ {0}. Dann existieren k ∈ ℕ_{>0} und L-irreduzible Unterräume U_{1} ≠ {0}, …, U_{k} ≠ {0}, so daß

V = U_{1} ⊕ … ⊕ U_{k}

gilt.

Bew.: Durch Induktion nach dim V = n. Der Induktionsschritt besteht in der einfachen Bemerkung, daß V entweder L-irreduzibel ist oder eine Zerlegung V = U_{1} ⊕ U_{2} mit Linvarianten Unterräumen U_{1} ≠ 0 und U_{2} ≠ 0 gestattet. Wegen dim U_{1} < n, dim U_{2} < n ist auf diese die Induktionsvoraussetzung anwendbar.

Wir beweisen nun zunächst den Satz über die Jordansche Normalform in der Formulierung für Endomorphismen und werden das später in eine Aussage über Matrizen übersetzen.

(9.18) Satz (Jordan-Zerlegung). Sei L ∈ End(V) und das charakteristische Polynom von L zerfalle. Sind λ_{1}, …, λ_{s} die verschiedenen EWe von L, so gilt

L = E′(λ_{1}) ⊕ … ⊕ E′(λ_{s}).

Jeder der Haupträume E′(λ_{t}), 1 ≤ t ≤ s, zerfällt in L-irreduzible Unterräume

E′(λ_{t}) = U_{t}^{1} ⊕ … ⊕ U_{t}^{k_{t}}

und für jedes i ∈ {1, …, k_{t}} ist (L − λ_{t} id_{V})|U_{t}^{i} =: S_{t}^{i} ∈ End(U_{t}^{i}) nilpotent vom Nilpotenzgrad g(S_{t}^{i}) = dim U_{t}^{i}.

Bew.: Die erste Aussage ist gerade der 1. Zerlegungssatz (9.12). Wir wenden dann (9.17) auf L|E′(λ_{t}) an und erhalten eine Zerlegung von E′(λ_{t}) in L-irreduziblen Unterräumen, genannt U_{t}^{1}, …, U_{t}^{k_{t}}. Nach (9.10) wissen wir, daß (L − λ_{t} id_{V})|U_{t}^{i} =: S_{t}^{i} für jedes t ∈ {1, …, s} und jedes i ∈ {1, …, k_{t}} nilpotent ist. Da U_{t}^{i} L-irreduzibel ist, ist U_{t}^{i} auch S_{t}^{i}-irreduzibel. Aus dem 2. Zerlegungssatz (9.16) folgt nun, daß der Nilpotenzgrad g(S_{t}^{i}) von S_{t}^{i} gleich der Dimension von U_{t}^{i} ist, d.h. daß S_{t}^{i} von dem einfachen, durch (9.15) beschriebenen Typ ist.

Nach (9.15) existiert zu jedem der L-irreduziblen Unterräume U_{t}^{i}, 1 ≤ t ≤ s, 1 ≤ i ≤ k_{t} eine Basis G_{t}^{i}, so daß

Mat_{G_{t}^{i}}^{G_{t}^{i}}(S_{t}^{i}) = ( \begin{matrix}0 & … & … & … & 0 \\ 1 & ... & & & ⋮ \\ 0 & ... & ... & & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

gilt. Wegen L|U_{t}^{i} = S_{t}^{i} + λ_{t} id_{U_{t}^{i}} folgt

(∗) Mat_{G_{t}^{i}}^{G_{t}^{i}}(L|U_{t}^{i}) = ( \begin{matrix}λ_{t} & … & … & … & 0 \\ 1 & ... & & & ⋮ \\ 0 & ... & ... & & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & 1 & λ_{t} \end{matrix} ) =: J_{t}^{i}.

Damit erhalten wir

(9.19) Satz (Jordansche Normalform). Sei L ∈ End(V) und das charakteristische Polynom P_{L} von L zerfalle. Die verschiedenen Nullstellen von P_{L} seien λ_{1}, …, λ_{s}. Dann existiert eine Basis G von V, so daß

(∗∗) Mat_{G}^{G}(L) = ( \begin{matrix}J_{1}^{1} & & & & & & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & . & . & . \\ & & & & & & & . & . & . \\ 0 & & & & & & & & & & J_{s}^{k_{s}} \end{matrix} )

gilt, wobei die in der Diagonale stehenden ”Jordanblöcke“ J_{t}^{i} (dim U_{t}^{i})×(dim U_{t}^{i})-Matrizen vom Typ (∗) sind.

Interpretiert für Matrizen A ∈ K^{n×n} besagt (9.19):

(9.20) Folgerung. Sei A ∈ K^{n×n} und das charakteristische Polynom von A zerfalle. Dann existiert ein B ∈ GL_{n}(K), so daß B^{−1}AB die Form (∗∗) hat.

Bem.:

1) Ist K = ℂ, so ist die Voraussetzung ”das charakteristische Polynom zerfalle“ nach dem Fundamentalsatz der Algebra stets erfüllt. Ist K ein Unterkörper von ℂ, z.B. K = ℚ oder K = ℝ, und zerfällt das charakteristische Polynom in K[x] nicht, so können wir uns durch ”Komplexifizierung“ der Situation helfen, d.h. ist L ∈ End(ℝ^{n}), so betrachten wir die ℂ-lineare Fortsetzung L̃ ∈ End(ℂ^{n}) von L, vgl. (6.11) und (6.25). In der Algebra konstruiert man zu jedem Körper K einen K enthaltenden Körper K̃, in dem jedes Polynom zerfällt. Also kann man die Voraussetzung ”das charakteristische Polynom zerfalle“ auch für beliebige Körper durch ein der Komplexifizierung ähnliches Verfahren erzwingen.

2) Wie bereits gesagt ist das Hauptproblem bei der Berechnung der Jordanschen Normalform – die Berechnung der EWe λ_{1}, …, λ_{s} – i.a. nicht explizit lösbar. Kennt man λ_{1}, …, λ_{s}, so ist die Jordansche Normalform und eine zugehörige Basis durch Lösen von linearen Gleichungssystemen berechenbar. Dazu noch einige Hinweise: Zu berechnen sind für jedes t ∈ {1, …, s} die Zahl k_{t} der L-irreduziblen Unterräume U_{t}^{1}, …, U_{t}^{k_{t}}, in die E′(λ_{t}) zerfällt, und die Dimensionen der U_{t}^{i}. Offenbar gilt

∑_{i=1}^{k_{t}} dim U_{t}^{i} = dim E′(λ_{t}) und ∑_{t=1}^{s} dim E′(λ_{t}) = dim V.

Berechnet man P_{L} mit der Jordanschen Normalform, so sieht man, daß dim E′(λ_{t}) gerade die Vielfachheit k(P_{L}, λ_{t}) der Nullstelle λ_{t} ist. dim E′(λ_{t})kann nach (9.8), (9.10) durch Lösen homogener linearer Gleichungen bestimmt werden. Die Zerlegung von dim E′(λ_{t}) in L-irreduzible Unterräume kann mit dem im Beweis von (9.16) (2. Zerlegungssatz) verwendeten Verfahren explizit durchgeführt werden.

3) Während eine Basis G, in der Mat_{G}^{G}(L) Jordansche Normalform hat, nicht eindeutig durch L bestimmt ist, ist die Jordansche Normalform (∗∗) in (9.19) bis auf die Reihenfolge der Blöcke J_{t}^{i} eindeutig durch L bestimmt. Der Beweis dieser Tatsache wurde in der Vorlesung nicht durchgeführt. Er ist nicht schwierig und beruht darauf, daß man für eine nilpotente lineare Abbildung T die Anzahl der irreduziblen Unterräume einer gegebenen Dimension sukzessive aus den Zahlen dim(ker T^{j}) ausrechnen kann, vgl. dazu z.B. R. Walter, Einführung in die lineare Algebra, S. 245, Satz A.

Beispiel zur Berechnung der Jordanschen Normalform.

Wir berechnen die Jordansche Normalform von

A = ( \begin{matrix}3 & 2 & −3 \\ 4 & 10 & −12 \\ 3 & 6 & −7 \end{matrix} )

det(A − λE_{3}) \begin{matrix}= (3 − λ)(λ^{2} − 3λ + 2) + 8(λ − 2) − 9(λ − 2) \\ = (3 − λ)(λ − 2)(λ − 1) − (λ − 2) = −(λ − 2)(λ^{2} − 4λ + 4) = −(λ − 2)^{3} \end{matrix}

Also zerfällt P_{A} und λ = 2 ist der einzige EW von A. Nach (9.10) ist A−2E_{3} =: T nilpotent und wegen A − 2E_{3} ≠ 0 gilt für den Nilpotenzgrad g von A − 2E_{3} nach (9.14)

2 ≤ g ≤ 3.

Wir berechnen (A − 2E_{3})^{2} = 0, also g = 2. Da der Nilpotenzgrad unabhängig von der Wahl der Basis ist (es gilt (B^{−1}AB)^{j} = B^{−1}A^{j}B für jedes B ∈ GL_{3}(ℝ)) hat auch die Jordansche Normalform von A − 2E_{3} Nilpotenzgrad 2. Unter den nilpotenten Jordanschen Normalformen

( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 0 1 0 & {0 \atop 0} \\ 0 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

12

hat aber nur ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) Nilpotenzgrad 2, also ist

( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) + 2E_{3} = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} )

die Jordansche Normalform von A. Eine Matrix B ∈ GL_{3}(ℝ), für die B^{−1}AB = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) gilt, kann man wie folgt bestimmen. Wir wählen zunächst einen beliebigen Vektor v ∉ ker(T) für T := A−2E_{3}, vgl. (9.14). Nach (9.15) ist dann G_{1} := (v, T v) Basis eines T -irreduziblen, T - invarianten Unterraums, genannt U_{1}, und Mat_{G_{1}}^{G_{1}}(A|U_{1}) = ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix} ). Wir können z.B. v = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

wählen. Dann ist T v = ( \begin{matrix}1 \\ 4 \\ 3 \end{matrix} ). Für Be_{3} müssen wir einen von T v unabhängigen EV von A

wählen, z.B. Be_{3} = ( \begin{matrix}3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ). Die Matrix B ist dann durch Be_{1} = v = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ), Be_{2} = T v = ( \begin{matrix}1 \\ 4 \\ 3 \end{matrix} )

und Be_{3} = v = ( \begin{matrix}3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) gegeben, d.h. B = ( \begin{matrix}1 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix} ). Man rechnet nach, daß B^{−1} = ( \begin{matrix}1 & 2 & −3 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & − \frac{3}{4} & 1 \end{matrix} )

und B^{−1}AB = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) gilt.

Abgesehen von der Einsicht in die möglichen Typen von linearen Abbildungen, die die Sätze (9.18) und (9.19) vermitteln, ist die Jordansche Normalform auch von praktischem Nutzen. Es kommt z.B. oft vor, daß hohe Potenzen A^{m} einer Matrix A ∈ K^{n×n} berechnet werden sollen Für allgemeine Matrizen A ist das mit sehr großem Rechenaufwand verbunden. Kann man jedoch ein B ∈ GL_{n}(K) finden, so daß A = B^{−1}JB gilt und J Jordansche Normalform hat, so gilt A^{m} = B^{−1}J^{m}B, wobei J^{m} sehr leicht zu berechnen ist. Eine damit zusammenhängende theoretische Erkenntnis ist der

(9.21) Satz (von Cayley-Hamilton). Setzt man L ∈ End(V) in sein charakteristisches Polynom P_{L} ein, so erhält man P_{L}(L) = 0 ∈ End(V).

Vorbemerkung: Wenn L diagonalisierbar ist, so ist (9.21) leicht einzusehen, vgl. Blatt 7, Aufgabe 3. Nach Satz (9.6)(ii) ist die Menge der diagonalisierbaren A ∈ ℂ^{n×n} dicht in ℂ^{n×n}. Da die Abbildung A ∈ ℂ^{n×n} → P_{A}(A) ∈ ℂ^{n×n} stetig ist und auf der dichten Menge der diagonalisierbaren Matrizen = 0 ist, folgt, daß P_{A}(A) für alle A ∈ ℂ^{n×n} (und damit auch für alle A ∈ ℝ^{n×n}) gilt.

Bew.: von (9.21): Wir führen den Beweis nur für den Fall durch, daß P_{L} zerfällt. Wie in Bem. 1 nach (9.20) gesagt wurde, ist das keine wirkliche Einschränkung. Wir verwenden (9.18). Offenbar genügt es zu zeigen, daß für jeden EW λ_{t} von L gilt:

P_{L}(L) | E′(λ_{t}) = 0.

Wegen (9.14) gilt für n_{t} := dim E′(λ_{t}):

(∗) (L − λ_{t} id_{V} | E′(λ_{t}))^{n_{t}} = 0.

Andererseits enthält P_{L} den Faktor (x − λ_{t})^{n_{t}}. Deshalb existiert ein Q ∈ End(V) mit

(∗∗) P_{L}(L) = Q ∘ (L − λ_{t} id_{V})^{n_{t}}.

Aus (∗) und (∗∗) folgt P_{L}(L) | E′(λ_{t}) = 0, wie behauptet.

Eine weitere wichtige Anwendung der Jordanschen Normalform betrifft das explizite Lösen von linearen Differentialgleichungssystemen mit konstanten Koeffizienten. Gegeben ist da-

bei eine Matrix A ∈ ℂ^{n×n} und gesucht sind alle n-Tupel ( ⋮_{z_{n}(t)}^{z_{1}(t)} ) von differenzierbaren

Funktionen z_{i} : ℝ → ℂ(≃ ℝ^{2}), für die

(∗)  ( z′_{1}(t) ; ⋮ ; z′_{n}(t) ) = A ( z_{1}(t) ; ⋮ ; z_{n}(t) )

für alle t ∈ ℝ gilt. Man führt die Funktion z = ( ⋮_{z_{n}}^{z_{1}} ) : ℝ → ℂ^{n} ein und schreibt für (∗)

kürzer:

z′ = Az.

Ist B ∈ GL_{n}(ℂ), gilt A = B^{−1}JB und ist w : ℝ → ℂ^{n} eine Lösung von w′ = Jw, so ist z := B^{−1}w eine Lösung von (∗):

z′ = B^{−1}w′ = B^{−1}Jw = B^{−1}JBz = Az.

Es genügt also, alle Lösungen der Gleichung

(∗∗) w′ = Jw

zu kennen. Wir betrachten zunächst den (nach (9.6) typischen) Fall, daß J = ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & . & . & . \\ 0 & & & & & & & λ_{n} \end{matrix} )

eine Diagonalmatrix ist. Dann ”entkoppeln“ sich die Differentialgleichungen (∗∗) zu:

w′_{j} = λ_{j}w_{j} für 1 ≤ j ≤ n

mit λ_{j} ∈ ℂ. Davon sind die Lösungen explizit angebbar,

w_{j}(t) = w_{j}(0)e^{λ_{j}t} für 1 ≤ j ≤ n,

wobei die ”Anfangswerte“ w_{j}(0), 1 ≤ j ≤ n, die Lösung eindeutig bestimmen.

Folgerung: Sei A ∈ ℂ^{n×n} diagonalisierbar, A = B^{−1} ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & . & . & . \\ 0 & & & & & & & λ_{n} \end{matrix} ) B, und a ∈ ℂ^{n}. Dann

existiert genau eine Lösung z : ℝ → ℂ^{n} von (∗) mit z(0) = 0, nämlich z(t) = B^{−1}w(t), wobei w_{j}(t) = c_{j}e^{λ_{j}t} für 1 ≤ j ≤ n und c = Ba.

Bem.:

1) Offenbar konvergieren die (Diagonal-)Matrizen ∑_{k=0}^{m} \frac{(tJ)^{k}}{k!} für m → ∞ gegen die Ma-

trix ( \begin{matrix}e^{λ_{1}t} & & & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & . & . & . \\ 0 & & & & & & & e^{λnt} \end{matrix} ) =: exp(tJ).

Entsprechend bezeichnet man lim_{m→∞} ∑_{k=0}^{m} \frac{(tA)^{k}}{k!} =: exp(tA) und wegen A^{k} = B^{−1}J^{k}B

gilt

exp(tA) = B^{−1} exp(tJ)B.

Die Lösungen w(t) von (∗∗) lassen sich damit als

w(t) = exp(tJ)w(0)

und die Lösungen z(t) = B^{−1}w(t) von (∗) als

z(t) = exp(tA)z(0)

schreiben.

2) Ist A ∈ ℝ^{n×n} reell diagonalisierbar, d.h. A = B^{−1}JB mit B ∈ GL_{n}(ℝ), J =

( \begin{matrix}λ_{1} & & & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & . & . & . \\ 0 & & & & & & & λ_{n} \end{matrix} ) mit λ_{j} ∈ ℝ, so erhalten wir mit demselben Verfahren und denselben

Formeln reelle Lösungen z : ℝ → ℝ^{n}, z = B^{−1}w mit w_{j}(t) = e^{λ_{j}t} ∈ ℝ von z′ = Az. In vielen Fällen wird A ∈ ℝ^{n×n} jedoch nur komplex diagonalisierbar sein,

d.h. A = B^{−1}JB mit B ∈ GL_{n}(ℂ), J = ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & . & . & . \\ 0 & & & & & & & λ_{n} \end{matrix} ) mit λ_{j} ∈ ℂ. Wir erhalten

komplexe Lösungen z : ℝ → ℂ^{n} von z′ = Az. Schreiben wir z(t) = x(t) + iy(t) mit x, y : ℝ → ℝ^{n}, so gilt auch x′ = Ax, y′ = Ay, d.h. x = Rez und y = Imz sind reelle Lösungen von (∗). Das kann man z.B. daran sehen, daß wegen A = \overline{A} mit z : ℝ → ℂ^{n} auch \overline{z} : ℝ → ℂ^{n} Lösung von (∗) ist:

\overline{z}′ = \overline{Az} = \overline{A}\overline{z} = A\overline{z}.

Da (∗) linear ist, sind dann auch x = \frac{1}{2}(z + \overline{z}) und y = \frac{1}{2}(z − \overline{z}) Lösungen von (∗).

15

Als nächstes betrachten wir den Fall, daß A ∈ ℂ^{n×n} eine Jordansche Normalform hat, die nur ein einziges ”Jordankästchen“ hat, d.h. A = B^{−1}JB mit B ∈ GL_{n}(ℂ) und

J = T + λE_{n} = ( \begin{matrix}λ & … & … & … & 0 \\ 1 & ... & & & ⋮ \\ 0 & ... & ... & & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & 1 & λ \end{matrix} ) , λ ∈ ℂ.

Mit etwas probieren stellt man fest, daß man Lösungen w : ℝ → ℂ^{n} von w′ = Jw wie folgt

erzeugen kann: Man wählt ein Polynom p(t) =: ∑_{k=0}^{n−1} \frac{c_{n−k}}{k!} t^{k}, c_{n−k} = p^{(k)}(0), vom Grad n − 1

und setzt

w(t) := e^{λt} (p^{(n−1)}(t), p^{(n−2)}(t), …, p(t)) ,

wobei p^{(k)}(t) die k′te Ableitung von p(t) bezeichnet. Es gilt dann nämlich:

w′(t) = λw(t) + e^{λt} (0, p^{(n−1)}(t), …, p′(t)) = Jw(t).

Man kann auch leicht sehen, daß jede Lösung w von w′ = Jw von diesem Typ ist: Setzt man q(t) := e^{−λt}w(t), so folgt q′ = T q. Differenziert man die Gleichung q′ = T q weiter, so erhält man q^{(k)} = T^{k}q und wegen T^{n} = 0: q^{(n)} = 0. Daraus folgt: q ist ein Polynom vom Grad ≤ n − 1. Man erhält also auf diese Art explizit alle Lösungen w : ℝ → ℂ^{n} von w′ = Jw und mit z := B^{−1}w alle Lösungen von z′ = Az. Die ”Anfangswerte“ w(0) = (p^{(n−1)}(0), …, p(0))=(c_{1}, …, c_{n}) ∈ ℂ^{n} sind beliebig vorgebbar und bestimmen die Lösung w(t) eindeutig, und analog für z(t) := B^{−1}w(t).

Im allgemeinen hat die Jordansche Normalform J von A mehrere ”Jordankästchen“ J_{1}^{1}, …, J_{s}^{k_{s}} wie in (9.19)(∗∗). Die Lösungen von w′ = Jw setzen sich dann aus den Lösungen zu den einzelnen Jordankästchen (w_{t}^{k_{t}})′ = J_{t}^{k_{t}}w_{t}^{k_{t}}, die wir nach dem vorangehenden explizit kennen, zusammen.

Bsp.: Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

(∗) x′ = Ax

für Vektorfunktionen x : ℝ → ℝ^{3} und die Matrix A = ( \begin{matrix}3 & 2 & −3 \\ 4 & 10 & −12 \\ 3 & 6 & −7 \end{matrix} ) aus dem vorangehenden Beispiel. Explizit bedeutet (∗) dann:

\begin{aligned}x′_{1}(t) & = & 3x_{1}(t) + 2x_{2}(t) − 3x_{3}(t) \\ x′_{2}(t) & = & 4x_{1}(t) + 10x_{2}(t) − 12x_{3}(t) \\ x′_{3}(t) & = & 3x_{1}(t) + 6x_{2}(t) − 7x_{3}(t) \end{aligned}

Wir haben die Jordansche Normalform J von A berechnet:

J = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} )

Zu dem Jordankästchen ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) gehören die Lösungen

( \begin{matrix}y_{1}(t) \\ y_{2}(t) \end{matrix} ) = e^{2t} ( \begin{matrix}c_{1} \\ c_{2}+c_{1}t \end{matrix})

und zu dem EV e_{3} von J: y_{3}(t) = c_{3}e^{2t}.

Die Lösungen von y′ = Jy sind dann y(t) = e^{2t} ( \begin{matrix}c_{1} \\ c_{2}+c_{1}t \\ c_{3} \end{matrix} ) mit beliebigen c_{1}, c_{2}, c_{3} ∈ ℝ.

Die Lösungen x von (∗) sind x = B^{−1}y mit B^{−1} = ( \begin{matrix}1 & 2 & −3 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & − \frac{3}{4} & 1 \end{matrix} ).

Bem.:

1) Auch hier kann man zeigen, daß für alle t ∈ ℝ die Limites lim_{m→∞} ∑_{k=0}^{m} \frac{(tJ)^{k}}{k!} =: exp(tJ)

und lim_{m→∞} ∑_{k=0}^{m} \frac{(tA)^{k}}{k!} =: exp(tA) existieren, daß exp(tA) = B^{−1} exp(tJ)B gilt und daß

die Lösungen w von w′ = Jw gerade durch w(t) = exp(tJ)w(0) gegeben sind. Dann folgt, daß die Lösungen von z′ = Az als z(t) = exp(tA)z(0) geschrieben werden können.

2) Ist A ∈ ℝ^{n×n}, so zerfällt P_{A} über ℂ, so daß A eine komplexe Jordansche Normalform J ∈ ℂ^{n×n} besitzt. Ist A = B^{−1}JB mit B ∈ GL_{n}(ℂ) und sind z = B^{−1}w die komplexen Lösungen von z′ = Az, so erhält man die reellen Lösungen von x′ = Ax als die Realteile (oder – gleichwertig – als die Imaginärteile) der komplexen Lösungen.