Lineare Algebra

Skriptum zur Vorlesung von Prof. Dr. Victor Bangert WS 2002/03 und SS 2003

Zur Einleitung: Lineare Gleichungssysteme

Wir untersuchen zunächst mit Methoden, die Sie vermutlich aus der Schule kennen, explizit einige kleine lineare Gleichungssysteme. Das Gleichungssystem I wird dabei sukzessive in “einfachere” Gleichungssysteme II, III, ... umgeformt. Die Umformungen sind so, daß sich die Lösungsmenge nicht ändert.

1) 1 Gleichung, 1 Unbekannte:

I  3x + 5 = 9  | − 5
II  3x = 4  | : 3
II  x = \frac{4}{3}

Lösungsmenge LI = \{x ∈ ℝ | 3x + 5 = 9\} = LII = \{x ∈ ℝ | 3x = 4\} = LIII = \{\frac{4}{3}\}

2) 1 Gleichung, 2 Unbekannte:

\begin{matrix}I & 2x + 4y = 8 & | : 4| − \frac{x}{2} \\ II & y = −\frac{x}{2} + 2 \end{matrix}

Betrachte geordnete Paare (x, y) mit x ∈ ℝ, y ∈ ℝ und setze ℝ^{2} = {(x, y) | x ∈ ℝ und y ∈ ℝ}

L_{I} = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | 2x + 4y = 8\} = L_{II} = \{(x, −\frac{x}{2} + 2) | x ∈ ℝ\}

Es gibt unendlich viele Lösungen!

3) 2 Gleichungen, 2 Unbekannte:

I  \begin{aligned}2x + 4y & = & 8 & | & · (−\frac{3}{2}) \\ 3x − 6y & = & 4 & _{←}| \end{aligned}

II  \begin{aligned}2x + 4y & = & 8 \\ 0x − 12y & = & −8 & | & : (−12) \end{aligned}

III  \begin{aligned}2x + 4y & = & 8  2x + \frac{8}{3} = 8 2x = \frac{16}{3}  x = \frac{8}{3} \\ y & = & \frac{2}{3} \end{aligned}

IV  \begin{aligned}x & = & \frac{8}{3} \\ y & = & \frac{2}{3} \end{aligned}

L_{I} = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | (x, y) löst (I)\} = \{(\frac{8}{3}, \frac{2}{3})\}, genau eine Lösung.

4) 2 Gleichungen, 2 Unbekannte:

I  \begin{aligned}2x + 4y & = & 8 & | & · (−\frac{3}{2}) \\ 3x + 6y & = & 4 & _{←}| \end{aligned}

II  \begin{aligned}2x + 4y & = & 8 \\ 0x + 0y & = & −8 \end{aligned}

keine Lösung, L_{I} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | (x, y) erfüllt (I)} = ∅

Geometrische Interpretation: Für eine Gleichung ax + by = c mit a ≠ 0 oder b ≠ 0 (das wird im folgenden Abschnitt stets vorausgesetzt) ist die Lösungsmenge eine Gerade in der Ebene ℝ^{2}. (Für b ≠ 0 etwa gegeben durch y = −\frac{a}{b}x+ \frac{c}{b}). Zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten entsprechen also zwei Geraden und der Lösungsmenge des Gleichungssystems entspricht die Menge der Punkte, die auf jeder der beiden Geraden liegen. Im allgemeinen gibt es also genau eine Lösung des Gleichungssystems (= genau einen Schnittpunkt der beiden Geraden). Folgende Ausnahmefälle sind möglich:

a Verschiedene parallele Geraden (⇒ keine Lösung des Gleichungssystems)

b die beiden Geraden stimmen überein (⇒ unendlich viele Lösungen des Gleichungssystems, Lösungsraum durch einen reellen Parameter parametrisierbar).

Bemerkung: Zum Lösen haben wir nur die Grundrechenarten benützt. Sind die Koeffizienten (a, b etc. ) rational (oder komplex), so liefert dieses Verfahren rationale (oder komplexe) Lösungen.

Gaußsches Eliminationsverfahren (überführt Gleichungssystem in äquivalentes in Stufenform → rekursiv auflösbar).

5) 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten (genannt x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}).

I  \begin{aligned}2x_{1} & + & 4x_{2} & + & 4x_{3} & + & 6x_{4} & = & 2 & | & · (−\frac{3}{2}) & | \\ 3x_{1} & + & 7x_{2} & + & 5x_{3} & + & 9x_{4} & = & 4 & _{←}| & & | & · (−\frac{1}{2}) \\ x_{1} & + & 3x_{2} & − & x_{3} & + & 5x_{4} & = & 1 & & & _{←}| \end{aligned}

II  \begin{aligned}2x_{1} + 4x_{2} + 4x_{3} + 6x_{4} & = & 2 \\ x_{2} − x_{3} & = & 1 & | & (−1) \\ x_{2} − 3x_{3} + 2x_{4} & = & 0 & _{←}| \end{aligned}

III

2x_{1} + 4x_{2} + 4x_{3} + 6x_{4} = 2 III_{1}
x_{2} − x_{3} = 1 III_{2} Gleichungssystem in Stufenform
− 2x_{3} + 2x_{4} = −1 III_{3}  (“rekursiv ausflösbar”)

Lösung: Wähle x_{4} = r ∈ ℝ beliebig

III_{3} ⇒ x_{3} = x_{4} + \frac{1}{2}  = r + \frac{1}{2}
III_{2} ⇒ x_{2} = x_{3} + 1  = r + \frac{3}{2}
III_{1} ⇒ x_{1} = −2x_{2} − 2x_{3} − 3x_{4} + 1 = −7r − 3
ℝ^{4} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) | x_{1} ∈ ℝ, x_{2} ∈ ℝ, x_{3} ∈ ℝ, x_{4} ∈ ℝ}
L_{I} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ ℝ^{4} | (x_{1}, x_{3}, x_{3}, x_{4}) löst I}
= \{(−7r − 3, r + \frac{3}{2}, r + \frac{1}{2}, r) | r ∈ ℝ\} Parameterdarstellung des Lösungsraums

1. Zur Sprache der Mathematik

übliche Sprache + Fachausdrücke + mathematische Symbole

Abkürzende logische Symbole

(1.1) “A ⇒ B” bedeutet “aus Aussage A folgt Aussage B”.

Beispiel: x ∈ ℝ ⇒ x^{2} ≥ 0 Andere sprachliche Formen: “A impliziert B” oder “A ist hinreichend für B” “B ist notwendig für A”

(1.2) “A ⇔ B” bedeutet “A ⇒ B und B ⇒ A”.

Beispiel: x ∈ ℝ und 3x ∈ ℚ ⇔ x ∈ ℚ Andere sprachliche Formen: “A und B sind äquivalent” oder “A gilt genau dann (dann und nur dann), wenn B gilt”.

(1.3) “∃” steht für “Es existiert (mindestens) ein ...”

Beispiel: “∃x ∈ ℝ : x^{2} = 2 steht für “Es existiert ein x ∈ ℝ, so daß x^{2} = 2 gilt” (nämlich x = \sqrt{2} oder x = −\sqrt{2}.

(1.4) “∀” steht für “Für alle ...”

Beispiel: “∀x ∈ ℝ : x^{2} ≥ 0” steht für “Für alle reellen Zahlen x gilt: x^{2} ≥ 0”

Schließlich: “oder” ist nicht ausschließend (im Gegensatz zu “entweder ... oder”). Die Aussage “Es gilt 1 + 1 = 2 oder es gilt 1 − 1 = 0” ist wahr. Die Aussage “Entweder es gilt 1 + 1 = 2 oder es gilt 1 − 1 = 0” ist falsch.

(1.5) “A := B” steht für “A ist durch B definiert” oder “A ist nach Definition gleich B”.

\underline{Mengen und Abbildungen} (Georg Cantor 1845-1918)

Menge = Zusammenfassung von (mathematischen) Objekten (=Elementen) “x ∈ M” steht für “x ist Element der Menge M”, “x ∉ M” steht für “x ist nicht Element der Menge M”.

Angabe von Mengen:

(1.6) Aufzählend, z.B. M = {1, 3, 5, 7}(= {1, 1, 3, 5, 7}) (1.7) Durch Angabe von Eigenschaften: Sei M eine Menge und A(x) eine Aussage über

die Elemente von M. Dann kann man eine Menge N definieren durch

N = {x | x ∈ M und A(x) ist wahr} = {x ∈ M | A(x) ist wahr}

z.B. ℚ = \{x ∈ ℝ | ∃p ∈ ℤ, ∃q ∈ ℕ, q ≠ 0 : x = \frac{p}{q}\} Menge der rationalen Zahlen oder M = {x ∈ ℕ | x ist ungerade natürliche Zahl kleiner als 9}.

Beispiele von Mengen: ℕ = {x ∈ ℝ | x natürliche Zahl} = {0, 1, 2, 3, …} ℤ = {x ∈ ℝ | x ganze Zahl} = {0, 1, −1, 2, −2, …}

Vielleicht kennen Sie schon ℂ = {x + iy | x ∈ ℝ, y ∈ ℝ} ∅ die leere Menge (enthält kein Element)

(1.8) Def.: Eine Menge A heißt \underline{Teilmenge einer Menge} B(“A ⊆ B”), falls jedes Element von A auch Element von B ist, d.h. falls gilt

x ∈ A ⇒ x ∈ B.

Beispiel: ∅ ⊆ ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ ⊆ ℂ

(1.9) Zwei Mengen A und B sind gleich (“A = B”), wenn A und B die selben Elemente enthalten, d.h. falls gilt

x ∈ A ⇔ x ∈ B

Oder: A = B ⇔ A ⊆ B und B ⊆ A.

Beispiel: {x | x ungerade natürliche Zahl kleiner 9} = {1, 3, 5, 7}

Konstruktionen mit Mengen A und B:

(1.10) \underline{Schnittmenge} (Durchschnitt) A ∩ B \underline{von} A \underline{und} B:

x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A und x ∈ B

\underline{Vereinigung} A ∪ B \underline{von} A \underline{und} B:

x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A oder x ∈ B

\underline{Komplement} A \ B \underline{von} B \underline{in} A (Differenzmenge von A und B)

x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A und x ∉ B

(1.11) Rechenregeln (für Vereinigung, Durchschnitt, Komplement)

Sind A, B, C Mengen, so gilt:

(a) A ∪ B  = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A “Kommutativgesetze”
(b) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)  “Assoziativgesetze”
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(c) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)  “Distributivgesetze”
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(d) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)  “De Morgansche Regeln”
A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)

Beweis von (c): Sei x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇒ x ∈ A und (x ∈ B oder x ∈ C) ⇒ (x ∈ A und x ∈ B) oder (x ∈ A und x ∈ C) ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Sei x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⇒ (x ∈ A und x ∈ B) oder (x ∈ A und x ∈ C) ⇒ x ∈ A und (x ∈ B oder x ∈ C) ⇒ x ∈ A ∩ (B ∪ C) (1.12) Kartesische Produkt (benannt nach R. Descartes 1596-1650). Sind A, B Mengen, so ist das \underline{kartesische Produkt} A × B \underline{von} A \underline{und} B die Menge aller geordneten Paare (a, b) mit a ∈ A und b ∈ B.

A × B := {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

Bem.: (a, b) = (a′, b′) ⇔ a = a′ und b = b′! Bem.: ℝ × ℝ =: ℝ^{2} Allgemeiner: Sind A_{1}, …, A_{n} Mengen, so

A_{1} × … × A_{n} = {(a_{1}, …, a_{n}) | a_{1} ∈ A_{1}, a_{2} ∈ A_{2}, …, a_{n} ∈ A_{n}}

Dabei gilt – per definitionem – (a_{1}, …, a_{n}) = (a′_{1}, …, a′_{n}) genau dann, wenn a_{1} = a′_{1}, …, a_{n} = a′_{n} gelten. Bem.: \underbrace{ℝ × … × ℝ}_{n-mal} =: ℝ^{n}. Ein Element (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n} heißt \underline{n-Tupel} von reellen Zahlen.

Exkurs: Nochmals lineare Gleichungssysteme Das allgemeine lineare Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten:

I \begin{aligned}I_{1} & a_{11}x_{1} & + & a_{12}x_{2} & + … + & a_{1n}x_{n} & = & b_{1} \\ I_{2} & a_{21}x_{1} & + & a_{22}x_{2} & + … + & a_{2n}x_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & & ⋮ & & ⋮ \\ I_{m} & a_{m1}x_{1} & + & a_{m2}x_{2} & + … + & a_{mn}x_{n} & = & b_{m} \end{aligned}

Gegeben sind die a_{11}, …, a_{mn}, b_{1}, …, b_{m}, gesucht die x_{1}, …, x_{n}. Lösungsmenge L_{I} = {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} | (x_{1}, …, x_{n}) löst I} (1.13) Satz. Sei a_{11} ≠ 0 und sei I′ das Gleichungssystem mit den Zeilen

I′_{1} = 1, I′_{2} = I_{2} − \frac{a_{21}}{a_{11}} I_{1}, …, I′_{m} = I_{m} − \frac{a_{m1}}{a_{11}} I_{1}.

Dann gilt: L_{I} = L_{I′} Beweis: Sei \overline{x} = (\overline{x}_{1}, …, \overline{x}_{n}) ∈ L_{I}. Dann erfüllt \overline{x} die Gleichung I′_{1} (= I_{1}). Ist 2 ≤ i ≤ m, so erfüllt \overline{x} auch die Gleichung I_{i}, also auch I′_{i} = I_{i} − \frac{a_{i1}}{a_{11}} I_{1}. Also x ∈ L_{I′}. Sei \overline{x} = (\overline{x}_{1}, …, \overline{x}_{n}) ∈ L_{I′}. Dann erfüllt \overline{x} die Gleichung I_{1} (= I′_{1}). Ist 2 ≤ i ≤ m, so erfüllt \overline{x} auch die Gleichung I′_{i}, also auch

I_{i} = I′_{i} + \frac{a_{i1}}{a_{11}} I_{1}.

Also x ∈ L_{I}. (1.14) Definition. Das lineare Gleichungssystem I heißt homogen, falls b_{i} = 0 gilt für alle i ∈ {1, …, m}. Bemerkung: Ist I homogen, so ist (0, …, 0) ∈ ℝ^{n} Lösung von I. Auf ℝ^{n} definieren wir eine Addition durch

(x_{1}, …, x_{n}) + (y_{1}, …, y_{n}) := (x_{1} + y_{1}, …, x_{n} + y_{n}) (komponentenweise Addition) und eine Multiplikation mit reellen Zahlen r ∈ ℝ durch

r(x_{1}, …, x_{n}) := (rx_{1}, …, rx_{n})

(1.15) Satz. Ist I ein homogenes lineares Gleichungssystem, so hat seine Lösungsmenge L_{I} folgende Eigenschaften:

Ist x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ L_{I} und y = (y_{1}, …, y_{n}) ∈ L_{I}, so gilt x + y ∈ L_{I}.
Ist x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ L_{I} und r ∈ ℝ,  so gilt rx ∈ L_{I}.

Beweis: x ∈ L_{I} und y ∈ L_{I} ⇒ Für alle i ∈ {1, …, m} gelten: a_{i1}x_{1} + … + a_{in}x_{n} = 0 und a_{i1}y_{1} + … + a_{in}y_{n} = 0. Summiert man diese Gleichungen, so folgt

a_{i1}(x_{1} + y_{1}) + … + a_{in}(x_{n} + y_{n}) = 0 + 0 = 0

Also erfüllt x+y = (x_{1}+y_{1}, …, x_{n}+y_{n}) für alle i ∈ {1, …, m} die Gleichung I_{i}, d.h. x+y ∈ L_{I}. Die 2. Behauptung folgt analog durch Multiplikation von I_{i} mit r. Bemerkung: Besitzt ein homogenes lineares Gleichungssystem I eine Lösung x ≠ (0, …, 0), so besitzt I nach (1.15) unendlich viele Lösungen (∀r ∈ ℝ : rx ∈ L_{I}). Zu einem linearen Gleichungssystem I bezeichne I^{hom} das zugehörige homogene lineare Gleichungssystem, das sich nur dadurch von I unterscheidet, daß alle rechten Seiten von I durch 0 ersetzt werden.

(1.16) Satz. Es existiere eine Lösung \overline{x} = (\overline{x}_{1}, …, \overline{x}_{n}) des linearen Gleichungssystems I. Dann gilt

L_{I} = \{\overline{x} + x | x ∈ L_{Ihom}\}.

Ohne die Mengensprechweise drückte man die Aussage von (1.16) früher durch folgenden langen Satz aus: Die allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems ist eine spezielle Lösung dieses Gleichungssystems plus die allgemeine Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems.

Beweis:

a) Sei y ∈ L_{I}. Wie zeigen: y − \overline{x} ∈ L_{Ihom} (wobei y − \overline{x} := y + (−1)\overline{x}).

\begin{aligned}\{y, \overline{x}\} ⊆ L_{I} ⇒ ∀i ∈ \{1, …, m\} & : & a_{i1}y_{1} + … + a_{in}y_{n} = b_{i} und \\ & & a_{i1}\overline{x}_{1} + … + a_{in}\overline{x}_{n} = b_{i} \end{aligned}

Subtraktion dieser Gleichungen liefert:

a_{i1}(y_{1} − \overline{x}_{1}) + … + a_{in}(y_{n} − \overline{x}_{n}) = b_{i} − b_{i} = 0

Also: y − \overline{x} ∈ L_{Ihom}. Wir nennen y − \overline{x} =: x ∈ L_{Ihom} und erhalten y = \overline{x} + x mit x ∈ L_{Ihom}.

b) Sei x ∈ L_{Ihom}. Dann gilt für alle i ∈ {1, …, m}:

a_{i1}x_{1} + … + a_{in}x_{n} = 0

Wegen y ∈ L_{I} gilt für alle i ∈ {1, …, m}:

a_{i1}y_{1} + … + a_{in}y_{n} = b_{i}

Addition dieser Gleichungen liefert:

a_{i1}(x_{1} + y_{1}) + … + a_{im}(x_{m} + y_{m}) = b_{i} (für alle i ∈ {1, …, m})

also y + x ∈ L_{I}.

Zurück zur Mengenlehre:

Abbildungen zwischen Mengen

(1.17) Def.: Es seien M, N Mengen. Eine \underline{Abbildung} f : M → N \underline{von} M \underline{nach} N ist eine Vorschrift, die jedem x ∈ M genau ein Element f(x) ∈ N zuordnet.

Beispiele:

a) M = N = ℝ, f : ℝ → ℝ, ∀x ∈ ℝ : f(x) := 3x^{3} − x + 1
b) M = ℝ, N = ℝ_{>0} = {x ∈ ℝ | x > 0}, ∀x ∈ ℝ : f(x) := e^{x}.
c) f : ℤ → \{0, 1\}, f(x) := \{ \begin{matrix}0 & x gerade \\ 1 & x ungerade \end{matrix}
d) M Menge. id_{M} : M → M, ∀x ∈ M : id_{M}(x) := x. “Identität von M”.
e) A ⊆ B. i : A → B, ∀x ∈ A : i(x) := x “Inklusionsabbildung”

f) Seien A_{1}, …, A_{n} Mengen und i ∈ {1, …, n}. p_{i} : A_{1} × … × A_{n} → A_{i}, p_{i}(a_{1}, …, a_{n}) := a_{i} “Projektion auf die i’te Komponente”.

g) + : ℝ^{2} → ℝ, ∀(x, y) ∈ ℝ^{2} : +(x, y) := x + y

(1.18) Def.: Eine Abbildung f : M → N heißt

(a) injektiv, falls für alle x ∈ M, y ∈ M gilt: x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y).

(b) surjektiv, falls für alle y ∈ N ein x ∈ M existiert, so daß f(x) = y gilt.

(c) bijektiv, falls f injektiv und surjektiv is.

Von den obigen Beispielen ist a) surjektiv, aber nicht injektiv, während b) bijektiv ist.

(1.19) Def. (Komposition, Hintereinanderausführung) Seien A, B, C, D Mengen mit B ⊆ C und f : A → B, g : C → D Abbildungen. Dann ist g ∘ f : A → D definiert durch: Für alle

x ∈ A ist (g ∘ f)(x) := g(\underbrace{f(x)}_{∈B}).

Symbolisch: \overbrace{A →^{f} B ⊆ C →^{g} D}^{g∘f}

Bem.: A →^{f} B →^{g} C →^{h} D ⇒ h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f =: h ∘ g ∘ f

Schreibweise: Ist f : A → B Abbildung und C ⊆ A, so bezeichne

f(C) := {y ∈ B | ∃x ∈ C : f(x) = y}“Bild von C unter f”

Ist D ⊆ B, so bezeichne

f^{−1}(D) := {x ∈ A | f(x) ∈ D} “Urbild von D unter f”

Bem:

f : A → B surjektiv ⇔ f(A) = B.
f : A → B injektiv ⇔ Für alle y ∈ B enthält f^{−1}({y}) höchstens 1 Element.

(1.20) Rechenregeln: Sei f : M → N Abbildung, A ⊆ M, B ⊆ M. Dann gilt

(a) f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)

(b) f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B)

(c) f(M \ A) ⊇ f(M) \ f(A) (⇔ f(M) \ f(A) ⊆ f(M \ A)) Für alle C ⊆ N, D ⊆ N gilt:

(d) f^{−1}(C ∪ D) = f^{−1}(C) ∪ f^{−1}(D)

(e) f^{−1}(C ∩ D) = f^{−1}(C) ∩ f^{−1}(D)

(f) f^{−1}(N \ C) = M \ f^{−1}(C)

Beweis von (f):

x ∈ f^{−1}(N \ C) ⇒ x ∈ M und f(x) ∈ N \ C
⇒ x ∈ M und f(x) ∉ C ⇒ x ∈ M \ f^{−1}(C)
x ∈ M \ f^{−1}(C) ⇒ x ∈ M und x ∉ f^{−1}(C) ⇒ x ∈ M und f(x) ∉ C
⇒ f(x) ∈ N \ f^{−1}(C)

Beispiel zu (b):

f : ℝ → ℝ, f(x) = x^{2}
A = {x ∈ ℝ | x < 0}, B = {x ∈ ℝ | x > 0}
⇒ A ∩ B = ∅, aber f(A) = f(B) = {x ∈ ℝ | x > 0}(=: ℝ_{>0})
d.h. f(A) ∩ f(B) = ℝ_{>0} ≠ ∅.

(1.21) Def.: Ist f : M → N Abbildung und A ⊆ M, so ist die \underline{Einschränkung} (Restriktion) f|A(= f|_{A}) : A → N \underline{von} f \underline{auf} A definiert durch: Für alle x ∈ A ist (f|A)(x) = f(x). Bemerkung: Bezeichnet i : A → M die Inklusion, so gilt f|A = f ∘ i (1.22) Fakt: Ist f : M → N bijektive Abbildung, so existiert genau eine Abbildung f^{−1} : N → M, so daß f^{−1} ∘ f = id_{M} gilt. Für diese Abbildung f^{−1} gilt auch f ∘ f^{−1} = id_{N}. Vorsicht: Das Symbol f^{−1} wird in unterschiedlichen Bedeutungen verwendet! Bew.: f bijektiv ⇔ ∀y ∈ N ex. genau ein x ∈ M : f(x) = y. Eindeutigkeit von f^{−1}: Gilt f(x) = y, so muß f^{−1}(y) = f^{−1}(f(x)) = (f^{−1} ∘ f)(x) = id_{M}(x) = x gelten.

Definiere f^{−1} : N → M durch f^{−1}(y) = x ⇔ y = f(x) (1.23) Def.: Seien M, N Mengen. Eine \underline{Relation auf} (M, N) ist eine Teilmenge von M ×N. (Ist M = N, so spricht man von einer Relation auf M) Schreibweise: Sei R ⊆ M × N. Statt (x, y) ∈ R schreibt man auch xRy. Beispiele:

1) Δ_{M} = \{(x, x) | x ∈ M\} die \underline{Diagonale} in M × M.

2) Sei f : M → N Abbildung. Dann ist der \underline{Graph von} f,

graph (f) := {(x, f(x)) | x ∈ M}

eine Relation auf (M, N). Bem.: Δ_{M} = graph (id_{M})

3) Sei M = N = ℝ und R := {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x = y^{2}}. Diese Relation ist nicht Graph

einer Funktion f : ℝ → ℝ. (1.24) Def. Sei M Menge, R ⊆ M × M Relation auf M. Dann heißt

(a) R reflexiv ⇔ ∀x ∈ M : xRx (⇔ Δ_{M} ⊆ R)

(b) R symmetrisch ⇔ (∀x, y ∈ M : xRy ⇔ yRx)

(c) R transitiv ⇔ (∀x, y, z ∈ M : xRy und yRz ⇒ xRz)

(d) R Äquivalenzrelation ⇔ R ist reflexiv, symmetrisch und transitiv

Bei Äquivalenzrelationen R schreibt man oft statt xRy: x ∼_{R} y oder kurz x ∼ y (wenn klar ist, welches R gemeint ist).

Beispiele:

1) Auf M = ℝ kennen wir die Relation “kleiner gleich”, d.h.

R = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x ≤ y}

R ist reflexiv und transitiv, aber nicht symmetrisch. (Beweis?)

2) Sei M = ℤ, p ≥ 2 feste natürliche Zahl.

R := {(m, n) ∈ ℤ^{2} | n − m ist durch p teilbar}.

Wir zeigen: R ist eine Äquivalenzrelation

(a) ∀m ∈ ℤ: m ∼_{R} m, da m − m = 0 durch p teilbar: 0 = 0 · p

(b) Es gelte m ∼_{R} n ⇒ n − m durch p teilbar ⇒ m − n durch p teilbar ⇒ n ∼_{R} m

(c) Es gelte k ∼_{R} m und m ∼_{R} n ⇒ ∃j ∈ ℤ, l ∈ ℤ : m − k = jp, n − m = lp ⇒ n − k = (l + j)p und l + j ∈ ℤ ⇒ k ∼_{R} n.

Langes Beispiel: Eine \underline{Zerlegung} M \underline{einer Menge} M, ist eine Menge M, deren Elemente Teilmengen von M sind, so daß gilt:

(1) A ∈ M, B ∈ M ⇒ A = B oder A ∩ B = ∅.

(2) ⋃_{A∈M} A = M. (wobei ⋃_{A∈M} A := {x | ∃A ∈ M : x ∈ A})

Wir werden sehen, daß eine Äquivalenzrelation auf M im Grunde das gleiche ist, wie eine Zerlegung von M. Zunächst überlegen wir, wie wir aus einer Zerlegung eine Äquivalenzrelation erhalten: Zu einer Zerlegung M von M definieren wir die Relation

R = {(x, y) ∈ M × M | ∃A ∈ M : {x, y} ⊆ A}

Wir zeigen: R ist eine Äquivalenzrelation.

(a) Sei x ∈ M. Wir wollen zeigen, daß (x, x) ∈ R gilt. Wegen (2) existiert ein A ∈ M, so daß x ∈ A gilt. Also gilt {x, x}(= {x}) ⊆ A, d.h. (x, x) ∈ R.

(b) {x, y} ⊆ A ⇔ {y, x} ⊆ A

(c) Es gelte (x, y) ∈ R und (y, z) ∈ R ⇒ ∃A ∈ M, B ∈ M mit {x, y} ⊆ A, {y, z} ⊆ B

⇒ y ∈ A ∩ B, d.h. A ∩ B ≠ ∅ ⇒^{(1)} A = B ⇒ {x, z} ∈ A ⇒ (x, z) ∈ R.

Bezeichnung: Sei R ⊆ M × M eine Äquivalenzrelation und x ∈ M. Dann heißt

[x]_{R} := {y ∈ M | (x, y) ∈ R} die Äquivalenzklasse von x und
M/R := {[x]_{R} | x ∈ M} die Menge der Äquivalenzklassen, die auch “M modulo R”

genannt wird.

(1.25) Fakt: Sei R ⊆ M × M eine Äquivalenzrelation. Dann ist M/R eine Zerlegung von M.

Beweis: Offensichtlich ist jedes Element von M/R eine Teilmenge von M (nämlich eine Äquivalenzklasse). Wir zeigen, daß die Menge M/R die Eigenschaften (1) und (2) hat.

Zu (2): Offensichtlich gilt ⋃_{[x]_{R}∈M/R}[x]_{R} ⊆ M. Sei umgekehrt x ∈ M. Die Reflexivität (a)

von R besagt, daß (x, x) ∈ R gilt, also x ∈ [x]_{R}. Damit M ⊆ ⋃_{[x]_{R}∈M/R}[x]_{R}.

Zu (1): Wir zeigen, daß folgende Aussagen (α), (β), (γ) über Elemente x ∈ M, y ∈ M äquivalent sind:

(α) [x]_{R} ∩ [y]_{R} ≠ ∅ (β) x ∼ y (γ) [x]_{R} = [y]_{R}

1. Schritt: (α) ⇒ (β): Sei z ∈ [x]_{R} ∩ [y]_{R}, d.h. es gelten x ∼ z und y ∼ z. Die Symmetrie und Transitivität von ∼ implizieren dann x ∼ y.

2. Schritt: (β) ⇒ (γ): Wegen der Symmetrie der Voraussetzung x ∼ y genügt es, [y]_{R} ⊆ [x]_{R} zu zeigen. Sei w ∈ [y]_{R}, d.h. y ∼ w. Unsere Voraussetzung x ∼ y ergibt zusammen mit y ∼ w und der Transitivität, daß x ∼ w gilt, d.h. w ∈ [x]_{R}.

3. Schritt: (γ) ⇒ (α): Wegen x ∈ [x]_{R} folgt aus [x]_{R} = [y]_{R}, daß [x]_{R} ∩ [y]_{R} = [x]_{R} ≠ ∅ gilt.

Sind nun A und B Elemente von M/R, etwa A = [x]_{R} und B = [y]_{R} für Elemente x, y von M, so gilt wegen (α) ⇔ (β) entweder A ∩ B = ∅ oder A = B. Das beweist (1).

Beispiel: Es sei nun wieder p ∈ ℕ, p ≥ 2 und wir betrachten die Äquivalenzrelation auf ℤ, die durch

m ∼ n ⇔ n − m ist durch p teilbar

definiert ist, vgl. Bsp. 2 nach (1.24). Dann sind die Äquivalenzklassen von ∼ genau die Teilmengen von ℤ, die aus den ganzen Zahlen bestehen, die bei Division (mit Rest) durch p, den gleichen Rest ergeben. Sie heißen deshalb auch die “Restklassen mod p”. Es gibt genau p verschiedene solche Restklassen mod p, nämlich

[0]_{p}  = {np | n ∈ ℤ}  Rest 0 bei Division durch p
[1]_{p}  = {np + 1 | n ∈ ℤ}  Rest 1 bei Division durch p
⋮
[p − 1]_{p} = {np + (p − 1) | n ∈ ℤ} Rest p − 1 bei Division durch p
= {np − 1 | n ∈ ℤ}

Für diese Äquivalenzrelation ist folgende Bezeichnung gebräuchlich:

m ∼ n ⇔ m ≡ n (mod p)

2. Gruppen und Körper

(2.1) Def. Eine Gruppe ist eine Menge, genannt G, und eine Abbildung (“innere Verknüpfung”) von G × G nach G, hier bezeichnet als

⊤ : G × G → G, (a, b) =: ab,

so daß folgende Eigenschaften erfüllt sind:

(G_{1}) Für alle a, b, c ∈ G gilt: (a ⊤ b) ⊤ c = a ⊤ (b ⊤ c) (Assoziativgesetz) Es existiert ein Element e ∈ G, so daß gilt: (G_{2}) Für alle a ∈ G gilt e ⊤ a = a (Existenz eines “Linksneutralen”) (G_{3}) Für alle a ∈ G existiert ein b ∈ G, so daß gilt: b ⊤ a = e. (Ex. eines “Linksinversen”)

Eine Gruppe (G, ⊤) heißt abelsch (oder kommutativ), falls für alle a, b ∈ G gilt: a ⊤b = b ⊤a

Die Anzahl der Elemente von G heißt die Ordnung |G| ∈ ℕ ∪ {∞} einer Gruppe (G, ⊤). (G, ⊤) heißt endliche Gruppe, falls |G| < ∞ und sonst unendliche Gruppe.

Bem.: Die abelschen Gruppen sind nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (1802-1829) benannt.

Beispiele:

1) Einfachste Gruppe: G = {e} (mit e ⊤ e := e)

2) Zweiteinfachste Gruppe: G = {e, a} mit a ≠ e, wobei a⊤a := e (und e⊤a = a⊤e = e)

3) G := ℤ, ⊤ := + ⇝ (ℤ, +) “unendlich zyklische Gruppe”

Ebenso: (ℚ, +), (ℝ, +). Hier stets e := 0.

(ℕ, +) ist keine Gruppe: Es müßte e = 0 gelten, aber es existiert zu keinem n ∈ ℕ mit n > 0 ein additives Inverses. (d.h. (G_{3}) ist nicht erfüllt).

4) (ℚ_{>0}, ·), (ℝ_{>0}, ·), (ℚ \ {0}, ·), (ℝ \ {0}, ·) sind Gruppen.

Hier stets e := 1.

(ℤ \ {0}, ·) ist keine Gruppe.

Alle Gruppen unter 1) - 4) sind abelsch, die unter 3) und 4) sind unendlich.

5) M Menge: Sei S_{M} = {f : M → M | f bijektiv}. S_{M} mit der Hintereinanderausführung ∘ als innere Verknüpfung ist Gruppe. S_{n} := S_{{1,...,n}}

Zur Motivation: Der Begriff “Gruppe” ist eng verknüpft mit dem Bemühen, die Symmetrien von Figuren (in der Ebene oder im Raum) zu verstehen. Was soll es z.B. bedeuten, daß zwei verschiedene Figuren “die gleiche Symmetrie” besitzen?

Für eine gegebene Figur F betrachtet man die Menge G_{F} der Kongruenzabbildungen (“Isometrien”) der Ebene bzw. des Raumes, die F in sich überführen. G_{F} mit der inneren Verknüpfung “Hintereinanderausführung” ist eine Gruppe (die “Isometriegruppe” von F)

1) F = gleichseitiges Dreieck ⇒ |G_{F} | = 6 nämlich: G_{F} besteht aus den Drehungen um 120^{∘} um den Mittelpunkt und den Spiegelungen an den 3 Höhen.

2) F = regelmäßiges n-Eck ⇒ |G_{F} | = 2n

3) F = Kreis ⇒ |G_{F} | = ∞

4) Es gibt (außer den aus 1) und 2) abgeleiteten) im Wesentlichen nur 3 endliche Gruppen von Kongruenzabbildungen des Raumes, nämlich die Isometriegruppen von

a) Regulärem Tetraeder mit |G| = 24

b) Würfel (=Isometriegruppe des regulären Oktaeders) mit |G| = 48

c) Regulärem Dodekaeder (=Isometriegruppe des reg. Ikosaeders) mit |G| = 120 Alle diese Gruppen sind nicht abelsch.

Vorsicht: Es gibt “verschiedene” Gruppen mit der gleichen Ordnung. Nach jahrzehntelanger Anstrengung vieler Mathematiker hat man einen genauen Überblick über \underline{alle} endlichen Gruppen (Beweise in Gesamtlänge von über 3000 Seiten)

Beispiel: Die (endliche) zyklische Gruppe (ℤ_{p}, +) (wobei p ∈ ℕ, p ≥ 2). Die Menge ℤ_{p} besteht aus den Restklassen (mod p), d.h.

ℤ_{p} = {[0]_{p}, [1]_{p}, …, [p − 1]_{p}} = {[m]_{p} | m ∈ ℤ}

Seien a, b ∈ ℤ_{p}. Wir wollen a ⊤ b, hier geschrieben a + b, definieren. Dazu wählen wir ein m ∈ a ⊆ ℤ, n ∈ b ⊆ ℤ, und überlegen, daß die Restklasse [m+n]_{p} nicht von diesen Wahlen abhängt: Jedes andere m̃ ∈ a kann nämlich als m̃ = m + lp für ein l ∈ ℤ geschrieben werden und ebenso jedes andere ñ ∈ b als ñ = n + jp für ein j ∈ ℤ. Also:

m̃ + ñ = m + n + (j + l)p, d.h. [m̃ + ñ]_{p} = [m + n]_{p}

Wir können also definieren

a + b = [m + n]_{p}

und das ist unabhängig von der Wahl von m ∈ a und n ∈ b.

Es gilt dann mit m ∈ a, n ∈ b und l ∈ c ∈ ℤ_{p}:

(a + b) + c = [(m + n) + l]_{p} = [m + (n + l)]_{p} = a + (b + c) Assoziativgesetz
a + b  = [(m + n)]_{p} = [n + m]_{p} = b + a  (⇒ (ℤ_{p}, +) ist abelsch)
[0]_{p} + a  = [(0 + m)]_{p} = [m]_{p} = a  ([0]_{p} ist neutrales Element)
[−m]_{p} + a = [−m + m]_{p} = [0]_{p}  ([−m]_{p} ist bzgl. + invers zu [m]_{p})

(ℤ_{p}, +) heißt zyklisch, weil es ein Element a ∈ ℤ_{p} gibt, so daß

ℤ_{p} = \{[0]_{p}, a, a + a, …, \underbrace{a + … + a}_{(p−1)−mal}\}

während \underbrace{a + … + a}_{p−mal} = [0]_{p} gilt, nämlich a = [1]_{p}.

Die Gruppe (ℤ_{p}, +) verhält sich genau gleich wie die (“ist isomorph zur”) Gruppe der Drehungen der Ebene (um einen festen Punkt) um die Winkel \frac{m}{p} ·360^{∘}, m ∈ \{0, …, p−1\}.

(2.2) Fakt: Sei (G, ⊤) eine Gruppe. Dann gilt:

(i) Es gibt nur ein Element in G, für das (G_{2}) gilt (nämlich e). Für alle a ∈ G gilt: a ⊤ e = a.

(ii) Zu jedem a ∈ G existiert nur ein b ∈ G, für das b ⊤ a = e gilt. Für dieses b gilt auch: a ⊤ b = e.

Bezeichnung: Das Element b ∈ G mit b ⊤ a = a ⊤ b = e wird mit a^{−1} (bzw. mit −a, falls ⊤ = +) bezeichnet.

Beweis: Zeige zunächst:

(∗) a, b ∈ G und b ⊤ a = e ⇒ a ⊤ b = e (⇒ 2. Behauptung in (ii))

Denn: Nach (G_{3}) existiert zu b ∈ G ein c ∈ G mit c ⊤ b = e. Es gilt:

a ⊤ b =^{(G_{2})} e ⊤ (a ⊤ b) = (c ⊤ b) ⊤ (a ⊤ b) =^{!} c ⊤ (\underbrace{(b ⊤ a)}_{=e} ⊤b) =^{(G_{2})} c ⊤ b = e

zu “!”: (c ⊤ b) ⊤ \underbrace{(a ⊤ b)}_{=:d} =^{(G_{1})} c ⊤ (b ⊤ \underbrace{(a ⊤ b)}_{=d}) =^{(G_{1})} c ⊤ ((b ⊤ a) ⊤ b) Beweis von (i): Sei ẽ ∈ G ein

Element, so daß (G_{2}) gilt. Zu zeigen: e = ẽ. Es gilt:

e =^{(G_{1})für ẽ} ẽ ⊤ e =^{(∗)} e ⊤ ẽ =^{(G_{2})für e} ẽ

Sei a ∈ G. Wir zeigen a ⊤ e = a. Nach (G_{3}) existiert ein b ∈ G mit b ⊤ a = e und nach (∗) folgt a ⊤ b = e. Also

a ⊤ e = a ⊤ (b ⊤ a) =^{(G_{1})} (a ⊤ b) ⊤ a = e ⊤ a =^{(G_{2})} a

Beweis von (ii): Seien a, b, b̃ ∈ G und es gelte: b ⊤ a = e = b̃ ⊤ a. Zu zeigen: b = b̃

Es gilt: b̃ =^{(i)} b̃ ⊤ e =^{(∗)} b̃ ⊤ (a ⊤ b) =^{(G_{1})} (b̃ ⊤ a) ⊤ b = e ⊤ b =^{(G_{2})} b

(2.3) Fakt. Sei (G, ⊤) Gruppe, a, b ∈ G. Dann gilt:

(i) (a^{−1})^{−1} = a

(ii) (a ⊤ b)^{−1} = b^{−1} ⊤ a^{−1}

Beweis:

(i) Zu zeigen ist: a ist das Inverse von a^{−1}, d.h. a ⊤ a^{−1} = e Nach Definition gilt a^{−1} ⊤ a = e, und nach (2.2) (ii) folgt daraus a ⊤ a^{−1} = e.

(ii) Zu zeigen ist: (b^{−1} ⊤ a^{−1}) ⊤ (a ⊤ b) = e. Wir rechnen:

(b^{−1} ⊤ a^{−1}) ⊤ (a ⊤ b) =^{(G_{1})} b^{−1} ⊤ (a^{−1} ⊤ a) ⊤ b = b^{−1} ⊤ e ⊤ b =^{(G_{2})} b^{−1} ⊤ b = e

(2.4) Def.: Ein Körper ist eine Menge, genannt K, und zwei innere Verknüpfungen + : K × K → K, (a, b) ↦ a + b, und · : K × K → K, (a, b) ↦ a · b =: ab, so daß gilt

(i) (K, +) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element e =: 0

(ii) (K \ {0}, ·) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element e =: 1 (speziell 1 ≠ 0!) (iii) ∀a, b, c ∈ K : (a + b)c = (ac) + (bc) (Distributivgesetz)

Schreibweisen: a + (−b) =: a − b, (ab) + c =: ab + c “Punkt vor Strich”

(2.3)(i) ⇒ −(−a) = a (2.3)(ii) ⇒ −(a + b) = (−b) + (−a) = −a − b

Beispiel: (ℝ, +, ·), (ℚ, +, ·), (ℂ, +, ·) sind Körper. (ℤ, +, ·) ist kein Körper (z.B. besitzt 2 in ℤ kein multiplikatives Inverses).

Bem.: Verzichtet man in (2.4)(ii) auf die Bedingung der Existenz von multipl. Inversen, so nennt man (K, +, ·) einen kommutativen Ring mit 1. Verzichtet man zusätzlich auf die Kommutativität von (K \ {0}, ·) und ergänzt (iii) durch a(b + c) = ab + ac, so nennt man (K, +, ·) einen Ring mit 1. (Es wird die Existenz von 1 ∈ K mit 1 · a = a · 1 = a für alle a ∈ K \ {0} gefordert)

Beispiel: (ℤ, +, ·) ist kommutativer Ring mit 1.

(2.5)Rechenregeln: Sei (K, +, ·) Körper (es genügt: Ring), a, b, c ∈ K. Dann gilt:

(i) 0 · a = 0

(ii) a · (−b) = (−a) · b = −(ab)(=: −ab)

(iii) a(bc) = (ab)c

Beweis:

(i) Es gilt: 0 · a + a = 0 · a + 1 · a =^{(2.4)(iii)} (0 + 1)a = 1 · a = a | −a ⇒ 0 · a = 0

(ii) (−a)b + ab =^{(2.4)(iii)} ((−a) + a)b = 0 · b =^{(i)} 0

(iii) Nach (2.4)(ii), falls {a, b, c} ⊆ K \ {0}. Sonst: (i) ⇒ a(bc) = 0 = (ab)c

Schreibweise: Ist a ∈ K \ \{0\}, b ∈ K, so schreibt man auch a^{−1} =: \frac{1}{a} und a^{−1}b = ba^{−1} =: \frac{b}{a}.

Der Körper der komplexen Zahlen (Cardano 1501-1576, C.F. Gauß 1777-1855)

\begin{aligned}K = ℝ^{2}, & + & : ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ^{2}, (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) \\ & · & : ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ^{2}, (a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc) \end{aligned}

Eigenschaften:

1) (ℝ^{2}, +) ist abelsche Gruppe mit neutralem Element e = (0, 0).

2) (1, 0) · (a, b) = (a, b), d.h. (1, 0) ist neutrales Element bezüglich ·.

3) · ist kommutativ: (a, b) · (a′, b′) = (aa′ − bb′, ab′ + a′b) = (a′, b′) · (a, b)

4) Ist (a, b) ∈ ℝ^{2} \ \{(0, 0)\}, so gilt: (\frac{a}{a^{2}+b^{2}} , \frac{−b}{a^{2},b^{2}} ) · (a, b) = (1, 0),

d.h. (\frac{a}{a^{2}+b^{2}} , \frac{−b}{a^{2}+b^{2}} ) = \frac{1}{a^{2}+b^{2}} (a, −b) ist multiplikatives Inverses zu (a, b).

5) Für alle (a, b), (a′, b′), (a′′, b′′) in ℝ^{2} gilt

((a, b) · (a′, b′)) · (a′′, b′′) = (a, b) · ((a′, b′) · (a′′, b′′))

d.h. · ist assoziativ (Übung) 2)–5) ⇒ (ℝ^{2} \ {(0, 0)}, ·) ist abelsche Gruppe mit neutralem Element (1, 0)

6) Distributivgesetz:

(a, b) · ((a′, b′) + (a′′, b′′)) = (a, b) · (a′ + a′′, b′ + b′′)

=^{Def. von ·} (a(a′ + a′′) − b(b′ + b′′), a(b′ + b′′) + b(a′ + a′′))

(a, b) · (a′, b′) + (a, b) · (a′′, b′′) = (aa′ − bb′, ab′ + ba′) + (aa′′ − bb′′, ab′′ + a′′b)

= (a(a′ + a′′) − b(b′ + b′′), a(b′ + b′′) + b(a′ + a′′))

Aus 1)–6) folgt, daß (ℝ^{2}, +, ·) ein Körper ist. Bem.: Es gilt

\begin{aligned}(0, 1) · (0, 1) & = & (−1, 0) = −( & 1, 0) \\ (0, 1) · (b, 0) & = & (0, b) & ∀b ∈ ℝ \\ (a, 0) · (b, 0) & = & (ab, 0) & ∀a, b ∈ ℝ \\ (a, 0) · (0, b) & = & (0, ab) & ∀a, b ∈ ℝ \end{aligned}

Für alle reellen Zahlen a identifiziert man (a, 0) mit a und schreibt abkürzend (0, 1) =: i, (0, b) = (0, 1) · (b, 0) =: ib =: bi, (a, b) = (a, 0) + (0, b) =: a + ib Speziell: (0, 0) = 0, (1, 0) = 1, (0, 1) = i mit: (2.6) i^{2} = −1 Mit diesen Bezeichnungen gilt für a, b, a′, b′ ∈ ℝ: (2.7) (a + ib) + (a′ + ib′) = a + a′ + i(b + b′) (2.8) (a + ib) · (a′ + ib′) = aa′ − bb′ + i(ab′ + ba′) ℂ := {a + ib | a ∈ ℝ, b ∈ ℝ}. Die Veranschaulichung von komplexen Zahlen in der Koordinatenebene ℝ^{2} stammt von C.F. Gauß (Gaußsche Zahlenebene). Ist z = a + ib ∈ ℂ mit a ∈ ℝ, b ∈ ℝ, so heißen

a der Realteil von z, a =: Re(z) b der Imaginärteil von z, b =: Im(z)

Es gilt z ≠ 0 ⇔ (a, b) ≠ (0, 0) (⇔ a^{2} + b^{2} > 0)

4) ⇒ Ist z = a + ib ≠ 0, so ist das multiplikative Inverse z^{−1} von z:

(2.9) z^{−1} = (a + ib)^{−1} = \frac{1}{a^{2}+b^{2}} (a − ib)

Die Abbildung z = a + ib ∈ ℂ → \overline{z} = a − ib ∈ ℂ heißt Konjugation.

Es gilt: \overline{\overline{z}} = z, \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} und \overline{z · w} = \overline{z} · \overline{w}

Ist z = a + ib ∈ ℂ, a, b ∈ ℝ, eine komplexe Zahl, so heißt |z| = +\sqrt{a^{2} + b^{2}} ∈ ℝ_{≥0} der Betrag von z. Offensichtlich gilt z\overline{z} = |z|^{2}.

Damit gilt für z ≠ 0: z^{−1} = \frac{\overline{z}}{|z|^{2}} . Denn: z^{−1}z = \frac{z\overline{z}}{|z|^{2}} = 1.

Existenz von endlichen Körpern

Für p ∈ ℕ, p ≥ 2, definieren wir eine Multiplikation auf

ℤ_{p} = {[0]_{p}, …, [p − 1]_{p}} = {[m]_{p} | m ∈ ℤ}

durch: a = [m]_{p}, b = [n]_{p} → ab = [mn]_{p} unabhängig von der Wahl von m ∈ a, n ∈ b, vgl. Blatt 3, Aufgabe 3.

Es ist leicht nachzuprüfen, daß (ℤ_{p}, +, ·) ein kommutativer Ring mit 1(= [1]_{p}) ist.

(2.10) Satz. Ist p ∈ ℕ Primzahl, so ist (ℤ_{p}, +, ·) ein Körper.

Beweis: Zu zeigen ist die Existenz eines multiplikativen Inversen für jedes a ∈ ℤ_{p} \ {0}. a ∈ ℤ_{p}\{0} ⇒ a = [m]_{p} für ein m ∈ {1, …, p−1}. Wir zeigen: Die Elemente [1]_{p}·[m]_{p}, [2]_{p}· [m]_{p}, …, [p − 1]_{p} · [m]_{p} in ℤ_{p} sind alle ungleich 0. Denn [j]_{p}[m]_{p} = [0]_{p} ist äquivalent dazu, daß p die Zahl jm teilt. Da p Primzahl ist, teilt p dann j oder m (betrachte die Primfaktorzerlegungen von j, m und jm!), d.h. [j]_{p} = 0 oder [m]_{p} = 0. Dann sind die Elemente [1]_{p} · [m]_{p}, …, [p − 1]_{p} · [m]_{p} alle verschieden, denn aus [i]_{p}[m]_{p} = [j]_{p}[m]_{p} folgt [j − i]_{p}[m]_{p} = 0. Also existiert ein i ∈ {1, …, p − 1}, so daß [i]_{p}[m]_{p} = [1]_{p} gilt, d.h. [i]_{p} ist multiplikatives Inverses von a = [m]_{p}.

Speziell: (ℤ_{2}, +, ·) Körper mit 2 Elementen, ℤ_{2} = {0, 1}.

Bem.: Lineare Gleichungssysteme mit Koeffizienten a_{ij} in einem Körper K und “Unbekannten” x_{i} in K können mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren (1.13) gelöst werden.

3. Vektorräume

(3.1) Def.: Ein Vektorraum über einem Körper K ist eine abelsche Gruppe (V, +) zusammen mit einer Abbildung K × V → V, (α, v) ∈ K × V ↦ αv, so daß für alle α, β ∈ K und alle v, w ∈ V gilt:

(i) α(βv) = (αβ)v (=: αβv)

(ii) (α + β)v = (αv) + (βv) (=: αv + βv)

(iii) α(v + w) = (αv) + (αw) (=: αv + αw)

(iv) 1v = v (, wobei 1 das Einselement von K bezeichnet!)

Sprechweisen und Bezeichnungen: “Punkt vor Strich” αv + βw := (αv) + (βw), außerdem: v − w := v + (−w) Vektorraum über einem Körper K = K-Vektorraum

Das neutrale Element von (V, +) wird (zunächst) mit \underline{0} bezeichnet, zur Unterscheidung vom neutralen Element 0 von (K, +).

Elemente von V werden “Vektoren” (des Vektorraums V) genannt, Elemente des Körpers werden auch “Skalare” genannt.

Beispiele:

1) K := ℝ und V := ℝ^{n} mit den vor (1.15) eingeführten Operationen

(x_{1}, …, x_{n}) + (y_{1}, …, y_{n}) := (x_{1} + y_{1}, …, x_{n} + y_{n})
r(x_{1}, …, x_{n}) := (rx_{1}, …, rx_{n}).

In diesem Fall \underline{0} = (0, …, 0)

2) Allgemeiner: Sei K beliebiger Körper, n ∈ ℕ, n ≥ 1. Dann können wir genau wie in Beispiel 1) die Menge

K^{n} = {(x_{1}, …, x_{n}) | x_{1} ∈ K, …, x_{n} ∈ K}

zu einem Vektorraum über dem Körper K machen.

3) Sei I ein \underline{homogenes} lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten x_{1}, …, x_{n} und Koeffizienten a_{11}, …, a_{mn} in K. Dann bildet die Lösungsmenge

L_{I} = {x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n} | x löst I}

mit den wie in 1) definierten Operationen einen K-Vektorraum, vgl. (1.15).

4) Sei K := ℝ, M ≠ ∅ eine Menge und V = {f | f : M → ℝ}.

Für r ∈ ℝ, f, g ∈ V definieren wir f + g ∈ V und rf ∈ V durch

(a) ∀x ∈ M : (f + g)(x) := f(x) + g(x)

(b) ∀x ∈ M : (rf)(x) := rf(x)

Mit diesen Operationen ist V ein ℝ-Vektorraum (wobei \underline{0} ∈ V die Abbildung ist, die jedes x ∈ M auf 0 ∈ ℝ abbildet).

Wir beweisen exemplarisch, daß (3.1)(iii) gilt: Seien f, g ∈ V, r ∈ ℝ. Zu zeigen ist:

(∗) r(f + g) = rf + rg

Auf beiden Seiten von (∗) stehen Abbildungen von M nach ℝ. Wir haben also zu zeigen, daß für alle x ∈ M gilt:

(r(f + g))(x) = (rf + rg)(x)

Wendet man auf beide Seiten (a) und (b) an (auf der linken Seite zunächst (b) dann (a)), so erhält man für die linke Seite

(r(f + g)(x)) =^{(b)} r((f + g)(x)) =^{(a)} r(f(x) + g(x))

und für die rechte Seite

(rf + rg)(x) =^{(a)} (rf)(x) + (rg)(x) =^{(b)} rf(x) + rg(x)

Schließlich gilt r(f(x) + g(x)) = rf(x) + rg(x) aufgrund des Distributivgesetzes für die reellen Zahlen.

(3.2) Rechenregeln. Für alle α ∈ K, v ∈ V gilt

(i) 0v = \underline{0}, α\underline{0} = \underline{0}

(ii) αv = \underline{0} ⇒ α = 0 oder v = \underline{0}

(iii) (−α)v = α(−v) = −(αv) (=: −αv)

Bew.:

(i) 0v = 0v + (v − v) = (0v + 1v) − v = (0 + 1)v − v = 1 · v − v = v − v = \underline{0} α\underline{0} = α\underline{0} + (α\underline{0} − α\underline{0}) = α(\underline{0} + \underline{0}) − α\underline{0} = α\underline{0} − α\underline{0} = \underline{0}

(ii) Sei αv = \underline{0} und α ≠ 0 ⇒^{(i)} α^{−1}(αv) = \underline{0} ⇒ (α^{−1}α)v = \underline{0} ⇒ 1v = \underline{0} ⇒ v = \underline{0}

(iii) (−α)v + αv = ((−α) + α)v = 0v =^{(i)} \underline{0} ⇒ (−α)v = −(αv)

α(−v) + αv = α((−v) + v) = α\underline{0} =^{(i)} \underline{0} ⇒ α(−v) = −(αv)

(3.3) Def.: Sei V K-Vektorraum und U ⊆ V. U heißt Unter(vektor)raum von V, falls

(i) U ≠ ∅

(ii) v_{1}, v_{2} ∈ U ⇒ v_{1} + v_{2} ∈ U

(iii) α ∈ K, v ∈ U ⇒ αv ∈ U

(3.4) Folgerung: Sei V K-Vektorraum, U ⊆ V Unterraum. Dann ist U (mit den von V auf U eingeschränkten Strukturen) ein K-Vektorraum.

Bew.: Sei U Unterraum.

(i) ⇒ + ist innere Verknüpfung auf U(⇒ (G_{1})).

(ii) ⇒ die Multiplikation mit Skalaren ist eine Abbildung K × U → U.

Wir zeigen: (U, +) ist abelsche Gruppe: v ∈ U ⇒^{(ii)} (−1)v ∈ U ⇒^{(3.2)(iii)} −v ∈ U

U ≠ ∅ ⇒ ∃v ∈ U ⇒ v und −v ∈ U ⇒^{(ii)} v + (−v) = \underline{0} ∈ V

Daraus folgen (G_{2}), (G_{3}) für (U, +), (G_{1}) für (U, +) folgt aus (G_{1}) für (V, +). Die anderen Eigenschaften sind offensichtlich erfüllt.

Beispiele:

1) {0} und V sind Unterräume von V

2) Ist m < n, so ist K^{m} × \{ \underbrace{(0, …, 0}_{(n−m)−mal}\} = \{(x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n} | x_{m+1} = … = x_{n} = 0\}

Unterraum von K^{n}

3) Ist I homogenes lineares Gleichungssystem für n Unbekannte mit Koeffizienten a_{ij} in K, so ist L_{I} Unterraum von K^{n}, vgl. (1.15).

4) V = {f | f : M → ℝ}, vgl. Bsp. 4) nach (3.1). Zu festem a ∈ M sei U = {f ∈ V | f(a) = 0}. Dann ist U Unterraum von V.

(3.5) Fakt. Ist V ein K-Vektorraum und U eine Menge von Unterräumen von K, so ist W := ⋂_{U∈U} U Unterraum von V .

Bew.: ∀U ∈ U : \underline{0} ∈ U ⇒ \underline{0} ∈ W

v_{1}, v_{2} ∈ W ⇔ ∀U ∈ U : v_{1}, v_{2} ∈ U ⇒^{(3.3)(ii)} ∀U ∈ U : v_{1} + v_{2} ∈ U ⇔ v_{1} + v_{2} ∈ W

Ebenso: α ∈ K, v ∈ W ⇒ αv ∈ W.

(3.6) Def.: Sei V K-Vektorraum, M ⊆ V. U_{M} := {U | U Unterraum von V mit M ⊆ U}

Dann heißt span(M) := ⋂_{U∈U_{M}} U der von M aufgespannte (oder erzeugte) Unterraum. M

heißt Erzeugendensystem von V, falls span(M) = V gilt. V heißt endlich erzeugt, falls es eine endliche Menge M ⊆ V gibt mit span(M) = V.

Bem.: (3.5) ⇒ span(M) ist Unterraum von V, der (bzgl. der Inklusion) kleinste, M enthaltende Unterraum.

Bsp.:

1) M = ∅ oder M = \{\underline{0}\} ⇒ span(M) = \{\underline{0}\}

2) Ist M Unterraum von V, so span(M) = M

(3.7) Satz. Sei V K-Vektorraum, ∅ ≠ M ⊆ V. Dann gilt:

span(M) = {v ∈ V | ∃k ∈ ℕ, α_{1}, …, α_{k} ∈ K, v_{1}, …, v_{k} ∈ M : v = α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k}} Bez.: α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k} heißt eine Linearkombination der Vektoren v_{1}, …, v_{k}.

abgekürzt: α_{1}v_{1} + α_{s} v_{2} + … + α_{k}v_{k} = ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i}

Bew.: Wir bezeichnen die Menge auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens in (3.7) durch U_{0}.

1) Zeige U_{0} ist Unterraum von V. Wegen M ≠ ∅ gilt U_{0} ≠ ∅. Seien v, w ∈ U_{0}, v = α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k}, w = β_{1}w_{1} + … + β_{j}w_{j} mit α_{1}, …, β_{j} ∈ K, v_{1}, …, w_{j} ∈ M. Dann gilt v + w = α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k} + β_{1}w_{1} + … + β_{j}w_{j} ∈ U_{0}.

Sei α ∈ K, v = ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} ∈ U_{0} mit v_{i} ∈ M. Dann gilt

αv = α(α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k}) = α(α_{1}v_{1}) + … + α(α_{k}v_{k}) = (αα_{1})v_{1} + … + (αα_{k})v_{k} ∈ U_{0}.

(Kürzer: α ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} = ∑_{i=1}^{k} αα_{i}v_{i}).

Also ist U_{0} ein M enthaltender Unterraum. Nach Definition (3.6) folgt span(M) ⊆ U_{0}.

2) Zeige U_{0} ⊆ span(M). Seien v_{1}, …, v_{k} ∈ M, α_{1}, …, α_{k} ∈ K. Da span(M) Unterraum ist, folgt nach (3.3)(iii): α_{1}v_{1} ∈ span(M), …, α_{k}v_{k} ∈ span(M), und nach (3.3)(ii) α_{1}v_{1}+α_{2}v_{2} ∈ span(M), (α_{1}v_{1} + α_{2}v_{2}) + α_{3}v_{3} ∈ span(M), u.s.w. bis

α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k} ∈ span(M).

Also U_{0} ⊆ span(M).

Bsp.: Betrachte K^{n} und e_{1} := (1, 0, …, 0) ∈ K^{n}, e_{2} := (0, 1, 0, …, 0) ∈ K^{n}, …, e_{n} = (0, …, 0, 1) ∈ K^{n}. Dann ist M = {e_{1}, …, e_{n}} Erzeugendensystem für K^{n}. Es genügt, K^{n} ⊆ span(M) zu zeigen. Ist x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n}, so gilt x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + … + x_{n}e_{n} ∈ span(M).

(3.8) Def.: Die Vektoren v_{1}, …, v_{k} heißen \underline{linear unabhängig}, falls gilt: Ist α_{1} ∈ K, …, α_{k} ∈ K und α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k} = \underline{0}, so folgt α_{1} = α_{2} = … = α_{k} = 0. Sonst heißen die Vektoren v_{1}, …, v_{k} linear abhängig. Eine Teilmenge M von V heißt linear unabhängig, falls gilt: Ist k ∈ ℕ und sind v_{1}, …, v_{k} verschiedene Vektoren in M, so sind die v_{1}, …, v_{k} linear unabhängig. Sonst heißt M linear abhängig.

Bem.: v_{1}, …, v_{k} linear abhängig ⇔ ∃α_{1}, …, α_{k} ∈ K \underline{nicht} \underline{alle} = 0:

α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k} = \underline{0}

Bsp.:

1) \underline{0} ∈ M ⇒ M linear abhängig. Denn: 1 · \underline{0} = \underline{0}.

2) M = \{v\} linear unabhängig ⇔ v ≠ 0. Denn: αv = \underline{0}, v ≠ \underline{0} ⇒^{(3.2)(ii)} α = 0.

3) Sei M ⊆ M′ ⊆ V. Dann: M linear abhängig ⇒ M′ linear abhängig M′ linear unabhängig ⇒ M linear unabhängig 4) e_{1}, …, e_{n} sind linear unabhängig in K^{n}. Denn:

x_{1}e_{1} + … + x_{n}e_{n} = (x_{1}, …, x_{n}) = \underline{0} ⇔ x_{1} = … = x_{n} = 0.

5) V = {f | f : ℝ → ℝ}. Die Funktion x → sin x und x → cos x sind linear unabhängig. Seien r, s ∈ ℝ und r sin x + s cos x = 0 \underline{für alle} x ∈ ℝ. Dann gilt das speziell für x = 0 und x = \frac{π}{2}, d.h.

r \underbrace{sin 0}_{=0} +s \underbrace{cos 0}_{=1} = 0  ⇒ s = 0
r \underbrace{sin (\frac{π}{2} )}_{=1} +s \underbrace{cos (\frac{π}{2} )}_{=0} = 0 ⇒ r = 0.

(3.9) Fakt. Die Vektoren v_{1}, …, v_{k} seien linear unabhängig. Dann gilt:

α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k} = β_{1}v_{1} + … + β_{k}v_{k} ⇒ α_{1} = β_{1}, …, α_{k} = β_{k}

Bew.: Voraussetzung ⇒ (α_{1} − β_{1})v_{1} + (α_{2} − β_{2})v_{2} + … + (α_{k} − β_{k})v_{k} = \underline{0} ⇒^{l. unabh.} α_{1} − β_{1} = 0, …, α_{k} − β_{k} = 0 ⇒ α_{1} = β_{1}, …, α_{k} = β_{k}.

(3.10) Def.: Eine Teilmenge M von V heißt \underline{Basis von} V, falls M linear unabhängig und ein Erzeugendensystem von V (⇔ span(M) = V) ist.

Bsp.: {e_{1}, …, e_{n}} ⊆ K^{n} ist Basis von K^{n}, die “Standardbasis von K^{n}”.

Eine Beispielrechnung zur linearen Unabhängigkeit von Vektoren:

Wir fragen, ob die Vektoren (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, −1) im ℝ-Vektorraum ℝ^{3} linear unabhängig sind. Dazu nehmen wir an, daß für die reellen Zahlen r, s und t gilt:

r(1, 0, 1) + s(0, 1, 1) + t(1, 1, −1) = (0, 0, 0)

Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn wir aus dieser Gleichung folgern können, daß r = s = t = 0 gilt, vgl. Def. (3.8). Die Gleichung ist äquivalent zum homogenen linearen Gleichungssystem

r + t = 0 | −
s + t  = 0 |
r + s − t  = 0 _{←}|

Wir lösen es nach dem Gaußschen Eliminationsverfahren:

r  + t = 0
s + t = 0 | −
s − 2t = 0 _{←}|
r  + t = 0
s + t = 0
− 3t = 0

Aus der letzten Gleichung folgt t = 0, damit aus der vorletzten s = 0 und aus der ersten r = 0.

Vorsicht: Bezeichnet man im Körper (ℤ_{3}, +, ·) wie in Körpern üblich das 0-Element mit 0, das 1-Element mit 1 und das additive Inverse von 1 mit −1, so kann man die Vektoren (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, −1) auch als Element des ℤ_{3}-Vektorraums (ℤ_{3})^{3} auffassen. In diesem sind sie linear abhängig, denn

(1, 0, 1) + (0, 1, 1) − (1, 1, −1) = (0, 0, 0) in (ℤ_{3})^{3}!

(3.11) Lemma. (i) v ∈ span(M) ⇒ span(M ∪ {v}) = span(M) (ii) v ∈ span(M) \ M ⇒ M ∪ {v} linear abhängig

Beweis von (i): span(M) ⊆ span(M ∪ {v}) ist klar.

Sei w ∈ span(M ∪ {v}), w = αv + ∑_{j=1}^{l} β_{j}w_{j} mit w_{j} ∈ M.

v ∈ span(M) ⇒ v = ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} ⇒ w = ∑_{i=1}^{k}(αα_{i})v_{i} + ∑_{j=1}^{l} β_{j}w_{j} ∈ span(M).

Beweis von (ii): (3.7) ⇒ Es existiert k ∈ ℕ, α_{1}, …, α_{k} ∈ K, v_{1}, …, v_{k} ∈ M: v =^{(∗)} ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i}.

Wir können (mittels der Vektorraumaxiome) etwaige Summanden α_{i}v_{i} und α_{j}v_{j} mit v_{i} = v_{j} zu (α_{i} + α_{j})v_{i} zusammenfassen und dann annehmen, daß alle v_{1}, …, v_{k} verschieden sind. v ∉ M ⇒ v, v_{1}, …, v_{k} sind alle verschieden.

(∗) ⇒ 1 · v − ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} = 0 ⇒ M ∪ {v} linear abhängig.

(3.12) Satz. Folgende Aussage über eine Teilmenge M von V sind äquivalent:

(i) M ist Basis (ii) M ist linear unabhängig und jede echte Obermenge M′ ⊆ V von M ist linear

abhängig. (“M ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V.”) (iii) Es gilt span(M) = V und für jede echte Teilmenge M′′ von M gilt: span(M′′) ≠ V.

(“M ist ein minimales Erzeugendensystem von V.”)

Bew.: V = {0} ⇔ M = ∅ ist Basis von V. Dann ist (3.12) klar. Es genügt also, den Fall M ≠ ∅ zu betrachten.

1) (i) ⇒ (ii): Es ist zu zeigen, daß jede echte Obermenge M′ ⊆ V von M linear abhängig ist. Sei v ∈ M′\M. Wegen span(M) = V (M Basis!) gilt v ∈ span(M)\M. Nach (3.11)(ii) ist M ∪ {v} und damit auch M′ ⊇ M ∪ {v} linear abhängig.

2) (ii) ⇒ (iii). Wir zeigen zunächst, daß span(M) = V gilt. Sei v ∈ V \ M. Wegen (ii) ist M ∪ {v} linear abhängig. Es existieren also verschiedene v_{1}, …, v_{k} ∈ M und

α, α_{1}, …, α_{k} ∈ K, nicht alle = 0, mit

αv + ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} = \underline{0}

Da M linear unabhängig ist ((ii)!), gilt α ≠ 0. Also

v = ∑_{i=1}^{k} (\frac{−α_{i}}{α} ) v_{i} ∈ span(M)

Also V \ M ⊆ span(M), und damit: V = span(M).

Sei schließlich M′′ eine echte Teilmenge von M, v ∈ M \M′′. Wäre v ∈ span(M′′), so würde aus (3.11)(ii) folgen, daß M′′ ∪{v} ⊆ M linear abhängig ist, im Widerspruch dazu, daß M nach Voraussetzung ((ii)!) linear unabhängig ist. Also v ∉ span(M′′) und deshalb span(M′′) ≠ V.

3) (iii) ⇒ (i). Zu zeigen ist, daß M linear unabhängig ist. Seien v_{1}, …, v_{k} verschiedene Elemente in M, α_{1}, …, α_{k} ∈ K und

∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} = \underline{0}

wäre eines der α_{i} ungleich 0, z.B. α_{1} ≠ 0, so folgt:

v_{1} = ∑_{i=1}^{k} (\frac{−α_{i}}{α_{1}} ) v_{i} ∈ span\{v_{2}, …, v_{k}\} ⊆ span(M \ \{v_{1}\})

Wegen (3.11)(i) folgt span(M) = span(M \{v_{1}}), also span(M \{v_{1}}) = V, im Widerspruch zu (iii).

(3.13) Satz. Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.

Bem.: Wir zeigen sogar: Ist M_{0} ⊆ V linear unabhängig, so existiert eine M_{0} enthaltende Basis von V.

Bew.: 1) Wir betrachten zunächst den Spezialfall, daß es ein endliches Erzeugendensystem, genannt M_{1}, von V gibt. Dann existiert das kleinste n ∈ ℕ, so daß es eine n-elementige Teilmenge von M_{1} gibt, die V erzeugt. Sei M ein solches Erzeugendensystem. Dann folgt aus (3.12), daß M eine Basis von V ist. Zusätzlich gilt M ⊆ M_{1}.

2) Für den allgemeinen Fall benötigen wir folgendes

(3.14) Lemma von Zorn. Sei M ≠ ∅ eine Menge, deren Elemente Mengen sind. Gilt für jede Kette K ⊆ M, daß ⋃_{M∈K} M ∈ M gilt, so existiert ein maximales Element in M, d.h. ein

M ∈ M, so daß aus M ⊆ M′ ∈ M folgt M = M′.

Dabei heißt eine Teilmenge K von M \underline{Kette}, falls K ≠ ∅ und falls für je zwei Elemente M_{1}, M_{2} ∈ K gilt:

(∗) M_{1} ⊆ M_{2} oder M_{2} ⊆ M_{1}

Wir nehmen das Lemma von Zorn als Axiom der Mengenlehre hin und definieren in Abhängigkeit von einer gegebenen, linear unabhängigen Menge M_{0} ⊆ V:

M := {M | M_{0} ⊆ M ⊆ V, M linear unabhängig}

Wegen M_{0} ∈ M gilt M ≠ ∅. Wir wollen die Voraussetzung von (3.14) nachweisen. Sei also K eine Kette in M. Dann gilt M_{0} ⊆ ⋃_{M∈K} M und es bleibt zu zeigen, daß ⋃_{M∈K} M linear

unabhängig ist.

Seien v_{1}, …, v_{k} verschiedene Vektoren in ⋃_{M∈K} M. Dann existieren M_{1}, …, M_{k} ∈ K mit

v_{1} ∈ M_{1}, …, v_{k} ∈ M_{k}. Wegen (∗) existiert eine der Mengen M_{1}, …, M_{k}, sagen wir M_{j}, die die anderen enthält. Dann sind v_{1}, …, v_{k} verschiedene Elemente in M_{j} und damit linear unabhängig (, da M_{j} ∈ M linear unabhängig ist). Also ⋃_{M∈K} M ∈ M. Nach (3.2) ist ein

maximales Element von M, das nach (3.14) existiert, eine M_{0} enthaltende Basis von V.

\underline{Wichtig}: Es gibt im allgemeinen sehr viele Basen eines Vektorraumes. Sie haben aber alle “gleich viele” Elemente, siehe (3.16). Zum Beispiel bilden zwei Vektoren v = (a, b), w = (c, d) des ℝ^{2} genau dann eine Basis des ℝ^{2}, wenn ad − bc ≠ 0 (, was “meistens” der Fall ist!).

Bemerkung: Die “Lösung eines homogenen linearen Gleichungssystems”, d.h. das Auffinden einer Parameterdarstellung des Lösungsraums, besteht gerade darin, eine Basis dieses Lösungsraums zu finden.

(3.15) Austauschlemma. Sei B = {v_{1} …, v_{n}} eine Basis von V mit n Elementen und w ∈ V \ {0}. Dann existiert j ∈ {1, …, n}, so daß B′ = (B \ {v_{j}}) ∪ {w} Basis von V ist.

Bew.: Wegen span(B) = V existieren α_{1}, …, α_{n} ∈ K, so daß

(∗) w = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i}

gilt. Da w ≠ 0 ist, existiert ein j, 1 ≤ j ≤ n mit α_{j} ≠ 0. Wir zeigen, daß \underline{für jedes solche} j gilt: B′ = (B \ {v_{j}}) ∪ {w} = {v_{1}, …, v_{j−1}, v_{j−1}, …, v_{n}, w} ist Basis.

Zunächst gilt v_{j} ∈ span(B′), da aus (∗) folgt

v_{j} = \frac{1}{α_{j}} (w − ∑_{i≠j^{i=1}}^{n} α_{i}v_{i}) = \frac{1}{α_{j}} w + ∑_{i≠j^{i=1}}^{n} (\frac{−α_{i}}{α_{j}} ) v_{i}

und die rechte Seite ist eine Linearkombination von Elementen von B′.

Nach (3.11)(i) folgt

span(B′) =^{(3.11)(i)} span(B′ ∪ {v_{j}}) = span(B ∪ {w}) =^{(3.11)(i)} span(B) = V,

d.h. B′ ist Erzeugendensystem von V. Um die lineare Unabhängigkeit von B′ zu zeigen, nehmen wir an, daß für β ∈ K, β_{1}, …, β_{j−1}, β_{j+1}, …, β_{n} ∈ K gilt:

(∗∗) βw + ∑_{i≠j^{i=1}}^{n} β_{i}v_{i} = \underline{0}

Mit (∗) folgt

β ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i} + ∑_{i≠j^{i=1}}^{n} β_{i}v_{i} = \underline{0},

also

βα_{j}v_{j} + ∑_{i≠j^{i=1}}^{n}(βα_{i} + β_{i})v_{i} = \underline{0}.

Da B = {v_{1}, …, v_{n}} linear unabhängig ist, folgt aus der vorangehenden Gleichung βα_{j} = 0 und βα_{i} + β_{i} = 0 für alle i ≠ j. Da wir j so gewählt hatten, daß α_{j} ≠ 0 ist, folgt β = 0 und daraus β_{i} = 0 für alle i ≠ j. Damit haben wir gezeigt, daß in (∗∗) alle Koeffizienten β und β_{i} für i ≠ j gleich 0 sind, d.h. B′ ist linear unabhängig.

(3.16) Austauschsatz von Steinitz. Sei B = {v_{1}, …, v_{n}} eine Basis von V mit n Elementen und seien w_{1}, …, w_{m} m linear unabhängige Vektoren in V. Dann gilt

(i) m ≤ n (ii) Es gibt (n − m) Vektoren in B, bei geeigneter Numerierung v_{m+1}, …, v_{n}, so daß

{w_{1}, …, w_{m}, v_{m+1}, …, v_{n}} eine Basis von V ist.

Speziell gilt: Jede Basis von V hat n Elemente.

Bew.: Induktion nach m.

1) m = 1. \underline{0} ≠ w_{1} ∈ V ⇒ V ≠ \{0\} ⇒ n ≥ 1 = m ⇒ (i). (ii) folgt aus (3.15).

2) m > 1. Induktionsvoraussetzung: (i) und (ii) gelten für m − 1. Seien w_{1}, …, w_{m} linear unabhängig gegeben. Die Induktionsvoraussetzung impliziert: (m−1) ≤ n und es existieren n − m + 1 Vektoren in B, o.E. v_{m} …, v_{n}, so daß {w_{1}, …, w_{m−1}, v_{m} …, v_{n}} eine Basis von V ist.

Zeige (i): m ≤ n. Sonst gilt nach der vorangehenden Überlegung m − 1 = n und die Menge {w_{1}, …, w_{m−1}} ist Basis von V (n − m + 1 = 0!), im Widerspruch zur Voraussetzung, daß {w_{1}, …, w_{m}} linear unabhängig ist. Das beweist m ≤ n.

Zeige (ii): Wir wollen in der Basis {w_{1}, …, w_{m−1}, v_{m}, …, v_{n}} eines der v_{i}, m ≤ i ≤ n, gegen w_{m} “austauschen” und zwar so, daß wieder eine Basis entsteht.

Da span{w_{1}, …, w_{m−1}, v_{m}, …, v_{n}} = V gilt, existieren α_{1}, …, α_{n} ∈ K, so daß

w_{m} = α_{1}w_{1} + … + α_{m−1}w_{m−1} + α_{m}v_{m} + … + α_{n}v_{n}

gilt. Da {w_{1}, …, w_{m}} linear unabhängig ist, existiert ein j ∈ {m, …, n} mit α_{j} ≠ 0. Wir können annehmen, daß j = m ist. Wendet man das Austauschlemma (3.15) (vgl. auch den Anfang des Beweises von (3.15)!) auf w := w_{m} und die Basis {w_{1}, …, w_{m−1}, v_{m}, …, v_{n}} an, so folgt, daß {w_{1}, …, w_{m}, v_{m+1}, …, v_{n}} eine Basis von V ist. Das beweist (ii).

(3.17) Def.: Ist V endlich erzeugter Vektorraum, so heißt die Anzahl der Elemente einer (⇒ jeder) Basis von V die \underline{Dimension} \underline{von} V (abgekürzt: dim V).

Ist V nicht endlich erzeugt, so setzen wir dim V := ∞.

Beispiele:

1) V = \{\underline{0}\} ⇔ dim V = 0 (mit Basis M = ∅)

2) Für den K-Vektorraum K^{n} gilt: dim(K^{n}) = n Begründung: Die Standardbasis {e_{1}, …, e_{n}} von K^{n} hat n Elemente.

3) V = {f | f : ℝ → ℝ}, vgl. Bsp. 4) nach (3.1). Für diesen ℝ-Vektorraum gilt dim V = ∞, vgl. Blatt 6, Aufgabe 4(b).

Bem.: V endlich erzeugt ⇔ V endlich-dimensional.

(3.18) Folgerungen. Sei V Vektorraum, dim V = n < ∞. Dann gilt:

(i) Ist M ⊆ V linear unabhängig, so gilt #M ≤ n, und es gilt #M = n genau dann, wenn M Basis von V ist.

(ii) Ist M ⊆ V Erzeugendensystem von V, so gilt #M ≥ n, und es gilt #M = n genau

dann, wenn M Basis von V ist. (iii) Ist U ⊆ V Unterraum, so gilt dim U ≤ dim V. Jede Basis von U ist in einer Basis

von V enthalten. Es gilt genau dann dim U = dim V, wenn U = V gilt.

Lösung von Blatt 5, Aufgabe 3: Sei U Unterraum des ℝ^{2} mit {(0, 0)} ≠ U ≠ ℝ^{2}. Dann existiert v ∈ ℝ^{2} \ {(0, 0)}, so daß U = {rv | r ∈ ℝ}.

Bew.: Es gilt 0 < dim U < 2 = dim(ℝ^{2}), also dim U = 1. Sei {v} Basis von U ⇒ Beh.

Beweis von (3.18):

(i) (3.16)(i) ⇒ #M ≤ n. Speziell: Ist #M = n, so ist M (im Sinne von (3.12)!) eine maximale linear unabhängige Teilmenge, also nach (3.12) eine Basis.

(ii) Analog zu (i).

(iii) Ist B′ Basis von U, so ist B′ als Teilmenge von V linear unabhängig, also dim U = #B′ ≤ n = dim V nach (i). Aus (3.16)(ii) folgt, daß B′ in einer Basis von V enthalten ist. Gilt dim U = dim V, so ist nach (i) jede Basis B′ von U auch Basis von V, d.h. U = span(B′) = V.

(3.19) Def.: Seien U_{1}, U_{2} Unterräume eines Vektorraums V. Dann heißt der Unterraum

U_{1} + U_{2} := span(U_{1} ∪ U_{2})

die \underline{Summe von} U_{1} \underline{und} U_{2}. Gilt U_{1} ∩ U_{2} = \{\underline{0}\}, so nennt man span(U_{1} ∪ U_{2}) die \underline{direkte} \underline{Summe von} U_{1} \underline{und} U_{2} und schreibt

span(U_{1} ∪ U_{2}) =: U_{1} ⊕ U_{2}

Bsp.: Für 0 < m < n gilt: K^{n} = (K^{m} × \{\underline{0}\}) ⊕ (\{\underline{0}\} × K^{n−m})

(3.20) Fakt. (i) U_{1} + U_{2} = {u_{1} + u_{2} | u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}} (ii) Gilt U_{1} ∩ U_{2} = {0}, so existieren für jedes v ∈ U_{1} ⊕ U_{2} genau zwei Vektoren u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}, so daß v = u_{1} + u_{2} gilt.

Bsp.: 1) V = ℝ^{2}, U_{1}, U_{2} Unterräume der Dimension 1, U_{1} ≠ U_{2}. Dann: U_{1} ∩ U_{2} = {(0, 0)}, U_{1} ⊕ U_{2} = ℝ^{2}.

2) V = ℝ^{3}, U_{1} ≠ U_{2} Unterräume der Dimension 2. Dann: dim(U_{1} ∩ U_{2}) = 1, U_{1} + U_{2} = ℝ^{3}.

Beweis: Die Menge {u_{1} + u_{2} | u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}} ist Unterraum (!), der U_{1} und U_{2} enthält, also span(U_{1} ∪ U_{2}) ⊆ {u_{1} + u_{2} | u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}}, vgl. Def. (3.6). Die Inklusion {u_{1} + u_{2} | u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}} ⊆ span(U_{1} ∪ U_{2}) ist klar!

Gilt v = u_{1} + u_{2} = u′_{1} + u′_{2} mit {u_{1}, u′_{1}} ⊆ U_{1}, {u_{2}, u′_{2}} ⊆ U_{2}, so folgt

u_{1} − u′_{1} = u′_{2} − u_{2} ∈ U_{1} ∩ U_{2} = \{\underline{0}\}, also u_{1} = u′_{1}, u_{2} = u′_{2}.

(3.21) Lemma.

(i) Ist U Unterraum von V, so existiert ein Unterraum W von V, so daß U ∩ W = \{\underline{0}\} und U ⊕ W = V gilt. (W heißt ein zu U \underline{komplementärer Unterraum})

(ii) Sind U_{1}, U_{2} Unterräume von V mit U_{1} ∩ U_{2} = {0}, so gilt

dim(U_{1} ⊕ U_{2}) = dim U_{1} + dim U_{2}.

Bem.: Im allgemeinen gibt es sehr viele zu U komplementäre Unterräume. Beispiel: Es sei U = ℝ × {0} ⊆ ℝ^{2} und es sei v = (v_{1}, v_{2}) ∈ ℝ^{2} und v_{2} ≠ 0. Dann ist W = span{v} zu U komplementär.

Bew.: (i) Ergänze eine Basis B′ von U nach (3.18)(iii) zu einer Basis B von V und setze W := span(B \ B′). (ii) Für i = 1, 2 seien B_{1}, B_{2} Basen von U_{1}, U_{2}. Aus U_{1} ∩ U_{2} = {0} folgt B_{1} ∩ B_{2} = ∅. Wir zeigen, daß B_{1} ∪ B_{2} Basis von U_{1} ⊕ U_{2} ist (⇒ dim(U_{1} ⊕ U_{2}) = #(B_{1} ∪ B_{2}) = #B_{1} + #B_{2} = dim U_{1} + dim U_{2}). Wegen (3.20)(i) ist B_{1} ∪ B_{2} Erzeugendensystem von U_{1} ⊕ U_{2}. Um zu zeigen, daß B_{1} ∪ B_{2} linear unabhängig ist, sei

∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} + ∑_{j=1}^{l} β_{j}w_{j} = \underline{0},

wobei α_{1}, …, β_{l} ∈ K, v_{1}, …, v_{k} verschiedene Elemente von B_{1}, w_{1}, …, w_{l} verschiedene Elemente von B_{2} sind. Dann folgt

∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} = ∑_{j=1}^{l}(−β_{j})w_{j} ∈ U_{1} ∩ U_{2}.

Wegen U_{1} ∩ U_{2} = {0} folgt

∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} = \underline{0} = ∑_{j=1}^{l}(−β_{j})w_{j}.

Da B_{1} und B_{2} beide linear unabhängig sind, folgt aus den vorangehenden Gleichungen α_{1} = … = α_{k} = 0 und β_{1} = … = β_{l} = 0. Das beweist die lineare Unabhängigkeit von B_{1} ∪ B_{2}.

Bem.: (3.21)(ii) gilt – richtig interpretiert – auch für den Fall, daß U_{1} oder U_{2} unendlichdimensional sind. Für den Rest des Kapitels werden wir aber \underline{dim V < ∞} voraussetzen.

(3.22) Dimensionssatz. Seien U_{1}, U_{2} Unterräume eines Vektorraums V. Dann gilt

dim(U_{1} + U_{2}) = dim U_{1} + dim U_{2} − dim(U_{1} ∩ U_{2})

Bew.: U_{1} ∩ U_{2} =: U_{12}. Nach (3.21)(i) existieren Unterräume W_{1}(von U_{1} ⇒ von V) und W_{2}, so daß U_{1} = U_{12} ⊕ W_{1} und U_{2} = U_{12} ⊕ W_{2} gilt. Dann folgt

(∗) U_{1} + U_{2} = (U_{12} ⊕ W_{1}) ⊕ W_{2}

Denn einerseits läßt sich jedes Element v ∈ U_{1} + U_{2} als

v = u_{1} + u_{2} = u_{12} + w_{1} + u′_{12} + w_{2} = (u_{12} + u′_{12}) + w_{1} + w_{2}

mit u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}, u_{12}, u′_{12} ∈ U_{12}, w_{1} ∈ W_{1} und w_{2} ∈ W_{2} schreiben und andererseits gilt (U_{12} ⊕ W_{1}) ∩ W_{2} = U_{1} ∩ (U_{2} ∩ W_{2}) = U_{12} ∩ W_{2} = \{\underline{0}\}.

Nach (3.21)(ii) folgt aus (∗): dim(U_{1} + U_{2}) = dim U_{12} + dim W_{1} + dim W_{2}, und aus U_{1} = U_{12} ⊕ W_{1}, U_{2} = U_{12} ⊕ W_{2}:

dim U_{1} = dim U_{12} + dim W_{1}
dim U_{2} = dim U_{12} + dim W_{2}

Subtrahiert man diese beiden Gleichungen von der vorangehenden, so folgt

dim(U_{1} + U_{2}) − dim U_{1} − dim U_{2} = − dim U_{12}

oder

dim(U_{1} + U_{2}) = dim U_{1} + dim U_{2} − dim U_{12},

wie behauptet.

Bez.: Ein Unterraum H ⊆ V heißt \underline{Hyperebene}, falls dim H = dim V − 1 gilt.

(3.23) Folgerung. Ist U ⊆ V Unterraum, H ⊆ V Hyperebene, so gilt entweder

dim(U ∩ H) = dim U − 1

oder U ⊆ H(⇔ U = U ∩ H ⇔ dim(U ∩ H) = dim U).

Bew.: Aus (3.22) folgt

(∗) dim(U ∩ H) = dim U + (dim V − 1) − dim(U + H).

Gilt dim(U + H) < dim V, so folgt aus (3.18)(iii) angewendet auf H ⊆ U + H, daß H = U +H, d.h. U ⊆ H gilt. Gilt dim(U +H) = dim V, so folgt aus (∗): dim(U ∩H) = dim U −1.

(3.24) Lemma. Ist K ein Körper und sind a_{1}, …, a_{n} ∈ K nicht alle = 0, so ist der Lösungsraum L_{I} ⊆ K^{n} der Gleichung

I a_{1}x_{1} + … + a_{n}x_{n} = 0

eine Hyperebene in K^{n}.

Bew.: Sei etwa a_{j} ≠ 0. Dann folgt durch Auflösen von I nach x_{j}:

L_{I} = \{x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} | x_{j} = ∑_{i≠j^{i=1}}^{n} (−\frac{a_{i}}{a_{j}} ) x_{i}\}.

Wir definieren für i ≠ j die Vektoren v_{i} = e_{i} − \frac{a_{i}}{a_{j}} e_{j} ∈ K^{n}. Dann gilt

L_{I} = span{v_{i} | i ∈ {1, …, n} \ {j}}.

Da die Vektoren v_{i}, i ≠ j, linear unabhängig sind (!), folgt dim L_{I} = n − 1.

(3.25) Satz. Sei K ein Körper und

a_{11} x_{1} + … + a_{1n} x_{n} = 0
I  ⋮  ⋮  ⋮
a_{k1} x_{1} + … + a_{kn} x_{n} = 0

ein homogenes lineares Gleichungssystem mit a_{ij} ∈ K für 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n. Dann gilt dim L_{I} ≥ n − k.

Beweis: Induktion nach k. k = 1: Nach (3.24) ist der Lösungsraum L_{I} ⊆ K^{n} einer einzigen linearen Gleichung (n−1)- dimensional, es sei denn, alle Koeffizienten der Gleichung sind 0 (und in diesem Fall gilt L_{I} = K^{n}). In jedem Fall gilt dim L_{I} ≥ n − 1.

k > 1: Es sei I′ das Gleichungssystem, das aus den ersten (k − 1) Gleichungen von I besteht, und I_{k} sei die k’te (=letzte) Gleichung von I. Dann gilt

L_{I} = L_{I′} ∩ L_{I_{k}}

Die Induktionsvoraussetzung besagt: dim L_{I′} ≥ n − k + 1. Sind alle Koeffizienten von I_{k} gleich 0, so gilt L_{I_{k}} = K^{n}, also L_{I} = L_{I′} und damit dim L_{I} = dim L_{I′} ≥ n − k + 1 > n − k. Sind nicht alle Koeffizienten von I_{k} gleich 0, so ist L_{I_{k}} nach (3.24) eine Hyperebene. Dann folgt aus (3.23), angewendet auf U = L_{I′}, H = L_{I_{k}}: dim L_{I} = dim(L_{I′} ∩ L_{I_{k}}) ≥ dim(L_{I′}) − 1 ≥ n − k.

Bez.: Eine Teilmenge A von V heißt \underline{k-dimensionaler} \underline{affiner} \underline{Unterraum}, falls es ein v ∈ V und einen k-dimensionalen Unterraum U ⊆ V gibt, so daß A = {v + u | u ∈ U} =: v + U gilt. Ist k = 1, so nennt man A eine affine Gerade, ist k = 2, eine affine Ebene und ist k = dim V − 1, eine affine Hyperebene.

Bem.: Ein affiner Unterraum A von V ist genau dann ein Unter(vektor)raum von V, wenn \underline{0} ∈ A gilt. Sind v_{0}, v_{1} ∈ V und sind U_{0}, U_{1} Unterräume von V, so gilt v_{0} + U_{0} = v_{1} + U_{1} genau dann, wenn U_{0} = U_{1} und v_{1} − v_{0} ∈ U_{0} gilt.

(3.26) Folgerung. Sei K ein Körper und I ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit k Gleichungen für n Unbekannte. Dann gilt entweder L_{I} = ∅ oder L_{I} ist ein affiner Unterraum von K^{n} der Dimension ≥ n − k. Insbesondere besitzt I höchstens dann genau eine Lösung (d.h. #L_{I} = 1), wenn k ≥ n gilt.

Bew.: Die Behauptung folgt durch Kombination von (1.6) mit (3.25).

Bem.: Die Aussagen von (3.25) und (3.26) kann man auch direkt mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren einsehen.

Exkurs: Fehlerkorrigierende Codes

Lit.: MacWilliams, F.J., Sloane, N.J.A.: The Theory of Error-Correcting Codes, North-Holland, Amsterdam 1978. van Lint, J.H.: Introduction to Coding Theory (3. Aufl.), Springer 1999.

Problem: bei der Übermittlung von Daten entstehen Fehler. Gesucht ist eine Methode, die die (meisten) Fehler automatisch korrigiert.

Daten ⟶^{Kodierung} endl. Folge der Länge n von 0, 1 ⟶^{Übermittlung} fehlerhafter Folge von 0, 1 ⟶^{automat. Fehlerkorrektur} ursprüngl. Folge von 0, 1 ⟶^{Dekodierung} ursprüngl. Daten.

Das kann nur funktionieren, wenn bei der Kodierung nur spezielle Folgen von 0, 1 (“die Wörter des Codes”) verwendet werden.

Mathematische Formulierung:

{0, 1}^{n} = {(x_{1}, …, x_{n}) | x_{1} ∈ {0, 1}, …, x_{n} ∈ {0, 1}}

Folgen von 0, 1 der Länge n, z.B. (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0) ∈ {0, 1}^{7}

Hamming-Abstand d von Elementen x, y ∈ {0, 1}^{n}

d(x, y) = #{i | 1 ≤ i ≤ n und x_{i} ≠ y_{i}} (⇒ d(x, y) ∈ {0, …, n})

Dabei wird mit #M die Anzahl der Elemente einer Menge M bezeichnet.

Bsp.: (n = 4) x = (0, 0, 1, 1), y = (0, 1, 1, 0) ⇒ d(x, y) = 2.

Eigenschaften von d: ∀x, y, z ∈ {0, 1}^{n} gilt:

(i) d(x, y) ≥ 0 und d(x, y) = 0 ⇔ x = y

(ii) d(x, y) = d(y, x) (“Symmetrie”)

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (“Dreiecksungleichung”) (i)-(iii) ⇔ “d ist Abstandsfunktion” Zu x ∈ {0, 1}^{n}, t ∈ ℕ sei

B(x, t) = {y ∈ {0, 1}^{n} | d(x, y) ≤ t}

der (d-)Ball um x vom Radius t. Bem.: B(x, 1) enthält genau (n + 1) Elemente. (E1) Def.:

(i) Ein Code der Länge n ist eine Teilmenge C ≠ ∅ von {0, 1}^{n}.

(ii) Ein Code C heißt t-fehlerkorrigierend ⇔

Ist x ∈ C, y ∈ C, x ≠ y, so gilt B(x, t) ∩ B(y, t) = ∅. Idee: Sei C t-fehlerkorrigierender Code. Als kodierte Nachrichten sind nur “Codewörter” x ∈ C erlaubt.

x ∈ C ⟶^{Übermittlung} \overline{x} ∈ \{0, 1\}^{n} ⟶^{automat. Korrektur} \overline{\overline{x}} ∈ C so, daß d(\overline{x}, \overline{\overline{x}}) minimal. Dann: Ist d(x, \overline{x}) ≤ t, so gilt \overline{\overline{x}} = x, da es nur ein x ∈ C mit d(\overline{x}, x) ≤ t gibt. D.h.: Sind bei der Übermittlung höchstens t Fehler aufgetreten, so ordnet die automatische Fehlerkorrektur der fehlerhaften Nachricht \overline{x} das ursprüngliche Codewort x zu. Bem.: 1) C ⊆ {0, 1}^{n} ist t-fehlerkorrigierend ⇔ Ist x ∈ C, y ∈ C und x ≠ y, so gilt d(x, y) ≥ 2t + 1 (Dreiecksungleichung!)

2) C ⊆ {0, 1}^{n} 1-fehlerkorriegierend ⇒ #C · (n + 1) ≤ 2^{n}(= #{0, 1}^{n}) Problem: Zeitaufwand Fehlerkorrektur ≈ #C · n ≈ 2^{n} Lineare Codes {0, 1}^{n} ist Vektorraum über dem Körper {0, 1} = ℤ_{2} (E2) Def. C ⊆ {0, 1}^{n} heißt linearer Code ⇔ C ist Unterraum von {0, 1}^{n} (⇔ \underline{0} ∈ C und ∀x, y ∈ C : x + y ∈ C) Sei p ∈ ℕ und n := 2^{p} − 1 (z.B. p = 5, n = 31 ⇒ 2^{n} = 3^{31} = 2 · (2^{10})^{3} = 2 · (1024)^{3} ≈ 2 · 10^{9}) Seien v_{1}, …, v_{n} die von \underline{0} ∈ \{0, 1\}^{p} verschiedenen Elemente von \{0, 1\}^{p} und F : \{0, 1\}^{n} → {0, 1}^{p} definiert durch

F (x_{1}, …, x_{n}) = x_{1}v_{1} + x_{2}v_{2} + … + x_{n}v_{n} ∈ {0, 1}^{p}

Dann gilt für alle x, y ∈ {0, 1}^{n} : F (x + y) = F (x) + F (y). Daraus folgt: C := \{x ∈ \{0, 1\}^{n} | F (x) = \underline{0}\} ist Unterraum (=linearer Code).

33

C heißt der n’te Hammingcode.

(E3) Satz. Der n’te Hammingcode ist ein 1-fehlerkorrigierender Code der Länge n

mit #C = \frac{2^{n}}{n + 1}(“C ist perfekt”)

Bew.: Seien x, y ∈ C, x ≠ y. Zu zeigen: d(x, y) ≥ 3

x, y ∈ C ⇒ (∗) (x_{1} − y_{1})v_{1} + … + (x_{n} − y_{n})v_{n} = \underline{0}.

Wegen x ≠ y existiert ein i ∈ \{1, …, n\} : x_{i} ≠ y_{i}. Dann (x_{i} − y_{i})v_{i} = v_{i} ≠ \underline{0}. Wegen (∗) existiert ein j ≠ i mit x_{j} ≠ y_{j}, also (x_{j} − y_{j})v_{j} = v_{j}. Wenn alle anderen Komponenten von x und y übereinstimmten, so wäre (∗) die Gleichung

v_{i} + v_{j} = \underline{0}

Da in ℤ_{2} 1+1 = 0 gilt, gilt v +v = \underline{0} für alle v ∈ \{0, 1\}^{n}. D.h. aus v_{i} +v_{j} = \underline{0}, folgt v_{i} = v_{j}, im Widerspruch dazu, daß die v_{i} alle verschieden sind. Also gibt es mindestens eine weitere Komponente, in der x und y nicht übereinstimmen, d.h. d(x, y) ≥ 3, wie behauptet.

Ist x ∈ \{0, 1\}^{n} und F (x) ≠ \underline{0}, so gilt F (x) = v_{i} für ein i ∈ \{1, …, n\}. Daraus folgt F (x − e_{i}) = F (x) − F (e_{i}) = \underline{0}, d.h. x − e_{i} ∈ C und d(x, x − e_{i}) = 1. Also ⋃_{x∈C} B(x, 1) = {0, 1}^{n} und damit #C · (n + 1) = 2^{n}.

Algorithmus zur Korrektur \underline{eines} Fehlers:

Sei \overline{x} ∈ \{0, 1\}^{n} die empfangene Nachricht. Berechne F (\overline{x}) ∈ \{0, 1\}^{p}.

\begin{aligned}F (\overline{x}) = \underline{0} & ⇒ & \overline{\overline{x}} := \overline{x} \\ F (\overline{x}) = v_{i} & ⇒ & \overline{\overline{x}} := \overline{x} + e_{i} \end{aligned}

Zeitaufwand ≈ n^{2}p (= 31^{2} · 5 ≈ 5 · 10^{3}) ≪ 2^{n} ≈ 2 · 10^{9})

4. Lineare Abbildungen und Matrizen.

Wie überall, so sind auch in der Mathematik nicht nur die einzelnen Objekte wichtig, sondern auch die Beziehungen zwischen ihnen, die hier meist durch Abbildungen beschrieben werden, die (in einem zu definierenden Sinn) die Struktur der Objekte erhalten, sogenannte Homomorphismen. Im folgenden seien V und W Vektorräume über \underline{demselben} Körper K.

(4.1) Definition. Eine Abbildung L : V → W heißt \underline{linear} (oder \underline{Vektorraumhomomorphis-} \underline{mus}), falls für alle v, v_{1}, v_{2} ∈ V und alle α ∈ K gilt:

(i)  L(v_{1} + v_{2}) = L(v_{1}) + L(v_{2})  (L ist “additiv”)
(ii)  L(αv)  = αL(v)  (L ist “homogen”)

Bez.: Statt “lineare Abbildung” ist auch “linearer Operator” üblich. Im Fall W = K spricht man oft von einem “linearen Funktional” oder einer “Linearform” L : V → K.

Hom(V, W) := {L | L : V → W linear}.

Eine lineare Abbildung L : V → V heißt \underline{Endomorphismus}, End(V) = \{L | L : V → V linear}.

Ein Homomorphismus L : V → W heißt \underline{Isomorphismus}, falls L bijektiv ist. Zwei K-Vektorräume V und W heißen \underline{isomorph}, falls es einen Isomorphismus L : V → W gibt.

Beispiele:

0) id_{V} ∈ End(V).

Ist L : V → W die “0-Abbildung” definiert durch

∀v ∈ V : Lv = \underline{0} ∈ W,

so gilt L ∈ Hom(V, W). Ist U ⊆ V Unterraum, so ist die Inklusion i : U → V, ∀u ∈ U: i(u) := u, eine lineare Abbildung.

1) Für α ∈ K sei S_{α} : V → V, S_{α}(v) := αv, die “Streckung” um α. Dann gilt: S_{α} ∈ End(V).

2) V := der ℝ-Vektorraum ℝ. L ∈ End(ℝ) ⇔ ∃m ∈ ℝ ∀x ∈ ℝ : L(x) = mx. Nämlich:

m := L(1). Dann gilt: L(x) = L(x · 1) =^{(ii)} x · L(1) = m · x.

3) Zu reellen Zahlen a < b ist C^{0}([a, b], ℝ) = {f | f : [a, b] → ℝ stetig} ein ℝ-Vektorraum, vgl. Bsp. 4 nach (3.1).

L : C^{0}([a, b], ℝ) → ℝ, L(f) := ∫_{a}^{b} f(x)dx

L ist linearer Operator von C^{0}([a, b], ℝ) nach ℝ (“Lineares Funktional”).

4) C^{1}(ℝ, ℝ) = {f | f : ℝ → ℝ ist differenzierbar und f′ : ℝ → ℝ ist stetig} D : C^{1}(ℝ, ℝ) → C^{0}(ℝ, ℝ), D(f) := f′. D ist linearer Operator.

5) Die im Exkurs über Codes definierte Abbildung F : (ℤ_{2})^{n} → (ℤ_{2})^{p} ist linear.

Wichtig ist folgender Zusammenhang mit der Analysis: Ganz grob gesprochen ist die Analysis die Kunst, nichtlineare Funktionen (in einer kleinen Umgebung eines festen Punktes x_{0}) durch lineare Funktionen zu approximieren und aus Eigenschaften der approximierenden linearen Funktion (, mit der man gut explizit rechnen kann) auf Eigenschaften der ursprünglichen nichtlinearen Funktion zu schließen.

Im Fall von (nichtlinearen) Funktionen f : ℝ → ℝ und x_{0} ∈ ℝ ist die approximierende lineare Funktion gegeben durch h ∈ ℝ → f′(x_{0})h ∈ ℝ, und es gilt für den durch f(x_{0}+h) = f(x_{0}) + f′(x_{0})h + R(h) definierten “Approximationsfehler” R(h) : lim_{h→0} \frac{R(h)}{h} = 0. Betrachtet

man (z.B. in der Analysis II) Funktionen f : ℝ^{n} → ℝ^{m} und x_{0} ∈ ℝ^{n}, so wird in der analogen Definition der Differenzierbarkeit aus der linearen Funktion h ∈ ℝ → f′(x_{0})h ∈ ℝ eine lineare Abbildung Df(x_{0}) ∈ Hom(ℝ^{n}, ℝ^{m}). Noch allgemeiner betrachtet man in der Theorie der Differentialgleichungen (und in der Physik und in anderen Wissenschaften) nichtlineare Differentialoperatoren zwischen unendlich-dimensionalen Funktionenräumen, die durch lineare Operatoren zwischen solchen Funktionenräumen approximiert werden. Oft verwendet man in der Physik direkt diese linearisierten Operatoren (z.B. Wellengleichung, Wärmeleitungsgleichung).

Bez.: Ist L ∈ Hom(V, W), so heißt

ker L := \{v ∈ V | L(v) = \underline{0} ∈ W \} = L^{−1}(\{\underline{0}\})

der Kern von L und

im L := {w ∈ W | ∃v ∈ V : L(v) = w} = L(V)

das Bild von L.

(4.2) Fakt. Sei L ∈ Hom(V, W), U_{1} Unterraum von V, U_{2} Unterraum von W. Dann gilt:

(i) L(U_{1}) ist Unterraum von W.

(ii) L^{−1}(U_{2}) ist Unterraum von V.

Speziell: ker L ist Unterraum von V, im L ist Unterraum von W, und es gilt L(\underline{0}) = \underline{0}.

Bew.:

(i) Sind w_{1}, w_{2} ∈ L(U_{1}), so existieren v_{1}, v_{2} ∈ U_{1}, so daß L(v_{1}) = w_{1} und L(v_{2}) = w_{2} gilt. Da U_{1} Unterraum ist, gilt v_{1} +v_{2} ∈ U_{1}, also L(v_{1} +v_{2}) ∈ L(U_{1}). Die Additivität von L impliziert: w_{1} + w_{2} = L(v_{1}) + L(v_{2}) = L(v_{1} + v_{2}) ∈ L(U_{1}). Analog folgt: Ist w ∈ L(U_{1}), α ∈ K, so gilt αw ∈ L(U_{1}). Schließlich impliziert U_{1} ≠ ∅, daß L(U_{1}) ≠ ∅ gilt.

(ii) Ist v ∈ L^{−1}(U_{2}), α ∈ K, so gilt αL(v) ∈ U_{2}, da U_{2} ein Unterraum ist. Die Homogenität von L impliziert: L(αv) = αL(v) ∈ U_{2}, also αv ∈ L^{−1}(U_{2}). Analog folgt: Sind v_{1}, v_{2} ∈ L^{−1}(U_{2}), so gilt v_{1} +v_{2} ∈ L^{−1}(U_{2}). Schließlich zeigen wir, daß L(\underline{0}) = \underline{0} gilt. Daraus folgt dann \underline{0} ∈ L^{−1}(U_{2}), speziell L^{−1}(U_{2}) ≠ ∅. L(\underline{0}) = L(0\underline{0}) = 0L(\underline{0}) = \underline{0}, vgl. (3.2)(i).

(4.3) Fakt. Sei L ∈ Hom(V, W). Folgende Aussagen sind äquivalent.

(i) L ist injektiv.

(ii) ker L = \{\underline{0}\}.

(iii) Ist M ⊆ V linear unabhängig, so ist L(M) ⊆ W linear unabhängig.

Bew.: (i) ⇒ (ii): Ist L injektiv, so ist \underline{0} ∈ V das einzige Element von V, das durch L auf \underline{0} ∈ W abgebildet wird, also ker L = \{\underline{0}\}. (ii) ⇒ (iii): Es gelte ker L = \{\underline{0}\} und M ⊆ V sei linear unabhängig. Seien w_{1}, …, w_{k}

verschiedene Elemente von L(M), α_{1}, …, α_{k} ∈ K, und es gelte ∑_{i=1}^{k} α_{i}w_{i} = \underline{0}. Wir wollen

zeigen, daß α_{1} = … = α_{k} = 0 gilt. Zu jedem w_{i} ∈ L(M) existiert ein v_{i} ∈ M mit L(v_{i}) = w_{i}. Da die w_{1}, …, w_{k} verschieden sind, sind auch die v_{1}, …, v_{k} verschieden. Durch Induktion folgt aus der Linearität von L, daß

L (∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i}) = ∑_{i=1}^{k} α_{i}L(v_{i})

gilt. Aus ∑_{i=1}^{k} α_{i}L(v_{i}) = ∑_{i=1}^{k} α_{i}w_{i} = \underline{0} folgt also

∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} ∈ ker L = {0},

d.h. ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} = \underline{0}. Da die v_{1}, …, v_{k} verschiedene Elemente der linear unabhängigen Menge

M sind, folgt α_{1} = … = α_{k} = 0.

(iii) ⇒ (i): Seien v_{1} ≠ v_{2} ∈ V. Dann gilt v_{2} −v_{1} ≠ \underline{0}, d.h. die Menge M = \{v_{2} −v_{1}\} ⊆ V ist linear unabhängig. Nach (iii) ist dann auch L(M) = {L(v_{2} − v_{1})} ⊆ W linear unabhängig, d.h. L(v_{2} − v_{1}) ≠ \underline{0}. Nun gilt (vgl. (3.2)(iii)):

\underline{0} ≠ L(v_{2} − v_{1}) = L(v_{2} + (−1)v_{1}) = L(v_{2}) + L((−1)v_{1}) = L(v_{2}) − L(v_{1}).

Also L(v_{1}) ≠ L(v_{2}), d.h. L ist injektiv.

Bem.: Die linke Seite eines linearen Gleichungssystems I mit k Gleichungen und n Unbekannten definiert wie folgt eine lineare Abbildung L ∈ Hom(K^{n}, K^{k}):

L(x_{1}, …, x_{n}) := (a_{11}x_{1} + … + a_{1n}x_{n}, …, a_{k1}x_{1} + … + a_{kn}x_{n}) ∈ K^{k}.

Das Problem, für eine gegebene rechte Seite b = (b_{1}, …, b_{k}) ∈ K^{k} von I die Lösungsmenge L_{I} zu finden, ist also gerade das Problem die Urbildmenge L^{−1}({b}) zu finden,

L_{I} = L^{−1}({b}).

Es gilt also: I ist besitzt für die rechte Seite b = (b_{1}, …, b_{k}) eine Lösung ⇔ b ∈ im L.

I besitzt für jede rechte Seite höchstens eine Lösung ⇔ L injektiv ⇔ ker L = \{\underline{0}\}. I besitzt für jede rechte Seite genau eine Lösung ⇔ L Isomorphismus.

(4.4) Lemma. Sei L ∈ Hom(V, W), M ⊆ V. Dann gilt:

L(span(M)) = span L(M).

Bew.: Übungsaufgabe.

(4.5) Folgerung. Sei L ∈ Hom(V, W). Dann sind äquivalent:

(i) L ist Isomorphismus (⇔ L bijektiv).

(ii) Für jede Basis B von V gilt: L|B ist injektiv und L(B) ist Basis von W.

(iii) Es existiert eine Basis B von V, so daß L|B injektiv und L(B) Basis von W ist.

Bew.:

(i) ⇒ (ii). Sei B ⊆ V Basis ⇒^{(4.3)} L(B) ist linear unabhängig.

span L(B) =^{(4.4)} L(span B) = L(V) =^{L surjektiv} W ⇒ L(B) ist Erzeugendensystem von W. L injektiv ⇒ L|B injektiv.

(ii) ⇒ (iii): klar, da nach (3.13) eine Basis von V existiert.

(iii) ⇒ (i). Zeige: L ist injektiv. Sei v ∈ ker L. Dann existiert k ∈ ℕ und verschiedene

v_{1}, …, v_{k} ∈ B und α_{1}, …, α_{k} ∈ K: v = ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i}. Daraus folgt

(∗) \underline{0} = L(v) = ∑_{i=1}^{k} α_{i}L(v_{i}).

Da L|B injektiv ist, sind die L(v_{1}), …, L(v_{k}) verschiedene Elemente der Basis L(B). Also folgt aus (∗): α_{1} = … = α_{k} = 0 und daraus v = 0. Also ker L = \{\underline{0}\}, d.h. L ist injektiv.

L(V) = L span B) =^{(4.4)} span L(B) = W ⇒ L ist surjektiv.

Bez.: Eine geordnete Basis G eines n-dimensionalen Vektorraums V ist ein n-Tupel von Vektoren G = (v_{1}, …, v_{n}), so daß {v_{1}, …, v_{n}} eine Basis von V ist.

(4.6) Satz. Sei dim V = n < ∞, G = (v_{1}, …, v_{n}) geordnete Basis von V und w_{1}, …, w_{n} beliebige Elemente von W. Dann existiert genau ein L ∈ Hom(V, W), so daß Lv_{1} = w_{1} …, Lv_{n} = w_{n} gilt.

Beweis: Vorbemerkung: Wegen span{v_{1}, …, v_{n}} = V existieren zu jedem v ∈ V Skalare

α_{1}, …, α_{n} ∈ K, so daß v = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i} gilt, und da die v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig sind, sind

die α_{1}, …, α_{n} eindeutig durch v bestimmt, vgl. (3.9).

(i) Eindeutigkeit von L: Es seien L, L′ ∈ Hom(V, W) und Lv_{i} = L′v_{i} für alle i ∈

{1, …, n}. Sei v = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i} ∈ V. Dann gilt

L(v) = L (∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i}) = ∑_{i=1}^{n} α_{i}L(v_{i}) = ∑_{i=1}^{n} α_{i}L′(v_{i}) = L′(∑ α_{i}v_{i}) = L′(v).

(ii) Existenz von L: Für v = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i} ∈ V definieren wir

L(v) := ∑_{i=1}^{n} α_{i}w_{i} ∈ W.

Ist v = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i}, v′ = ∑^{n} α′_{i}v_{i}, so v + v′ = ∑_{i=1}^{n}(α_{i} + α′_{i})v_{i} und damit:

L(v + v′) = ∑_{i=1}^{n}(α_{i} + α′_{i})w_{i} = ∑_{i=1}^{n} α_{i}w_{i} + ∑_{i=1}^{n} α′_{i}w_{i} = L(v) + L(v′), d.h. L ist additiv. Analog

folgt, daß L homogen ist, also L ∈ Hom(V, W). Offensichtlich gilt L(v_{i}) = w_{i} für alle i ∈ {1, …, n}.

Bem.: Eine (4.6) entsprechende Aussage gilt auch im Fall dim V = ∞.

(4.7) Folgerung. Seien V, W K-Vektorräume, dim V = n < ∞. Dann gilt:

(i) V ist isomorph zu K^{n}.

(ii) V ist isomorph zu W ⇔ dim V = dim W.

Bew.:

(i) Sei (v_{1}, …, v_{n}) geordnete Basis von V. Nach (4.6) existiert ein L ∈ Hom(V, K^{n}) mit L(v_{1}) = e_{1}, …, L(v_{n}) = e_{n}. Nach (4.5) ist L Isomorphismus.

(ii) Analog folgt aus dim V = dim W, daß V und W isomorph sind. Ist umgekehrt L : V → W Isomorphismus, so folgt aus (4.5), daß dim V = dim W gilt.

(4.8) Dimensionssatz für lineare Abbildungen. Ist L ∈ Hom(V, W) und dim V < ∞, so gilt dim(ker L) < ∞, dim(im L) < ∞ und

dim V = dim(ker L) + dim(im L).

Speziell folgt: Ist dim V = dim W, so gilt: L injektiv ⇔ L surjektiv ⇔ L bijektiv.

Bew.: Aus (3.21) folgt die Existenz eines zu ker L komplementären Unterraums U von V, d.h. ker L ⊕ U = V und

dim(ker L) + dim U = dim V.

Wir zeigen, daß L|U : U → im L ein Isomorphismus ist und damit dim U = dim(im L), woraus mit der vorangehenden Gleichung die Behauptung folgt.

L|U ist injektiv, da ker(L|U) = ker L ∩ U = \{\underline{0}\}, vgl. (4.3). Zu jedem w ∈ im L existiert ein v ∈ V mit L(v) = w. Wegen ker L ⊕ U = V existieren v_{1} ∈ ker L und u ∈ U, so daß v = v_{1} + u gilt. Dann folgt w = L(v) = L(v_{1}) + L(u), d.h. w ∈ L(U). Das zeigt, daß L|U : U → im L surjektiv ist.

Anwendung:

Sei I die linke Seite eines linearen Gleichungssystems mit n Unbekannten und k Gleichungen und Koeffizienten a_{ij} ∈ K. Sei L : K^{n} → K^{k} die zugehörige lineare Abbildung, vgl. Bem. nach (4.3). Dann gilt: L_{I^{hom}} = ker L und

{b = (b_{1}, …, b_{k}) ∈ K^{k} | ∃ Lösung von I mit der rechten Seite b} = im L.

Aus (4.8) folgt: dim L_{I^{hom}} = n − dim(im L) ≥ n − k. Das wurde schon in (3.25) gezeigt.

I ist für beliebige rechte Seiten (b_{1}, …, b_{k}) lösbar ⇔ dim(im L) = k
⇔ dim(L_{I^{hom}}) = n − k

d.h. ist n ≥ k und ist I für beliebige rechte Seite lösbar, so ist die Lösungsmenge für jede rechte Seite ein (n − k)-dimensionaler affiner Unterraum. Ist k = n, so gilt: I ist für beliebige rechte Seiten (b_{1}, …, b_{n}) lösbar ⇔ L_{I^{hom}} = {0} ⇔ I besitzt für jede rechte Seite (b_{1}, …, b_{n}) genau eine Lösung.

Ist L ∈ Hom(V, W), α ∈ K, so definieren wir:

αL : V → W durch: ∀v ∈ V ist (αL)(v) := αL(v) ∈ W.

Es gilt dann: αL ∈ Hom(V, W), z.B. zeigen wir, daß αL additiv ist: (αL)(v_{1}+v_{2}) = αL(v_{1}+ v_{2}) = α(L(v_{1})+L(v_{2})) = αL(v_{1})+αL(v_{2}) = (αL)(v_{1})+(αL)(v_{2}). Sind L_{1}, L_{2} ∈ Hom(V, W), so definieren wir:

L_{1} + L_{2} : V → W durch: ∀v ∈ V ist (L_{1} + L_{2})(v) := L_{1}(v) + L_{2}(v) ∈ W.

Es gilt dann: L_{1} + L_{2} ∈ Hom(V, W), z.B. zeigen wir, daß L_{1} + L_{2} homogen ist: (L_{1} + L_{2})(αv) = L_{1}(αv) + L_{2}(αv) = αL_{1}(v) + αL_{2}(v) = α(L_{1}(v) + L_{2}(v)) = α(L_{1}(v) + L_{2}(v)) = α(L_{1} + L_{2})(v).

(4.9) Satz. Mit dieser Addition und dieser Multiplikation mit Körperelementen α ∈ K ist Hom(V, W) ein K-Vektorraum.

Bew.: Es muß nachgeprüft werden, daß (Hom(V, W), +) eine abelsche Gruppe ist und daß die Bedingungen (3.1)(i)-(iv) erfüllt sind. Das ist ebenso langwierig wie langweilig, aber man sollte es (einmal) getan haben. Wir führen exemplarisch einige der notwendigen Schritte durch: Das neutrale Element der Addition in Hom(V, W) ist die Abbildung L ∈ Hom(V, W), die jedes v ∈ V auf \underline{0} ∈ W abbildet, genannt die 0-Abbildung. Das additive Inverse zu L ∈ Hom(V, W) ist −L ∈ Hom(V, W), definiert durch (−L)(v) := −L(v).

Um (3.1)(iii) zu zeigen, seien α ∈ K, L_{1}, L_{2} ∈ Hom(V, W). Für beliebiges v ∈ V gilt:

\begin{matrix}(α(L_{1} + L_{2}))(v) = α((L_{1} + L_{2})(v)) = α(L_{1}(v) + L_{2}(v)) = αL_{1}(v) + αL_{2}(v) \\ = (αL_{1})(v) + (αL_{2})(v) = (αL_{1} + αL_{2})(v). \end{matrix}

Also gilt: α(L_{1} + L_{2}) = αL_{1} + αL_{2}.

(4.1) Def. Eine m × n-Matrix A über dem Körper K ist ein rechteckiges Schema, das aus m · n Körperelementen a_{ij} ∈ K besteht:

A = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{matrix} ) = (a_{ij})_{\begin{matrix}1≤i≤m \\ 1≤j≤n \end{matrix}}

A heißt quadratisch ⇔ m = n.

Die Vektoren (a_{11}, …, a_{1n}) ∈ K^{n}, …, (a_{m1}, …, a_{mn}) ∈ K^{n} heißen die Zeilenvektoren von

A. Die (m × 1)-Matrizen ( a_{11} ; ⋮ ; a_{m1} ) , …, ( a_{1n} ; ⋮ ; a_{mn} ) heißen die Spaltenvektoren von A.

Mit K^{m×n} wird die Menge der (m × n)-Matrizen über K bezeichnet.

Bsp.: Die linke Seite eines linearen Gleichungssystems mit m Gleichungen und n Unbekannten (in K) ist durch eine Matrix A ∈ K^{m×n} gegeben.

(4.11) Def. Sei L ∈ Hom(V, W), dim V = n, G = (v_{1}, …, v_{n}) geordnete Basis von V, dim W = m, G′ = (w_{1}, …, w_{m}) geordnete Basis von W. Dann heißt die Matrix A = (a_{ij}) ∈ K^{m×n}, die durch

L(v_{j}) =: ∑_{i=1}^{m} a_{ij}w_{i} für 1 ≤ j ≤ n,

definiert ist, die \underline{Matrix} \underline{von} L \underline{bezüglich} G \underline{und} G′,

A := Mat_{G}^{G′}(L).

(4.12) Folgerung. Die Abbildung Mat_{G}^{G′} : Hom(V, W) → K^{m×n} ist bijektiv.

Bew.: Injektivität: Seien L_{1}, L_{2} ∈ Hom(V, W) und Mat_{G}^{G′}(L_{1}) = Mat_{G}^{G′}(L_{2}). Dann gilt:

L_{1}(v_{j}) = ∑_{i=1}^{m} a_{ij}w_{i} = L_{2}(v_{j}) für j ∈ {1, …, n}. Aus (4.6) folgt dann: L_{1} = L_{2}.

Surjektivität: Sei A = (a_{ij}) ∈ K^{m×n} gegeben. Wir definieren für j ∈ {1, …, n}:

\overline{w}_{j} := ∑_{i=1}^{m} a_{ij}w_{i} ∈ W.

Nach (4.6) existiert (genau) ein L ∈ Hom(V, W) : Lv_{j} = \overline{w}_{j}. Dann gilt: M_{G}^{G′}(L) = A.

Bem.: Da eine Matrix A ∈ K^{m×n} im Grunde nur ein etwas anders notiertes Element von K^{m·n} ist, läßt sich leicht eine “natürliche” K-Vektorraumstruktur auf K^{m×n} definieren: α ∈ K, A = (a_{ij}) ∈ K^{m×n} → αA := (αa_{ij}) ∈ K^{m×n}, d.h.

αA := ( \begin{matrix}αa_{11} & … & αa_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ αa_{m1} & … & αa_{mn} \end{matrix} )

A = (a_{ij}) ∈ K^{m×n}, B = (b_{ij}) ∈ K^{m×n} → A + B := (a_{ij} + b_{ij}) ∈ K^{m×n}, d.h.

A + B := ( \begin{matrix}a_{11} + b_{11} & … & a_{1n} + b_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} + b_{m1} & … & a_{mn} + b_{mn} \end{matrix} )

(4.13) Fakt. Mit diesen Operationen ist K^{m×n} ein K-Vektorraum der Dimension m · n. Die Matrizen E_{ij} ∈ K^{m×n}, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

E_{ij} = ( \begin{matrix}0 & … & … & 0 & … & … & 0 \\ ⋮ & & & ⋮ & & & ⋮ \\ ⋮ & & & 0 & & & ⋮ \\ 0 & … & 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & & & 0 & & & ⋮ \\ ⋮ & & & ⋮ & & & ⋮ \\ 0 & … & … & 0 & … & … & 0 \end{matrix} )

(wobei die 1 am Schnittpunkt der i’ten Zeile und der j’ten Spalte sitzt) bilden eine Basis, die kanonische Basis, von K^{m×n}.

Bem.: Ist A = (a_{ij}) ∈ K^{m×n}, so gilt A = ∑_{i=1}^{m} ∑_{j=1}^{n} a_{ij}E_{ij}.

(4.14) Folgerung. Mat_{G}^{G′} : Hom(V, W) → K^{m×n} ist ein Isomorphismus.

Bew.: (4.12) besagt, daß Mat_{G}^{G′} bijektiv ist. Es bleibt zu zeigen, daß Mat_{G}^{G′} homogen und additiv ist:

Mat_{G}^{G′}(L) = (a_{ij}) ∈ K^{m×n} ⇔ ∀j ∈ {1, …, n} : L(v_{j}) = ∑ a_{ij}w_{i}.

Dann gilt für j ∈ {1, …, n}:

(αL)(v_{j}) = ∑_{i=1}^{m} αa_{ij}w_{i}.

Also Mat_{G}^{G′}(αL) = α(a_{ij}) = α Mat_{G}^{G′}(L).

Analog folgt: Mat_{G}^{G′}(L_{1} + L_{2}) = Mat_{G}^{G′}(L_{1}) + Mat_{G}^{G′}(L_{2}).

Frage: Gegeben 3 K-Vektorräume V, W, Z mit dim V = n, dim W = m, dim Z = k und geordneten Basen G, G′, G′′ und L ∈ Hom(V, W), J ∈ Hom(W, Z). Wie hängt Mat_{G}^{G′′}(J ∘ L) mit Mat_{G′}^{G′′}(J) und Mat_{G}^{G′}(L) zusammen? (4.15) Satz. Ist A = (a_{hl}) = Mat_{G′}^{G′′}(J) ∈ K^{k×m}, B = (b_{ij}) = Mat_{G}^{G′}(L) ∈ K^{m×n}, so ist Mat_{G}^{G′′}(J ∘ L) durch die Matrix C = (c_{hj}) ∈ K^{k×n} gegeben mit c_{hj} = ∑_{i=1}^{m} a_{hi}b_{ij} für 1 ≤ h ≤ k, 1 ≤ j ≤ n. Vorbemerkung: Assoziativ-, Kommutativgesetz von +, Distributivgesetz ⇒

∑_{i=1}^{m} b_{i} (∑_{j=1}^{k} a_{ji}v_{j}) = ∑_{i=1}^{m} (∑_{j=1}^{k} b_{i}a_{ji}v_{j}) = ∑_{j=1}^{k} (∑_{i=1}^{m} b_{i}a_{ji}) v_{j}.

Bsp.: b_{1}(a_{11}v_{1} + a_{21}v_{2}) + b_{2}(a_{12}v_{1} + a_{22}v_{2}) = (b_{1}a_{11} + b_{2}a_{12})v_{1} + (b_{1}a_{21} + b_{2}a_{22})v_{2}. Bew. von (4.15): Sei G = (v_{1}, …, v_{n}), G′ = (w_{1}, …, w_{m}), G′′ = (z_{1}, …, z_{k}) und

L(v_{j}) = ∑_{i=1}^{m} b_{ij}w_{i}, J(w_{i}) = ∑_{h=1}^{k} a_{hi}z_{h}.

Dann gilt: \begin{aligned}(J ∘ L)(v_{j}) & = & J(L(v_{j})) = J (∑_{i=1}^{m} b_{ij}w_{i}) = ∑_{i=1}^{m} b_{ij}J(w_{i}) \\ & = & ∑_{i=1}^{m} b_{ij} (∑_{h=1}^{k} a_{hi}z_{h}) =^{Vorbem.} ∑_{h=1}^{k} (∑_{i=1}^{m} a_{hi}b_{ij}) z_{h}. \end{aligned}

Definition. Ist A = (a_{hl}) ∈ K^{k×m}, B = (b_{ij}) ∈ K^{m×n}, so heißt die Matrix C = (c_{hj}) ∈ K^{k×n} mit

c_{hj} := ∑_{j=1}^{m} a_{hi}b_{ij} für 1 ≤ h ≤ k, 1 ≤ j ≤ n

das Produkt der Matrizen A und B, C =: AB. Dann gilt mit den Bezeichnungen von (4.15):

Mat_{G}^{G′′}(J ∘ L) = Mat_{G′}^{G′′}(J) Mat_{G}^{G′}(L).

Vorsicht: Damit AB definiert ist, muß gelten

# Spalten von A = # Zeilen von B

Explizit:

( \begin{matrix}2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} )_{∈K^{2×3}} ( \begin{matrix}3 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{matrix} ) =_{∈K^{3×4}} ( \begin{matrix}8 & 3 & 3 & 0 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{matrix} )_{∈K^{2×4}}

( \begin{matrix}3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )_{∈K^{2×3}} ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) =_{∈K^{3×1}} ( \begin{matrix}6 \\ 2 \end{matrix} )_{∈K^{2×1}}

(4.16) Folgerung.

(i) Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ: A(BC) = (AB)C (ii) A(B_{1} + B_{2}) = AB_{1} + AB_{2}, (A_{1} + A_{2})B = A_{1}B + A_{2}B (Distributivgesetze)

Bew.:

(i) Nachrechnen. Oder: A = Mat_{G_{3}}^{G_{4}}(L_{3}), B = Mat_{G_{2}}^{G_{3}}(L_{2}), C = Mat_{G_{1}}^{G_{2}}(L_{1})

und (L_{3} ∘ L_{2}) ∘ L_{1} = L_{3} ∘ (L_{2} ∘ L_{1}) ⇒^{(4.15)} Beh.

(ii) Nachrechnen. Oder: J ∘ (L_{1} + L_{2}) = (J ∘ L_{1}) + (J ∘ L_{2}) (J linear!)

⇒^{(4.14)+(4.15)} A(B_{1} + B_{2}) = AB_{1} + AB_{2}

(4.17) Abhängigkeit von der Wahl der Basen. Seien G, \overline{G} geordnete Basen von V, G′, \overline{G}′ geordnete Basen von V′ und L ∈ Hom(V, V′). Dann gilt:

Mat\overline{G}′ ; \overline{G}(L) = Mat_{G′}^{\overline{G}′}(id_{V′}) · Mat_{G}^{G′}(L) · MatG ; \overline{G}(id_{V})

Bew.: Wende (4.15) auf L = id_{V′} ∘L ∘ id_{V} bzgl. der Basen \overline{G}, G, G′, \overline{G}′ an.

Bem.: G = (v_{1}, …, v_{n}), \overline{G} = (\overline{v}_{1}, …, \overline{v}_{n}). Dann

Mat\overline{G} ; G(id_{V}) = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ⟺ v_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}\overline{v}_{i} für 1 ≤ j ≤ n.

1. Spezialfall: V′ = V

Ein Homomorphismus L : V → V heißt \underline{Endomorphismus}, End(V) := Hom(V, V). Sei dim V = n. Für jede geordnete Basis G von V gilt:

Mat_{G}^{G}(id_{V}) = ( \begin{matrix}1 & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & 1 \end{matrix} ) =: E_{n} ∈ K^{n×n}

E_{n} heißt die n-dimensionale Einheitsmatrix.

(End(V), +, ∘) ist Ring (mit 1). Neutrales Element von ∘ ist id_{V}. (K^{n×n}, +, ·) ist Ring (mit 1). Neutrales Element von · ist E_{n}.

Mat_{G}^{G} : End(V) → K^{n×n} ist Isomorphismus von Ringen, vgl. (4.14) und (4.15).

Ein bijektiver Endomorphismus heißt \underline{Automorphismus}, man schreibt Aut(V) := \{L | L ∈ End(V) bijektiv}. (Aut(V), ∘) ist Gruppe (Untergruppe von (S_{V} , ∘), vgl. Bsp. 5) nach (2.1)).

Denn:

(i) id_{V} ∈ Aut(V) (neutrales Element bezüglich ∘)

(ii) L ∈ Aut(V) ⇒ L^{−1} ∈ Aut(V) (L^{−1} = Umkehrabbildung von L) L^{−1} ist bijektiv. Linearität von L^{−1}:

\begin{matrix}L(L^{−1}(v + w)) & = & v + w \\ L(L^{−1}(v) + L^{−1}(w)) & = & L(L^{−1}(v)) + L(L^{−1}(w)) = v + w \end{matrix} \} ⇒ \begin{matrix}L^{−1}(v + w) \\ = L^{−1}(v) + L^{−1}(w) \end{matrix}

ebenso L^{−1}(αv) = αL^{−1}(v) (iii) L_{1}, L_{2} ∈ Aut(V) ⇒ L_{1} ∘ L_{2} ∈ Aut(V)

(L_{1} ∘ L_{2})(αv) = L_{1}(L_{2}(αv)) = L_{1}(αL_{2}(v)) = αL_{1}(L_{2}(v)) = α((L_{1} ∘ L_{2})(v))

Analoges Objekt in K^{n×n}:

GL_{n}(K) := {A ∈ K^{n×n} | ∃B ∈ K^{n×n} : BA = E_{n}}

Def.: Seien (G, ⊤), (G′, ⊤′) Gruppen. H : G → G′ heißt Gruppenhomomorphismus ⇔ ∀g, h ∈ G: H(g ⊤ h) = H(g) ⊤′ H(h) H Gruppenisomorphismus ⇔ H bijektiver Gruppenhomomorphismus

(4.18) Satz. (GL_{n}(K), ·) ist Gruppe und Mat_{G}^{G} : Aut(V) → GL_{n}(K) ist Gruppenisomorphismus.

Bew.:

(i) Zeige: L ∈ Aut(V) ⇒ Mat_{G}^{G}(L) ∈ GL_{n}(K)

E_{n} = Mat_{G}^{G}(id_{V}) = Mat_{G}^{G}(L^{−1} ∘ L) =^{(4.15)} \underbrace{Mat_{G}^{G}(L^{−1})}_{∈K^{n×n}} · Mat_{G}^{G}(L)

(ii) Zeige: ∀A ∈ GL_{n}(K)∃L ∈ Aut(V) : Mat_{G}^{G}(L) = A

A ∈ GL_{n}(K) ⇒ ∃B ∈ K^{n×n} : BA = E_{n}. Nach (4.14) existieren J, L ∈ End(V): Mat_{G}^{G}(J) = B, Mat_{G}^{G}(L) = A. Also: Mat_{G}^{G}(J ∘ L) = BA = E_{n}. Da Mat_{G}^{G} injektiv ist, folgt J ∘ L = id_{V}, speziell L ist injektiv. Nach (4.8) ist L bijektiv, also L ∈ Aut(V) und Mat_{G}^{G}(L) = A, außerdem folgt J ∈ Aut(V) und damit nach (i) Mat_{G}^{G}(J) = B ∈ GL_{n}(K).

(i)+(ii) ⇒ Mat_{G}^{G} : Aut(V) → GL_{n}(K) bijektiv.

(4.15) ⇒ (GL_{n}(K), ·) ist Gruppe und Mat_{G}^{G} Gruppenisomorphismus.

Bez.: Die Elemente von GL_{n}(K) heißen reguläre (oder nicht-ausgeartete oder invertierbare) (n×n)-Matrizen. Ist A ∈ GL_{n}(K), B ∈ K^{n×n} und BA = E_{n}, so folgt (vgl. Bew. von (4.18))

B ∈ GL_{n}(K) und damit (da GL_{n}(K) eine Gruppe ist) B = A^{−1}, speziell auch AB = E_{n}. A^{−1} heißt die zu A ∈ GL_{n}(K) inverse Matrix.

(4.19) Folgerung (aus (4.17)): Seien G, \overline{G} geordnete Basen von V, L ∈ End(V) und P := MatG ; \overline{G}(id_{V}). Dann gilt P ∈ GL_{n}(K), P^{−1} = Mat\overline{G} ; G(id_{V}) und

Mat\overline{G} ; \overline{G}(L) = P^{−1} Mat_{G}^{G}(L)P

Bew.: Mat\overline{G} ; G(id_{V}) MatG ; \overline{G}(id_{V}) = Mat\overline{G} ; \overline{G}(id_{V}) = E_{n} ⇒ P ∈ GL_{n}(K) und P^{−1} = Mat\overline{G} ; G(id_{V}). Die letzte Gleichung folgt aus (4.17).

Bez.: Zwei Matrizen A, Ã ∈ K^{n×n} heißen ähnlich ⇔ ∃P ∈ GL_{n}(K) : P^{−1}AP = Ã. “Ähnlich” ist eine Äquivalenzrelation. Nichttriviales Problem: Man finde zu gegebenem A ∈ K^{n×n} eine “möglichst einfache” ähnliche Matrix (oder äquivalent: Man finde zu L ∈ End(V) eine Basis G, so daß Mat_{G}^{G}(L) möglichst einfach ist). Der im allgemeinen nicht erreichbare Idealfall ist:

Mat_{G}^{G}(L) = Diagonalmatrix = ( \begin{matrix}d_{1} \\ & ... & 0 \\ & 0 & ... \\ & & & d_{n} \end{matrix} )

2. Spezialfall: V = K^{n} mit Basis G = (e_{1}, …, e_{n}) V′ = K^{m} mit Basis G′ = (e_{1}, …, e_{m})

Bez.: Im Fall dieser natürlichen Basen schreiben wir für Mat_{G}^{G′} kurz Mat : Hom(K^{n}, K^{m}) → K^{m×n}. Wir identifizieren K^{n} (bzw. K^{m}) mit den “einspaltigen” Matrizen K^{n×1} (bzw. K^{m×1}) durch den Vektorraumisomorphismus

(x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n} → ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) ∈ K^{n×1}.

(4.20) Satz. Mit diesen Identifikationen gilt: Ist L ∈ Hom(K^{n}, K^{m}) und A = (a_{ij}) = Mat(L), so gilt für alle x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n}:

L(x) = A ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{matrix} ) ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) .

Bew.: Mat(L) = (a_{ij})_{\begin{matrix}1≤i≤m \\ 1≤j≤n \end{matrix}} ⇔ L(e_{j}) = ∑_{j=1}^{m} a_{ij}e_{i} für 1 ≤ j ≤ n.

Also: L(x) = L (∑_{j=1}^{n} x_{j}e_{j}) = ∑_{j=1}^{n} x_{j}L(e_{j}) = ∑_{j=1}^{n} x_{j} (∑_{i=1}^{m} a_{ij}e_{i}) =^{vgl. Bew. von (4.15)} = ∑_{i=1}^{m} (∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j}) e_{i}, d.h. L(x) = (∑_{j=1}^{n} a_{1j}x_{j}, ∑_{j=1}^{n} a_{2j}x_{j}, …, ∑_{j=1}^{n} a_{mj}x_{j}) ∈ K^{m}. Andererseits:

( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{matrix} ) ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( ∑_{j=1}^{n} a_{1j}x_{j} ; ⋮ ; ∑_{j=1}^{n} a_{mj}x_{j} ) ∈ K^{m×1}.

Bem.: L ∈ Hom(K^{n}, K^{m}), A = Mat(L). Dann “ist” L(e_{j}) ∈ K^{m} der j’te Spaltenvektor von A

L(e_{j}) = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 \\ · \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ · \\ 0 \end{matrix} ) = ( a_{1j} ; a_{2j} ; ⋮ ; a_{mj} ) ∈ K^{m×1}.

Speziell: Ist A ∈ K^{n×n}, so gilt: A ∈ GL_{n}(K) ⇔ die Spaltenvektoren von A sind linear unabhängig.

Begründung: Die lineare Abbildung L ∈ End(K^{n}) mit Mat(L) = A bildet die Basis e_{1}, …, e_{n} auf die n Spaltenvektoren von A ab. Nach (4.5) ist L genau dann ein Automorphismus, wenn diese Spaltenvektoren eine Basis von K^{n×1} bilden.

(4.21) Def.: Der \underline{Rang} \underline{rg(A)} von A ∈ K^{m×n} ist die maximale Zahl linear unabhängiger Spaltenvektoren von A.

Bem.: 1) 0 ≤ rg(A) ≤ min{n, m}. Begründung: Da A n Spaltenvektoren hat, gilt rg(A) ≤ n. Da der Raum K^{m×1} ≃ K^{m} der Spaltenvektoren m-dimensional ist, gilt rg(A) ≤ m, vgl. (3.16) Austauschsatz von Steinitz.

2) Für A ∈ K^{n×n} gilt: rg(A) = n ⇔ A ∈ GL_{n}(K).

(4.22) Fakt: Sei L ∈ Hom(K^{n}, K^{m}) und A = Mat(L). Dann gilt

rg(A) = dim(span{Spaltenvektoren von A}) = dim(im L)
= n − dim(ker L) = n − dim{x ∈ K^{n×1} | Ax = 0}.

Bew.: Die 1. Gleichung folgt aus der Tatsache, daß die Dimension eines Vektorraums die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren dieses Vektorraums ist. Die 2. Gleichung, folgt aus “L(e_{j}) = j’ter Spaltenvektor von A” und im L = span{L(e_{j}) | 1 ≤ j ≤ n}. Die 3. Gleichung folgt aus (4.8) und die 4. Gleichung folgt aus der dritten.

(4.23) Satz. Für jedes A ∈ K^{m×n} ist rg(A) auch die maximale Zahl linear unabhängiger Zeilenvektoren von A (“Spaltenrang = Zeilenrang”).

Bew.: Siehe (4.25).

(4.24) Satz. Sei A = (a_{ij}) ∈ K^{m×n} und I das lineare Gleichungssystem

I A ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{m} )

und (A|b) ∈ K^{m×(n+1)} die Matrix ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} & b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} & b_{m} \end{matrix} )

Dann gilt: I besitzt eine Lösung ⇔ rg(A) = rg(A|b)

Bew.: A ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{m} ) ⇔ ( \begin{matrix}a_{11}x_{1} & + … + & a_{1n}x_{n} & = b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1}x_{1} & + … + & a_{mn}x_{n} & = b_{m} \end{matrix} ) ⇔

x_{1} \underbrace{( a_{11} ; ⋮ ; a_{m1} )}_{=:A_{1}} +x_{2} \underbrace{( a_{12} ; ⋮ ; a_{m2} )}_{=:A_{2}} + … + x_{n} \underbrace{( a_{1n} ; ⋮ ; a_{mn} )}_{=:A_{n}} = \underbrace{( b_{1} ; ⋮ ; b_{m} )}_{=b} ∈ K^{m×1}.

Also: I besitzt Lösung ⇔ span{A_{1}, …, A_{n}} = span{A_{1}, …, A_{n}, b} ⇔ rg(A) = rg(A|b)

Konkrete Rechenverfahren: (4.25) Lösen eines linearen Gleichungssystems mit dem Gaußschen Algorithmus in Matrizenschreibweise. (Zum Lösen von linearen Gleichungssystemen siehe auch (1.13), (1.15), (1.16), (3.25), (3.26) und (4.8) plus Anwendung).

Gegeben das lineare Gleichungssystem

a_{11}x_{1} + … + a_{1n}x_{n} = b_{1}
⋮  ⋮
a_{m1}x_{1} + … + a_{mn}x_{n} = b_{m}.

Setze

A_{1} := ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} & b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} & b_{m} \end{matrix} ) ∈ K^{m×(n+1)}.

1. Fall a_{11} ≠ 0:

A_{1} → A_{2} := ( \begin{matrix}1 & \frac{a_{12}}{a_{11}} & … & \frac{a_{1n}}{a_{11}} & \frac{b_{1}}{a_{11}} \\ 0 & a_{22} − a_{21} \frac{a_{12}}{a_{11}} & … & a_{2n} − a_{21} \frac{a_{1n}}{a_{11}} & b_{2} − a_{21} \frac{b_{1}}{a_{11}} \\ ⋮ & ⋮ & … & ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{m2} − a_{m1} \frac{a_{12}}{a_{11}} & … & a_{mn} − a_{m1} \frac{a_{1n}}{a_{11}} & b_{m} − a_{m1} \frac{b_{1}}{a_{11}} \end{matrix} )

2. Fall: a_{11} = 0, aber es existiert i > 1 : a_{i1} ≠ 0. Vertausche 1. und i’te Zeile von A_{1}. Dann 1. Fall.

3. Fall: a_{i1} = 0 für 1 ≤ i ≤ m, d.h.

A_{1} = ( \begin{matrix}0 a_{12} & … & b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ \\ 0 a_{m2} & … & b_{m} \end{matrix} ) ∈ K^{m×(n+1)}. Betrachte Ã_{1} = ( \begin{matrix}a_{12} & … & b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m2} & … & b_{m} \end{matrix} ) ∈ K^{m×n}.

Dann 1. Fall (für n − 1).

Iteriere! → Endergebnis ist eine Matrix (\overline{A}|\overline{b}) ∈ K^{m×(n+1)} in Treppenform, z.B.

\overline{A} = ( \begin{matrix}1 & ∗ & ∗ & · & · & · & ∗ \\ 0 & 0 & 1 & ∗ & · & · & ∗ \\ 0 & 0 & 0 & 1 & ∗ & · & ∗ \\ · & · & · & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) (hier ist j_{1} = 1, j_{2} = 3, j_{3} = 4),

d.h. es gibt Zahlen k ≤ min{m, n} und 1 ≤ j_{1} < j_{2} < … < j_{k} ≤ n (⇒ j_{i} ≥ i für i ∈ {1, …, k}) mit:

1) a_{ij_{i}} = 1 für 1 ≤ i ≤ k und a_{ij} = 0 für 1 ≤ i ≤ k und j < j_{i}.
2) a_{ij} = 0 für i > k.

Wegen (1.13) gilt für alle x = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) ∈ K^{n×1} und alle b = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{m} ) ∈ K^{m×1}:

(I)  Ax = b ⇔ \overline{A}x = \overline{b}  (\overline{I})

Falls b = 0, so \overline{b} = 0. Deshalb folgt aus (4.22):

rg(A) = n − dim\{x | Ax = 0\} = n − \underbrace{dim\{x | \overline{A}x = 0\}}_{=n−k} = rg(\overline{A}) = k.

Andererseits: rg(A) = k = dim(span\{Zeilenvektoren von \overline{A}\}) = dim(span\{Zeilenvektoren von A\})

Daraus folgt (4.23).

I besitzt Lösung ⇔ Für i > k = rg(A) gilt: \overline{b}_{i} = 0. Dann ist \overline{I} rekursiv auflösbar, beginnend mit der k’ten Zeile, und die Lösungsmenge von I (=Lösungsmenge von \overline{I}) ist ein (n−rg(A))- dimensionaler affiner Unterraum von K^{n}.

(4.26) Berechnung der inversen Matrix mit dem Gaußschen Algorithmus. Gegeben A ∈ K^{n×n}. Frage: Gilt A ∈ GL_{n}(K). Wenn ja, berechne A^{−1}.

Betrachte (A | E_{n}) = (A | \begin{matrix}1 & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & 1 \end{matrix} ) ∈ K^{n×(2n)} und wende (4.25) analog auf (A | E_{n})

an. Man erhält (\overline{A} | \overline{B}) ∈ K^{n×(2n)}, und es gilt A ∈ GL_{n}(K) ⇔ \overline{A} ∈ GL_{n}(K) ⇔ \overline{a}_{ii} = 1

für 1 ≤ i ≤ n. Ausserdem gilt \overline{a}_{ij} = 0 für i > j … (d.h. \overline{A} = ( \begin{matrix}1 & ∗ & … & ∗ \\ 0 & ... & & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ∗ \\ 0 & … & 0 & 1 \end{matrix} ) ). Durch

geeignete Additionen der letzten, der vorletzten, …, der 2. Zeile verwandelt man (\overline{A} | \overline{B}) in (En | \overline{\overline{B}}), und es gilt für j ∈ \{1, …, n\} und alle x ∈ K^{n×1}:

Ax = e_{j} ⇔ En x(= x) = j’te Zeile von \overline{\overline{B}} = \overline{\overline{B}}e_{j}.

Also: A\overline{\overline{B}}e_{j} = Ax = e_{j} für j ∈ \{1, …, n\} und damit A\overline{\overline{B}} = En. Also gilt:

\overline{\overline{B}} ist zu A inverse Matrix.

Zwei explizite Beispiele zu den Rechenverfahren.

Zu (4.25):

I \begin{aligned}x_{1} & + & x_{2} & − & x_{3} & − & x_{4} & = & −2 \\ 3x_{1} & + & 3x2 & − & x_{3} & − & 2x_{4} & = & 6 \\ −x_{1} & − & x_{2} & + & 3x_{3} & + & 2x_{4} & = & 14 \end{aligned}

(A|b) = \begin{matrix}( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & −1 \\ 3 & 3 & −1 & −2 \\ −1 & −1 & 3 & 2 \end{matrix} | \begin{matrix}−2 \\ 6 \\ 14 \end{matrix} ) & \begin{aligned}−3 | & + | \\ _{←}| & | \\ & _{←}| \end{aligned} \\ ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & −1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}−2 \\ 12 \\ 12 \end{matrix} ) & \begin{matrix}− | & : \frac{1}{2} \\ _{←}| \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix}( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} | \begin{matrix}−2 \\ 6 \\ 0 \end{matrix} ) & \begin{matrix}^{←}| \\ +| \end{matrix} \\ ( & \begin{matrix}1 & 1 & 0 & −\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} | & 4 6 0 & ) \end{matrix}

Es folgt: rg(A) = 2, I ist lösbar, der Lösungsraum L_{I} ist ein 2-dimensionaler affiner Unterraum.

Explizite Lösung:

x_{4} =: λ
x_{3} + \frac{1}{2}x_{4} = 6  ⇒ x_{3} = 6 − \frac{1}{2}λ
x_{2} =: μ
x_{1} + x_{2} − \frac{1}{2}x_{4} = 4 ⇒ x_{1} = \frac{1}{2}λ − μ + 4

L_{I} \begin{matrix}= \{(\frac{1}{2}λ − μ + 4, μ, 6 − \frac{1}{2}λ, λ) | (λ, μ) ∈ ℝ^{2}\} \\ = \{(4, 0, 6, 0) + λ(\frac{1}{2}, 0, −\frac{1}{2}, 1) + μ(−1, 1, 0, 0) | (λ, μ) ∈ ℝ^{2}\} \\ = (4, 0, 6, 0) + span\{(\frac{1}{2}, 0, −\frac{1}{2}, 1), (−1, 1, 0, 0)\} ⊆ ℝ^{4} \end{matrix}

Zu (4.26)

Berechnung von A^{−1} für A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{3×3}

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )  \begin{aligned}− | & − | \\ _{←}| & | \\ & _{←}| \end{aligned}

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} | \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \end{matrix} )  \begin{matrix}+| & ·(−1) \\ _{←}| \end{matrix}

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & −1 & 0 \\ −2 & 1 & 1 \end{matrix} )  \begin{aligned}& ^{←}| \\ ^{←}| & | \\ +| & −| \end{aligned}

( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}3 & −1 & −1 \\ −1 & 0 & 1 \\ −2 & 1 & 1 \end{matrix} )  \begin{matrix}^{←}| \\ −| \end{matrix}

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}4 & −1 & −2 \\ −1 & 0 & 1 \\ −2 & 1 & 1 \end{matrix} )  ⇒  A^{−1} = ( \begin{matrix}4 & −1 & −2 \\ −1 & 0 & 1 \\ −2 & 1 & 1 \end{matrix} ) ∈ GL_{3}(ℚ) ⊆ ℚ^{3×3}.

Speziell folgt: A ∈ GL_{3}(ℚ).

5. Die Determinante

Motivation: Ist V ein ℝ-Vektorraum der Dimension n und sind v_{1}, …, v_{n} linear unabhängige Vektoren in V, so heißt

P (v_{1}, …, v_{n}) = {∑_{i=1}^{n} t_{i}v_{i} | ∀i ∈ {1, …, n} : 0 ≤ t_{i} ≤ 1}

das von v_{1}, …, v_{n} aufgespannte Parallelotop.

Bsp.: n = 2: Parallotop = Parallelogramm.

Wie es bisher für uns keinen mathematischen Sinn hat von der “Länge eines Vektors v ∈ V ” zu sprechen (dazu benötigt man eine zusätzliche “mathematische Struktur” - eine Norm oder ein Skalarprodukt auf V), so benötigt man auch eine zusätzliche Struktur auf V, um “das” Volumen eines Parallelotops definieren zu können. Diese zusätzliche Struktur auf dem ℝ-Vektorraum V heißt eine Determinantenform und ist eine Funktion D : V^{n} = \underbrace{V × … × V}_{n-mal} → ℝ, die einer geordneten Basis (v_{1}, …, v_{n}) von V eine reelle Zahl (≠ 0)

zuordnet, deren Betrag wir als Definition für das Volumen von P (v_{1}, …, v_{n}) nehmen wollen. (Es stellt sich heraus, daß die Funktion D, die positive und negative Werte annimmt, das mathematisch natürliche Objekt ist. Das Vorzeichen von D(v_{1}, …, v_{n}) sagt etwas über die “Orientierung” der geordneten Basis (v_{1}, …, v_{n}) aus, d.h. im Fall V = ℝ^{3} (und in physikalischer Sprechweise) ob (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ein Rechts- oder ein Linkssystem ist). Damit man so zu einem vernünftigen Volumenbegriff kommt, wird D besondere Eigenschaften haben müssen. Es ist eine erfreuliche Tatsache, daß D durch folgende natürliche Forderungen nahezu eindeutig (d.h. bis auf Multiplikation mit einer reellen Zahl ≠ 0) bestimmt ist.

(V_{1}) (v_{1}, …, v_{n}) Basis ⇒ D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0.

(V_{2}) Für alle i ∈ {1, …, n}, (v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n} und r ∈ ℝ gilt:

D(v_{1}, …, v_{i−1}, rv_{i}, v_{i+1}, …, v_{n}) = rD(v_{1}, …, v_{n})

(V_{3}) Für alle 1 ≤ i < j ≤ n und alle (v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n} gilt

D(v_{1}, …, v_{i−1}, v_{i} + v_{j}, v_{i+1}, …, v_{n}) = D(v_{1}, …, v_{n}) = D(v_{1}, …, v_{j−1}, v_{i} + v_{j}, …, v_{n})

Dabei hat Forderung (V_{2}) die anschauliche Interpretation, daß das Volumen des Parallotops P (v_{1}, …, v_{i−1}, rv_{i}, v_{i+1}, …, v_{n}) das |r|-fache des Volumens von P (v_{1}, …, v_{n}) sein soll.

Die anschauliche Bedeutung von (V_{3}) ist die “Scherungsinvarianz” des Volumens.

(5.1) Def. Sei V ein K-Vektorraum, k ∈ ℕ. Eine Abbildung f : V^{k} → K heißt

(i) k-linear (k-Linearform), falls f in jedem Argument linear ist, d.h. falls für jedes i ∈ {1, …, k} und alle v_{1}, …, v_{i−1}, v, w, v_{i+1}, …, v_{k} ∈ V, α, β ∈ K gilt:

\begin{aligned}f(v_{1}, …, v_{i−1}, αv + βw, v_{i+1}, …, v_{k}) & = & αf(v_{1}, …, v_{i−1}, v, v_{i+1}, …, v_{k}) \\ & + & βf(v_{1}, …, v_{i−1}, w, v_{i+1}, …, v_{k}) \end{aligned}

(ii) alternierend (oder schiefsymmetrisch), falls für alle 1 ≤ i < j ≤ k und alle v_{1}, …, v_{k} ∈ V gilt: v_{i} = v_{j} ⇒ f(v_{1}, …, v_{i}, …, v_{j}, …, v_{k}) = 0

(5.2) Lemma. Sei V K-Vektorraum, dim V = n und f : V^{n} → K. f erfüllt genau dann die Bedingungen (V_{2}) (für K statt ℝ) und (V_{3}), wenn f alternierend und n-linear ist.

Bew.: siehe R. Walter, Einf. i.d. Lin. Alg. (Vieweg-Verlag 1982) S. 146, Satz D).

(5.3) Lemma. Für jede alternierende k-Linearform f : V^{k} → K gilt:

(i) ∀1 ≤ i < j ≤ k: f(…, v^{i}, …, w^{j}, …) = −f(…, w^{i}, …, v^{j}, …)

(ii) v_{1}, …, v_{n} linear abhängig ⇒ f(v_{1}, …, v_{n}) = 0

(iii) ∀1 ≤ i < j ≤ k: f(…, v^{i}, …, w + λv^{j}, …) = f(…, v^{i}, …, w^{j}, …)

Bew.:

(i)

0 = f(…, v + w, …, v + w, …)
= f(…, v, …, v + w, …) + f(…, w, …, v + w, …)
= \underbrace{f(…, v, …, v, …)}_{=0} +f(…, v, …, w, …)

+f(…, w, …, v, …) + \underbrace{f(…, w, …, w, …)}_{=0}

(ii) Sei etwa v_{i} = ∑_{\begin{matrix}j=1 \\ j≠i \end{matrix}}^{k} α_{j}v_{j}. Dann:

f(v_{1}, …, v_{n}) = ∑_{\begin{matrix}j=1 \\ j≠i \end{matrix}}^{n} α_{j} \underbrace{f(v_{1}, …, v_{i−1}, v_{j}, v_{i+1}, …, v_{k})}_{=0} = 0

(iii) klar.

Wir werden uns als nächstes damit beschäftigen, herauszufinden, wie sich der Wert einer alternierenden Form ändert, wenn man die Argumente ganz beliebig vertauscht (“permutiert”). Zunächst einiges zu diesen Permutationen:

Die Menge S_{n} = {σ | σ : {1, …, n} → {1, …, n}, σ bijektiv} mit der Komposition ∘ von Abbildungen als Verknüpfung bildet eine Gruppe, die symmetrische Gruppe. Ein σ ∈ S_{n} heißt eine Permutation von {1, …, n}.

Sind a_{1}, …, a_{k} Körperelemente, so führen wir in Analogie zum Summensymbol Σ ein:

∏_{i=1}^{k} a_{i} := a_{1} · a_{2} · . . . · a_{k}.

(5.4) Def.: Ist σ ∈ S_{n}, so heißt

sgn(σ) := ∏_{1≤i<j≤n} \frac{σ(j) − σ(i)}{j − i}

das Signum von σ.

Bsp.: 1) σ = id_{{1,...,n}} ⇒ sgn(σ) = 1.

2) Ist σ ∈ S_{2} mit σ(1) := 2, σ(2) := 1, so sgn(σ) = \frac{1−2}{2−1} = −1.

3) σ ∈ S_{n} heißt \underline{Transposition} ⇔ ∃1 ≤ i < j ≤ n: σ(i) = j, σ(j) = i und σ(k) = k, falls k ∈ {1, …, n} \ {i, j}.

(5.5) Fakt.

(i) sgn : S_{n} → {±1}

(ii) sgn(σ) = (−1)^{Fehlstandszahl von σ}, wobei die Fehlstandszahl von σ die Anzahl der

Paare (i, j) ist mit 1 ≤ i < j ≤ n und σ(i) > σ(j). (iii) σ ∈ S_{n} Transposition ⇒ sgn(σ) = −1 (σ hat 2(j − i) − 1 Fehlstände!).

Bez.: Eine Permutation σ heißt gerade, falls sgn(σ) = 1, sonst ungerade.

(5.6) Satz. Für alle σ, τ ∈ S_{n} gilt sgn(σ ∘ τ) = sgn(σ) sgn(τ), d.h. σ ist Homomorphismus von (S_{n}, ∘) in die Gruppe(!) ({±1}, ·).

Bew.: Vorbemerkung: Wegen \frac{σ(j)−σ(i)}{j−i} = \frac{σ(i)−σ(j)}{i−j} kann man in der Definition von sgn(σ) statt über alle Paare (i, j) mit 1 ≤ i < j ≤ n zu multiplizieren über irgendeine Menge von Paaren (i, j) multiplizieren, die die Eigenschaft hat, daß die Menge der zugehörigen Paarmengen {i, j} die Menge aller 2-elementigen Teilmengen von {1, …, n} ist.

sgn(σ ∘ τ) = ∏_{1≤i<j≤n} \frac{σ(τ(j)) − σ(τ(i))}{j − i} = \underbrace{∏_{1≤i<j≤n} \frac{σ(τ(j)) − σ(τ(i))}{τ(j) − τ(i)}}_{= sgn(σ) (vgl. Vorbemerkung)} \underbrace{∏_{1≤i<j≤n} \frac{τ(j) − τ(i)}{j − i}}_{=:sgn(τ)}

(5.7) Folgerung.

(i) sgn(σ^{−1}) = sgn(σ).

(ii) Sei τ ∈ S_{n} ungerade. Dann bildet die Abbildung σ → τ ∘ σ die Menge der geraden Permutationen bijektiv auf die Menge der ungeraden Permutationen ab.

Bew.:

(i) 1 = sgn(id) = sgn(σ ∘ σ^{−1}) = sgn(σ) sgn(σ^{−1}) ⇒ sgn(σ) = sgn(σ^{−1}).

(ii) sgn(σ) = 1 ⇒ sgn(τ ∘ σ) = −1. Die Abbildung σ → τ ∘ σ ist injektiv, da aus τ ∘ σ_{1} = τ ∘ σ_{2} folgt τ^{−1} ∘ (τ ∘ σ_{1}) = σ_{1} = τ^{−1} ∘ (τ ∘ σ_{2}) = σ_{2}. Ist σ̃ ∈ S_{n} ungerade, so gilt τ ∘ (τ^{−1} ∘ σ̃) = σ̃ und sgn(τ^{−1} ∘ σ̃) = sgn(τ^{−1}) sgn(σ̃) =^{(i)} sgn(τ) sgn(σ̃) = (−1)(−1) = 1.

(5.8) Fakt. Ist n ≥ 2 und σ ∈ S_{n}, so existiert k ∈ {1, …, n} und Transpositionen τ_{1}, …, τ_{k}, so daß σ = τ_{1} ∘ … ∘ τ_{k} gilt. Es gilt dann sgn(σ) = (−1)^{k}. Bew.: Offensichtlich (oder per Induktion). sgn(σ) = (−1)^{k} folgt aus (5.6) und (5.5) (iii). (5.9) Lemma. Sei V K-Vektorraum und f : V^{k} → K k-linear und alternierend. Dann gilt für alle (v_{1}, …, v_{k}) ∈ V^{k} und alle σ ∈ S_{k}:

f(v_{σ(1)}, …, v_{σ(k)}) = sgn(σ)f(v_{1}, …, v_{k}).

Bew.: Folgt aus (5.3) (i) und (5.8). (5.10) Satz. Sei V K-Vektorraum, dim V = n, (v_{1}, …, v_{n}) Basis V und α ∈ K. Dann gibt es genau eine alternierende n-Linearform f : V^{n} → K mit f(v_{1}, …, v_{n}) = α und für

dieses f gilt: Ist (w_{1}, …, w_{n}) ∈ V^{n}, w_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}v_{i}, so

(∗) f(w_{1}, …, w_{n}) = α ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{σ(1)1} · a_{σ(2)2} · . . . · a_{σ(n)n}.

Speziell: Ist f(v_{1}, …, v_{n}) = 0 für eine Basis (v_{1}, …, v_{n}), so ist f ≡ 0. Bew.: (i) Eindeutigkeit: Sei f alternierende n-Form, f(v_{1}, …, v_{n}) = α

f(w_{1}, …, w_{n})  =  f ( ∑_{i_{1}=1}^{n} a_{i_{1}1}v_{i_{1}}, ∑_{i_{2}=1}^{n} a_{i_{2}2}v_{i_{2}}, …, ∑_{i_{n}=1}^{n} a_{i_{n}n}v_{i_{n}})
=^{f n-linear}  ∑_{i_{1}=1}^{n} ∑_{i_{2}=1}^{n} … ∑_{i_{n}=1}^{n} a_{i_{1}1} · a_{i_{2}2} · . . . · a_{i_{n}n} \underbrace{f(v_{i_{1}}, v_{i_{2}}, …, v_{i_{n}})}_{= 0, falls k → i_{k} nicht injektiv}

f alternierend =  ∑_{σ∈S_{n}} a_{σ(1)1} · a_{σ(2)2} · . . . · a_{σ(n)n}f(v_{σ(1)}, …, v_{σ(n)})

=^{(5.9)}  α ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{σ(1)1} · . . . · a_{σ(n)n}

Vorbem. zu (ii): σ ∈ S_{n} ⇒ ∏_{i=1}^{n} b_{i} = ∏_{i=1}^{n} b_{σ(i)} (· kommutativ!)

(ii) Wir zeigen: ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{1σ(1)} · . . . · a_{nσ(n)} = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{σ(1)1} · . . . · a_{σ(n)n}.

Denn ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{1σ(1)}·. . .·a_{nσ(n)} =^{σ∈S_{n}→σ^{−1}∈S_{n} bijektiv} ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ^{−1}) \underbrace{a_{1σ^{−1}(1)} · . . . · a_{nσ^{−1}(n)}}_{= ∏_{i=1}^{n} b_{i} für b_{i}:=a_{iσ^{−1}(i)}} =^{(5.7)(i)}  ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ) \underbrace{a_{σ(1)1} · . . . · a_{σ(n)n}}_{= ∏_{i=1}^{n} b_{σ(i)}}

(iii) Existenz: Definiere f durch (∗). Man sieht leicht, daß f n-linear ist. Außerdem gilt

wegen v_{j} = ∑_{i=1}^{n} δ_{ij}v_{i} (mit δ_{ij} = 1 für i = j, δ_{ij} = 0 für i ≠ j):

f(v_{1}, …, v_{n}) = α ∑ sgn(σ)δ_{σ(1)1} · . . . · δ_{σ(n)n} = α sgn(id) = α.

Bleibt zu zeigen, daß f(w_{1}, …, w_{n}) = 0 gilt, falls für ein Paar (i, j) mit 1 ≤ i < j ≤ n gilt:

w_{i} = w_{j}. Ist w_{k} = ∑_{l=1}^{n} a_{lk}v_{l}, 1 ≤ k ≤ n, so folgt aus w_{i} = w_{j}:

(∗∗) a_{li} = a_{lj} für 1 ≤ l ≤ n.

Sei τ die Transposition, die i und j vertauscht.

f(w_{1}, …, w_{n}) =^{(ii)} α ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{1σ(1)} · . . . · a_{nσ(n)} =^{(5.7)(ii)}
= α ∑_{σ∈S_{n}gerade} a_{1σ(1)} · . . . · a_{nσ(n)} − α ∑_{σ∈S_{n}gerade} a_{1τ∘σ(1)} · . . . · a_{nτ∘σ(n)} = 0,

da aus (∗∗) folgt: a_{lσ(l)} = a_{lτ∘σ(l)} für alle l ∈ {1, …, n} und alle σ ∈ S_{n}.

(5.11) Def.: Sei V K-Vektorraum, dim V = n. Eine alternierende n-Linearform D : V^{n} → K, D ≠ 0, heißt \underline{Determinantenform} \underline{auf} V.

Erinnerung: D ≠ 0 bedeutet: Es existiert (v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n}: D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0.

Bsp.: D_{0} : ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ, D_{0}((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) = x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1}.

D_{0}(e_{1}, e_{2}) = 1

(5.12) Folgerung. Sei D Determinantenform auf dem n-dimensionalen K-Vektorraum V und (v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n}. Dann gilt

(i) (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V ⇔ D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0.

(ii) Ist f : V^{n} → K alternierende n-Linearform, so existiert α ∈ K : f = αD.

Bem.: 1) (ii) ⇔ {f | f alternierende n-Linearform} ist 1-dimensionaler K-Vektorraum. Die Determinantenformen sind die Elemente ≠ 0 dieses Vektorraumes.

2) f = αD, (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V ⇒ α = \frac{f(v_{1},...,v_{n})}{D(v_{1},...,v_{n})}

57

Bew.: (i) Sei (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V. Dann folgt aus (5.10) (“Speziell:”) und D ≠ 0, daß D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0 gilt. Ist D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0, so folgt aus (5.3)(ii), daß die v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig sind, also - wegen dim V = n - eine Basis von V.

(ii) Sei (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V und α := \frac{f(v_{1},...,v_{n})}{D(v_{1},...,v_{n})}. Dann sind f und αD alternierende n-Linearformen, die auf der Basis (v_{1}, …, v_{n}) den gleichen Wert annehmen. Also folgt aus (5.10) (Eindeutigkeit): f = αD.

Einschub: Die Determinante quadratischer Matrizen.

In K^{n} haben wir die Standardbasis (e_{1}, …, e_{n}), die - nach (5.10) - eine “Standarddeterminantenform” D_{0} : K^{n} × … × K^{n} → K durch

D_{0}(e_{1}, …, e_{n}) = 1

eindeutig bestimmt. Ist A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ K^{n}, so seien A_{j} := ∑_{i=1}^{n} a_{ij}e_{i} die “Spaltenvekto-

ren” von A.

(5.13) Def. Die Determinante det : K^{n×n} → K ist definiert durch

det A := D_{0}(A_{1}, …, A_{n})

Bezeichnungsweise: det A = | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{matrix} |

(5.14) Folgerung (Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716). Ist A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ K^{n×n}, so

det A = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{σ(1)1} · . . . · a_{σ(n)n}.

Bem.: Beweis (5.10)(ii) ⇒ det A = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{1σ(1)} · . . . · a_{nσ(n)}.

Bew.: det(A) = D_{0}(A_{1}, …, A_{n}), A_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}e_{i}, D_{0}(e_{1}, …, e_{n}) = 1 ⇒^{(5.10)} Beh.

Speziell: \begin{matrix}n = 1 : & A = (a_{11}) → & det A = a_{11} \\ n = 2 : & A = _{a_{21}a_{22}}^{a_{11} a_{12}} → & det A = a_{11}a_{22} − a_{12}a_{21} \end{matrix}

n = 3: Regel von Sarrus (Rechenverfahren)

a_{11}  a_{12}  a_{13}  a_{11}  a_{12}
⧹  ×  ×  ⧸
a_{21}  a_{22}  a_{23}  a_{21}  a_{22}
⧸  ×  ×  ⧹
a_{31}  a_{32}  a_{33}  a_{31}  a_{32}

\begin{aligned}det A & = & a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ & − & a_{31}a_{22}a_{13} − a_{32}a_{23}a_{11} − a_{33}a_{21}a_{12} \end{aligned}

(5.15) Satz (einige Eigenschaften von det A)

(i) det A ist n-linear und alternierend in den Spaltenvektoren von A.

(ii) det E_{n} = 1.

(iii) det A ≠ 0 ⇔ A ∈ GL_{n}(K).

Bew.:

(i) folgt direkt aus der Definition.

(ii) det E_{n} = D_{0}(e_{1}, …, e_{n}) = 1.

(iii) det A ≠ 0 ⇔^{(5.12)(i)} Spaltenvektoren linear unabhängig ⇔ A ∈ GL_{n}(K).

Folgerungen aus (5.15)(i):

| \begin{matrix}a_{11} & … & αa_{1j} & … & a_{n1} \\ ⋮ & & & & ⋮ \\ a_{m1} & … & αa_{nj} & … & a_{nn} \end{matrix} | = α | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{n1} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{matrix} |

und: det(αA) = α^{n} det A.

Vertauscht man 2 Spalten von A, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Addiert man zu einer Spalte eine Linearkombination \underline{der anderen} Spalten, so ändert sich det A nicht, z.B.

| \begin{matrix}a_{11} + αa_{12} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} + αa_{22} & a_{22} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} + αa_{n2} & a_{n2} & … & a_{nn} \end{matrix} | = | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{matrix} |

(5.15)(iii): det A = 0 ⇔ Spaltenvektoren sind linear abhängig.

(5.16) Def. Sei A ∈ K^{m×n}. Die \underline{transponierte} \underline{Matrix} A^{T} ∈ K^{n×m} \underline{zu} A hat als Zeilen gerade die Spalten von A (in der gleichen Reihenfolge), d.h.

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} \end{matrix} ) ⇒ A^{T} = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{m1} \\ a_{12} & … & a_{m2} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{1n} & … & a_{mn} \end{matrix} )

oder: A = (a_{ij})_{\begin{matrix}1≤i≤m \\ 1≤j≤n \end{matrix}} ∈ K^{m×n}, so A^{T} = (ã_{ji})_{\begin{matrix}1≤j≤n \\ 1≤i≤m \end{matrix}} mit ã_{ji} = a_{ij}.

Bsp.: A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{2×3} ⇒ A^{T} = ( \begin{matrix}1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{3×2}.

(5.17) Folgerung (aus Bew. (5.10)(ii)).

(i) ∀A ∈ K^{n×n} : det A = det(A^{T}).

(ii) det A ist auch in den Zeilenvektoren von A n-linear und alternierend. (D.h. (5.15)(i) + Folgerungen gelten auch für Zeilenvektoren).

Bew.:

(i) (A^{T} = (ã_{ji})_{\begin{matrix}1≤j≤n \\ 1≤i≤n \end{matrix}} mit ã_{ji} = a_{ij}.

det(A^{T}) = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)ã_{σ(1)1} · . . . · ã_{σ(n)n} ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{1σ(1)} · . . . · a_{nσ(n)} =^{Bew.(5.10)(ii)} det A.

(ii) folgt aus (i).

Konkretes Verfahren zur Berechnung von det A für größere n: Durch Addition von Vielfachen von Zeilen zu anderen Zeilen und - falls nötig - durch Vertauschung von Zeilen verwandle A in “obere Dreiecksmatrix” \overline{A} = (\overline{a}_{ij}) (d.h. \overline{a}_{ij} = 0 für i > j), analog zu (4.25). Dann gilt, wenn k die Anzahl der Zeilenvertauschungen bezeichnet:

det A = (−1)^{k} det \overline{A} = (−1)^{k}\overline{a}_{11} · . . . · \overline{a}_{nn}. Denn:

(5.18) Lemma. Ist A = (a_{ij}) ∈ K^{n×n} obere (oder untere) Dreiecksmatrix, so gilt det A = a_{11} · . . . · a_{nn}.

Bew.: a_{σ(1)1} · . . . · a_{σ(n)n} ≠ 0 ⇒ ∀i ∈ {1, …, n} : σ(i) ≤ i ⇒ σ = id ⇒ Beh.

Bsp.:

| \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 8 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{matrix} | \begin{aligned}−4 | & −7 | \\ _{←}| & | \\ & _{←}| \end{aligned} = | \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & −6 \\ 0 & −6 & −11 \end{matrix} | = − | \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & −6 & −11 \\ 0 & 0 & −6 \end{matrix} | = −36

Zurück zur Theorie:

Bem.: Ist K = ℝ, dim V = n und D : V^{n} → ℝ Determinantenform, so definiert man das Volumen (bzgl. D) vol_{D}(P) eines Parallelotops P = P (v_{1}, …, v_{n}) ⊆ V durch vol_{D}(P) = |D(v_{1}, …, v_{n})|. Wegen (5.12)(ii) gilt:

Sind D, D̃ Determinantenformen auf V, so existiert α ∈ ℝ_{>0}, so daß für alle Parallelotope P = P (v_{1}, …, v_{n}) ⊆ V gilt:

volD̃(P) = α vol_{D}(P).

(5.19) Satz und Def. Sei V n-dimensionaler K-Vektorraum und L ∈ End(V). Dann ist für jede Basis (v_{1}, …, v_{n}) von V und jede Determinantenform D auf V der Quotient \frac{D(L(v_{1}),...,L(v_{n}))}{D(v_{1},...,v_{n})} das gleiche Element von K und wir definieren

det L := \frac{D(L(v_{1}), …, L(v_{n}))}{D(v_{1}, …, v_{n})}.

Bem.: Sei K = ℝ. Dann gilt für jedes Parallelotop P ⊆ V^{n} und jede Determinantenform D: vol_{D}(L(P)) = | det L| vol_{D}(P). (L linear ⇒ L(P (v_{1}, …, v_{n})) = P (L(v_{1}), …, L(v_{n}))!)

Bew. von (5.19): Wegen (5.12)(i) gilt D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0. Aus (5.12)(ii) folgt, daß det L unabhängig von der Wahl von D ist. Um die Unabhängigkeit von der Wahl der Basis zu beweisen, bemerken wir, daß

f : (w_{1}, …, w_{n}) ∈ V^{n} → D(L(w_{1}), …, L(w_{n}))

eine alternierende n-Linearform ist, so daß aus (5.12)(ii) folgt: Es existiert α ∈ K:

f = αD.

Für jede Basis v_{1}, …, v_{n}) von V gilt also:

α = \frac{f(v_{1}, …, v_{n})}{D(v_{1}, …, v_{n})} = \frac{D(L(v_{1}), …, L(v_{n}))}{D(v_{1}, …, v_{n})}(=: det L).

(5.20) Folgerung. Seien L, L_{1}, L_{2} ∈ End(V), α ∈ K. Dann gilt:

(i) det(id_{V}) = 1 (ii) L ∈ Aut(V) ⇔ det L ≠ 0 (iii) det(L_{2} ∘ L_{1}) = det L_{2} det L_{1} (iv) L ∈ Aut(V) ⇒ det(L^{−1}) = (det L)^{−1}

(v) det(αL) = α^{n} det(L)

Bew.:

(ii)

L ∈ Aut(V)  ⇔^{(4.5)}  Ist(v_{1}, …, v_{n}) Basis, so auch(L(v_{1}), …, L(v_{n}))
⇔^{(5.12)(i), (5.19)} det L ≠ 0.

(iii) 1. Fall: L_{1} ∈ Aut(V). Sei (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V. Dann ist (L(v_{1}), …, L(v_{n})) Basis von V, und es gilt:

det(L_{2} ∘ L_{1}) = \frac{D(L_{2}(L_{1}(v_{1})),...,L_{2}(L_{1}(v_{n})))}{D(v_{1},...,v_{n})}
= \frac{D(L_{2}(L_{1}v_{1}),...,L_{2}(L_{1}(v_{n})))}{D(L_{1}(v_{1}),...,L_{1}(v_{n}))} · det L_{1}
= det L_{2} · det L_{1}

2. Fall: L_{1} ∉ Aut(V)(⇔^{(ii)} det L_{1} = 0). Dann ist L_{1} nicht injektiv, vgl. (4.8). Also ist auch L_{2} ∘ L_{1} nicht injektiv, also det(L_{2} ∘ L_{1}) = 0. Daraus folgt:

0 = det L_{2} \underbrace{det L_{1}}_{=0} = det(L_{2} ∘ L_{1})

(iv) L ∈ Aut(V) ⇒ 1 =^{(i)} det(id_{V}) = det(L^{−1} ∘ L) =^{(iii)} det(L^{−1}) det L ⇒ Beh.

(v) folgt direkt auf Def. (5.19).

Zusammenhang mit der Determinante von Matrizen:

(5.21) Fakt.

(i) Sei L ∈ End(K^{n}) und Mat(L) = A, d.h. “L(x) = A ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) ”.

Dann gilt: det L = det A.

(ii) Sei V K-Vektorraum G = (v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n} Basis von V und L ∈ End(V).

Dann gilt: det L = det(Mat_{G}^{G}(L)).

Bew.:

(i) Mat(L) = A ⇔ L(e_{j}) = A_{j} ⇒

det L = \frac{D_{0}(L(e_{1}), …, L(e_{n}))}{D_{0}(e_{1}, …, e_{n})} = D_{0}(A_{1}, …, A_{n}) = det A.

(ii) Sei J ∈ Hom(K^{n}, V) der Isomorphismus mit J(e_{j}) = v_{j} für j ∈ {1, …, n}, vgl.

(4.5). Dann gilt Mat(J^{−1} ∘ L ∘ J) = Mat_{G}^{G}(L), da J^{−1} ∘ L ∘ J(e_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ij} \underbrace{e_{i}}_{=J^{−1}(v_{i})} ⇔

L(v_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}v_{i}. Wir verwenden auf V die Determinantenform (!) D, die durch

D(w_{1}, …, w_{n}) = D_{0}(J^{−1}(w_{1}), …, J^{−1}(w_{n}))

definiert ist. Dann gilt D(v_{1}, …, v_{n}) = D_{0}(e_{1}, …, e_{n}) = 1 und damit

det L = D(L(v_{1}), …, L(v_{n})) = D_{0}(J^{−1} ∘ L(v_{1}), …, J^{−1} ∘ L(v_{1})) = D_{0}(J^{−1} ∘ L ∘ J(e_{1}), …, J^{−1} ∘ L ∘ J(e_{n})) = det(J^{−1} ∘ L ∘ J) =^{(i)} det(Mat(J^{−1} ∘ L ∘ J)) = det(Mat_{G}^{G}(L)).

Bem.: Es gilt i.a. \underline{nicht} det L = det(Mat\overline{G} ; G(L)), wenn G und \overline{G} verschiedene Basen von V sind.

(5.22) Folgerung (aus (5.20)(ii), (iii), (5.21) und (4.15)).

(i) A, B ∈ K^{n×n} ⇒ det(AB) = det A · det B.

(ii) A ∈ GL_{n}(K) ⇒ det(A^{−1}) = (det A)^{−1}

Speziell besagt (5.22): Die Abbildung A → det A ist ein Gruppenhomomorphismus von (GL_{n}(K), ·) auf (K \ {0}, ·). SL_{n}(K) = {A ∈ GL_{n}(K)| det A = 1} ist Untergruppe von GL_{n}(K), die \underline{spezielle lineare Gruppe}.

Eigenwerte und Eigenvektoren (eine Anwendung der Determinante)

(5.23) Def.: Sei V K-Vektorraum, L ∈ End(V). λ ∈ K heißt \underline{Eigenwert} (EW) \underline{von} L, falls ein v ∈ V \ \{0\} existiert mit L(v) = λv. v ∈ V heißt \underline{Eigenvektor} (EV) \underline{von} L, falls v ≠ 0 gilt und ein λ ∈ K existiert mit L(v) = λv. In diesem Fall heißt v ein Eigenvektor zum Eigenwert λ.

Bem.: v EV zum EW λ, α ∈ K \ {0} ⇒ αv EV zum EW λ.

Bsp.:

1) Ist L = λ id_{V}, so ist λ der einzige EW von L und jedes v ∈ V \ {0} ist EV zum EW λ.

2) Ist L : K^{n} → K^{n} definiert durch L(e_{i}) = λ_{i}e_{i} für alle i ∈ {1, …, n}, d.h.

Mat(L) = ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & … & 0 & λ_{n} \end{matrix} ) ,

so sind λ_{1}, …, λ_{n} Eigenwerte von L und e_{1}, …, e_{n} Eigenvektoren von L.

3) L : ℝ^{2} → ℝ^{2}, L(x_{1}, x_{2}) = (x_{1} + x_{2}, x_{2}) “Scherung”, mit

Mat(L) = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

Dann ist λ = 1 der einzige EW von L und x ∈ ℝ^{2} ist genau dann EV von L, wenn x = (x_{1}, 0) für ein x_{1} ≠ 0 gilt.

4) L : ℝ^{2} → ℝ^{2}, L(x_{1}, x_{2}) = (ax_{1} − bx_{2}, bx_{1} + ax_{2}) mit

Mat(L) = ( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) .

Es folgt aus Aufgabe 1b), Blatt 11, daß L für b ≠ 0 keinen (reellen) EW hat. Geometrisch ist L eine “Drehstreckung”. Identifiziert man ℝ^{2} mit ℂ durch (x_{1}, x_{2}) ↔ x_{1}+ix_{2}, vgl. Kap. 2, so kann man L schreiben als: L(x_{1}+ix_{2}) = (a+ib)(x_{1}+ix_{2}). Die Abbildung, die z ∈ ℂ die Zahl (a + ib)z ∈ ℂ zuordnet, ist also eine Drehstreckung.

5) “Gekoppelte Schwingungen”: Gegeben A ∈ End(ℝ^{n}), gesucht Lösungen x : ℝ → ℝ^{n} der “Differentialgleichung”:

(∗) x′′(t) = A(x(t)) für alle t ∈ ℝ.

Ist v ∈ ℝ^{n} EV von A zum EW λ ∈ ℝ und ist f : ℝ → ℝ Lösung von f′′(t)-λf(t) = 0 (diese sind explizit bekannt!), so ist x(t) := f(t)v Lösung von (∗):

x′′(t) = f′′(t)v = λf(t)v = f(t)A(v) = A(f(t)v) = A(x(t)).

(5.24) Satz. Sei 1 ≤ dim V < ∞, L ∈ End(V). Dann gilt:

λ EW von L ⇔ det(L − λ id_{V}) = 0.

Bew.: det(L − λ id_{V}) = 0 ⇔^{(5.20)(ii)} (L − λ id_{V}) ∉ Aut(V) ⇔^{(4.8)} kern(L − λ id_{V}) ≠ {0} ⇔ ∃v ∈ V \ {0} : (L − λ id_{V})(v) = 0 ⇔ ∃v ∈ V \ {0} : L(v) = λv.

Bem.: Ist Mat_{G}^{G}(L) = (a_{ij}) ∈ K^{n×n}, so gilt Mat_{G}^{G}(L − λ id_{V}) = (a_{ij} − λδ_{ij})_{1≤i,j≤n}. Also nach (5.21):

det(L − λ id_{V}) = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)(a_{1σ(1)} − λδ_{1σ(1)}) · . . . · (a_{nσ(n)} − λδ_{nσ(n)})
= (−1)^{n}λ^{n} + (∑_{i=1}^{n} a_{ii}) (−1)^{n−1}λ^{n−1}+?λ^{n−2} + … +?λ + det L,

mit von den a_{ij} abhängenden Koeffizienten ?, die uns im Moment nicht weiter interessieren. Einen Ausdruck dieser Art nennt man “ein Polynom in (der Variablen) λ”.

Bez.: P_{L}(λ) := det(L − λ id_{V}) heißt das \underline{charakteristische Polynom von} L.

(5.24) besagt: λ EW von L ⇔ P_{L}(λ) = 0 ⇔^{def.} λ Nullstelle von P_{L}. Ob Polynome (vom Grad ≥ 1) \underline{stets} Nullstellen haben, hängt vom Körper K ab!

K = ℚ, ℝ → nicht immer, z.B. λ^{2} + 1
K = ℂ  → stets (“Fundamentalsatz der Algebra”)

Verfahren zur Bestimmung von EW’en und EV’en eines L ∈ End(V):

1) Berechne P_{L} (= det(L − λ id_{V})).

2) Bestimme Nullstellen von P_{L} (= EW’e von L). Das ist oft nur approximativ möglich.

3) λ Nullstelle von P_{L} ⇒ Das lineare Gleichungssystem L(v) = λv besitzt Lösung v ≠ 0. Bestimme alle Lösungen ≠ 0(= EVen zum EW λ).

Es ist leicht zu zeigen: Besitzt P_{L} n(= dim V) verschiedene Nullstellen, so ist L diago-

nalisierbar (⇔ es existiert Basis G von V: Mat_{G}^{G}(L) = ( \begin{matrix}λ_{1} \\ & ... & 0 \\ & 0 & ... \\ & & & λ_{n} \end{matrix} ), nämlich:

G = (v_{1}, …, v_{n}), v_{i} EV von L zum EW λ_{i}).

Weitere Anwendungen der Determinante:

(5.25) Def.: Eine (geordnete) Basis (v_{1}, …, v_{n}) des ℝ^{n} heißt positiv orientiert (oder Rechtssystem), falls D_{0}(v_{1}, …, v_{n}) > 0 (sonst negativ orientiert oder Linkssystem).

Bsp.: (e_{1}, …, e_{n}) ist positiv orientiert, (−e_{1}, e_{2}, …, e_{n}) und (e_{2}, e_{1}, e_{3}, …, e_{n}) sind negativ orientiert.

Bem.: Ist L ∈ Aut(ℝ^{n}), det L > 0, so gilt:

(v_{1}, …, v_{n}) positiv orientierte Basis ⇔ (L(v_{1}), …, L(v_{n})) positiv orientierte Basis.

(5.26) Cramersche Regel (Gabriel Cramer 1704-1752). Sei

I \begin{matrix}a_{11}x_{1} & + … + & a_{1n}x_{n} = & b_{1} \\ ⋮ & & & ⋮ \\ a_{n1}x_{1} & + … + & a_{nn}x_{n} = & b_{1} \end{matrix} oder kurz: A ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{n} ) = b

Gleichungssystem mit n Gleichungen für n Unbekannte. Dann gilt: Ist det A ≠ 0, so ist

x_{k} = \frac{1}{det A} | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1,k−1} & b_{1} & a_{1,k+1} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{n,k−1} & b_{n} & a_{n,k+1} & … & a_{nn} \end{matrix} | ( für k = 1, …, n)

die (einzige) Lösung von I.

Bew.: det A ≠ 0 ⇔^{(5.20)(ii)} x ∈ ℝ^{n} → Ax ∈ ℝ^{n} ist bijektiv. Also existiert genau eine Lösung von I, d.h. genau ein x ∈ ℝ^{n}: Ax = b. Sind A_{1}, …, A_{n} die Spaltenvektoren von A, so bedeutet Ax = b gerade

x_{1}A_{1} + x_{2}A_{2} + … + x_{n}A_{n} = b (vgl. I!)

Also gilt:

D_{0}(A_{1}, …, A_{k−1}, b, A_{k+1}, …, A_{n})  =  D_{0}(A_{1}, …, A_{k−1}, ∑_{i=1}^{n} x_{i}A_{i}, A_{k+1}, …, A_{n})
=^{D_{0} n-linear}  ∑_{i=1}^{n} x_{i}D_{0}(A_{1}, …, A_{k−1}, A_{i}, A_{k+1}, …, A_{n})

D_{0} alternierend

= x_{k} det A.

Eine weitere Erkenntnis, die uns die Determinante schenkt:

Nach (5.15)(iii) wissen wir, daß eine \underline{reelle} quadratische Matrix A ∈ K^{n×n} genau dann in GL_{n}(ℝ) liegt, wenn det A ≠ 0 gilt. Daraus folgt mit etwas Analysis: Für die “meisten” Matrizen (“für eine offene, dichte Menge” bzw. “für alle bis auf eine Menge vom Maß 0”) A ∈ ℝ^{n×n} gilt A ∈ GL_{n}(R). Speziell: “Typischerweise” ist ein System von n linearen Gleichungen für n (reelle) Unbekannte eindeutig lösbar. Oder geometrisch: “Typischerweise” schneiden sich (z.B.) zwei 3-dim. affine Unterräume des ℝ^{6} in genau einem Punkt des ℝ^{6} (2mal 3 lineare Gleichungen für 6 Unbekannte).

Zum Abschluß des Kapitels noch eine (i.a. nicht besonders praktische) Möglichkeit zum Berechnen von Determinanten - der Laplacesche Entwicklungssatz (Pierre Simon Laplace 1749-1827)).

(5.27) Lemma. Ist Ã ∈ K^{(n−1)×(n−1)} und A := ( \begin{matrix}1 & 0 … 0 \\ 0 \\ ⋮ & Ã \\ 0 \end{matrix} ) ∈ K^{n×n}, so gilt

det A = det Ã.

Bew.: Als Funktion der Spaltenvektoren von Ã ist det A (n−1)-linear, alternierend, und für Ã = E_{n−1} gilt A = E_{n} und det E_{n} = 1. Mit der Eindeutigkeitsaussage von (5.10) impliziert das: det Ã = det A.

Bez.: Zu A ∈ K^{n×n} und 1 ≤ i, j ≤ n bezeichne A_{ij} ∈ K^{(n−1)×(n−1)} die Matrix, die aus A durch \underline{Streichen} der i’ten Zeile und der j’ten Spalte entsteht.

Bsp.:

A : ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 8 & 7 & 6 & 5 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{matrix} ) ⇒ A_{23} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 4 \\ 8 & 7 & 5 \\ 4 & 3 & 1 \end{matrix} ) .

(5.28) Entwicklungssatz. Für alle A ∈ K^{n×n}, j ∈ {1, …, n} gilt:

det A = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij} (Entwicklung nach der j’ten Spalte).

Für alle i ∈ {1, …, n} gilt:

det A = ∑_{j=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij} (Entwicklung nach der i’ten Spalte).

Bsp.:

| \begin{matrix}1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} |

Entwicklung nach der 3. Spalte

= (−1)^{1+3}  | \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix} | + (−1)^{3+3} | \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix} | = −2

oder Entwicklung nach der 4. Zeile

= (−1)^{1+3}  | \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} | + (−1)^{4+4} · 2 · | \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \end{matrix} | = −2.

Bew.: A_{1} = ( a_{11} ; ⋮ ; a_{n1} ) , …, A_{n} = ( a_{1n} ; ⋮ ; a_{nn} ) seien die Spaltenvektoren von A.

\begin{aligned}det A & = & D_{0}(A_{1}, …, A_{n}) = D_{0}(A_{1}, …, A_{j} = ∑ a_{ij}e_{i}, …, A_{n}) \\ & = & ∑_{i=1}^{n} a_{ij}D_{0}(A_{1}, …, A_{j−1}, e_{i}, A_{j+1} …, A_{n}) \end{aligned}

Es bleibt zu zeigen: D_{0}(A_{1}, …, A_{j−1}, e_{i}, A_{j+1} …, A_{n}) = (−1)^{i+j} det A_{ij} D_{0}(A_{1}, …, A_{j−1}, e_{i}, A_{j+1} …, A_{n}) = (−1)^{j−1}D_{0}(e_{i}, A_{1}, …, A_{j−1}, A_{j+1}, …, A_{n})

\begin{matrix}= & (−1)^{j−1} & | 0 a_{11} …; ⋮ ; 1 a_{i1} …; ⋮ ; 0 a_{n1} … | … a_{1n} ; ⋮ ; … a_{in} ; ⋮ ; … a_{nn} | = (−1)^{i+j−2} | \begin{matrix}1 & a_{i1} & … \\ 0 & a_{11} & … \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{i−1,1} & … \\ 0 & a_{i+1,1} & … \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n1} & … \end{matrix} | … a_{in} ; … a_{1n} ; ⋮ ; … a_{i−1,n} ; … a_{i+1,n} ; ⋮ ; … a_{nn} | \\ = & (−1)^{i+j} & | \begin{matrix}1 & 0 & … \\ 0 & a_{11} & … \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{i−1,1} & … \\ 0 & a_{i+1,1} & … \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n1} & … \end{matrix} | … 0 ; … a_{1n} ; ⋮ ; … a_{i−1,n} ; … a_{i+1,n} ; ⋮ ; … a_{nn} | \\ =^{(5.27)} & (−1)^{i+j} & det A_{ij} \end{matrix}

(hierbei soll der senkrechte Strich in den Determinanten andeuten, daß die j’te Spalte gestrichen ist!)

6. Euklidische Vektorräume

Im folgenden sei V ein Vektorraum über dem Körper ℝ.

(6.1) Def.: Eine Bilinearform b : V × V → ℝ heißt

(i) symmetrisch ⇔ ∀ v, w ∈ V: b(v, w) = b(w, v)

(ii) positiv definit ⇔ ∀ v ∈ V \ {0}: b(v, v) > 0 (iii) Skalarprodukt ⇔ b ist symmetrisch und positiv definit.

Bez.: Für ein Skalarprodukt b schreibt man oft: ⟨v, w⟩ := b(v, w). Ein reeller Vektorraum V mit einem Skalarprodukt ⟨, ⟩ heißt ein \underline{euklidischer Vektorraum}.

Bsp.: 1) \begin{matrix}V = ℝ^{n}, b(x, y) & := & ⟨x, y⟩ := ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} \\ b(x, x) & = & ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2} \end{matrix}

2) \begin{matrix}V = C^{0}([0, 2π], ℝ) & = & \{f | f : [0, 2π] → ℝ stetig\} \\ b(f_{1}, f_{2}) := ⟨f_{1}, f_{2}⟩_{L^{2}} & = & ∫_{0}^{2π}f_{1}(t)f_{2}(t)dt \end{matrix}

(6.2) Def.: Sei V, ⟨, ⟩ euklidischer Vektorraum. Dann heißt ∥v∥ := \sqrt{⟨v, v⟩} ≥ 0 die \underline{Norm} (oder \underline{Länge}) von v ∈ V (bzgl. ⟨, ⟩) und ∥v − w∥ der \underline{Abstand} zwischen v und w.

(6.3) Satz. Sei V, ⟨, ⟩ euklidischer Vektorraum. Dann gilt für alle v, w ∈ V, λ ∈ ℝ:

(i) ∥v∥ ≥ 0 und: ∥v∥ = 0 ⇔ v = 0

(ii) ∥λv∥ = |λ|∥v∥

(iii) |⟨v, w⟩| ≤ ∥v∥∥w∥ (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) mit “=” ⇔ v und w sind

linear abhängig. (iv) ∥v + w∥ ≤ ∥v∥ + ∥w∥ (Dreiecksungleichung)

Bew.:

(i) ist klar

(ii) ∥λv∥ = \sqrt{⟨λv, λv⟩} = \sqrt{λ^{2}⟨v, v⟩} = |λ|∥v∥ (iii) Es genügt, den Fall w ≠ 0 zu betrachten. Dann gilt für alle t ∈ ℝ:

\begin{matrix}0 ≤ ⟨v + tw, v + tw⟩ = ∥v∥^{2} + 2t⟨v, w⟩ + t^{2}∥w∥^{2} \\ = (t∥w∥ + \frac{⟨v,w⟩}{∥w∥})^{2} + ∥v∥^{2} − \frac{⟨v,w⟩^{2}}{∥w∥^{2}} \end{matrix}

Als Funktion von t nimmt ⟨v + tw, v + tw⟩ für t_{0} = −\frac{⟨v,w⟩}{∥w∥^{2}} sein (nichtnegatives!) Minimum an. Daraus folgt (iii). Gleichheit in (iii) tritt genau dann ein, wenn dieses Minimum gleich Null ist, d.h. falls ⟨v+t_{0}w, v+t_{0}w⟩ = 0. Daraus folgt, daß v+t_{0}w = 0 gilt, d.h. v und w sind linear abhängig. Umgekehrt gilt für linear abhängige v und w offensichtlich Gleichheit in (iii).

(iv)

\begin{aligned}∥v + w∥^{2} & = & ⟨v + w, v + w⟩ = ∥v∥^{2} + 2⟨v, w⟩ + ∥v∥^{2} \\ & ≤^{(iii)} & ∥v∥^{2} + 2∥v∥∥w∥ + ∥w∥^{2} = (∥v∥ + ∥w∥)^{2}. \end{aligned}

(6.4) Def. Sei V, ⟨, ⟩ euklidischer Vektorraum und v, w ∈ V \ {0}. Dann ist der Winkel φ = φ(v, w) ∈ [0, π] zwischen v und w definiert durch:

cos φ = \frac{⟨v, w⟩}{∥v∥∥w∥} bzw. φ = arccos \frac{⟨v, w⟩}{∥v∥∥w∥} ∈ [0, π]

Bem. 1) (5.3)(iii) ⇒ −1 ≤ \frac{⟨v,w⟩}{∥v∥∥w∥} ≤ 1. cos : [0, π] → [−1, 1] ist bijektiv mit Umkehrabbildung arccos.

2) φ(v, w) = φ(w, v)

3) v und w heißen \underline{orthogonal} (senkrecht) zueinander ⇔ ⟨v, w⟩ = 0

4) Die Definition von φ ist so eingerichtet, daß der “Kosinussatz” gilt:

∥v − w∥^{2} = ∥v∥^{2} − 2⟨v, w⟩ + ∥w∥^{2} = ∥v∥^{2} + ∥w∥^{2} − 2 cos φ∥v∥∥w∥.

(6.5) Def.: Eine Teilmenge S ⊆ V heißt Orthonormalsystem (ONS), falls gilt

(i) Für alle v ∈ S gilt ∥v∥ = 1 (“alle v ∈ S normiert”) und (ii) v, w ∈ S, v ≠ w ⇒ ⟨v, w⟩ = 0 (“je zwei orthogonal”)

Eine Orthonormalbasis (ONB) ist ein Orthonormalsystem, das V erzeugt.

Bem.: S ONS ⇒ S linear unabhängig: v_{1}, …, v_{n} ∈ S verschieden, r_{1}, …, r_{n} ∈ ℝ und

∑_{i=1}^{n} r_{i}v_{i} = 0 ⇒ 0 = ⟨∑_{i=1}^{n} r_{i}v_{i}, ∑_{j=1}^{n} r_{j}v_{j}⟩ = ∑_{i,j=1}^{n} r_{i}r_{j}⟨v_{i}, v_{j}⟩ = ∑_{i=1}^{n} r_{i}^{2} ⇒ alle r_{i} = 0.

Bsp.:

1) V = ℝ^{n}, ⟨x, y⟩ := ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} ⇒ {e_{1}, …, e_{n}} ist ONB von (ℝ^{n}, ⟨, ⟩).

2) V = C^{0}([0, 2π], ℝ), ⟨, ⟩ = ⟨, ⟩_{L^{2}}.

Sei f_{0} ∈ V definiert durch f_{0}(x) := \frac{1}{\sqrt{2π}} und für k ≥ 1:

f_{k}(x) := \frac{1}{\sqrt{π}} cos(kx), g_{k}(x) := \frac{1}{\sqrt{π}} sin(kx).

Dann ist S = {f_{k} | k ∈ ℕ} ∪ {g_{k} | k ∈ ℕ \ {0}} ein ONS.

(6.6) Satz:

(i) (Besselsche Ungleichung). Ist S ONS, v ∈ V und E ⊆ S endlich, so gilt

∑_{e∈E}⟨v, e⟩^{2} ≤ ∥v∥^{2}.

(ii) Ist B = (v_{1}, …, v_{n}) ONB von V, so gilt

v = ∑_{i=1}^{n}⟨v, v_{i}⟩v_{i}.

Bem.: Im Fall von Bsp. 2) heißen a_{k} := ⟨f, f_{k}⟩_{L^{2}} für k ≥ 0 (d.h. a_{k} = \frac{1}{\sqrt{π}} ∫_{0}^{2π}f(x) cos(kx)dx

für k ≥ 1 und a_{0} = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{0}^{2π}f(x)dx) und b_{k} := ⟨f, g_{k}⟩_{L^{2}} = \frac{1}{\sqrt{π}} ∫_{0}^{2π}f(x) sin(kx)dx für k ≥ 1 die

Fourierkoeffizienten von f ∈ V = C^{0}([0, 2π], ℝ). Aus (6.6)(i) folgt:

a_{0}^{2} + ∑_{k=1}^{∞}(a_{k}^{2} + b_{k}^{2}) ≤ ∥f∥_{L^{2}}^{2} = ∫_{0}^{2π}f^{2}(x)dx.

In Wahrheit ist diese Ungleichung stets eine Gleichheit (man sagt zu dieser Eigenschaft, daß dieses S ein \underline{vollständiges} ONS ist), aber das können wir hier nicht beweisen.

Bew.: (i) 0 ≤∥v − ∑_{e∈E}⟨v, e⟩e∥= ∥v∥^{2} − 2 ∑_{e∈E}⟨v, e⟩^{2} + ∑_{e∈E}⟨v, e⟩^{2}

(ii) (v_{1}, …, v_{n}) Basis ⇒ ∃r_{1}, …, r_{n} ∈ ℝ : v = ∑_{j=1}^{n} r_{j}v_{j} ⇒ ⟨v, v_{i}⟩ = ∑_{j=1}^{n} r_{j}⟨v_{j}, v_{i}⟩ = r_{i}

(6.7) Satz (Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren). Seien v_{1}, …, v_{k} ∈ V linear unabhängig. Dann existiert ein ONS ṽ_{1}, …, ṽ_{k} ∈ V mit

span{v_{1}, …, v_{i}} = span{ṽ_{1}, …, ṽ_{i}}

für alle 1 ≤ i ≤ k. Insbesondere: Ist V endlichdimensional, so existiert eine ONB von V.

Bew.: Induktion nach k:

k = 1 : ṽ_{1} = \frac{1}{∥v_{1}∥}v_{1} (v_{1} ≠ 0!)

Induktionsschritt: Nach Induktionsvoraussetzung existiert ein ONS ṽ_{1}, …, ṽ_{k−1} mit

span{v_{1}, …, v_{i}} = span{ṽ_{1}, …, ṽ_{i}} für alle 1 ≤ i ≤ k − 1.

Setze w_{k} = v_{k} − ∑_{j=1}^{k−1}⟨v_{k}, ṽ_{j}⟩ṽ_{j} (⇒ ⟨w_{k}, ṽ_{i}⟩ = 0 für 1 ≤ i ≤ k − 1) und ṽ_{k} := \frac{1}{∥w_{k}∥}w_{k}. Dann

ist ṽ_{1}, …, ṽ_{k} ONS und span{ṽ_{1}, …, ṽ_{k}} = span{v_{1}, …, v_{k}}.

(6.8) Def. Seien V, ⟨, ⟩ und Ṽ , ⟨,˜⟩ euklidische Vektorräume. Ein L ∈ Hom(V, Ṽ) heißt orthogonal(bzgl. ⟨, ⟩ und ⟨,˜⟩), falls für alle v, w ∈ V gilt: ⟨v, w⟩ = ⟨L(v), L(w)˜⟩. Bem.:

1) L orthogonal ⇒ L injektiv (L(v) = 0 ⇒∥L(v)∥^{2}= ∥v∥^{2} = 0 ⇒ v = 0)

Speziell: Gilt dim V = dim Ṽ < ∞, so ist jede orthogonale Abbildung bijektiv.

2) Sei Ṽ = V, dim V < ∞, ⟨,˜⟩ = ⟨, ⟩. Dann bilden die orthogonalen L ∈ End(V) eine Untergruppe von (Aut(V), ∘), die orthogonale Grupe O(V) von V.

(6.9) Folgerung. Ist V, ⟨, ⟩_{V} euklidischer Vektorraum, dim V = n, so existiert eine (bijektive) orthogonale Abbildung L : (V, ⟨, ⟩_{V}) → (ℝ^{n}, ⟨, ⟩).

Bew.: Sei f_{1}, …, f_{n} ONB von V. Definiere L durch L(f_{i}) = e_{i} ∈ ℝ^{n}. Ist v = ∑ r_{i}f_{i} und w = ∑ s_{j}f_{s}, so folgt ⟨v, w⟩_{V} = ∑ r_{i}s_{i}. Daraus folgt L(v) = ∑ r_{i}e_{i}, L(w) = ∑ s_{j}e_{j} und ⟨L(v), L(w)⟩ = ∑ r_{i}s_{i} = ⟨v, w⟩_{V}.

(6.10) Satz. Sei L ∈ End(V) und G = (e_{1}, …, e_{n}) ONB von V und A = Mat_{G}^{G}(L).

Dann gilt: L ∈ O(V) ⇔ A^{T} A = E_{n} (⇔ A^{T} = A^{−1})

Bew.: \begin{aligned}δ_{ij} = ⟨e_{i}, e_{j}⟩ & = & ⟨L(e_{i}), L(e_{j})⟩ = ⟨∑_{k=1}^{n} a_{ki}e_{k}, ∑_{l=1}^{n} a_{lj}e_{l}⟩ \\ & = & ∑_{k,l=1}^{n} a_{ki}a_{lj}δ_{kl} = ∑_{k=1}^{n} a_{ki}a_{kj} \\ ⇔ A^{T} A = E_{n}. \end{aligned}

Die Hauptachsentransformation

Im folgenden sei V ein n-dimensionaler ℝ-Vektorraum mit Skalarprodukt ⟨, ⟩ und b : V × V → ℝ eine symmetrische Bilinearform. Ist (e_{1}, …, e_{n}) eine Basis von V und sind x =

∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}, y = ∑_{j=1}^{n} y_{j}e_{j} beliebige Vektoren in V, so folgt aus der Bilinearität von b:

b(x, y) = b (∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}, ∑_{j=1}^{n} y_{j}e_{j}) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} x_{i}y_{j} b(e_{i}, e_{j}).

Man nennt die Matrix B = (b_{ij}) ∈ ℝ^{n×n} mit b_{ij} = b(e_{i}, e_{j}) die \underline{Matrix} \underline{von} b bzgl. der Basis (e_{1}, …, e_{n}). Ist b symmetrisch (wie wir vorausgesetzt haben), so gilt b_{ij} = b(e_{i}, e_{j}) = b(e_{j}, e_{i}) = b_{ji}, d.h. B = B^{⊤} (solche Matrizen heißen symmetrisch). Es gilt dann für x =

∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}, y = ∑_{j=1}^{n} y_{j}e_{j}:

b(x, y) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} x_{i}b_{ij}y_{j} = ( x_{1} … x_{n} ) B ( y_{1} ; ⋮ ; y_{n} ) ,

wobei der letzte Term als Produkt von Matrizen zu interpretieren ist.

Besonders einfach zu verstehen ist eine Bilinearform b, deren Matrix (bzgl. e_{1}, …, e_{n}) eine Diagonalmatrix b_{ij} = λ_{i}δ_{ij} ist. Dann gilt:

b(x, y) = ∑_{i=1}^{n} x_{i}λ_{i}y_{i}.

Zum Beispiel ist ein soches b genau dann positiv definit, wenn alle λ_{i} (für i = 1, …, n) positiv sind.

(6.11) Satz (Hauptachsentransformation). Zu jeder symmetrischen Bilinearform b : V ×

V → ℝ existiert eine ONB f_{1}, …, f_{n} von V und λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℝ, so daß für alle x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}f_{i},

y = ∑_{j=1}^{n} y_{j}f_{j} in V gilt

b(x, y) = ∑_{i=1}^{n} x_{i}λ_{i}y_{i}.

Anders ausgedrückt: Es existiert stets eine ONB von V, bezüglich derer die Matrix von b eine Diagonalmatrix ist. (Die λ_{i} sind dann gerade die Diagonalelemente der Matrix.)

Herkunft der Bezeichnung “Hauptachsentransformation”: Ist b : ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ positiv definite, symmetrische Bilinearform, so ist die Menge

E = {x ∈ ℝ^{2} | b(x, x) = 1}

eine Ellipse. Satz (6.11) besagt, daß es eine ONB f_{1}, f_{2} (bzgl. des üblichen Skalarprodukts) gibt, so daß

E = {x = x_{1}f_{1} + x_{2}f_{2} ∈ ℝ^{2} | λ_{1}x_{1}^{2} + λ_{2}x_{2}^{2} = 1}

gilt, d.h. die Geraden durch 0 ∈ ℝ^{2} in Richtung f_{1} bzw. f_{2} sind die “Hauptachsen” der Ellipse E mit zugehörigen Achsenabschnitten der Länge (λ_{1})^{− \frac{1}{2}} bzw. (λ_{2})^{− \frac{1}{2}} .

Satz (6.11) spielt in folgendem Zusammenhang in der Analysis II eine Rolle (“Kurvendiskussion für Funktionen f : ℝ^{n} → ℝ”): Ist f : ℝ^{n} → ℝ zweimal stetig differenzierbar, x_{0} ∈ ℝ^{n} und h ∈ ℝ^{n}, so gilt (siehe Analysis II)

f(x_{0} + h) = f(x_{0}) + Df(x_{0})(h) + \frac{1}{2}D^{2}f(x_{0})(h, h) + R_{f,x_{0}}(h),

wobei Df(x_{0}): ℝ^{n} → ℝ linear (1. Ableitung von f an der Stelle x_{0}), D^{2}f(x_{0}): ℝ^{n}×ℝ^{n} → ℝ symmetrisch, bilinear (2. Ableitung von f an der Stelle x_{0}), und R_{f,x_{0}}(h) eine Funktion

mit lim_{h→0} \frac{R_{f,x_{0}}(h)}{∥h∥^{2}} = 0 ist.

x_{0} heißt \underline{kritischer} \underline{Punkt} von f, falls Df(x_{0}) = 0 gilt. Aus (6.11) folgt, daß man eine

ONB des ℝ^{n} finden kann, bzgl. derer D^{2}f(x_{0})(h, h) = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}h_{i}^{2} gilt. Daraus folgt für einen kritischen Punkt x_{0} von f:

alle λ_{i} > 0 (⇔ D^{2}f(x_{0}) positiv definiert) ⇒ x_{0} lokales Minimum.
alle λ_{i} < 0 (⇔ D^{2}f(x_{0}) negativ definiert) ⇒ x_{0} lokales Maximum.

Im Gegensatz zum (aus der Schule bekannten) Fall n = 1 gibt es für n > 1 noch andere wichtige Möglichkeiten für D^{2}f(x_{0}): Es kann z.B. für n = 2 λ_{1} > 0 und λ_{2} < 0 gelten. Dann sieht der Graph von f in einer Umgebung von x_{0} wie eine “Sattelfläche” aus.

Vorbereitung zum Beweis von Satz (6.11):

Wegen (6.9) können wir annehmen, daß V = ℝ^{n}, ⟨x, y⟩ = ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} gilt. Ist nämlich L : ℝ^{n} →

V orthogonal, so betrachte b̃ : ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ, b̃(x, y) := b(L(x), L(y)). Haben wir die Behauptung für b̃ bewiesen, so folgt sie leicht auch für b. (Als gesuchte ONB von V kann gerade das Bild unter L einer ONB des ℝ^{n} genommen werden, die b̃ diagonalisiert.)

Unter leichtem Missbrauch der Bezeichnung verwenden wir B auch als Symbol für die

lineare Abbildung B : ℝ^{n} → ℝ^{n} mit B(e_{i}) = ∑_{j=1}^{n} b_{ij}e_{j} = ∑_{j=1}^{n} b_{ji}e_{j}. Dann gilt:

(6.12) Lemma. b(x, y) = ⟨B(x), y⟩ = ⟨x, B(y)⟩ für alle x, y ∈ ℝ^{n}.

Bem.: Ein B ∈ End(ℝ^{n}) mit ⟨B(x), y⟩ = ⟨x, B(y)⟩ für alle x, y ∈ ℝ^{n} heißt “selbstadjungiert”.

Bew.: \begin{aligned}⟨B(x), y⟩ & = & ⟨B (∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}) , ∑_{k=1}^{n} y_{k}e_{k}⟩ \\ & = & ∑_{i=1}^{n} ∑_{k=1}^{n} x_{i}y_{k}⟨B(e_{i}), e_{k}⟩ \\ & = & ∑_{i=1}^{n} ∑_{k=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} x_{i}y_{k}b_{ij} \underbrace{⟨e_{j}, e_{k}⟩}_{=δ_{jk}} = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} x_{i}y_{j}b_{ij} \\ & = & b(x, y) \end{aligned}

Da b symmetrisch ist, folgt daraus:

⟨x, B(y)⟩ = ⟨B(y), x⟩ = b(y, x) = b(x, y) = ⟨B(x), y⟩.

Satz (6.11) ist also äquivalent dazu, daß es für jedes selbstadjungierte B ∈ End(ℝ^{n}) eine ONB f_{1}, …, f_{n} des ℝ^{n} aus Eigenvektoren von B gibt. Sind dann λ_{1}, …, λ_{n} die zugehörigen Eigenwerte von B, d.h. B(f_{i}) = λ_{i}f_{i} für i = 1, …, n, so gilt:

b_{ij} = b(f_{i}, f_{j}) = ⟨B(f_{i}), f_{j}⟩ = λ_{i}⟨f_{i}, f_{j}⟩ = λ_{i}δ_{ij}, wie in (6.11) behauptet.

Im ersten (schwierigeren) Schritt zeigen wir:

1. Schritt: B besitzt einen Eigenwert λ ∈ ℝ. Sei B̃ ∈ End(ℂ^{n}) die ℂ-lineare Fortsetzung von B ∈ End(ℝ^{n}) auf ℂ^{n}, d.h. B̃(z_{1}, …, z_{n}) = (∑_{i=1}^{n} b_{1i}z_{i}, ∑_{i=1}^{n} b_{2i}z_{i}, …, ∑_{i=1}^{n} b_{ni}z_{i}). Wir verwenden nun (ohne das bewiesen zu haben), daß

ℂ algebraisch abgeschlossen ist. Daraus folgt, daß es einen Eigenwert λ ∈ ℂ ∈ ℂ ∈ ℂ von B̃ gibt (vgl. (5.24) und die daran anschließenden Bemerkungen).

Wir wollen zeigen, daß in Wahrheit λ ∈ ℝ ∈ ℝ ∈ ℝ gilt. Sei v = x + iy ∈ ℂ^{n} \ {0} mit x, y ∈ ℝ^{n} ein EV zum EW λ = α + iβ, α, β ∈ ℝ, von B̃. Dann gilt

B̃(x + iy) = B(x) + iB(y) mit B(x), B(y) ∈ ℝ^{n}

und andererseits wegen B̃(v) = λv:

B̃(x + iy) = (α + iβ)(x + iy) = (αx − βy) + i(βx + αy).

Also:

(∗) B(x) = αx − βy und B(y) = βx + αy

Aus (∗) folgt mit (6.12):

⟨B(x), y⟩ = α⟨x, y⟩ − β∥y∥^{2} = ⟨x, B(y)⟩ = β ∥x∥^{2} + α⟨x, y⟩.

Also 0 = β(∥ x∥^{2} + ∥y∥^{2}), woraus wegen ∥ x∥^{2} + ∥y∥^{2} > 0 (da v ≠ 0!) β = 0 folgt, d.h. λ = α ∈ ℝ und, nach (∗),

B(x) = λx, B(y) = λy.

Da v = x + iy ≠ 0 gilt, sind nicht beide x und y der Nullvektor, d.h. mindestens einer von beiden ist ein Eigenvektor von B (zum EW λ = α ∈ ℝ).

2. Schritt: Induktion über n = dim ℝ^{n}.

n = 1: Wähle f_{1} := e_{1} ∈ ℝ^{1}. Dann gilt: b(x_{1}e_{1}, x_{1}e_{1}) = x_{1}^{2} \underbrace{b(e_{1}, e_{1})}_{=:λ_{1}}.

n > 1: Wähle als f_{1} ∈ ℝ^{n} einen (nach Schritt 1 existierenden) Eigenvektor von B, der ohne Einschränkung als normiert angenommen werden kann, d.h. ∥f_{1}∥ = 1. Betrachte

(∗∗) U := {x ∈ ℝ^{n} | ⟨x, f_{1}⟩ = 0}.

Dann ist U ein (n − 1)-dimensionaler Untervektorraum des ℝ^{n} (vgl. (3.24)) und die Restriktion ⟨, ⟩ | U × U von ⟨, ⟩ auf U ist ein Skalarprodukt auf U. Entscheidend ist nun, daß B(U) ⊆ U gilt: Ist x ∈ U, d.h. x ∈ ℝ^{n} und ⟨x, f_{1}⟩ = 0, so folgt B(x) ∈ ℝ^{n} und

⟨B(x), f_{1}⟩ =^{(6.12)} ⟨x, B(f_{1})⟩ = ⟨x, λ_{1}f_{1}⟩ = λ_{1}⟨x, f_{1}⟩ = 0,

d.h. B(x) ∈ U. B | U ist also ein selbstadjungierter Endomorphismus von U, so daß nach der Induktionsvoraussetzung die Existenz einer ONB f_{2}, …, f_{n} von U aus Eigenvektoren von B | U (⇒ von B) existiert. Wegen (∗∗) ist dann f_{1}, …, f_{n} eine ONB des ℝ^{n} aus Eigenvektoren von B.

Orthogonales Komplement und Orthogonalprojektion

Wir betrachten weiterhin einen euklidischen Vektorraum V, ⟨, ⟩.

(6.13) Def.: Ist M ⊆ V, so heißt

M^{⊥} := {v ∈ V | ∀w ∈ M : ⟨v, w⟩ = 0}

das orthogonale Komplement von M.

(6.14) Fakt.

(i) M^{⊥} ist Untervektorraum von V.

(ii) M_{1} ⊆ M_{2} ⊆ V ⇒ M_{2}^{⊥} ⊆ M_{1}^{⊥}

(iii) M^{⊥} = (span(M))^{⊥} (iv) M ⊆ (M^{⊥})^{⊥}

Bew. von (iii): Wegen (ii) genügt es, M^{⊥} ⊆ (span(M))^{⊥} zu beweisen. Sei also v ∈ M^{⊥}. Wir müssen zeigen, daß für alle w ∈ span(M) gilt: ⟨v, w⟩ = 0. Zu jedem w ∈ span(M) existieren k ∈ ℕ, r_{1}, …, r_{k} ∈ ℝ und w_{1}, …, w_{k} ∈ M:

w = ∑_{i=1}^{k} r_{i}w_{i} (siehe (3.7)).

Wegen v ∈ M^{⊥} und w_{i} ∈ M gilt ⟨v, w_{i}⟩ = 0 für 1 ≤ i ≤ k. Also:

⟨v, w⟩ = ⟨v, ∑_{i=1}^{k} r_{i}w_{i}⟩ = ∑_{i=1}^{k} r_{i}⟨v, w_{i}⟩ = 0.

Bsp.: V = ℝ^{3} mit dem Standardskalarprodukt

M = {e_{1}, e_{2}} ⇒ span(M) = ℝ^{2} × {0}
M^{⊥} = (span(M))^{⊥} = {(0, 0)} × ℝ

(6.15) Satz. Sei dim V < ∞. Dann gilt für jeden Untervektorraum U von V:

U ⊕ U^{⊥} = V und (U^{⊥})^{⊥} = U.

Speziell: dim U + dim U^{⊥} = dim V.

Bew.: Sei dim U =: k. Ergänze eine Basis (v_{1}, …, v_{k}) von U zu einer Basis (v_{1}, …, v_{n}) von V, vgl. (3.16). Nach (6.7) (Gram-Schmidt) existiert eine ONB (w_{1}, …, w_{n}) von V, so daß

span{w_{1}, …, w_{k}} = span{v_{1}, …, v_{k}} = U

gilt. Wir zeigen, daß U^{⊥} = span{w_{k+1}, …, w_{n}} gilt. Denn:

(i) Ist i ≤ k < j, so gilt ⟨w_{i}, w_{j}⟩ = 0, also w_{j} ∈ {w_{1}, …, w_{k}}^{⊥} = U^{⊥}. Wegen (6.14)(i) folgt span{w_{k+1}, …, w_{n}} ⊆ U^{⊥}.

(ii) Ist v = ∑_{j=1}^{n} r_{j}w_{j} ∈ U^{⊥}, so gilt für 1 ≤ i ≤ k:

0 = ⟨v, w_{i}⟩ = ∑_{j=1}^{n} r_{j}⟨w_{j}, w_{i}⟩ = r_{i}.

Also v = ∑_{j=k+1}^{n} r_{j}w_{j} ∈ span{w_{k+1}, …, w_{n}}^{⊥}.

Aus U = span{w_{1}, …, w_{k}} und U^{⊥} = span{w_{k+1}, …, w_{n}} folgt V = U ⊕ U^{⊥} und (U^{⊥})^{⊥} = U.

Bem.: 1) Der Beweis von (6.15) liefert ein Rechenverfahren zur Bestimmung einer ONB {w_{1}, …, w_{n}} von V, so daß {w_{1}, …, w_{k}} eine ONB von U und {w_{k+1}, …, w_{n}} eine ONB von U^{⊥} ist.

2) (6.15) gilt nicht ohne die Voraussetzung dim V < ∞!

Ist U Untervektorraum eines endlich-dimensionalen euklidischen Vektorraums V, so ist U^{⊥} ein zu U komplementärer Vektorraum, vgl. (3.21). Unter den vielen zu U komplementären Untervektorräumen ist U^{⊥} durch die Eigenschaft ausgezeichnet, daß jedes v ∈ U^{⊥} zu allen u ∈ U orthogonal ist (d.h. der Name “orthogonales Komplement”). Ist dim V = ∞, so kann U ⊕ U^{⊥} ⫋ V gelten. In diesem Fall ist das orthogonale Komplement U^{⊥} also \underline{kein} zu U komplementärer Unterraum. (Ein “orthogonales Komplement” ist also nicht notwendig ein “Komplement”. So etwas tritt in der mathematischen Sprache öfters auf, wie auch in der Umgangssprache, in der mit einem “tollen Hecht” oft kein Hecht gemeint ist.)

(6.16) Def.: Sei U Untervektorraum von V und V = U ⊕U^{⊥}. Dann existiert für jedes v ∈ V genau ein Paar (u_{0}, u_{1}) ∈ U × U^{⊥}, so daß v = u_{0} + u_{1} gilt. Die Abbildung P_{U} : V → U, P_{U}(v) := u_{0}, heißt \underline{Orthogonalprojektion von} V \underline{auf} U.

Bem.:

0) P_{U}(v) ist durch die Eigenschaften P_{U}(v) ∈ U und v − P_{U}(v) ∈ U^{⊥} eindeutig bestimmt.

1) P_{U} ∈ Hom(V, U).

2) Für alle u ∈ U gilt P_{U}(u) = u (d.h. P_{U}|U = id_{U}) und für alle v ∈ U^{⊥} gilt P_{U}(v) = 0.

3) Ist (v_{1}, …, v_{k}) ONB von U, so gilt für alle v ∈ V:

P_{U}(v) = ∑_{i=1}^{k}⟨v, v_{i}⟩v_{i}.

4) Ist (v_{k+1}, …, v_{n}) ONB von U^{⊥}, so gilt für alle v ∈ V:

P_{U}(v) = v − ∑_{i=k+1}^{n}⟨v, v_{i}⟩v_{i}.

Bez.: Ist ∅ ≠ M ⊆ V und v ∈ V, so heißt

d(v, M) := inf{∥v − u∥ | u ∈ M}

der Abstand von v zu M.

(6.17) Satz. Sei U ⊆ V Untervektorraum und V = U ⊕ U^{⊥}. Dann gilt für jedes v ∈ V: Es existiert genau ein \overline{u} ∈ U mit d(v, U) = ∥v − \overline{u}∥, nämlich \overline{u} = P_{U}(v). Speziell gilt: d(v, U) = ∥v − P_{U}(v)∥.

Bew.: Sei u ∈ U beliebig. Zerlege v = P_{U}(v)+(v −P_{U}(v)), wobei P_{U}(v) ∈ U, (v −P_{U}(v)) ∈ U^{⊥}. Dann gilt

∥v − u∥^{2} = ∥(P_{U}(v) − u) + (v − P_{U}(v))∥^{2} = ∥(P_{U}(v) − u)∥^{2} + ∥v − P_{U}(v)∥^{2}.

Also ∥v − u∥ ≥ ∥v − P_{U}(v)∥, wobei Gleichheit genau für u = P_{U}(v) eintritt.

Bsp.: Approximation komplizierter Funktionen durch einfache: die \underline{Fourierentwicklung}. Wir betrachten den ℝ-Vektorraum

V = C^{0}([0, 2π], ℝ) = {f | f : [0, 2π] → stetig}

mit dem sogenannten L^{2}-Skalarprodukt

⟨f, g⟩ := ∫_{0}^{2π}f(x)g(x)dx

und dem ONS f_{0}(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}}, f_{k}(x) = \frac{1}{\sqrt{π}} cos(kx), g_{k}(x) = \frac{1}{\sqrt{π}} sin(kx), vgl. Bsp. 1 nach (6.1) und Bsp. nach (6.5). Es sei

U_{n} := span{f_{0}, …, f_{n}, g_{1}, …, g_{n}}.

Wegen Bem. 3 nach (6.16) gilt für alle f ∈ V:

(∗) P_{U_{n}}(f) = ∑_{k=0}^{n}⟨f, f_{k}⟩f_{k} + ∑_{k=1}^{n}⟨f, g_{k}⟩g_{k}.

Im Gegensatz zu dem nach (6.6) geschriebenen, definiert man üblicherweise die \underline{Fourierkoef-} \underline{fizienten} a_{k} = a_{k}(f) und b_{k} = b_{k}(f) durch

a_{k} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π}f(x) cos(kx)dx = \{ \begin{matrix}\sqrt{\frac{2}{π}}⟨f, f_{0}⟩ & für k = 0 \\ \frac{1}{\sqrt{π}}⟨f, f_{k}⟩ & für k > 0 \end{matrix}
b_{k} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π}f(x) sin(kx)dx = \frac{1}{\sqrt{π}}⟨f, g_{k}⟩ für k > 0.

Damit schreibt sich (∗) als

P_{U_{n}}(f)(x) = \frac{a_{0}}{2} + ∑_{k=1}^{n} (a_{k} cos(kx) + b_{k} sin(kx)) .

Satz (6.17) besagt, daß P_{U_{n}}(f) das eindeutig bestimmte Element von U_{n} mit minimalem L^{2}-Abstand von f ist, d.h. die beste (L^{2}-)Approximation von f durch ein Element von U_{n}.

Die (hier nicht bewiesene) Tatsache, daß {f_{0}} ∪ {f_{k}, g_{k} | k > 0} ein vollständiges ONS bilden, heißt gerade, daß für jedes f ∈ V gilt

( lim_{n→∞} d(f, U_{n}) =) lim_{n→∞}∥f − P_{U_{n}}(f)∥ = 0.

Die Gramsche Determinante (J.P. Gram, dän. Math. 1850-1916)

(6.18) Satz. Sei V euklidischer Vektorraum, 0 < dim V = n < ∞. Dann existieren genau zwei Determinantenformen ±D auf V, so daß gilt:

Ist v_{1}, …, v_{n} ONB von V, so gilt | ± D(v_{1}, …, v_{n})| = 1.

Bez.: Ein solches D heiße \underline{normierte} Determinantenform des euklidischen Vektorraums V.

Bew.: Existenz: Sei (\overline{v}_{1}, …, \overline{v}_{n}) eine (feste) ONB vn V. Nach (5.10) existiert genau eine Determinantenform D von V mit

D(\overline{v}_{1}, …, \overline{v}_{n}) = 1.

Wir müssen zeigen, daß dann für jede ONB (v_{1}, …, v_{n}) von V |D(v_{1}, …, v_{n})| = 1 gilt. Sei L ∈ End V durch L(\overline{v}_{i}) = v_{i} für 1 ≤ i ≤ n definiert. Nach Definition (5.19) gilt:

D(v_{1}, …, v_{n}) = det L D(\overline{v}_{1}, …, \overline{v}_{n}) = det L.

Nach (6.10) gilt für die Matrix A von L bzgl. (v_{1}, …, v_{n}):

A^{T} A = E_{n}.

Also 1 = det E_{n} = det(A^{T} A) =^{(5.20)} det A^{T} det A =^{(5.17)} (det A)^{2} =^{(5.21)} (det L)^{2} und damit

|D(v_{1}, …, v_{n}| = | det L| = 1.

Daß ±D die einzigen solchen Determinantenformen sind, folgt direkt aus (5.10).

Aus Satz (6.18) folgt, daß in endlich-dimensionalen euklidischen Vektorräumen (V, ⟨, ⟩) ein natürlicher Volumenbegriff für Parallelotope existiert. Ist D eine normierte Determinantenform und sind w_{1}, …, w_{n} ∈ V, so definieren wir

vol_{n}^{⟨,⟩}(P (w_{1}, …, w_{n})) := |D(w_{1}, …, w_{n})|.

Ist (v_{1}, …, v_{n}) eine ONB von V, so nennt man P (v_{1}, …, v_{n}) einen Würfel der Kantenlänge 1, und es folgt:

vol_{n}^{⟨,⟩}(P (v_{1}, …, v_{n})) = 1.

Die Gramsche Determinante berechnet vol_{n}^{⟨,⟩}(P (w_{1}, …, w_{n})) mittels der Skalarprodukte ⟨w_{i}, w_{k}⟩ für 1 ≤ i, k ≤ n:

(6.19) Satz (Gramsche Determinante). Sei (V, ⟨, ⟩) n-dimensionaler euklidischer Vektorraum und w_{1}, …, w_{n} ∈ V. Dann gilt

vol_{n}^{⟨,⟩}(P (w_{1}, …, w_{n})) = \sqrt{det((⟨w_{i}, w_{k}⟩)_{1≤i,k≤n})}.

Bsp.: Wir betrachten ℝ^{2} mit dem Standardskalarprodukt. Dann ist D_{0} eine normierte Determinantenform, da D_{0}(e_{1}, e_{2}) = 1. In diesem Fall sagt (6.19):

vol_{2}^{⟨,⟩}(P (w_{1}, w_{2})) = \sqrt{det ( \begin{matrix}⟨w_{1}, w_{1}⟩ & ⟨w_{1}, w_{2}⟩ \\ ⟨w_{2}, w_{1}⟩ & ⟨w_{2}, w_{2}⟩ \end{matrix} )} = \sqrt{∥w_{1}∥^{2}∥w_{2}∥^{2} − ⟨w_{1}, w_{2}⟩^{2}}
= ∥w_{1}∥∥w_{2}∥\sqrt{1 − cos^{2} φ} = ∥w_{1}∥∥w_{2}∥ sin φ,

wobei φ den Winkel zwischen w_{1} und w_{2} bezeichnet. Das ist die Formel für die Fläche des Parallelogramms P (w_{1}, w_{2}) mit den Seitenlängen ∥w_{1}∥ und ∥w_{2}∥ und dem eingeschlossenen Winkel φ.

Beweis von (6.19): Sei G = (v_{1}, …, v_{n}) eine ONB von V und L ∈ End(V) durch L(v_{j}) = w_{j} für 1 ≤ j ≤ n definiert. Dann ist A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} = Mat_{G}^{G}(L) durch

w_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}v_{i}

definiert, und es gilt mit einer normierten Determinantenform D:

(∗) vol_{n}^{⟨,⟩}(P (w_{1}, …, w_{n})) = |D(w_{1}, …, w_{n})| = | det A||D(v_{1}, …, v_{n})| = | det A|.

Andererseits:

\begin{aligned}⟨w_{i}, w_{k}⟩ & = & ⟨∑_{j=1}^{n} a_{ji}v_{j}, ∑_{l=1}^{n} a_{lk}v_{l}⟩ = ∑_{j,l=1}^{n} a_{ji}a_{lk} \underbrace{⟨v_{j}, v_{l}⟩}_{=δ_{jl}} = ∑_{j=1}^{n} a_{ji}a_{jk} \\ & = & (A^{T} · A)_{ik} \end{aligned}

Also: (⟨w_{i}, w_{k}⟩)_{1≤i,k≤n} = A^{T} A.

Daraus folgt: (∗∗) det(⟨w_{i}, w_{k}⟩)_{1≤i,k≤n} = det(A^{T} A) = (det A)^{2}.

Aus (∗) und (∗∗) folgt die Behauptung.

Jeder Unterraum U eines euklidischen Vektorraums (V, ⟨, ⟩) “erbt” das Skalarprodukt von V, d.h. ⟨, ⟩ | U × U ist ein Skalarprodukt auf U. Damit ist auch das Volumen von k (≤ n)-dimensionalen Parallelotopen in V definiert:

Sind v_{1}, …, v_{k} ∈ V linear unabhängig, so heißt

P (v_{1}, …, v_{k}) = {∑_{i=1}^{k} s_{i}v_{i} | 0 ≤ s_{i} ≤ 1} ⊆ span{v_{1}, …, v_{k}}

das von v_{1}, …, v_{k} aufgespannte (k-dimensionale) Parallelotop.

Ist D^{U} normierte Determinantenform auf U := span{v_{1}, …, v_{k}}, so besagt (6.19)

|D^{U}(v_{1}, …, v_{k})| = \sqrt{det((⟨v_{i}, v_{j}⟩)_{1≤i,j≤k}})

und wir definieren diesen Wert als das k-dimensionale Volumen vol_{k}^{⟨,⟩}(P (v_{1}, …, v_{k})) von P (v_{1}, …, v_{k}). Sind v_{1}, …, v_{k} linear abhängig, so definieren wir vol_{k}^{⟨,⟩}(P (v_{1}, …, v_{k})) = 0.

Orthogonale Abbildungen

Wir wollen die orthogonale Endomorphismen L ∈ O(V) eines euklidischen Vektorraums (V, ⟨, ⟩) untersuchen.

Erinnerung (an Def. (6.8)):

L ∈ O(V) ⇔ L ∈ End(V) und für alle v, w ∈ V gilt ⟨L(v), L(w)⟩ = ⟨v, w⟩.

Solche L ∈ O(V) sind stets injektiv und damit – falls dim V < ∞ – auch surjektiv. Wir setzen voraus, daß dim V = n < ∞ gilt. Dann ist O(V) eine Untergruppe von Aut(V) (mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen als Gruppenoperation). Nach Satz (6.10) gilt: Ist G = (v_{1}, …, v_{n}) ONB von V, ist L ∈ End(V) und A := Mat_{G}^{G}(L), so gilt:

L ∈ O(V) ⇔ A^{T} · A = E_{n}.

Speziell folgt daraus (wie im Beweis von (6.18) schon benutzt):

L ∈ O(V) ⇒ | det L| = | det A| = 1.

(6.20) Def.: A ∈ ℝ^{n×n} heißt orthogonal ⇔ A^{T} A = E_{n} O(n) := {A | A ∈ ℝ^{n×n} orthogonal} SO(n) := {A | A ∈ O(n), det A = 1} = O(n) ∩ SL_{n}(ℝ) SO(V) := {L | L ∈ O(V), det L = 1}

Da Mat_{G}^{G} : (Aut(V), ∘) → (GL_{n}(ℝ), ·) ein Gruppenisomorphismus ist (vgl. (4.18)), ist O(n) = Mat_{G}^{G}(O(V)) eine Untergruppe von GL_{n}(ℝ). Ebenso ist SO(n) (bzw. SO(V)) Untergruppe von O(n) (bzw. von O(V)).

Wir beschäftigen uns zunächst mit dem Spezialfall V = ℝ^{2}, ⟨, ⟩ = Standardskalarprodukt, d.h.

⟨(x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})⟩ := x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2}.

Beispiele von Elementen in O(ℝ^{2}):

1) “Drehungen”: Sei φ ∈ ℝ und D_{φ} ∈ End(ℝ^{2}) mit

Mat(D_{φ}) = ( \begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} )

Dann gilt

Mat(D_{φ})^{T} · Mat(D_{φ}) = ( \begin{matrix}cos φ & sin φ \\ − sin φ & cos φ \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}cos^{2} φ + sin^{2} φ & 0 \\ 0 & cos^{2} φ + sin^{2} φ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ,

d.h. Mat(D_{φ}) ∈ O(2) und damit D_{φ} ∈ O(ℝ^{2}). Wegen

| \begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} | = 1 gilt sogar D_{φ} ∈ SO(ℝ^{2}), Mat(D_{φ}) ∈ SO(2).

Offenbar gilt D_{φ+2π} = D_{φ} und D_{φ} ≠ D_{ψ}, falls 0 ≤ φ < ψ < 2π.

2) “Spiegelungen an Geraden durch 0 ∈ ℝ^{2}”: Sei U ⊆ ℝ^{2} 1-dimensionaler Untervektorraum. Wähle eine ONB G = (v_{1}, v_{2}) des ℝ^{2} mit span{v_{1}} = U. Definiere “die Spiegelung S_{U} ∈ End(ℝ^{2}) an U” durch

S_{U}(v_{1}) = v_{1}, S_{U}(v_{2}) = −v_{2}.

Dann gilt S_{U} ∈ O(ℝ^{2}) \ SO(ℝ^{2}), da Mat_{G}^{G}(S_{U}) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) ∈ O(2) \ SO(2).

S_{U} ist durch U eindeutig bestimmt!

(6.21) Fakt. Es gilt:

(i) SO(ℝ^{2}) = {D_{φ}|φ ∈ [0, 2π)}. (ii) O(ℝ^{2}) = {S_{U}|U 1-dimensionaler Unterraum des ℝ^{2}}. (iii) ∀φ, ψ ∈ ℝ : D_{φ+ψ} = D_{φ} ∘ D_{ψ}(= D_{ψ} ∘ D_{φ}), D_{0} = id_{ℝ^{2}} (d.h. φ ∈ (ℝ, +) → D_{φ} ∈

(SO(ℝ^{2}), ∘) ist surjektiver Gruppenhomomorphismus).

D_{φ} = id_{ℝ^{2}} ⇔ φ ∈ {2πk|k ∈ ℤ}

(iv) S_{U_{2}} ∘ S_{U_{1}} = D_{2φ}, wobei φ der Winkel ist, um den man U_{1} drehen muß, um U_{2} zu erhalten, d.h. D_{φ}(U_{1}) = U_{2}. (φ ist bis auf additive Vielfache φ + kπ, k ∈ ℤ, von π bestimmt.)

(v) D_{2φ} ∘ S_{U} = S_{D_{φ}(U)}, S_{U} ∘ D_{2φ} = S_{D_{−φ}(U)}.

Insbesondere folgt aus (iii), (iv) bzw. (v), daß SO(ℝ^{2}) abelsch ist, während O(ℝ^{2}) nicht abelsch ist.

Bew.:

(i) Sei L ∈ SO(ℝ^{2}), L(e_{1}) =: (x, y) ∈ ℝ^{2}. Dann gilt x^{2} + y^{2} = 1 und mit den Kenntnissen aus der Analysis I kann man einsehen, daß es genau ein φ ∈ [0, 2π) gibt mit (x, y) = (cos φ, sin φ), d.h. L(e_{1}) = D_{φ}(e_{1}). Dann sind L(e_{2}) und D_{φ}(e_{2}) beides Einheitsvektoren, die zu L(e_{1}) = D_{φ}(e_{1}) orthogonal sind und zusammen mit L(e_{1}) = D_{φ}(e_{1}) eine positiv orientierte Basis bilden. Da es nur einen solchen Vektor gibt (das ist anschaulich klar, muß aber im Prinzip durch eine Rechnung begründet werden), gilt auch L(e_{2}) = D_{φ}(e_{2}), also L = D_{φ}.

(ii) Sei L ∈ O(2) \ SO(2). Um zu zeigen, daß L eine Spiegelung ist, suchen wir einen 1-dimensionalen Unterraum U, der punktweise von L festgelassen wird, d.h. einen Vektor v ∈ ℝ^{2} \ {0} mit L(v) = v (⇔ v EV zum EW 1 von L). Ist Mat(L) =

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ), so gilt wegen det L = −1: det(L − λ id_{ℝ^{2}}) = λ^{2} − (a + d)λ − 1 =: p(λ).

Wegen p(0) = −1 und lim_{λ→±∞} p(λ) = ∞, hat p(λ) zwei Nullstellen (d.h. L zwei

Eigenwerte) λ_{2} < 0 < λ_{1}. Da L orthogonal ist, hat jeder Eigenwert von L den Betrag 1, also λ_{2} = −1, λ_{1} = 1. Sei v_{1} EV von L zum EW λ_{1} = 1 und (v_{1}, v_{2}) ONB von ℝ^{2}. Aus L ∈ O(ℝ^{2}), L ≠ id_{ℝ^{2}} und L(v_{1}) = v_{1}, folgt L(v_{2}) = −v_{2}, d.h. L = S_{U} für U := span{v_{1}}.

(iii) folgt aus den “Additionstheoremen” für sin und cos.

(iv) Es gelte D_{φ}(U_{1}) = U_{2}. Da det(S_{U_{2}} ∘ S_{U_{1}}) = det(S_{U_{2}}) det(S_{U_{1}}) = (−1)^{2} = 1 ist, ist S_{U_{2}} ∘ S_{U_{1}} ∈ SO(ℝ^{2}), d.h. S_{U_{2}} ∘ S_{U_{1}} ist eine Drehung.

Wie in der Vorlesung mit einem einfachen elementargeometrischen Argument (und ähnlich für (v)) gezeigt wurde, ist S_{U_{2}} ∘ S_{U_{1}} in der Tat eine Drehung um den Winkel 2φ. Dieses Argument muß aber in der hier aufgebauten “Analytischen Geometrie” durch eine Rechnung bewiesen werden. Es ist nun so, daß solche Rechnungen statt mit (2×2)-Matrizen sehr viel weniger aufwendig mit komplexen Zahlen ausgeführt werden können. Deshalb zunächst der

Exkurs: Beschreibung von Drehungen und Spiegelungen des ℝ^{2} mit Hilfe der komplexen Zahlen.

Identifizieren wir wie üblich (x, y) ∈ ℝ^{2} mit x + iy ∈ ℂ und definieren (!) wir für φ ∈ ℝ

e^{iφ} := cos φ + i sin φ

(für diese Definition gibt es einen mathematischen Hintergrund, der uns jetzt nicht zu interessieren braucht), so berechnet man:

D_{φ}(z) = e^{iφ} · z.

Die Additionstheoreme für sin und cos sind äquivalent zur Gleichung e^{i(φ+ψ)} = e^{iφ} · e^{iψ} für alle φ, ψ ∈ ℝ. Außerdem gilt \overline{e^{iφ}} = e^{−iφ} und |e^{iφ}| = \sqrt{cos^{2} + sin^{2} φ} = 1. Ist U = span_{ℝ}{e^{iψ}} := {se^{iψ} | s ∈ ℝ}, so zeigen wir, daß S_{U} durch

S_{U}(z) = e^{2iψ}\overline{z}

gegeben ist: Die Abbildung z ∈ ℂ ≃ ℝ^{2} → \overline{z} ∈ ℂ ≃ ℝ^{2} ist gerade die Spiegelung an der x-Achse, so daß die Abbildung

z → e^{2iψ}\overline{z} = D_{2ψ}(\overline{z})

in O(ℝ^{2})\SO(ℝ^{2}) liegt. Wendet man sie auf z = e^{iψ} an, so erhält man e^{iψ} → e^{2iψ}·e^{−iψ} = e^{iψ}. Da auch S_{U}(e^{iψ}) = e^{iψ} gilt, folgt

S_{U}(z) = e^{2iψ}\overline{z}

für alle z ∈ ℂ, denn beide Abbildungen sind Spiegelungen, die die Gerade span_{ℝ}{e^{2iψ}} fest lassen.

Wir kommen nun zu einem “analytischen” Beweis von (6.21)(iv) und (v):

(iv): Es sei U_{1} = span_{ℝ}{e^{iψ_{1}}} = D_{ψ_{1}}(ℝ × {0}) und U_{2} = span_{ℝ}{e^{iψ_{2}}} = D_{ψ_{2}}(ℝ × {0}).

Dann gilt D_{ψ_{2}−ψ_{1}}(U_{1}) = D_{ψ_{2}−ψ_{1}}(D_{ψ_{1}}(ℝ×{0}) =^{(iii)} D_{ψ_{2}}(ℝ×{0}) = U_{2}, d.h. für φ := ψ_{2} −ψ_{1}

gilt D_{φ}(U_{1}) = U_{2}. Andererseits berechnen wir für alle z ∈ ℂ:

S_{U_{2}} ∘ S_{U_{1}}(z) = S_{U_{2}}(e^{2iψ_{1}} \overline{z}) = e^{2iψ_{2}} \overline{(e^{2iψ_{1}} \overline{z})} = e^{i2(ψ_{2}−ψ_{1})}z = D_{2φ}(z)

(v): Ist U = span_{ℝ}{e^{iψ}}, so gilt

D_{2φ} ∘ S_{U}(z) = e^{2iφ}e^{2iψ}\overline{z} = e^{2i(φ+ψ)}\overline{z} = S_{D_{φ}(U)}(z),

da D_{φ}(U) = span_{ℝ}{D_{φ}(e^{iψ})} = span_{ℝ}{e^{i(φ+ψ)}}.

Ebenso erhalten wir:

S_{U} ∘ D_{2φ}(z) = e^{2iψ}(e^{−2iφ}\overline{z}) = e^{2i(ψ−φ)}\overline{z} = S_{D_{−φ}(U)}(z).

Normalform von orthogonalen Abbildungen

(6.22) Def.: Sei L ∈ End(V). Ein Untervektorraum U von V heißt L-invariant, falls L(U) ⊆ U gilt.

Bem.: {0} und V sind L-invariant für jedes L ∈ End(V).

Ein großes Ziel bei der Untersuchung eines L ∈ End(V) ist es, L-invariante Unterräume U_{1} ≠ {0}, U_{2} ≠ {0} zu finden, so daß V die direkte Summe von U_{1} und U_{2} ist, d.h. V = U_{1}⊕ U_{2}. Dann reduziert sich die Untersuchung von L auf die Untersuchung von L|U_{1} ∈ End(U_{1}) und L|U_{2} ∈ End(U_{2}). (Leider ist das nicht immer möglich, z.B. nicht für die “Scherung”

L ∈ End(ℝ^{2}) mit Mat(L) = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ).)

Man wird natürlich versuchen, solche L-invarianten Unterräume U_{1} und U_{2} in noch kleinere L-invariante Unterräume zu zerlegen, und dazu benötigen wir den Begriff der direkten Summe von endlich vielen Unterräumen (vgl. (3.19)–(3.21) und Blatt 3, Aufgabe 4): Sind U_{1}, …, U_{k} Unterräume eines Vektorraums V, so heißt V die direkte Summe von U_{1}, …, U_{k}

(geschrieben V = U_{1} ⊕ … ⊕ U_{k} = ⊕_{i=1}^{k} U_{i}), falls gilt:

(i) V = span( ⋃_{i=1}^{k} U_{i}) und

(ii) Für alle i ∈ \{1, …, k\} gilt: U_{i} ∩ span( ⋃_{\begin{matrix}j=1 \\ j≠i \end{matrix}}^{k} U_{j}) = \{0\}.

Daraus folgt: Ist für i = 1, …, k B_{i} eine Basis von U_{i}, so gilt B_{i} ∩ B_{j} = ∅ für i ≠ j, und

B := ⋃_{i=1}^{k} B_{i} ist Basis von V. Ist dim V < ∞, so folgt:

dim V = ∑_{i=1}^{k} dim U_{i}.

Im Fall eines euklidischen Vektorraums (V, ⟨, ⟩) ist folgender Spezialfall der direkten Summe wichtig:

(6.23) Def.: Seien U_{1}, …, U_{k} Unterräume von V Dann heißt V die orthogonale Summe von U_{1}, …, U_{k}, falls gilt:

(i) V = span( ⋃_{i=1}^{k} U_{i}) und

(ii) Für alle 1 ≤ i ≠ j ≤ k gilt U_{i} ⊆ U_{j}^{⊥}.

Zur Bedingung (ii) sagt man, die U_{i}, 1 ≤ i ≤ k, seien paarweise orthogonal.

Aus (6.23)(i) und (ii) folgt, daß V die direkte Summe von U_{1}, …, U_{k} ist.

(6.24) Satz. Sei L ∈ O(V). Dann existieren k ∈ ℕ, 2-dimensionale, L-invariante Unterräume U_{1}, …, U_{k} von V und L-invariante Unterräume U_{−} und U_{+} von V, so daß V die orthogonale Summe von U_{1}, …, U_{k}, U_{−},U_{+} ist und so daß gilt

(i) L|U_{i} ∈ SO(U_{i}) \ {± id_{U_{i}}} für 1 ≤ i ≤ k (ii) L|U_{−} = −(id_{U_{−}}) (iii) L|U_{+} = id_{U_{+}}

Bem.: 1) Es kann k = 0 oder U_{−} = {0} oder U_{+} = {0} gelten.

2) Jedes v ∈ V läßt sich dann eindeutig darstellen als

v = u_{1} + … + u_{k} + u_{−} + u_{+}

mit u_{i} ∈ U_{i} für 1 ≤ i ≤ k, u_{−} ∈ U_{−} und u_{+} ∈ U_{+}. Es gilt dann:

L(v) = L(u_{1}) + … + L(u_{k}) − u_{−} + u_{+}.

L setzt sich also aus k “Drehungen” in den 2-dimensionalen Unterräumen U_{i}, 1 ≤ i ≤ k, aus der “Punktspiegelung” −(id_{U_{−}}) im Unterraum U_{−} und der Identität auf U_{+} zusammen.

3) Es gilt 2k + dim U_{−} + dim U_{+} = n. Ist n ungerade, so folgt dim U_{−} + dim U_{+} ≠ 0.

4) det(L) = (−1)^{dim U_{−}}, vgl. Blatt 3, Aufgabe 3.

Umformuliert für Matrizen besagt (6.24):

(6.24)’ Satz. Sei L ∈ O(V). Dann existieren eine ONB G = (v_{1}, …, v_{n}) von V, k ∈ ℕ und φ_{1}, …, φ_{k} ∈ (0, π), so daß gilt:

Mat_{G}^{G}(L) = ( cos φ_{1} − sin φ_{1} sin φ_{1} cos φ_{1} cos φ_{2} − sin φ_{2} sin φ_{2} cos φ_{2}  0 ... 0  cos φ_{k} − sin φ_{k} sin φ_{k} cos φ_{k} \begin{aligned}−1 \\ & . & . & . \\ & & & & −1 \\ & & & & & 1 \\ & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & 1 \end{aligned} )

Äquivalent dazu ist: Zu jedem A ∈ O(n) existiert ein B ∈ O(n), so daß B^{T} AB die obige Form hat.

(6.25) Lemma. Sei L ∈ End(ℝ^{n}). Dann existiert ein L-invarianter Untervektorraum U des ℝ^{n} mit 0 < dim U ≤ 2.

Bew.: Das wurde im 1. Schritt des Beweis von Satz (6.11) (Hauptachsentransformation) wie folgt gezeigt: Wir betrachten die ℂ-lineare Fortsetzung L̃ von L auf ℂ^{n} und erhalten einen EW λ = α + iβ ∈ ℂ mit α, β ∈ ℝ und einen zugehörigen EV v = x + iy ∈ ℂ^{n} \ {0} mit x, y ∈ ℝ^{n}. Dann gilt:

(∗) L(x) = αx − βy und L(y) = βx + αy.

Das zeigt, daß span{x, y} L-invariant ist. Wegen v = x + iy ≠ 0 gilt span{x, y} ≠ {0}.

Beweis von (6.24): Durch vollständige Induktion nach n = dim V.

Induktionsanfang: Ist dim V = 1, so gilt O(V) = {± id_{V} }. Die Behauptung ist richtig mit k = 0 und entweder U_{+} = V oder U_{−} = V.

Induktionsschritt: Sei L ∈ O(V) und dim V = n > 1. Wegen (6.9) genügt es, den Fall zu betrachten, daß (V, ⟨, ⟩) der ℝ^{n} mit dem Standardskalarprodukt ist. Aus Lemma (6.25) folgt, daß ein L-invarianter Unterraum U ⊆ ℝ^{n} existiert mit 0 < dim U ≤ 2.

(i) Gilt n = 2 und U = ℝ^{n}, so folgt die Behauptung aus (6.21):

Entweder L ist eine Spiegelung ( → Mat_{G}^{G}(L) = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) für eine geeignete ONB

des ℝ^{2}), oder L = D_{φ} für ein φ ∈ [0, 2π).

Ist φ = 0, so L = id_{ℝ^{2}} (⇒ k = 0, U_{−} = {0}, U_{+} = ℝ^{2}).

Ist φ = π, so L = − id_{ℝ^{2}} (⇒ k = 0, U_{−} = ℝ^{2}, U_{+} = {0}). Sonst gilt D_{φ} ∈ SO(ℝ^{2}) \ {± id_{ℝ^{2}}}.

(ii) Gilt U⫋ℝ^{n}, so folgt aus (6.15)

ℝ^{n} = U ⊕ U^{⊥}

Da U L-invariant ist und L orthogonal ist, ist auch U^{⊥} L-invariant (vgl. Blatt 1, Aufgabe 1). Wegen dim U^{⊥} = n − dim U < n ist auf L|U^{⊥} die Induktionsvoraussetzung anwendbar. Daraus folgt zusammen mit unseren Kenntnissen über O(ℝ) und O(ℝ^{2}) die Behauptung.

Die einzige zusätzliche Information, die man zum Beweis von (6.24)’ benötigt, ist folgende: Ist dim V = 2 und L ∈ SO(V) \ {± id_{V} }, so existiert eine ONB G von V und φ ∈ (0, π),

so daß Mat_{G}^{G}(L) = (\begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix}) gilt. Das sieht man so ein. Ist G̃ = (v_{1}, v_{2}) irgendeine

ONB von V, so existiert φ̃ ∈ (0, π) ∪ (π, 2π) mit

MatG̃ ; G̃(L) = (\begin{matrix}cos φ̃ & − sin φ̃ \\ sin φ̃ & cos φ̃. \end{matrix})

Ist φ̃ ∈ (π, 2π), so betrachten wir G = (v_{1}, −v_{2}) und erhalten

Mat_{G}^{G}(L) = (\begin{matrix}cos φ̃ & sin φ̃ \\ − sin φ̃ & cos φ̃. \end{matrix})

Wegen cos(−φ̃) = cos φ̃, sin(−φ̃) = − sin φ̃ folgt mit φ := 2π − φ̃ ∈ (0, π):

Mat_{G}^{G}(L) = (\begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ, \end{matrix})

wie behauptet.

Die anschauliche Begründung für die letzte Überlegung ist wie folgt: Ist dim V = 2 und L ∈ SO(V), so ist der “Drehwinkel” φ̃ von L erst nach Wahl einer Orientierung (⇒ eines “positiven Drehsinns”) für V definiert. Ändert man die Orientierung, so geht φ̃ in −φ̃ über. Ist φ̃ ∈ (π, 2π), so ist −φ̃ ∈ (−2π, −π) und statt −φ̃ kann man natürlich auch φ := 2π − φ̃ ∈ (0, π) nehmen.

Oft ist es wichtig zu wissen, ob die Unterräume in (6.24) und ob die Normalform in (6.24)’ und die zugehörige ONB eindeutig durch L bestimmt sind.

Hierzu kann man folgendes sagen: Es gilt U_{+} = ker(L − id_{V}), U_{−} = ker(L + id_{V}), so daß U_{−}, U_{+} und damit auch k = \frac{1}{2}(n − (dim U_{−} + dim U_{+})) eindeutig durch L bestimmt sind. Die φ_{1}, …, φ_{k} ∈ (0, π) sind (bis auf ihre Reihenfolge) eindeutig durch L bestimmt (und damit auch die Normalform in (6.24)’), da e^{iφ_{1}}, e^{−iφ_{1}}, … e^{iφ_{k}}, e^{−iφ_{k}} gerade die Eigenwerte ≠ ±1 von L̃ sind. Aus (6.24)’ folgt nämlich sofort:

det(L − λ id) = ∏_{j=1}^{k} \underbrace{(λ^{2} − 2(cos φ_{j})λ + 1)}_{(λ−e^{iφ_{j}})(λ−e^{−iφ_{j}})} ·(1 + λ)^{dim U_{−}} · (1 − λ)^{dim U_{+}}

Eine ONB, in der die Matrix von L die Normalform (6.24)’ annimmt, ist nicht eindeutig durch L bestimmt. Z.B. ist die Matrix einer Drehung, D_{φ} ∈ SO(ℝ^{2}), φ ∈ (0, π), bezüglich

jeder positiv orientierten ONB des ℝ^{2} in der Normalform (\begin{matrix}cos φ_{1} & − sin φ_{1} \\ sin φ_{1} & cos φ_{1} \end{matrix}).

Nach so vielen Worten möchte man hoffen, nun alles über orthogonale Abbildungen zu wissen. Weit gefehlt! Über die Gruppenstruktur von SO(n) für n ≥ 3 wurde etwa noch nichts gesagt. Man möchte auch gern die Elemente von SO(3) durch 3 (warum gerade 3?) reelle “Parameter” beschreiben (so wie wir die Elemente von SO(2) durch den Drehwinkel φ mod 2π beschrieben haben). Aber geht das und wie am besten? Da gibt es Fragen und Antworten, genug für ein ganzes Mathematikstudium...

7. Dualität

In diesem Kapitel geht es um die Begriffe “Dualraum” und “dualer Homomorphismus”, die sowohl im endlich- wie im unendlich-dimensionalen Fall (hier als algebraischer Hintergrund für die “Funktionalanalysis”) wichtig sind. Dennoch ist diesen Begriffen eine gewisse Unanschaulichkeit eigen. Neben der Vorbereitung auf weiterführende Gegenstände dient dieses Kapitel auch einer sachgerechten Behandlung der Transposition von Matrizen (vgl. (5.16) und (4.23)).

Im folgenden sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Eine \underline{Linearform} \underline{auf} V ist eine Abbildung l : V → K, so daß für alle α, β ∈ K und alle v, w ∈ V gilt:

l(αv + βw) = αl(v) + βl(w).

Mit anderen Worten ausgedrückt ist eine Linearform l gerade ein Vektorraumhomomorphismus von V in den 1-dimensionalen K-Vektorraum K, d.h. l ∈ Hom(V, K), vgl. (4.1). In (4.9) wird erklärt, daß Hom(V, K) eine natürliche K-Vektorraumstruktur besitzt, in der etwa die Addition von zwei Linearformen l_{1}, l_{2} ∈ Hom(V, K) “punktweise” definiert ist durch:

∀v ∈ V : (l_{1} + l_{2})(v) := l_{1}(v) + l_{2}(v).

(7.1) Definition. Der K-Vektorraum V^{∗} := Hom(V, K) = {l : V → K | l Linearform} heißt Dualraum von V.

Bem.: Aus (4.12)–(4.14) folgt: Ist dim V < ∞, so gilt dim V^{∗} = dim V.

Erinnerung an (4.6): Ist B eine Basis von V und l̃ : B → K irgendeine Abbildung, so existiert genau ein l ∈ V^{∗} mit l | B = l̃, d.h. mit l(v) = l̃(v) für alle v ∈ B.

Im Spezialfall V = K^{n} mit der Standardbasis (e_{1}, …, e_{n}) erhalten wir: Ist l ∈ (K^{n})^{∗} und l(e_{i}) =: a_{i} ∈ K für 1 ≤ i ≤ n, so gilt

l(x_{1}, …, x_{n}) = a_{1}x_{1} + … + a_{n}x_{n} = ∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}.

(Denn l(x_{1}, …, x_{n}) = l(∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}) = ∑_{i=1}^{n} x_{i}l(e_{i}) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}.) In diesem Fall ist eine Linear-

form l ∈ (K^{n})^{∗} also “nichts anderes” als die linke Seite einer einzigen homogenen linearen Gleichung (mit n Unbekannten in K), und die Vektorraumstruktur in (K^{n})^{∗} formalisiert genau das, was wir schon immer (Gaußsches Eliminationsverfahren) mit solchen Gleichungen getan haben: wir haben sie mit Körperelementen multipliziert und zueinander addiert. Bezüglich einer Basis (v_{1}, …, v_{n}) eines n-dimensionalen K-Vektorraums V entspricht nach (4.11) einem l ∈ V^{∗} die (1 × n)-Matrix (a_{1}, …, a_{n}) ∈ K^{1×n} mit a_{i} = l(v_{i}) für 1 ≤ i ≤ n, die man oft auch als “Zeilenvektor” interpretiert.

Bsp.: Auf dem ℝ-Vektorraum V = C^{0}([a, b], ℝ) = {f | f : [a, b] → ℝ stetig} ist die Integration eine Linearform, d.h. definiert man für alle f ∈ V

l(f) := ∫_{a}^{b} f(t)dt,

so gilt l ∈ V^{∗}.

(7.2) Satz. Sei dim V = n und G = (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V. Definiere l_{i} ∈ V^{∗} für 1 ≤ i ≤ n durch

l_{i}(v_{j}) = δ_{ij} = \{ \begin{matrix}1 & für i = j \\ 0 & für i ≠ j \end{matrix} für 1 ≤ j ≤ n.

Dann ist G^{∗} = (l_{1}, …, l_{n}) Basis von V^{∗}, genannt die \underline{Dualbasis} \underline{zu} G.

Für alle l ∈ V^{∗} gilt: l = ∑_{i=1}^{n} l(v_{i})l_{i}.

Bew.:

(i) G^{∗} ist linear unabhängig: Sei ∑_{i=1}^{n} α_{i}l_{i} = 0. Dann gilt für 1 ≤ j ≤ n:

0 = (∑_{i=1}^{n} α_{i}l_{i})(v_{j}) = ∑_{i=1}^{n} α_{i}l_{i}(v_{j}) = ∑_{i=1}^{n} α_{i}δ_{ij} = α_{j}.

(ii) G^{∗} erzeugt V^{∗}: Wir zeigen, daß für jedes l ∈ V^{∗} gilt: l = ∑_{i=1}^{n} l(v_{i})l_{i}. Da beiden Seiten

dieser Gleichung Linearformen sind, genügt es nachzuweisen, daß beide Seiten auf allen Basiselementen v_{j}, 1 ≤ j ≤ n, die gleichen Werte annehmen, vgl. (4.6):

(∑_{i=1}^{n} l(v_{i})l_{i}) (v_{j}) = ∑_{i=1}^{n} l(v_{i})l_{i}(v_{j}) = ∑_{i=1}^{n} l(v_{i})δ_{ij} = l(v_{j}).

\underline{Wichtige Bemerkung}: Analog kann man im Fall dim V = ∞ aus einer Basis B eine (ebenfalls unendliche) linear unabhängige Menge B^{∗} ⊆ V^{∗} konstruieren (⇒ dim V^{∗} = ∞). Es gilt aber nicht span B^{∗} = V^{∗}, z.B. läßt sich die Linearform l ∈ V^{∗} mit l(b) = 1 für alle b ∈ B \underline{nicht} als (endliche!) Linearkombination von Elementen aus B^{∗} darstellen.

(7.3) Def.: Sind V, W K-Vektorräume und ist L ∈ Hom(V, W), so heißt die Abbildung L^{∗} : W^{∗} → V^{∗}, die durch

L^{∗}(l) = l ∘ L (oder explizit:∀v ∈ V gilt (L^{∗}(l))(v) = l(L(v)))

definiert ist, die zu L duale Abbildung.

(7.4) Fakt. (i) Die Abbildung L ∈ Hom(V, W) → L^{∗} ∈ Hom(W^{∗}, V^{∗}) ist ein injektiver K-Vektorraumhomomorphismus von Hom(V, W) nach Hom(W^{∗}, V^{∗}). (ii) Ist Z ein weiterer K-Vektorraum und ist J ∈ Hom(V, W), L ∈ Hom(W, Z),

so gilt:  (L ∘ J)^{∗} = J^{∗} ∘ L^{∗} ∈ Hom(Z^{∗}, V^{∗}).
Außerdem gilt: (id_{V})^{∗} = id_{V^{∗}} .

Bem.:

1) Aus (4.13), (4.14) und (7.2) folgt, im Fall dim V = n < ∞, dim W = m < ∞: dim Hom(V, W) = m · n = dim Hom(W^{∗}, V^{∗}). In diesem Fall ist also die Abbildung L ∈ Hom(V, W) → L^{∗} ∈ Hom(W^{∗}, V^{∗}) ein Isomorphismus, vgl. (4.8).

2) In der Sprache der Kategorien besagt (7.4)(ii), daß ^{∗} ein kontravarianter Funktor auf der Kategorie der K-Vektorräume ist.

Bew.:

(i) Zeige z.B.: L_{1}, L_{2} ∈ Hom(V, W) ⇒ (L_{1}+L_{2})^{∗} = L_{1}^{∗}+L_{2}^{∗}. Denn es gilt für alle l ∈ W^{∗}:

(L_{1} + L_{2})^{∗}(l) = l ∘ (L_{1} + L_{2}) =^{l linear} l ∘ L_{1} + l ∘ L_{2} = L_{1}^{∗}(l) + L_{2}^{∗}(l) = (L_{1}^{∗} + L_{2}^{∗})(l).

Injektivität: Zeige L ≠ 0 ⇒ L^{∗} ≠ 0. Ist L ≠ 0, so existiert ein v ∈ V mit L(v) ≠ 0. Ergänze w := L(v) ≠ 0 zu einer Basis B von W und definiere l ∈ W^{∗} durch l(w) = 1, l(w′) = 0 für w′ ∈ B \ {w}. Dann gilt 1 = l(L(v)) = (L^{∗}(l))(v), also L^{∗}(l) ≠ 0, also L^{∗} ≠ 0.

(ii) Für l ∈ Z^{∗} gilt (L ∘ J)^{∗}(l) = l ∘ (L ∘ J) = (l ∘ L) ∘ J = J^{∗}(l ∘ L) = J^{∗}(L^{∗}(l)) = (J^{∗} ∘ L^{∗})(l).

(7.5) Fakt. Sind G_{V} = (v_{1}, …, v_{n}) bzw. G_{W} = (w_{1}, …, w_{m}) Basen von V bzw. W und ist l ∈ Hom(V, W), so gilt:

Mat_{G_{W}^{∗}}^{G_{V}^{∗}} (L^{∗}) = (Mat_{G_{V}}^{G_{W}} (L))^{T}

(oder mit Worten: Bezüglich dualer Basen ist die Matrix von L^{∗} gerade die transponierte Matrix von L).

Bem.: Aus (7.4)(ii) und (7.5) folgt, daß für alle A ∈ K^{m×n}, B ∈ K^{n×p} gilt:

(A · B)^{T} = B^{T} · A^{T} ,

was man auch leicht direkt nachrechnen kann.

Bew.: Sei A = (a_{ij})_{\begin{matrix}1≤i≤m \\ 1≤j≤n \end{matrix}} = Mat_{G_{V}}^{G_{W}} (L), d.h. es gilt

L(v_{j}) = ∑_{i=1}^{m} a_{ij}w_{i} für 1 ≤ j ≤ n.

Sei G_{V}^{∗} = (l_{1}, …, l_{n}), G_{W}^{∗} = (f_{1}, …, f_{m}). Dann ist B = (b_{kr})_{\begin{matrix}1≤k≤n \\ 1≤r≤m \end{matrix}} = Mat_{G_{W}^{∗}}^{G_{V^{∗}}}(L^{∗}) durch

L^{∗}(f_{r}) = ∑_{k=1}^{n} b_{kr}l_{k} definiert.

Dann gilt für 1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ r ≤ m:

(L^{∗}(f_{r}))(v_{j}) = ∑_{k=1}^{n} b_{kr}l_{k}(v_{j}) = ∑_{k=1}^{n} b_{kr}δ_{kj} = b_{jr}.

Also

\begin{aligned}b_{jr} & = & (L^{∗}(f_{r}))(v_{j}) = f_{r}(L(v_{j})) = f_{r} (∑_{i=1}^{m} a_{ij}w_{i}) \\ & = & ∑_{i=1}^{m} a_{ij}f_{r}(w_{i}) = ∑_{i=1}^{m} a_{ij}δ_{ri} = a_{rj}, \end{aligned}

d.h. B = A^{T}.

Bez.: V^{∗∗} := (V^{∗})^{∗} = Hom(V^{∗}, K) heißt der \underline{Bidualraum} \underline{von} V.

(7.6) Fakt. Es existiert ein “natürlicher” injektiver Homomorphismus

h = h_{V} : V → V^{∗∗}

definiert durch: Für alle v ∈ V, l ∈ V^{∗} gilt

(h(v))(l) := l(v).

Bem.:

1) Ist dim V < ∞, so ist h : V → V^{∗∗} ein Isomorphismus, da dim V^{∗∗} = dim V^{∗} = dim V.

2) h heißt “natürlich (oder kanonisch)”, weil h unabhängig von irgendwelchen Wahlen (z.B. von Basen) definiert ist. In der Sprache der “Kategorien” läßt sich die Natürlichkeit von h mathematisch präzis formulieren.

Bew.: Injektivität von h: Ist v ∈ V \ {0}, so existiert ein l ∈ V^{∗} mit l(v) ≠ 0 (vgl. den Beweis von (7.4)(i)). Dann gilt (h(v))(l) = l(v) ≠ 0, also h(v) ∈ V^{∗∗} \ {0}.

Bez.: Zu einem Untervektorraum U von V definieren wir

U^{s} := {l ∈ V^{∗} | ∀u ∈ U : l(u) = 0}.

Zu einem Untervektorraum W von V^{∗} definieren wir

W_{s} := {v ∈ V | ∀l ∈ W : l(v) = 0}.

Dann ist U^{s} Untervektorraum von V^{∗} und W_{s} Untervektorraum von V, und es gilt

(7.7) Satz. Ist dim V < ∞, so

(i) dim U + dim U^{s} = dim V (ii) (U^{s})^{s} = h(U) ⊆ V^{∗∗} (iii) dim W + dim W_{s} = dim V

Bem.: (7.7)(iii) kann als Präzisierung und Verallgemeinerung von (3.25) angesehen werden: Ist I ein homogenes lineares Gleichungssystem mit k Gleichungen für n Unbekannte (in K), so gilt dim L_{I} ≥ n−k. Jede Gleichung ist gegeben durch eine Linearform l_{1}, …, l_{k} ∈ (K^{n})^{∗}. Wir setzen W := span{l_{1}, …, l_{k}} ⊆ (K^{n})^{∗}. Dann gilt L_{I} = W_{s} und (7.7)(iii) impliziert: dim L_{I} = dim W_{s} = n − dim W ≥ n − k mit “=” genau dann, wenn die “Gleichungen” l_{1}, …, l_{k} linear unabhängig sind. (Ausgedrückt mittels Matrizen folgt Entsprechendes aus (4.21), (4.22)).

Bew.:

(i) Mit der Bemerkung nach (3.13) (“Basisergänzungssatz”) können wir eine Basis G = (v_{1}, …, v_{n}) von V finden, so daß für k := dim U gilt:

U = span{v_{1}, …, v_{k}}.

Sei G^{∗} die zu G duale Basis. Dann gilt mit (7.2):

l = ∑_{i=1}^{n} l(v_{i})l_{i} liegt in U^{s} ⇔ l(v_{i}) = 0 für i = 1, …, k

⇔ l = ∑_{i=k+1}^{n} l(v_{i})l_{i} ⇔ l ∈ span{l_{k+1}, …, l_{n}}.

D.h. U^{s} = span{l_{k+1}, …, l_{n}} und speziell:

dim U^{s} = n − k = dim V − dim U.

(ii) Zeige: h(U) ⊆ (U^{s})^{s}. Sei v ∈ U und l ∈ U^{s}. Dann gilt

(h(v))(l) = l(v) = 0,

also h(v) ∈ (U^{s})^{s}. Nach (i) gilt dim(U^{s})^{s} = dim V^{∗} − dim U^{s} = dim V^{∗} − (dim V − dim U) = dim U. Da h injektiv ist, gilt dim h(U) = dim U(= dim(U^{s})^{s}). Wegen h(U) ⊆ (U^{s})^{s}, folgt h(U) = (U^{s})^{s}.

(iii) Wir zeigen, daß W^{s} = h(W_{s}) gilt, denn daraus folgt mit (i): dim W_{s} = dim h(W_{s}) = dim W^{s} = dim V − dim W. Ist w ∈ W_{s}, so gilt für alle l ∈ W: 0 = l(w) = (h(w))(l). Daraus folgt h(w) ∈ W^{s}. Ist \overline{v} ∈ W^{s} ⊆ V^{∗∗}, so existiert nach (7.6), Bem. 1), ein v ∈ V mit h(v) = \overline{v}. Dann gilt für alle l ∈ W: 0 = \overline{v}(l) = (h(v))(l) = l(v). Also v ∈ W_{s}, und damit \overline{v} = h(v) ∈ h(W_{s}).

(7.8) Satz. Seien V und W K-Vektorräume, L ∈ Hom(V, W). Dann gilt:

(i) ker L^{∗} = (im L)^{s} (ii) ker L = (im L^{∗})_{s}

Speziell: L surjektiv ⇔ L^{∗} injektiv L^{∗} surjektiv ⇒ L injektiv. Die Umkehrung gilt, falls dim W < ∞.

Bew.:

(i) Zeige: ker L^{∗} ⊆ (im L)^{s}. Ist l ∈ ker L^{∗} ⊆ W^{∗}, so gilt für alle v ∈ V:

0 = (L^{∗}(l))(v) = l(L(v)), d.h. l ∈ (im L)^{s}.

Zeige: (im L)^{s} ⊆ ker L^{∗}. Ist l ∈ (im L)^{s}, so gilt für alle v ∈ V:

l(L(v)) = 0, also (L^{∗}(l))(v) = 0. Daraus folgt l ∈ ker L^{∗}.

(ii) Analog zu (i).

“Speziell”: vgl. Anwesenheitsaufgabe 4 auf Blatt 4a. (7.9) Folgerung. Seien V und W K-Vektorräume, dim W < ∞ und L ∈ Hom(V, W). Dann gilt: dim(im L) = dim(im L^{∗}). Bew.: dim(im L^{∗}) =^{(4.8)} dim W^{∗} − dim(ker L^{∗}) =^{(7.2)} dim W − dim(ker L^{∗}) = =^{(7.8)(i)} dim W − dim((im L)^{s}) =^{(7.7)(i)} dim W − (dim W − dim(im L)) = dim(im L)

Eine der berühmtesten mathematischen Erkenntnisse der letzten 50 Jahre – der Atiyah-Singer-Indexsatz – hat damit zu tun, daß (7.9) ohne die Voraussetzung “dim W < ∞” nicht gilt. Bem.: (7.5) und (7.9) bilden den mathematischen Hintergrund für Satz (4.23) (“Zeilenrang = Spaltenrang”), d.h. rg(A) = rg(A^{T}). Zusammenhang: Dualraum ↔ Bilinearformen Zu einem K-Vektorraum V betrachten wir die Menge

B(V) = {b | b : V × V → K bilinear}

der Bilinearformen auf V. Sie bildet (mit den wie üblich “punktweise”definierten Verknüpfungen) selbst einen K-Vektorraum. Jedes b ∈ B(V) definiert Abbildungen λ(b) ∈ Hom(V, V^{∗}) und ρ(b) ∈ Hom(V, V^{∗}) durch: Für alle v ∈ V ist λ(b)(v) ∈ V^{∗} durch

λ(b)(v) = b(v, ·)

definiert, d.h. (λ(b)(v))(w) = b(v, w) für alle w ∈ V. Analog ist ρ(b) ∈ Hom(V, V^{∗}) definiert durch: Für alle v ∈ V gilt ρ(b)(v) = b(·, v), d.h.

(ρ(b)(v))(w) = b(w, v) für alle w ∈ V.

Man prüft nach, daß in der Tat λ(b), ρ(b) ∈ Hom(V, V^{∗}). (7.10) Def.: b ∈ B(V) heißt nicht ausgeartet, falls folgende Bedingungen (i) und (ii) gelten:

(i) Ist v ∈ V und gilt b(v, w) = 0 für alle w ∈ V, so gilt v = 0.

(ii) Ist v ∈ V und gilt b(w, v) = 0 für alle w ∈ V, so gilt v = 0. Bsp.: Jedes Skalarprodukt ist eine nicht ausgeartete Bilinearform. (⟨v, w⟩ = 0 ∀w ∈ V ⇒ ⟨v, v⟩ = ∥v∥^{2} = 0 ⇒ v = 0.) Bem.: Die Bedingung (7.10)(i) ist äquivalent dazu, daß λ(b) ∈ Hom(V, V^{∗}) injektiv ist, und (7.10)(ii) ist äquivalent dazu, daß ρ(b) injektiv ist. (7.11) Satz. Die Abbildungen

λ : B(V) → Hom(V, V^{∗}), b ∈ B(V) → λ(b) ∈ Hom(V, V^{∗}) und

ρ(b) : B(V) → Hom(V, V^{∗}), b ∈ B(V) → ρ(b) ∈ Hom(V, V^{∗})

sind natürliche K-Vektorraumisomorphismen.

(7.11) besagt, daß ein Homomorphismus V → V^{∗} “nichts anderes” als eine (etwas anders geschriebene) Bilinearform auf V ist.

Bew.: Linearität von λ, z.B.:

\begin{aligned}(λ(b_{1} + b_{2}))(v) & = & (b_{1} + b_{2})(v, ·) = b_{1}(v, ·) + b_{2}(v, ·) \\ & = & (λ(b_{1}))(v) + (λ(b_{2}))(v) = (λ(b_{1}) + λ(b_{2}))(v). \end{aligned}

Injektivität von λ: b ≠ 0 → ∃v, w ∈ V: b(v, w) ≠ 0 ⇒

(λ(b)(v))(w) ≠ 0 ⇒ λ(b)(v) ≠ 0 ⇒ λ(b) ≠ 0.

Surjektivität von λ: Sei L ∈ Hom(V, V^{∗}). Definiere b : V × V → K durch b(v, w) = (L(v))(w). Dann gilt b ∈ B(V) und für alle v ∈ V:

λ(b)(v) = b(v, ·) = L(v), d.h. λ(b) = L.

Bem.: Ist b ∈ B(V), so ist λ(b)^{∗} ∈ Hom(V^{∗∗}, V^{∗}), und es gilt für alle v, w ∈ V:

(λ(b)^{∗}(h(v)))(w) = h(v)(λ(b)(w)) = b(w, v).

Ist dim V < ∞, so können wir aus dieser Bemerkung ableiten, daß die Bedingungen (7.10)(i) und (ii) äquivalent sind: b ∈ B(V) und (7.10)(i) gilt ⇔ λ(b) ∈ Hom(V, V^{∗})

ist injektiv ⇔^{(7.9)} λ(b)^{∗} ∈ Hom(V^{∗∗}, V^{∗}) ist injektiv ⇔^{Bem.} (7.10)(ii) gilt für b.

(7.12) Folgerung. Sei dim V < ∞ und b ∈ B(V) nicht ausgeartete Bilinearform. Dann existiert zu jedem l ∈ V^{∗} genau ein v ∈ V, so daß für alle w ∈ V gilt:

l(w) = b(v, w),

nämlich v = λ(b)^{−1}(l). Analog existiert genau ein v′ ∈ V, so daß für alle w ∈ V gilt

l(w) = b(w, v′),

nämlich v′ = ρ(b)^{−1}(l).

Bew.: Da b nicht ausgeartet ist, sind λ(b) ∈ Hom(V, V^{∗}) und ρ(b) ∈ Hom(V, V^{∗}) injektiv, vgl. Bem. nach (7.10). Wegen dim V = dim V^{∗} < ∞ sind λ(b), ρ(b) Isomorphismen von V nach V^{∗}. Ist v := λ(b)^{−1}(l) und w ∈ V beliebig, so gilt

b(v, w) = (λ(b)(v))(w) = (λ(b)(λ(b)^{−1}(l)))(w) = l(w).

Ist umgekehrt v ∈ V und gilt für alle w ∈ V: b(v, w) = l(w), so folgt

b(v, w) = (λ(b)(v))(w) = l(w),

d.h. λ(b)(v) = l, und damit v = λ(b)^{−1}(l).

Nachtrag: Orientierung von ℝ-Vektorräumen.

Wir wollen nun (7.12) benutzen, um das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt genannt) zu definieren. Dazu benötigen wir den Begriff des “orientierten ℝ-Vektorraums”. Das folgende ist eine Verallgemeinerung von (5.25), und zwar auf den Fall beliebiger ℝ-Vektorräume V, mit 1 ≤ dim V = n < ∞.

(7.13) Def.: Zwei Basen (v_{1}, …, v_{n}), (w_{1}, …, w_{n}) von V heißen \underline{gleich orientiert}, falls für den Endomorphismus L ∈ End(V), der durch L(v_{i}) = w_{i}, 1 ≤ i ≤ n, definiert ist, gilt: det L > 0.

Bem.: 1) (v_{1}, …, v_{n}) und (w_{1}, …, w_{n}) sind genau dann gleich orientiert, falls für eine (⇒ jede) Determinantenform D auf V gilt:

\frac{D(w_{1}, …, w_{n})}{D(v_{1}, …, v_{n})} > 0, vgl. (5.19).

2) “gleich orientiert” ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der geordneten Basen V mit zwei Äquivalenzklassen.

(7.14) Def.: Eine Orientierung von V ist die Auswahl einer der beiden Äquivalenzklassen von geordneten Basen von V. Die Basen in der ausgewählten Äquivalenzklasse heißen positiv orientiert.

Bsp.: Die “übliche Orientierung” des ℝ^{n} besteht in der Auswahl der Äquivalenzklasse, die die Standardbasis (e_{1}, …, e_{n}) enthält, vgl. (5.25).

Bez.: Sei (V, ⟨, ⟩) orientierter euklidischer Vektorraum, 0 < dim V = n < ∞. Dann existiert genau eine Determinantenform D auf V, so daß für eine (⇒ jede) positiv orientierte ONB von V gilt: D(v_{1}, …, v_{n}) = 1. Dieses D heißt die \underline{kanonische} \underline{Determinantenform} von V.

Bem.: Ist (v_{1}, …, v_{n}) positiv orientierte ONB von V, so kann man für beliebige (w_{1}, …, w_{n})

∈ V^{n} den Wert D(w_{1}, …, w_{n}) wie folgt berechnen: Ist w_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}v_{i} und A := (a_{ij})_{1≤i,j≤n},

so gilt D(w_{1}, …, w_{n}) = det A. Das liegt daran, daß diese Formel eine Determinantenform definiert, die auf der gegebenen, positiv orientierten ONB (v_{1}, …, v_{n}) den Wert 1 hat (da in diesem Fall A = E_{n} gilt).

Speziell ist im Fall V = ℝ^{n} mit dem Standardskalarprodukt und der üblichen Orientierung, die kanonische Determinantenform gerade die “Standarddeterminantenform” D_{0}, vgl. (5.13).

Das Kreuzprodukt

(7.15) Def.: Sei (V, ⟨, ⟩) orientierter euklidischer Vektorraum, 3 ≤ dim V = n < ∞, mit kanonischer Determinantenform D. Zu je n − 1 Vektoren w_{1}, …, w_{n−1} in V existiert genau ein Vektor w ∈ V, so daß für alle v ∈ V gilt:

(∗) D(w_{1}, …, w_{n−1}, v) = ⟨w, v⟩.

Dieses w heißt das \underline{Kreuzprodukt} \underline{von} w_{1}, …, w_{n−1} und wird durch das Symbol w_{1} × … × w_{n−1} bezeichnet. Begründung: Die Abbildung v ∈ V → D(w_{1}, …, w_{n−1}, v) ∈ ℝ ist eine Linearform auf V. Da ⟨, ⟩ eine nichtausgeartete Bilinearform ist, folgt Existenz und Eindeutigkeit eines Vektors w, der (∗) für alle v ∈ V erfüllt, aus Folgerung (7.12).

Bem.: Es ist nur das Kreuzprodukt w_{1} × … × w_{n−1} von n − 1 Vektoren (n = dim V) definiert, d.h. für zwei Vektoren w_{1}, w_{2} ∈ ℝ^{4} ist w_{1} × w_{2} \underline{nicht} definiert!

Eigenschaften des Kreuzprodukts:

(i) Die Abbildung (w_{1}, …, w_{n−1}) ∈ V × … × V → w_{1} × … × w_{n−1} ∈ V ist multilinear und alternierend. Speziell gilt: w_{1}, …, w_{n−1} linear abhängig ⇒ w_{1} ×…×w_{n−1} = 0.

Z.B. beweist man wie folgt die Additivität im 1. Argument:

⟨(w_{1} + w′_{1}) × w_{2} × … × w_{n−1}, ·⟩ = D(w_{1} + w′_{1}, w_{2}, …, w_{n−1}, ·)
= D(w_{1}, w_{2}, …, w_{n−1}, ·) + D(w′_{1}, w_{2}, …, w_{n−1}, ·)
= ⟨w_{1} × w_{2} × … × w_{n−1}, ·⟩ + ⟨w′_{1} × w_{2} × … × w_{n−1}, ·⟩
= ⟨w_{1} × … × w_{n−1} + w′_{1} × w_{2} × … × w_{n−1}, ·⟩

(ii) L ∈ O(V) ⇒ L(w_{1}) × … × L(w_{n−1}) = det L · L(w_{1} × … × w_{n−1}).

Bew.: ⟨L(w_{1}) × … × L(w_{n−1}), v⟩ = D(L(w_{1}), …, L(w_{n}), L(L^{−1}(v))) = det L D(w_{1}, …, w_{n−1}, L^{−1}(v)) = det L · ⟨w_{1} × … × w_{n−1}, L^{−1}(v)) =^{L∈O(V)} ⟨det L · L(w_{1} × … × w_{n−1}), v⟩

(iii) “Geometrische Definition des Kreuzprodukts”: Sind w_{1}, …, w_{n−1} linear unabhängig, so ist w_{1} × … × w_{n−1} der eineutig bestimmte Vektor mit:

(a) w_{1} × … × w_{n−1} ∈ (span{w_{1}, …, w_{n−1}})^{⊥},

(b) (w_{1}, …, w_{n−1}, w_{1} × … × w_{n−1}) ist positiv orientierte Basis von V, und

(c) ∥w_{1} × … × w_{n−1} ∥= vol_{n−1}^{⟨,⟩}(P (w_{1}, …, w_{n−1})).

Wir zeigen, daß w_{1} × … × w_{n−1} die Eigenschaften (a)–(c) hat: zu (a): ⟨w_{i}, w_{1} × … × w_{n−1}⟩ = D(w_{1}, …, w_{n−1}, w_{i}) = 0 für 1 ≤ i ≤ n − 1.

zu (b): \begin{aligned}D(w_{1}, …, w_{n−1}, w_{1} × … × w_{n−1}) & = & ⟨w_{1} × … × w_{n−1}, w_{1} × … × w_{n−1}⟩ \\ & = & ∥w_{1} × … × w_{n−1} ∥^{2} . \end{aligned}

zu (c): Zeige zunächst: w_{1}, …, w_{n−1} linear unabhängig ⇒ w := w_{1} × … × w_{n−1} ≠ 0.

Ergänze w_{1}, …, w_{n−1} zu einer Basis (w_{1}, …, w_{n−1}, v) von V. Dann gilt 0 ≠ D(w_{1}, …, w_{n−1}, v) = ⟨w_{1} × … × w_{n−1}, v⟩, also w = w_{1} × … × w_{n−1} ≠ 0.

Nun ist die Abbildung, die v_{1}, …, v_{n−1} ∈ span{w_{1}, …, w_{n−1}} die reelle Zahl D (v_{1}, …, v_{n−1}, \frac{w}{∥w∥}) zuordnet, eine normierte Determinantenform auf span\{w_{1}, …, w_{n−1}\}, also

vol_{n−1}^{⟨,⟩}(P (w_{1}, …, w_{n−1})) = D (w_{1}, …, w_{n−1}, \frac{w}{∥w∥}) =^{(b)}∥w_{1} × … × w_{n−1} ∥ .

Umgekehrt sieht man leicht, daß ein Vektor durch die Eigenschaften (a)–(c) eindeutig bestimmt ist.

Schließlich leiten wir eine explizite Formel her, die es erlaubt, w_{1} × … × w_{n−1} aus den Komponenten von w_{1}, …, w_{n−1} bezüglich einer positiv orientierten ONB zu berechnen.

(7.16) Fakt. Ist (v_{1}, …, v_{n}) positiv orientierte ONB von V und w_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}v_{i} für 1 ≤ j ≤

n − 1, so gilt

w_{1} × … × w_{n−1} = ∑_{i=1}^{n} ((−1)^{n+i} det A_{i})) v_{i},

wobei A^{i} ∈ ℝ^{(n−1)×(n−1)} aus A := (a_{ij})_{\begin{matrix}1≤i≤n \\ 1≤j≤n−1 \end{matrix}} ∈ ℝ^{n×(n−1)} durch Streichen der i’ten Zeile

entsteht.

Bsp.: Im Fall von V = ℝ^{3} mit der üblichen Orientierung und dem Standardskalarprodukt betrachten wir die positiv orientierte ONB (e_{1}, e_{2}, e_{3}) und

\begin{aligned}w_{1} & =: & a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = ∑_{i=1}^{3} a_{i} e_{i} ∈ ℝ^{3} und \\ w_{2} & =: & b = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) = ∑_{i=1}^{3} b_{i} e_{i} ∈ ℝ^{3}. \end{aligned}

Dann ist A ∈ ℝ^{3×2} die Matrix

( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \\ a_{3} & b_{2} \end{matrix} )

und es gilt: a × b = ∑_{i=1}^{3} ((−1)^{i+3} det A_{i}) e_{i} = (a_{2}b_{3} − a_{3}b_{1}, −a_{1}b_{3} + a_{3}b_{1}, a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1}).

Bew. von (7.16): Für alle x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}v_{i} ∈ V gilt aufgrund der Bem. nach (7.14):

D(w_{1}, …, w_{n−1}, x) = | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n−1} & x_{1} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nn−1} & x_{n} \end{matrix} | =^{Entwicklung nach der letzten Spalte} ∑_{i=1}^{n}(−1)^{n+i} det A_{i}x_{i}

= ⟨∑_{i=1}^{n} ((−1)^{n+i} det A_{i}) v_{i}, x⟩ .

Also: w_{1} × … × w_{n−1} = ∑_{i=1}^{n} ((−1)^{n+i} det A_{i}) v_{i}.

Bsp.: Es sei V = ℝ^{n+1} mit üblicher Orientierung und Standardskalarprodukt. Es sei e_{1}, …, e_{n} die Standardbasis des ℝ^{n} und s_{1}, …, s_{n} reelle Zahlen. Wir betrachten die Vektoren w_{1} := (e_{1}, s_{1}), …, w_{n} := (e_{n}, s_{n}) im ℝ^{n+1}. Dann gilt:

vol_{n}^{⟨,⟩}(P (w_{1}, …, w_{n})) = \sqrt{1 + ∑_{i=1}^{n}(s_{i})^{2}}

(vgl. Blatt 2, Aufgabe 4 für die Fälle n = 2, 3).

Bew.: Nach (c) und (7.16) gilt:

vol_{n}(P (w_{1}, …, w_{n})) =^{(c)}∥w_{1} × … × w_{n} ∥ =^{(7.16)} \sqrt{∑_{i=1}^{n+1}(det A_{i})^{2}}, wobei

A_{i} aus der ((n + 1) × n)-Matrix

A = ( \begin{matrix}1 & 0 & … & … & 0 \\ 0 & 1 & … & … & 0 \\ ⋮ & & ... \\ ⋮ & & & ... \\ 0 & & … & … & 1 \\ s_{1} & s_{2} & … & … & s_{n} \end{matrix} )

durch Streichen der i’ten Zeile entsteht. Offensichtlich gilt det A_{n+1} = 1 und | det A_{i}| = |s_{i}| für 1 ≤ i ≤ n.

Nachtrag: Quotientenraum (manchmal auch Faktorraum genannt).

Vor der Beschäftigung mit diesem Nachtrag ist es gut, sich (1.23), (1.24) und die darauf folgenden Tatsachen über Äquivalenzrelationen ins Gedächtnis zu rufen.

Sei V ein K-Vektorraum und U Untervektorraum von V. Wir definieren eine Äquivalenzrelation ∼_{U} auf V durch:

v ∼_{U} w ⇔ v − w ∈ U.

Die Transitivität von ∼_{U} sieht man so ein:

v ∼_{U} w und w ∼_{U} z ⇒ v − w ∈ U und w − z ∈ U ⟹^{U Untervektorraum}

(v − w) + (w − z) = v − z ∈ U ⇒ v ∼_{U} z.

Bem.: Die Äquivalenzklasse von v ∈ V bezüglich ∼_{U} ist genau der affine Unterraum v+U = {v + u | u ∈ U}, vgl. (3.26) und die Abschnitte vor (3.26).

Bew.: (i) Ist w ∈ v + U, d.h. w = v + u für ein u ∈ U, so gilt w − v = u ∈ U, also w ∼_{U} v. Deshalb ist v + U in der Äquivalenzklasse von v enthalten. (ii) Ist z ∈ V und z ∼_{U} v, so gilt z − v =: u ∈ U, also z = v + u ∈ v + U. Das zeigt, daß die Äquivalenzklasse von v in v + U enthalten ist.

Es ist für das Folgende ganz wichtig, im Gedächtnis zu behalten, daß in der Darstellung einer Äquivalenzklasse in der Form v + U das Element v ∈ V nicht eindeutig bestimmt ist (es sei denn U = {0}), denn es gilt:

v + U = w + U ⇔ v ∼_{U} w ⇔ v − w ∈ U.

Man nennt jedes Element aus v + U einen \underline{Repräsentanten der Äquivalenzklasse} v + U.

Wir bezeichnen mit

V/U := {v + U | v ∈ V }

die Menge der Äquivalenzklassen von ∼_{U} und mit

π : V → V/U, π(v) := v + U

die “kanonische Projektion”.

(7.17) Fakt: Es gibt genau eine K-Vektorraumstruktur auf der Menge V/U, so daß π : V → V/U ein Homomorphismus ist.

Bew.: Die Eindeutigkeit der K-Vektorraumstruktur folgt aus der Surjektivität von π. Denn sind α ∈ K und v + U, w + U ∈ V/U, so gilt π(v) = v + U, π(w) = w + U. Ist nun π ein Homomorphismus, so muß für das (noch zu definierende) Produkt α(v + U) ∈ V/U gelten:

α(v + U) = απ(v) =^{π∈Hom(V,V/U)} π(αv) = (αv) + U.

Und ebenso:

(v + U) + (w + U) = π(v) + π(w) = π(v + w) = (v + w) + U.

Wenn π ein Homomorphismus werden soll, müssen wir also die Gleichungen

(∗) α(v + U) = (αv) + U

und

(∗∗) (v + U) + (w + U) = (v + w) + U

zur Definition der in den Gleichungen links stehenden Operationen verwenden. Es ist \underline{nicht} klar, daß das möglich ist, denn es besteht die Gefahr, daß etwa in (∗) v + U = v′ + U gilt, aber (αv)+U ≠ (αv′)+U. Wir müssen zeigen, daß das nicht passieren kann. Man sagt dazu, wir müssen zeigen, daß die “Definition” (∗) unabhängig von der Wahl des Repräsentanten v von v + U ist, und Analoges für (∗∗): aus v + U = v′ + U folgt v − v′ ∈ U, und damit α(v − v′) = αv − αv′ ∈ U, also αv ∼_{U} αv′ oder (αv) + U = (αv′) + U. Aus v + U = v′ + U und w + U = w′ + U folgt v − v′ ∈ U, w − w′ ∈ U, und damit (v − v′) + (w − w′) = (v + w) − (v′ + w′) ∈ U, also (v + w) ∼_{U} (v′ + w′) oder (v + w) + U = (v′ + w′) + U.

Das zeigt, daß wir (∗) und (∗∗) benützen können, um eine Multiplikation mit Skalaren (∈ K) und eine Addition auf V/U zu definieren. Wir bemerken noch, daß wir beim Beweis der Repräsentantenunabhängigkeit von (∗∗) die Kommutativität der Addition in V benutzt haben. Wir werden später eine analoge Quotientenkonstruktion für Gruppen kennenlernen, und dabei tritt an der entsprechenden Stelle für nichtabelsche Gruppen ein Problem auf.

Nun sind natürlich noch die Vektorraumaxiome für V/U mit den durch (∗) und (∗∗) definierten Operationen nachzuprüfen. Das ist länglich, aber leicht. Wir bemerken noch, daß

U = π(0) = π(u) = u + U (für alle u ∈ U)

das 0-Element von V/U ist.

Bsp.: V = ℝ^{3} und U = span{(1, 1, 1)} = {(x, x, x) | x ∈ ℝ}.

V/U = Menge der affinen Geraden, die parallel zu U sind.

π : ℝ^{3} → ℝ^{3}/U ordnet einen Punkt v ∈ ℝ^{3} die v enthaltende Gerade v + U dieser Parallelschar zu. Da jede dieser Geraden ℝ^{2} × {0} in genau einem Punkt trifft, ist (π | ℝ^{2} × {0}) : ℝ^{2} × {0} → ℝ^{3}/U ein bijektiver Homomorphismus, also ein Isomorphismus, d.h. die (durch (∗∗) definierte) Summe von zwei Geraden kann man wie folgt erhalten: Man bestimmt die Schnittpunkte der zwei Geraden mit ℝ^{2}×{0} und erhält die “Summengerade” als die zu U parallele Gerade durch die Summe (in ℝ^{2} × {0}) der Schnittpunkte. Es ist aber wichtiger die Struktur der Quotientenkonstruktion zu verstehen, als dieses explizite Beispiel.

Es ist nicht leicht zu erklären, warum diese Quotientenkonstruktion wichtig ist. Sie macht aus V ein vergröbertes Abbild V/U, in dem alles, was den Unterraum U betrifft, “vergessen” wird. Wir werden etwa in (7.19) sehen, daß zu jedem Homomorphismus L ∈ Hom(V, W) ein “natürlicher” Homomorphismus \overline{L} : V/ ker L → W mit \overline{L} ∘ π = L gehört, der injektiv ist. Es ist wichtig zu wissen, daß analoge Quotientenkonstruktionen für alle algebraischen Strukturen (Gruppen, Ringe, Moduln) möglich und oft nützlich sind. Hier wird kurz noch der Fall einer (möglicherweise nichtabelschen) Gruppe (G, ·) skizziert:

Ist H eine Untergruppe von G, so definiert

g_{1} ∼_{H} g_{2} ⇔ g_{2}^{−1}g_{1} ∈ H

eine Äquivalenzrelation ∼_{H} auf G, deren Äquivalenzklassen gerade die “Linksnebenklassen”

gH = {gh | h ∈ H}

von H sind. Man setzt wieder G/H = {gH | g ∈ G} und π : G → G/H, π(g) = gH. Versucht man nun, in Analogie zu (7.17), G/H so mit einer Gruppenstruktur zu versehen, daß π ein Homomorphismus wird, so kann man die (unangenehme) Überraschung erleben, daß das nicht geht: Man würde gern (g_{1}H) ∘ (g_{2}H) durch (g_{1}g_{2})H definieren, aber es stellt sich heraus, daß (im nichtabelschen Fall) (g_{1}g_{2})H sehr wohl von der Wahl der Repräsentanten g_{1} von g_{1}H und g_{2} vn g_{2}H abhängen kann, d.h. aus g_{1}H = g′_{1}H und g_{2}H = g′_{2}H folgt nicht notwendig (g_{1}g_{2})H = (g′_{1}g′_{2})H. Es ist nicht schwer einzusehen, daß das genau dann klappt, wenn für alle g ∈ G

gHg^{−1} = H

gilt, wobei gHg^{−1} := {ghg^{−1} | h ∈ H}. Untergruppen H mit dieser Eigenschaft heißen normal, und genau für solche normale Untergruppen H ist es möglich, auf G/H eine Gruppenstruktur zu definieren, so daß π : G → G/H homomorph ist. Ist G abelsch, so gilt natürlich ghg^{−1} = gg^{−1}h = h, und alle Untergruppen von G sind normal. Zu Beginn von Kapitel 2 haben wir (im Prinzip) auf diese Art aus (G, ·) = (ℤ, +) und einer Zahl p ∈ ℕ die endliche zyklische Gruppe (ℤ_{p}, +) konstruiert: Als Untergruppe H nehmen wir

p ℤ = {n ∈ ℤ | p teilt n}

und erhalten ℤ_{p} als ℤ/p ℤ.

Zurück zu den K-Vektorräumen V:

(7.18) Fakt: (i) Sind U und W komplementäre Untervektorräume von V, d.h. gilt V = U ⊕ W, so ist π|W : W → V/U ein Isomorphismus. (ii) Ist dim U < ∞, so gilt dim(V/U) = dim V − dim U.

Bew.: (i) Surjektivität von π|W: Sei v + U ein beliebiges Element von V/U. Dann besitzt v eine (eindeutige) Darstellung als v = u + w mit u ∈ U, w ∈ W. Wegen π(u) = 0 ∈ V/U gilt: v + U = π(v) = π(u + w) = π(u) + π(w) = π(w).

Injektivität von π|W: Sei w ∈ W und π(w) = 0 ∈ V/U. Dann gilt w + U = U, d.h. w ∈ U. Also w ∈ W ∩ U. Wir haben aber vorausgesetzt, daß U ⊕ W eine direkte Summe ist, d.h. daß U ∩ W = {0} gilt, vgl. (3.19). Also folgt aus w ∈ W ∩ U, daß w = 0 gilt. Das zeigt ker(π|W) = {0}, d.h. π|W ist injektiv.

(ii) Nach (3.21) existiert ein zu U komplementärer Untervektorraum W von V, und es gilt dim U + dim W = dim V. Nach (i) gilt dim W = dim(V/U), und wegen dim U < ∞ kann man die Gleichung auch als dim(V/U) = dim W = dim V − dim U schreiben.

(7.19) Isomorphiesatz. Zu L ∈ Hom(V, W) existiert genau ein Homomorphismus \overline{L} ∈ Hom(V/ ker L, W), für den L = \overline{L} ∘ π gilt. \overline{L} ist injektiv und ein Isomorphismus von V/ ker L auf im L ⊆ W.

Bem.: Ist dim(ker L) < ∞, so folgt aus der letzten Aussage, daß

dim(im L) = dim(V/ ker L) =^{(7.18)} dim V − dim(ker L)

gilt. Das ist ein nicht wirklich neuer Beweis des Dimensionssatzes (4.8).

Bew.: Da π : V → V/ ker L surjektiv ist, existiert höchstens eine Abbildung \overline{L} : V | ker L → W mit \overline{L} ∘ π = L. Wenn \overline{L} existiert, muß \overline{L} für alle v + ker L ∈ V/ ker L durch

(∗) \overline{L}(v + ker L) = \overline{L}(π(v)) = L(v)

gegeben sein und wegen L| ker L = 0 ist (∗) in der Tat unabhängig von der Wahl des Repräsentanten der Äquivalenzklasse v + ker L. Es gilt dann für alle α ∈ K, v_{1} + ker L ∈ V/ ker L, v_{2} + ker L ∈ V/ ker L:

\overline{L}(α(v_{1} + ker L)) = \overline{L}((αv_{1}) + ker L) = L(αv_{1}) = αL(v_{1})
= α\overline{L}(v_{1} + ker L) und
\overline{L}((v_{1} + ker L) + (v_{2} + ker L)) = \overline{L}((v_{1} + v_{2}) + ker L) = L(v_{1} + v_{2}) = L(v_{1}) + L(v_{2})
= \overline{L}(v_{1} + ker L) + \overline{L}(v_{2} + ker L).

Das zeigt, daß \overline{L} : V/ ker L → W ein Homomorphismus ist. Ist v + ker L ∈ V/ ker L und gilt \overline{L}(v + ker L) = 0, so folgt L(v) = 0, d.h. v ∈ ker L und damit v + ker L = 0 ∈ V/ ker L. Das zeigt ker \overline{L} = \{0\}, d.h. \overline{L} ist injektiv. Da \overline{L}(V/ ker L) = \overline{L}(π(V)) = L(V) = im L gilt, ist \overline{L} als Abbildung von V/ ker L nach im L auch surjektiv, also ein Isomorphismus von V/ ker L auf im L.

8. Polynomringe

Das Umgehen mit Polynomen, d.h. mit Ausdrücken der Form

a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + … + a_{n}x^{n}

ist aus der Schule vertraut, falls die Koeffizienten a_{0}, …, a_{n} ganze oder rationale oder reelle Zahlen sind. In diesen Fällen kann man das Polynom mit einer Abbildung

p̃: ℝ → ℝ, p̃(x) := ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}

identifizieren. Es gilt dann p̃(0) = a_{0}, (p̃)′(0) = a_{1}, (p̃)′′(0) = 2a_{2} und die k’te Ableitung von p̃ ausgewertet an der Stelle x = 0 ist gerade k! a_{k}, d.h. die Funktion p̃ bestimmt die a_{0}, …, a_{n} eindeutig. Wenn man nun Polynome mit Koeffizienten a_{i} aus einem beliebigen Körper K betrachten will, entsteht im Fall von endlichen Körpern folgende Schwierigkeit: es ”existieren“ unendlich viele verschiedene Polynome, z.B. die ”Monome“ 1, x, x^{2}, …, x^{n}, …,

aber nur endlich viele verschiedene Abbildung p̃ : K → K. Ein Polynom ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} mit

a_{i} ∈ K kann also nicht durch die zugehörige Abbildung p̃ : K → K, p̃(x) := ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}

eindeutig bestimmt sein. Diese Tatsache ruft die Frage hervor, was denn dann ein Polynom mit Koeffizienten a_{i} ∈ K wirklich ”ist“ (oder besser ”sein soll“), eine Frage, die wir eigentlich schon bei der Einführung des charakteristischen Polynoms (nach (5.24)) hätten stellen sollen. Das Ziel dieses Kapitels ist eine befriedigende Antwort auf diese Frage. Dann werden wir noch die Polynomdivision (mit Rest) kennenlernen und uns mit dem Zusammenhang zwischen Nullstellen von Polynomen und dem (multiplikativen) ”Abspalten“ von Linearfaktoren beschäftigen.

Zu einem beliebigen Körper K betrachten wir die Menge

K^{ℕ} := {f | f : ℕ → K},

d.h. ein Element f ∈ K^{ℕ} ist eine Folge f = (f_{0}, f_{1}, …, f_{n}, …) mit f_{n} ∈ K für alle n ∈ ℕ.

(8.1) Def.: Zu f, g ∈ K^{ℕ}, a ∈ K definieren wir

(i) f + g ∈ K^{ℕ} durch f + g := (f_{0} + g_{0}, f_{1} + g_{1}, …, f_{n} + g_{n}, …)

(ii) af ∈ K^{ℕ} durch af := (af_{0}, af_{1}, …, af_{n}, …)

(iii) f · g ∈ K^{ℕ} durch f · g := ((f · g)_{0}, (f · g)_{1}, …, (f · g)_{n}, …), wobei (f · g)_{0} := f_{0} · g_{0}, (f · g)_{1} := f_{0} · g_{1} + f_{1} · g_{0}, (f · g)_{2} := f_{0} · g_{2} + f_{1} · g_{1} + f_{2} · g_{0}

und (f · g)_{n} := ∑_{j=0}^{n} f_{j} · g_{n−j} = ∑_{\begin{matrix}(j,k)∈ℕ×ℕ \\ j+k=n \end{matrix}} f_{j} · g_{k}.

Bem.: 1) Die Ausdrücke in (iii) sind den Ausdrücken nachgebildet, die beim ”schulmäßigen“ Multiplizieren von Polynomen auftreten:

(a_{0}+a_{1}x+…+a_{n}x^{n})·(b_{0}+b_{1}x+…+b_{m}x^{m}) = a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})x^{2}+… 2) Für a ∈ K, f ∈ K^{ℕ} gilt af = (a, 0, …, 0, …) · f.

(8.2) Fakt.

(i) (K^{ℕ}, +) ist ein ∞-dimensionaler K-Vektorraum mit dem Nullelement 0 = (0, …, 0, …) ∈ K^{ℕ}.

(ii) (K^{ℕ}, +, ·) ist ein kommutativer Ring mit 1 = (1, 0, …, 0, …) ∈ K^{ℕ}.

Bem.: Die Definition des ”kommutativen Rings mit 1“ unterscheidet sich von der des Körpers (vgl. (2.4)) nur dadurch, daß auf die Forderung der Existenz von multiplikativen Inversen verzichtet wird. (Man fordert üblicherweise auch \underline{nicht}, daß 1 ≠ 0 gilt, aber das ist für K^{ℕ} natürlich erfüllt).

Bez.: (K^{ℕ}, +, ·) heißt der Ring der formalen Potenzreihen über K, meist bezeichnet durch K[[x]].

Der Nachweis der in (8.2) behaupteten Eigenschaften ist leicht. Am längsten dauert der Nachweis der Assoziativität der Multiplikation, den man wie folgt durchführen kann: Seien f, g, h ∈ K^{ℕ} und n ∈ ℕ. Dann gilt:

\begin{aligned}((f · g) · h)_{n} & = & ∑_{j+k=n}(f · g)_{j}h_{k} = ∑_{j+k=n} ( ∑_{l+m=j} f_{l} · g_{m}) · h_{k} = ∑_{l+m+k=n} f_{l} · g_{m} · h_{k} \\ (f · (g · h))_{n} & = & ∑_{l+j=n} f_{l} · (g · h)_{j} = ∑_{l+j=n} f_{l} · ( ∑_{m+k=j} g_{m} · h_{k}) = ∑_{l+m+k=n} f_{l} · g_{m} · h_{k} \end{aligned}

(8.3) Fakt. Die Teilmenge

K[x] = {f ∈ K^{ℕ} | f_{n} ≠ 0 nur für endlich viele n ∈ ℕ}

ist abgeschlossen bezüglich + und · und enthält 1 = (1, 0, …, 0, …), und ist ein Unterring (mit 1) von (K^{ℕ}, +, ·).

Die Abgeschlossenheit bzgl. · folgt aus dem Beweis zu (8.5).

(8.4) Def.:

(i) (K[x], +, ·) heißt der Polynomring von K.

(ii) Ist f ∈ K[x] \ {0}, so heißt

grad f := max{i ∈ ℕ | f_{i} ≠ 0} ∈ ℕ

der Grad von f. Ist f = 0 ∈ K[x], so setzen wir grad f = −∞.

(8.5) Fakt. Für alle f, g ∈ K[x] gilt:

grad(f · g) = grad f + grad g.

Speziell folgt: f · g = 0 ⇒ f = 0 oder g = 0.

Zu letzterer Eigenschaft sagt man, (K[x], +, ·) sei ”nullteilerfrei“.

Bew.: Ist f = 0 oder g = 0, so f · g = 0, also

grad(f · g) = −∞ = grad f + grad g.

Ist grad f = m ∈ ℕ, grad g = n ∈ ℕ, so gilt f_{m} ≠ 0, g_{n} ≠ 0 und f_{i} = 0 für i > m, g_{j} = 0 für j > n. Daraus folgt

(f · g)_{m+n} = ∑_{\begin{matrix}(i,j)∈ℕ×ℕ \\ i+j=m+n \end{matrix}} f_{i}g_{j} = f_{m} · g_{n} ≠ 0

und (f · g)_{k} = 0 für k > m + n. Also

grad(f · g) = m + n = grad f + grad g.

Um zur üblichen Darstellung von Polynomen zu kommen, führen wir folgende \underline{Bezeichnung} ein:

x := (0, 1, 0, …, 0, …) ∈ K[x].

Außerdem definieren wir wie üblich x^{0} := (1, 0, …, 0, …) und rekursiv x^{n+1} := x · x^{n} für n ∈ ℕ.

In diesem Zugang zu den Polynomen ist also x keine ”Variable“, sondern ein festes Element des Rings K[x].

(8.6) Fakt. Die Menge {x^{n} | n ∈ ℕ} ist eine Basis des K-Vektorraums K[x]. Es gilt

x^{n} = (\underbrace{0, …, 0}_{n-mal}, 1, 0, …) ∈ K[x].

Bew.: Die erste Behauptung folgt aus der zweiten. Die zweite beweisen wir durch Induktion. Die Gleichung x^{0} = (1, 0, …, 0, …), die nach Definition von x^{0} gilt, ist der Induktionsanfang. Mit der Bezeichnung δ_{ij} := 0 für i ≠ j und δ_{ii} := 1 können wir x = (δ_{01}, δ_{11}, δ_{21}, …) und - nach Induktionsvoraussetzung - x^{n} = (δ_{0n}, δ_{1n}, …, δ_{nn}, …) schreiben. Also gilt für jedes i ∈ ℕ:

(x^{n+1})_{i} = (x · x^{n})_{i} = ∑_{j+k=i} δ_{j1}δ_{kn} = \{ \begin{matrix}1 falls i = n + 1 \\ 0 falls i ≠ n + 1. \end{matrix}

(8.7) Folgerung. Jedes Polynom f ∈ K[x] \ {0} besitzt genau eine Darstellung

f = f_{0} + f_{1}x + f_{2}x^{2} + … + f_{m}x^{m} mit f_{m} ≠ 0.

Es gilt dann grad f = m.

Bem.: Bezüglich dieser Darstellung gehen die in (8.1) definierten Operationen in die für Polynome ”üblichen“ über.

(8.8) Satz (Division mit Rest). Seien f ∈ K[x], g ∈ K[x], und es gelte grad f ≥ grad g ≥ 0. Dann existieren h, r ∈ K[x], so daß

f = gh + r

und

grad r < grad g (möglicherweise r = 0)

gelten.

Bew.: Durch Induktion nach n := grad f.

Induktionsanfang: Gilt grad f = 0, so auch grad g = 0, also f = f_{0}, g = g_{0}, und wir können

als h := \frac{g_{0}}{f_{0}} und r = 0 nehmen. Für den Induktionsschritt betrachten wir f = ∑_{i=0}^{n} f_{i}x^{i},

g = ∑_{j=0}^{m} g_{j}x^{j} mit 0 ≤ m ≤ n, f_{n} ≠ 0, g_{m} ≠ 0. Wir definieren

r_{1} := f − \frac{f_{n}}{g_{m}} x^{n−m} · g.

Dann gilt:

(∗) f = g · (\frac{f_{n}}{g_{m}} x^{n−m}) + r_{1} und grad r_{1} < n.

1. Fall: grad r_{1} < grad g. Dann erhalten wir die Behauptung, indem wir h := \frac{f_{n}}{g_{m}} x^{n−m} und r := r_{1} setzen.

2. Fall: grad r_{1} ≥ grad g. Wegen n > grad r_{1} ≥ grad g ≥ 0 ist auf r_{1} die Induktionsvoraussetzung anwendbar und wir erhalten h_{1}, r ∈ K[x], so daß r_{1} = gh_{1} + r und grad r < grad g gelten.

Dann folgt mit (∗):

f = g · (\frac{f_{n}}{g_{m}} x^{n−m} + h_{1}) + r.

Setzen wir h := \frac{f_{n}}{g_{m}} x^{n−m} + h_{1}, so erhalten wir wegen grad r < grad g die Behauptung.

Bem.: Der Beweis von (8.8) besteht in dem üblichen Rechenverfahren zur Polynomdivision, das in die Form eines Beweises gebracht wurde. Umgekehrt liefert der Beweis auch dieses Rechenverfahren, das man beherrschen muß.

Einem Polynom p = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} ∈ K[x] ordnen wir die Abbildung

p̃: K → K, p̃(b) := ∑_{i=0}^{n} a_{i}b^{i} zu.

Dann gilt für alle p, q ∈ K[x]:

\begin{aligned}(p + q)^{∼} & = & p̃ + q̃ \\ (p · q)^{∼} & = & p̃ · q̃. \end{aligned}

Dabei bedeuten + und · auf der linken Seite die Addition und Multiplikation von Polynomen, auf der rechten Seite die Addition und Multiplikation von Abbildungen von K nach K! Anders ausgedrückt: Die Abbildung p → p̃ ist ein Ringhomomorphismus von K[x] in den Ring der Selbstabbildungen von K. Bez.: Ist p ∈ K[x], b ∈ K, so schreibt man für p̃(b) meist einfach p(b). \underline{Wichtige Bemerkung}: Allgemeiner kann man in p = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} ∈ K[x] auch quadratische Matrizen A ∈ K^{m×m} für beliebiges m ∈ ℕ einsetzen:

p(A) := ∑_{i=0}^{n} a_{i}A^{i} ∈ K^{m×m}.

Es gilt wieder: \begin{aligned}(p + q)(A) & = & p(A) + g(A) \\ (p · q)(A) & = & p(A) · g(A). \end{aligned}

Beweis der zweiten Gleichung: Ist p = ∑_{i=0}^{m} a_{i}x^{i}, q = ∑_{j=0}^{n} b_{j}x^{j}, so gilt nach (8.1)(iii): p · q =

∑_{k=0}^{m+n} ( ∑_{i+j=k} a_{i}b_{j}) x^{k}, also (p · q)(A) = ∑_{k=0}^{m+n} ( ∑_{i+j=k} a_{i}b_{j}) A^{k}. Andererseits berechnen wir in

\begin{aligned}K^{m×m} : p(A) · q(A) & = & (∑_{i=0}^{m} a_{i}A^{i}) (∑_{j=0}^{n} b_{j}A^{j}) = ∑_{i=0}^{m} ∑_{j=0}^{n}(a_{i}A^{i})(b_{j}A^{j}) \\ & = & ∑_{k=0}^{m+n} ( ∑_{i+j=k} a_{i}b_{j}) A^{k}. \end{aligned}

(8.9) Def.: Ein a ∈ K heißt Nullstelle eines Polynoms p ∈ K[x], falls p(a) = 0 gilt. (8.10) Lemma. a ∈ K ist genau dann Nullstelle von p ∈ K[x] \ {0}, wenn ein q ∈ K[x] existiert, so daß p = (x − a)q gilt. Bew.: Offenbar folgt aus p = (x − a)q, daß

p̃(a) =^{!} (a − a)q̃(a) = 0 gilt.

Gilt p(a) = 0, so wenden wir (8.8) auf f := p und g := x − a an und erhalten q ∈ K[x], r ∈ K[x] mit grad r < grad g = 1, so daß

p = (x − a)q + r

gilt. Aus 0 = p(a) = (a − a)q(a) + r(a) folgt r(a) = 0 und daraus wegen grad r < 1: r = 0. Bez.: (x − a)^{0} := 1. (8.11) Def.: Sei p ∈ K[x] \ {0}, a ∈ K. Wir bezeichnen mit k(p, a) ∈ ℕ das Maximum aller k ∈ ℕ, für die ein q ∈ K[x] existiert, so daß p = (x − a)^{k}q gilt. Ist k(p, a) > 0, so gilt p(a) = 0 und k(p, a) heißt die Vielfachheit (oder Ordnung) der Nullstelle a von p.

Bem.: 1) k(p, a) = 0 ⇔ p(a) ≠ 0.

2) ∃q ∈ K[x]: p = (x − a)^{k(p,a)}q und q(a) ≠ 0.

3) k(p, a) ≤ grad p, denn aus 2) folgt: grad p = k(p, a) + grad q ≥ k(p, a).

(8.12) Satz. Seien p, f, g ∈ K[x], a ∈ K und es gelte p = f · g. Dann gilt

k(p, a) = k(f, a) + k(g, a).

Bew.:

(i) Ist f = (x − a)^{k_{1}}q_{1}, g = (x − a)^{k_{2}}q_{2}, so gilt

p = f · g = (x − a)^{k_{1}+k_{2}}q_{1}q_{2}.

Daraus folgt k(p, a) ≥ k(f, a) + k(g, a). (ii) Ist p = (x−a)^{k}q mit k = k(p, a) und f = (x−a)^{k_{1}}q_{1} mit q_{1}(a) ≠ 0 (⇒ k_{1} = k(f, a))

und g = (x − a)^{k_{2}}q_{2} mit q_{2}(a) ≠ 0 (⇒ k_{2} = k(g, a)), so folgt

p = (x − a)^{k}q = f · g = (x − a)^{k_{1}+k_{2}}q_{1}q_{2}.

Wegen (i) gilt k = k(p, a) ≥ k_{1} + k_{2}, also

(x − a)^{k_{1}+k_{2}} ((x − a)^{k−(k_{1}+k_{2})}q − q_{1}q_{2}) = 0.

Da K[x] nulleiterfrei ist, vgl. (8.5), und (x − a)^{k_{1}+k_{2}} ∈ K[x] \ {0} gilt, folgt (x − a)^{k−(k_{1}+k_{2})}q − q_{1}q_{2} = 0. Wenn k > k_{1} + k_{2} gelten würde, so folgte q_{1}(a)q_{2}(a) = 0, im Widerspruch zu q_{1}(a) ≠ 0, q_{2}(a) ≠ 0. Also gilt k = k(p, a) ≤ k_{1} + k_{2} = k(f, a) + k(g, a).

(8.13) Folgerung. Sind a_{1}, …, a_{s} verschiedene Nullstellen von p ∈ K[x] \ {0} mit den Vielfachheiten k_{1} = k(p, a_{1}), …, k_{s} = k(p, a_{s}), so existiert ein q ∈ K[x] mit:

p = (x − a_{1})^{k_{1}} · . . . · (x − a_{s})^{k_{s}}q.

Speziell gilt ∑_{i=1}^{s} k_{i} ≤ grad p.

Bew.: Induktion nach s. Der Induktionsanfang s = 1 ist gerade die Definition (8.11). Nach Induktionsvoraussetzung existiert \overline{q} ∈ K[x] mit

p = (x − a_{1})^{k_{1}} · . . . · (x − a_{s−1})^{k_{s−1}} \overline{q}.

Aus (8.12) folgt k_{s} = k(p, a_{s}) = k(\overline{q}, a_{s}). Also existiert q ∈ K[x] mit \overline{q} = (x − a)^{k_{s}}q. Daraus folgt die Behauptung

(8.14) Def.: Ein p ∈ K[x] \ {0} zerfällt über K (in Linearfaktoren), falls ein a ∈ K und a_{1}, …, a_{s} ∈ K und k_{1}, …, k_{s} ∈ ℕ existieren, so daß gilt

p = a(x − a_{1})^{k_{1}} · . . . · (x − a_{s})^{k_{s}} =: a ∏_{i=1}^{s}(x − a_{i})^{k_{i}}.

(8.15) Folgerung (aus (8.13)): p ∈ K[x]\{0} zerfällt genau dann über K, wenn verschiedene a_{1}, …, a_{s} ∈ K existieren, so daß

grad p = ∑_{i=1}^{s} k(p, a_{i})

gilt.

(8.16) Folgerung. Sind p, f, g ∈ K[x] \ {0}, gilt p = f · g und zerfällt p über K, so zerfallen auch f und g über K.

Bew.: Nach (8.15) existieren verschiedene a_{1}, …, a_{s} ∈ K mit grad p = ∑_{i=1}^{s} k(p, a_{i}).

Nach (8.12) gilt k(p, a_{i}) = k(f, a_{i}) + k(g, a_{i}) für 1 ≤ i ≤ s, also

grad f + grad g = grad p = ∑_{i=1}^{s} k(p, a_{i}) = \underbrace{∑_{i=1}^{s} k(f, a_{i})}_{≤ grad f} + \underbrace{∑_{i=1}^{s} k(g, a_{i})}_{≤ grad g} .

Daraus folgt ∑_{i=1}^{s} k(f, a_{i}) = grad f, ∑_{i=1}^{s} k(g, a_{i}) = grad g, so daß f und g nach (8.15) über K

zerfallen.

Zum Abschluß wollen wir uns überlegen, wie nun eigentlich das charakteristische Polynom eines Endomorphismus oder einer quadratischen Matrix definiert wird. Das ist nicht unproblematisch, da wir in der Formel P_{L}(x) = det(L−x id) das x nicht einfach als Körperelement interpretieren können. Der zu diesem Zeitpunkt beste Weg ist zu erkennen, daß man natürlich auch die Determinante einer Matrix A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} definieren kann, deren Einträge a_{ij} Elemente eines festen kommutativen Rings R mit 1 sind, nämlich durch die Leibnizformel det A = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{1σ(1)} · . . . · a_{nσ(n)} ∈ R. Für zwei solche Matrizen A und

B ist das Matrizenprodukt AB definiert und es gilt det(AB) = det A det B. Das kann man mit einer recht unangenehmen Rechnung direkt nachprüfen. Besser wäre es, wie in Kap. 4 und 5 vorzugehen, aber dabei den Körper K durch einen kommutativen Ring R mit 1 zu ersetzen. Den K-Vektorräumen entsprächen dann ”freie R-Moduln“ und den Vektorraumhomomorphismen entsprächen ”R-Modulhomomorphismen“, die (im Fall endlich erzeugter R-Moduln) gerade durch Matrizen mit Einträgen aus R beschrieben werden (für Interessierte sei auf Kapitel 9 des Buchs Kowalsky/Michler: Lineare Algebra, de Gruyter 1995, verwiesen). Wir sehen hier ein schönes Beispiel dafür, wie man manchmal von der Mathematik zu allgemeineren Begriffen gezwungen wird.

Jedenfalls kann man dann für eine Matrix A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ K^{n×n} die Matrix A − xE_{n} als Matrix mit Einträgen im Ring R = K[x] betrachten, und so ist das charakteristische Polynom

P_{A} = det(A − xE_{n}) = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)(a_{1σ(1)} − xδ_{1σ(1)}) · . . . · (a_{nσ(n)} − xδ_{nσ(n)})

von A definiert. Ist B ∈ GL_{n}(K), so gilt

P_{B^{−1}AB} = det(B^{−1}AB − xE_{n}) = det(B^{−1}(A − xE_{n})B)
= det B^{−1}P_{A} det B = P_{A}.

Ist nun L Endomorphismus eines n-dimensionalen K-Vektorraums, so wählen wir eine geordnete Basis G von V, setzen A := Mat_{G}^{G}(L) und definieren das charakteristische Polynom P_{L} ∈ K[x] von L durch P_{L} := P_{A}. Aufgrund der vorangehenden Gleichung ist das unabhängig von der Wahl von G, vgl. (4.19).

9. Die Jordansche Normalform.

Etwas verkürzt ausgedrückt geht es in diesem Kapitel darum, zu einem L ∈ End(V), dim V = n < ∞, eine Basis G zu finden, in der Mat_{G}^{G}(L) eine möglichst einfache Form hat. (9.1) Def.:

(i) L ∈ End(V) heißt diagonalisierbar, falls es eine Basis G = (v_{1}, …, v_{n}) von V aus Eigenvektoren v_{i} von L gibt.

(ii) A ∈ K^{n×n} heißt diagonalisierbar, falls es ein B ∈ GL_{n}(K) gibt, so daß B^{−1}AB eine Diagonalmatrix ist (d.h. so daß (B^{−1}AB)_{ij} = 0 für i ≠ j).

Bem.: 1) Ist G = (v_{1}, …, v_{n}) Basis aus Eigenvektoren von L, so gilt

Mat_{G}^{G}(L) = ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & . & . & . \\ 0 & & & & & & & λ_{n} \end{matrix} )

wobei λ_{i} der EW von L zum EV v_{i} ist.

2) Ist L ∈ End(V), G̃ beliebige Basis von V und A := MatG̃ ; G̃(L), so gilt:

L diagonalisierbar ⇔ A diagonalisierbar

(vgl. (4.19)). Bsp.: 1) Ist A ∈ ℝ^{n×n} symmetrisch, d.h. A = A^{T}, so ist A diagonalisierbar, vgl. den Beweis von (6.11) (Hauptachsentransformation).

2) Ist V, ⟨, ⟩ euklidischer Vektorraum und ist L ∈ End(V) selbstadjungiert (⇔ ∀v, w ∈ V : ⟨L(v), w⟩ = ⟨v, L(w)⟩), so ist L diagonalisierbar, vgl. (6.11). Diagonalisierbarkeit einer Matrix A ∈ K^{n×n} oder eines L ∈ End(V) ist die beste Lösung unseres Problems, die wir uns erhoffen können. Wir werden uns zunächst mit diesem einfachen (aber häufigen) Fall beschäftigen. (9.2) Fakt. Ist L ∈ End(V) und sind v_{1}, …, v_{k} EVen zu \underline{verschiedenen} EWen λ_{1}, …, λ_{k} von L, so sind die v_{1}, …, v_{k} linear unabhängig. Bew.: Durch Induktion nach k. Induktionsanfang: k = 1. Da v_{1} EV ist, gilt v_{1} ≠ 0, d.h. v_{1} ist linear unabhängig.

Induktionsschritt: Wir können voraussetzen, daß v_{1}, …, v_{k−1} linear unabhängig sind. Sei ∑_{i=1}^{k} a_{i}v_{i} = 0. Dann gilt

0 = L (∑_{i=1}^{k} a_{i}v_{i}) = ∑_{i=1}^{k} a_{i}L(v_{i}) = ∑_{i=1}^{k} a_{i}λ_{i}v_{i}

und

0 = λ_{k} (∑_{i=1}^{k} a_{i}v_{i}) = ∑_{i=1}^{k} a_{i}λ_{k}v_{i}.

Subtraktion der vorangehenden Gleichungen ergibt

∑_{i=1}^{k−1} a_{i}(λ_{i} − λ_{k})v_{i} = 0.

Da v_{1}, …, v_{k−1} linear unabhängig sind, folgt

a_{i}(λ_{i} − λ_{k}) = 0

für 1 ≤ i ≤ k − 1 und wegen λ_{i} ≠ λ_{k} auch a_{i} = 0 für 1 ≤ i ≤ k − 1. Damit reduziert sich ∑_{i=1}^{k} a_{i}v_{i} = 0 auf a_{k}v_{k} = 0. Wegen v_{k} ≠ 0 folgt auch a_{k} = 0.

(9.3) Folgerung. Seien dim V = n, L ∈ End(V). Besitzt L n verschiedene EWe, so ist L diagonalisierbar. Bem.: L besitzt genau dann n verschiedene EWe, wenn P_{L} n verschiedene Nullstellen besitzt. Bew.: Seien v_{1}, …, v_{n} EVen zu den verschiedenen EWen von L. Dann zeigt (9.2), daß G = (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis aus EVen ist. (9.4) Def.: Ist λ EW von L ∈ End(V), so heißt

E(λ) = ker(L − λ id_{V}) = {v ∈ V | L(v) = λv}

der Eigenraum von L zum EW λ. Bem.: E(λ) ist Untervektorraum von V und E(λ) \ {0} ist genau die Menge der EVen von L zum EW λ. (9.5) Satz (Diagonalisierbarkeitskriterium). Sei L ∈ End(V). L ist genau dann diagonalisierbar, wenn

dim V = ∑_{i=1}^{k} dim E(λ_{i})

gilt, wobei λ_{1}, …, λ_{k} die verschiedenen EWe von L bezeichnen.

Bew.: Setze d_{i} := dim E(λ_{i}). Aus (9.2) folgt, daß E(λ_{1}) ⊕ … ⊕ E(λ_{k}) eine direkte Summe

ist, also ∑_{i=1}^{k} d_{i} ≤ n.

”⇒” Ist G = (v_{1}, …, v_{n}) Basis aus EVen, so gilt offenbar auch ∑ d_{i} ≥ n, also ∑ d_{i} = n.

”⇐” Gilt ∑_{i=1}^{k} d_{i} = n, so dim(E(λ_{1}) ⊕ … ⊕ E(λ_{k})) = n, also E(λ_{1}) ⊕ … ⊕ E(λ_{k}) = V.

Also ist die (disjunkte!) Vereinigung von Basen der Eigenräume E(λ_{i}), 1 ≤ i ≤ k, eine Basis von V.

Bem.: Wenn man (9.3) oder (9.5) auf einen konkreten Endomorphismus L anwenden will, muß man seine EWe, d.h. die Nullstellen von P_{L} bestimmen. Das wird oft nicht explizit, sondern nur approximativ (mit Hilfe der Numerik) möglich sein. Kennt man die EWe, so ist die Bestimmung der Eigenräume leicht. Sie sind die Lösungsmengen von homogenen linearen Gleichungssystemen {v ∈ V | L(v) − λv = 0}, λ EW von L.

Es ist wichtig zu wissen, daß etwa im Fall des Körpers K = ℂ, ”die meisten“ A ∈ ℂ^{n×n} (bzw. die meisten Endomorphismen) diagonalisierbar sind. Auf die Frage, was ”die meisten“ mathematisch bedeuten soll, gibt es (mindestens) zwei (verschiedene) Antworten.

Gegeben eine Eigenschaft E, die Punkte x ∈ ℝ^{n} haben können oder nicht.

1) Definition I: Die meisten x ∈ ℝ^{n} haben die Eigenschaft E, falls die Menge {x ∈ ℝ^{n} | x hat Eigenschaft E} eine offene und dichte Teilmenge des ℝ^{n} enthält.

2) Definition II: Die meisten x ∈ ℝ^{n} haben die Eigenschaft E, falls die Menge {x ∈ ℝ^{n} | x hat nicht Eigenschaft E} (Lebesgue-)Maß 0 hat.

Dabei heißt eine Teilmenge A des ℝ^{n} vom Maß 0, falls es für jedes ϵ > 0 abzählbar viele Würfel W_{i} ⊆ ℝ^{n} gibt, so daß A ⊆ ⋃_{i∈ℕ}W_{i} und ∑_{i∈ℕ}vol_{n}(W_{i}) ≤ ϵ gilt. Definition I benutzt

topologische, Definition II maßtheoretische Begriffe.

Bsp.: 1) Ist E die Eigenschaft eines x ∈ ℝ, irrational zu sein, so haben im Sinn von Def. I \underline{nicht} die meisten x ∈ ℝ Eigenschaft E, d.h. es gilt nicht, daß die meisten x ∈ ℝ irrational sind: Die Menge ℝ \ ℚ enthält überhaupt keine nichtleere offene Teilmenge von ℝ. Im Sinn von Definition II sind dagegen die meisten x ∈ ℝ irrational: Ist ϵ > 0 gegeben, so wählen wir eine Folge (r_{i})_{i∈ℕ}, die alle rationalen Zahlen durchläuft, und setzen W_{i} = [r_{i}− \frac{ϵ}{2^{i+2}} , r_{i}+ \frac{ϵ}{2^{i+2}} ].

Dann gilt ℚ ⊆ ⋃_{i∈ℕ}W_{i} und ∑_{i∈ℕ}vol_{1}(W_{i}) = ∑_{i∈ℕ} \frac{ϵ}{2^{i+1}} = ϵ.

2) Es ist nicht schwer, mit einer Konstruktion ähnlich der Konstruktion der Cantormenge eine Teilmenge A von ℝ zu finden, so daß ℝ \ A offen und dicht ist, aber A nicht Maß 0 hat. Dann sind im Sinn von Def. I die meisten x ∈ ℝ nicht Elemente von A, während das im Sinn von Def. II nicht gilt.

Identifiziert man ℂ^{n×n} mit ℝ^{(2n)×(2n)} ≃ ℝ^{4n^{2}}, so lassen sich diese Begriffe auch auf Matrizen A ∈ ℂ^{n×n} anwenden. Folgender Satz gilt für beide Definitionen von ”die meisten“.

(9.6) Satz (ohne Beweis)

(i) Die meisten p ∈ ℂ[x] mit grad p ≤ n haben n verschiedene Nullstellen.

(ii) Die meisten A ∈ ℂ^{n×n} sind diagonalisierbar.

In (i) wird V := {p ∈ ℂ[x] | grad p ≤ n} mit ℂ^{n+1} ≃ ℝ^{2(n+1)} identifiziert.

Beweisidee für (i): Wir wollen zeigen, daß die Menge {p ∈ V | p hat nicht n verschiedene Nullstellen} Maß 0 hat. Wir betrachten die Abbildung

F : ℂ^{n+1} → V, F (a, λ_{1}, …, λ_{n}) = a ∏_{i=1}^{n}(x − λ_{i}).

Der ”Fundamentalsatz der Algebra“ impliziert (mit (8.10) und (8.13)), daß jedes p ∈ ℂ[x] \ {0} zerfällt. Das zeigt, daß

F (ℂ^{n+1}) = {p ∈ V | grad p = n}

gilt, d.h. F (ℂ^{n+1}) = V \ H, wobei H = {p ∈ V | grad p < n} eine Hyperebene ist und Maß 0 hat. Die Menge

B := {(a, λ_{1}, …, λ_{n}) ∈ ℂ^{n+1} | ∃1 ≤ i < j ≤ n : λ_{i} = λ_{j}}

ist eine Vereinigung von \frac{n(n−1)}{2} Hyperebenen in ℂ^{n+1} und hat ebenfalls Maß 0 (in ℂ^{n+1} ≃ ℝ^{2(n+1)}). Wir benötigen nun den leicht zu beweisenden Satz, daß C^{1}-Abbildungen ℝ^{n} → ℝ^{n} Mengen vom Maß 0 auf Mengen vom Maß 0 abbilden. Wegen dim_{ℝ} ℂ^{n+1} = 2(n + 1) = dim_{ℝ} V und da F C^{1} (sogar polynomial) ist, folgt, daß F (B) ⊆ V Maß 0 hat. Die Mengen aller p ∈ V, die nicht n verschiedene Nullstellen haben, ist aber gerade H ∪ F (B), und da sowohl H als auch F (B) Maß 0 haben, folgt das auch für H ∪ F (B). Behauptung (ii) läßt sich unter Verwendung von (i) mit ähnlichen Methoden zeigen.

Ziel dieses Exkurses war, zu demonstrieren, wie Ideen und Techniken, die in der Analysis I und II vermittelt werden, hier in der Linearen Algebra nützlich und nötig sind.

Nach (9.6) sind im Fall K = ℂ Endomorphismen L bzw. quadratische Matrizen A in der Regel diagonalisierbar.

Im Rest dieses Kapitels befassen wir uns mit den nicht diagonalisierbaren Ausnahmefällen. Zwar können wir für solche L keine Basis aus EVen finden, aber doch eine Basis, in der die Matrix von L eine besonders einfache Gestalt – die Jordansche Normalform – annimmt. Die Überlegungen dazu sind weder kurz noch einfach, und Sie können die hier gewählte Darstellung auch im Buch R. Walter: Einführung in die lineare Algebra, Vieweg 1982, nachlesen.

Im folgenden sei V ein K-Vektorraum, dim V = n, und L ∈ End(V).

(9.7) Def.:

(i) Ein Untervektorraum U von V heißt L-invariant, falls L(U) ⊆ U gilt.

(ii) Ein L-invarianter Untervektorraum heißt L-reduzibel, falls L-invariante Untervek-

torräume U_{1}, U_{2} existieren, so daß U = U_{1} ⊕ U_{2} gilt. (iii) Ein L-invarianter Untervektorraum U heißt L-irreduzibel, falls U nicht L-reduzibel

ist.

Unser Ziel ist, eine Zerlegung von V in L-irreduzible Unterräume U_{i} zu finden, für die jedes L|U_{i} von einer einfachen Bauart ist.

(9.8) Def.: Sei λ EW von L. Dann heißt

E′(λ) = {v ∈ V | ∃k ∈ ℕ : (L − λ id_{V})^{k}(v) = 0}

der Hauptraum (oder verallgemeinerte Eigenraum) zum EW λ.

Bem.: Es gilt E(λ) = ker(L − λ id_{V}) ⊆ E′(λ) = ⋃_{k∈ℕ}ker(L − λ id_{V})^{k}.

Fakt: E′(λ) ist L-invarianter Untervektorraum.

Wir zeigen: v ∈ E′(λ) ⇒ L(v) ∈ E′(λ). Ist k ∈ ℕ so, daß (L − λ id_{V})^{k}(v) = 0 gilt, so folgt

(L − λ id_{V})^{k}(L(v)) = (L ∘ (L − λ id_{V})^{k})(v) = 0,

d.h. L(v) ∈ E′(λ).

(9.9) Bem.: λ ist der einzige EW von L|E′(λ).

Bew.:

(i) λ ist EW von L|E′(λ): Da λ EW von L ist, existiert 0 ≠ v ∈ V mit L(v) = λv, also (L − λ id_{V})(v) = 0. Daraus folgt v ∈ E′(λ), und das zeigt, daß λ EW von L|E′(λ) ist.

(ii) Annahme: μ ≠ λ ist ein weiterer EW von L|E′(λ). Dann existiert 0 ≠ w ∈ E′(λ) mit L(w) = μw. Daraus folgt (L − λ id_{V})(w) = (μ − λ)v und daraus

(L − λ id_{V})^{k}(w) = (μ − λ)^{k}w ≠ 0

für alle k ∈ ℕ, im Widerspruch zu w ∈ E′(λ).

(9.10) Lemma. Es existiert eine kleinste Zahl f(λ) ∈ ℕ, genannt der Index von λ, so daß ker(L − λ id_{V})^{f(λ)} = E′(λ) gilt. Es gilt V = E′(λ) ⊕ im(L − λ id_{V})^{f(λ)}.

Bem.: Wegen L ∘ (L − λ id_{V})^{f(λ)} = (L − λ id_{V})^{f(λ)} ∘ L ist im (L − λ id_{V})^{f(λ)} L-invarianter Unterraum von V.

Bew.: Sei v_{1}, …, v_{l} Basis von E′(λ). Dann existiert für jedes i ∈ {1, …, l} ein kleinstes k_{i} ∈ ℕ mit (L − λ id_{V})^{k_{i}}(v_{i}) = 0. Sei f(λ) := max_{1≤i≤l} k_{i}. Dann gilt (L − λ id_{V})^{f(λ)}(v_{i}) = 0 für alle i ∈ {1, …, l}, also

E′(λ) ⊆ ker(L − λ id_{V})^{f(λ)}.

Nach Definition von E′(λ) folgt daraus E′(λ) = ker(L − λ id_{V})^{f(λ)}, und f(λ) ist offenbar die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft.

Schlielich zeigen wir, daß

ker(L − λ id_{V})^{f(λ)} ⊕ im(L − λ id_{V})^{f(λ)} = V

gilt. Wegen des Dimensionssatzes (4.8) gilt

dim ker(L − λ id_{V})^{f(λ)} + im(L − λ id_{V})^{f(λ)} = dim V ,

so daß sich die Behauptung auf

ker(L − λ id_{V})^{f(λ)} ∩ im(L − λ id_{V})^{f(λ)} = {0}

reduziert. Sei also v ∈ ker(L − λ id_{V})^{f(λ)} ∩ im(L − λ id_{V})^{f(λ)}. Dann existiert ein w ∈ V, so dass

v = (L − λ id_{V})^{f(λ)}(w)

gilt. Wegen v ∈ ker(L − λ id_{V})^{f(λ)}, folgt ker(L − λ id_{V})^{2f(λ)}(w) = 0, also w ∈ E′(λ). Aus E′(λ) = ker(L − λ id_{V})^{f(λ)} folgt nun

v = (L − λ id_{V})^{f(λ)}(w) = 0 .

(9.11) Lemma. Seien λ_{1}, …, λ_{s} verschiedene EWe von L. Dann ist die Summe der E′(λ_{i}) für 1 ≤ i ≤ s direkt: E′(λ_{1}) ⊕ … ⊕ E′(λ_{s}).

Bew.: Wir zeigen durch Induktion nach s, daß für alle i ∈ {1, …, l} gilt:

E′(λ_{i}) ∩ span ( ⋃_{\begin{matrix}j=1 \\ j≠i \end{matrix}}^{s} E′(λ_{j})) = \{0\}.

Für s = 1 ist das offensichtlich richtig. Im Induktionsschritt können wir nach Umnumerierung der λ_{j} annehmen, daß i = s gilt. Sei v ∈ E′(λ_{s}), v_{j} ∈ E′(λ_{j}) für 1 ≤ j < s, und es gelte

v = ∑_{j=1}^{s−1} v_{j}.

Wir müssen beweisen, daß v = 0 gilt. Nach Definition von f(λ_{s}) gilt:

(∗) 0 = (L − λ_{s} id_{V})^{f(λ_{s})}(v) = ∑_{j=1}^{s−1}(L − λ_{s} id_{V})^{f(λ_{s})}(v_{j}).

Da E′(λ_{j}) L-invariant – und damit auch (L−λ_{s} id_{V})-invariant – ist, gilt (L−λ_{s} id_{V})^{f(λ_{s})}(v_{j}) ∈ E′(λ_{j}) für 1 ≤ j < s. Aus der Induktionsvoraussetzung und (∗) folgt nun (L − λ_{s} id_{V})^{f(λ_{s})}(v_{j}) = 0 für 1 ≤ j < s und daraus v_{j} ∈ E′(λ_{s}) ∩ E′(λ_{j}). Wir zeigen, daß daraus v_{j} = 0 folgt: Sonst sei k ∈ ℕ minimal mit (L − λ_{s} id_{V})^{k}(v_{j}) = 0. Wäre v_{j} ≠ 0, so k ≥ 1, und wir können w_{j} := (L − λ_{s} id_{V})^{k−1}(v_{j}) betrachten. Dann gilt 0 ≠ w_{j} ∈ E′(λ_{j}) und (L − λ_{s} id_{V})(w_{j}) = 0, im Widerspruch zu (9.9). Das zeigt, daß v_{j} = 0 für 1 ≤ j < s, und daraus folgt v = 0, wie behauptet.

(9.12) Satz (1. Zerlegungssatz).Das charakteristische Polynom P_{L} ∈ K[x] von L zerfalle. Es seien λ_{1}, …, λ_{s} die verschiedenen EWe von L. Dann gilt

V = E′(λ_{1}) ⊕ … ⊕ E′(λ_{s}).

Bew.: Nach (9.11) wissen wir schon, daß die Summe direkt ist. Wir beweisen durch Induktion nach n = dim V, daß sie ganz V ist. Ist n = 1, so gilt s = 1 und V = E(λ_{1}) = E′(λ_{1}).

Im Induktionsschritt verwenden wir, daß nach (9.10) ein L-invarianter Unterraum U (nämlich im(L − λ_{1} id_{V})^{f(λ_{1})}) existiert, für den

(∗) V = E′(λ_{1}) ⊕ U

gilt. Wegen dim E′(λ_{1}) ≥ 1, gilt dim U = dim V − dim E′(λ_{1}) < n. Wir wollen die Induktionsvoraussetzung auf \overline{L} := L|U ∈ End(U) anwenden und müssen dazu wissen, daß auch P\overline{L} zerfällt. Aus (∗) folgt, daß

P_{L} = P_{L|E′(λ_{1})} · P\overline{L}

gilt, vgl. Blatt 3, Aufgabe 3. Nach (8.16) zerfällt auch P\overline{L}, und (9.9) impliziert, daß λ_{2}, …, λ_{s} die verschiedenen Nullstellen von P\overline{L} sind. Die Induktionsvoraussetzung ergibt nun, daß

U = E′ ; \overline{L}(λ_{2}) + … + E′ ; \overline{L}(λ_{s})

gilt, wobei E′ ; \overline{L}(λ_{j}) ⊆ E′(λ_{j}) den Hauptraum von \overline{L} zum EW λ_{j} von \overline{L} bezeichnet. Daraus folgt mit (∗)

V = E′(λ_{1}) + E′(λ_{2}) + … + E′(λ_{s}),

wie behauptet.

Unser nächstes Ziel ist die Untersuchung von L_{i} := L|E′(λ_{i}) ∈ End(E′(λ_{i})) für 1 ≤ i ≤ s. Für T_{i} := L_{i} − λ_{i} id_{E′(λ_{i})} und f_{i} := f(λ_{i}) gilt (nach (9.10)):

(T_{i})^{f_{i}} = 0.

(9.13) Def.: Ein T ∈ End(V) heißt \underline{nilpotent}, falls es ein k ∈ ℕ_{>0} gibt, so daß T^{k} = 0 ∈ End(V) gilt. Das kleinste solche k heißt dann der Nilpotenzgrad g = g(T) von T.

(9.14) Lemma. Sei 0 ≠ T ∈ End(V) nilpotent. Ist v ∈ V \ ker(T^{g−1}), so sind die Vektoren v, T (v), …, T^{g−1}(v) linear unabhängig und spannen einen g-dimensionalen T -invarianten Unterraum von V auf. Speziell gilt g ≤ dim V.

Bew.: Gilt ∑_{i=0}^{g−1} a_{i}T^{i}(v) = 0, so auch

0 = T^{g−1} (∑_{i=0}^{g−1} a_{i}T^{i}(v)) = ∑_{i=0}^{g−1} a_{i}T^{g−1+i}(v).

Nach Definition von g gilt T^{g−1+i}(v) = 0 für i ≥ 1. Also reduziert sich die vorangehende Gleichung auf a_{0}T^{g−1}(v) = 0. Nach Voraussetzung gilt T^{g−1}(v) ≠ 0, also a_{0} = 0. Wendet

man T^{g−2} auf ∑_{i=0}^{g−1} a_{i}T^{i}(v) = 0 an, so erhält man a_{0}T^{g−2}(v) + a_{1}T^{g−1}(v) = 0. Wegen a_{0} = 0

folgt wie vorher: a_{1} = 0. Induktiv erhalten wir durch Anwenden von T^{g−2}, …, T^{0} = id_{V} auf

∑_{i=0}^{g−1} a_{i}T^{i}(v) = 0, daß auch a_{2} = 0, …, a_{g−1} = 0 gilt. Das beweist, daß v, T (v), …, T^{g−1}(v)

linear unabhängig sind. Die T -Invarianz von span{v, …, T^{g−1}(v)} folgt aus der Tatsache, daß die Basis {v, …, T^{g−1}(v)} von span{v, …, T^{g−1}(v)} durch T auf die Teilmenge {T (v), …, T^{g−1}(v), 0} von span{v, …, T^{g−1}(v)} abgebildet wird.

Nilpotente Endomorphismen T mit Nilpotenzgrad g(T) = dim V = n sind leicht zu verstehen:

(9.15) Lemma. Sei T ∈ End(V) nilpotent, g(T) = n = dim V. Dann ist V T -irreduzibel, und es existiert eine Basis G = (v, T (v), …, T^{n−1}(v)) von V, so daß

Mat_{G}^{G}(T) = ( \begin{matrix}0 & … & … & … & 0 \\ 1 & ... & & & ⋮ \\ 0 & ... & ... & & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

gilt.

Bew.: Zum Beweis der Irreduzibilität von V nehmen wir an, daß V = U_{1} ⊕ U_{2} mit zwei T -invarianten Unterräumen U_{1} ≠ 0, U_{2} ≠ 0 gilt. Dann sind T_{i} := T |U_{i} ∈ End(U_{i}) für i = 1, 2 nilpotent und wegen (9.14) gilt g(T_{i}) ≤ dim U_{i} < n. Daraus folgt

g(T) = max{g(T_{1}), g(T_{2})} < n,

im Widerspruch zur Voraussetzung g(T) = n. Die restliche Behauptung von (9.15) folgt direkt aus (9.14).

Bem.: Haben wir also für einen - jetzt nicht als nilpotent vorausgesetzten - Endomorphismus L ∈ End(V) einen EW λ_{i}, so daß

T_{i} := (L − λ_{i} id_{V}) | E′(λ_{i})

den Nilpotenzgrad f_{i}(= g(T_{i})) = dim E′(λ_{i}) hat, so können wir mit (9.15) eine Basis G_{i} von E′(λ_{i}) finden, so daß

Mat_{G_{i}}^{G_{i}}(T |E′(λ_{i})) = ( \begin{matrix}λ_{i} & … & … & … & 0 \\ 1 & ... & & & ⋮ \\ 0 & ... & ... & & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & 1 & λ_{i} \end{matrix} )

gilt.

Nun betrachten wir den Fall eines nilpotenten T ∈ End(V) mit g(T) < n.

(9.16) Lemma (2. Zerlegungssatz). Sei T ∈ End(V) nilpotent und g = g(T) < n = dim V. Dann ist V T -reduzibel.

Bew.: Wegen T^{g−1} ≠ 0 können wir ein v ∈ V \ ker(T^{g−1}) wählen und dazu ein l ∈ V^{∗} mit l(T^{g−1}(v)) ≠ 0. Wir definieren

U_{1} := span{v, …, T^{g−1}(v)} und
U_{2} := ker(l) ∩ ker(l ∘ T) ∩ … ∩ ker(l ∘ T^{g−1}).

Dann ist U_{1} T -invariant, und es gilt 0 < dim U_{1} = g < n. Wir haben (9.16) bewiesen, wenn wir zeigen können, daß U_{2} T -invariant ist und daß V = U_{1} ⊕ U_{2} gilt.

T -Invarianz von U_{2}: Ist w ∈ U_{2}, so gilt l(w) = 0, …, l(T^{g−1}(w)) = 0, also speziell l(T (w)) = 0, …, l(T^{g−2}(T (w)) = 0 und außerdem wegen T^{g}(w) = 0: l(T^{g}(w)) = l(T^{g−1}(T (w)) = 0. Zusammen zeigen diese Gleichungen, daß T (w) ∈ U_{2} gilt. Also ist U_{2} T -invariant.

Zeige U_{1} ∩ U_{2} = {0}: Sei w ∈ U_{1} ∩ U_{2}. Da w ∈ U_{1} ist, existieren a_{0}, …, a_{g−1} ∈ K mit

w = ∑_{i=0}^{g−1} a_{i}T^{i}(v). Da w ∈ U_{2} ist, gilt l(T^{g−1}(w))) … = l(w) = 0.

Wegen T^{g−1}(w) = a_{0}T^{g−1}(v) gilt 0 = l(T^{g−1}(w)) = a_{0}l(T^{g−1}(v)), und wegen l(T^{g−1}(v)) ≠ 0 folgt daraus a_{0} = 0. Wie im Beweis von (9.14) folgt induktiv a_{1} = 0, …, a_{g−1} = 0, also w = 0. Das beweist U_{1} ∩ U_{2} = {0}. Es liegt also eine direkte Summe U_{1} ⊕ U_{2} vor, und wir haben

dim U_{1} ⊕ U_{2} = dim U_{1} + dim U_{2}.

Es gilt dim U_{1} = g und aus (3.23) folgt dim U_{2} ≥ n − g, also

dim U_{1} ⊕ U_{2} ≥ g + (n − g) = n = dim V.

Da U_{1} ⊕ U_{2} Untervektorraum von V ist, folgt daraus V = U_{1} ⊕ U_{2}, wie behauptet.

Zusammen besagen (9.15) und (9.16) gerade, daß für ein nilpotentes 0 ≠ T ∈ End(V) gilt:

V T -irreduzibel ⇔ g(T) = dim V.

Auf jedem T -irreduziblen Unterraum U von V ist T |U also von der einfachen, in (9.15) beschriebenen Bauart. Daß eine Zerlegung in irreduzible Unterräume möglich ist, folgt direkt aus der Definition von irreduzibel:

(9.17) Lemma. Sei L ∈ End(V), V ≠ {0}. Dann existieren k ∈ ℕ_{>0} und L-irreduzible Unterräume U_{1} ≠ {0}, …, U_{k} ≠ {0}, so daß

V = U_{1} ⊕ … ⊕ U_{k}

gilt.

Bew.: Durch Induktion nach dim V = n. Der Induktionsschritt besteht in der einfachen Bemerkung, daß V entweder L-irreduzibel ist oder eine Zerlegung V = U_{1} ⊕ U_{2} mit Linvarianten Unterräumen U_{1} ≠ 0 und U_{2} ≠ 0 gestattet. Wegen dim U_{1} < n, dim U_{2} < n ist auf diese die Induktionsvoraussetzung anwendbar.

Wir beweisen nun zunächst den Satz über die Jordansche Normalform in der Formulierung für Endomorphismen und werden das später in eine Aussage über Matrizen übersetzen.

(9.18) Satz (Jordan-Zerlegung). Sei L ∈ End(V) und das charakteristische Polynom von L zerfalle. Sind λ_{1}, …, λ_{s} die verschiedenen EWe von L, so gilt

L = E′(λ_{1}) ⊕ … ⊕ E′(λ_{s}).

Jeder der Haupträume E′(λ_{t}), 1 ≤ t ≤ s, zerfällt in L-irreduzible Unterräume

E′(λ_{t}) = U_{t}^{1} ⊕ … ⊕ U_{t}^{k_{t}}

und für jedes i ∈ {1, …, k_{t}} ist (L − λ_{t} id_{V})|U_{t}^{i} =: S_{t}^{i} ∈ End(U_{t}^{i}) nilpotent vom Nilpotenzgrad g(S_{t}^{i}) = dim U_{t}^{i}.

Bew.: Die erste Aussage ist gerade der 1. Zerlegungssatz (9.12). Wir wenden dann (9.17) auf L|E′(λ_{t}) an und erhalten eine Zerlegung von E′(λ_{t}) in L-irreduziblen Unterräumen, genannt U_{t}^{1}, …, U_{t}^{k_{t}}. Nach (9.10) wissen wir, daß (L − λ_{t} id_{V})|U_{t}^{i} =: S_{t}^{i} für jedes t ∈ {1, …, s} und jedes i ∈ {1, …, k_{t}} nilpotent ist. Da U_{t}^{i} L-irreduzibel ist, ist U_{t}^{i} auch S_{t}^{i}-irreduzibel. Aus dem 2. Zerlegungssatz (9.16) folgt nun, daß der Nilpotenzgrad g(S_{t}^{i}) von S_{t}^{i} gleich der Dimension von U_{t}^{i} ist, d.h. daß S_{t}^{i} von dem einfachen, durch (9.15) beschriebenen Typ ist.

Nach (9.15) existiert zu jedem der L-irreduziblen Unterräume U_{t}^{i}, 1 ≤ t ≤ s, 1 ≤ i ≤ k_{t} eine Basis G_{t}^{i}, so daß

Mat_{G_{t}^{i}}^{G_{g}^{i}}(S_{t}^{i}) = ( \begin{matrix}0 & … & … & … & 0 \\ 1 & ... & & & ⋮ \\ 0 & ... & ... & & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

gilt. Wegen L|U_{t}^{i} = S_{t}^{i} + λ_{t} id_{U_{t}^{i}} folgt

(∗) Mat_{G_{t}^{i}}^{G_{g}^{i}}(L|U_{t}^{i}) = ( \begin{matrix}λ_{t} & … & … & … & 0 \\ 1 & ... & & & ⋮ \\ 0 & ... & ... & & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & 1 & λ_{t} \end{matrix} ) =: J_{t}^{i}.

Damit erhalten wir

(9.19) Satz (Jordansche Normalform). Sei L ∈ End(V) und das charakteristische Polynom P_{L} von L zerfalle. Die verschiedenen Nullstellen von P_{L} seien λ_{1}, …, λ_{s}. Dann existiert eine Basis G von V, so daß

(∗∗) Mat_{G}^{G}(L) = ( \begin{matrix}J_{1}^{1} & & & & & & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & . & . & . \\ & & & & & & & . & . & . \\ 0 & & & & & & & & & & J_{s}^{k_{s}} \end{matrix} )

gilt, wobei die in der Diagonale stehenden ”Jordanblöcke“ J_{t}^{i} (dim U_{t}^{i})×(dim U_{t}^{i})-Matrizen vom Typ (∗) sind.

Interpretiert für Matrizen A ∈ K^{n×n} besagt (9.19):

(9.20) Folgerung. Sei A ∈ K^{n×n} und das charakteristische Polynom von A zerfalle. Dann existiert ein B ∈ GL_{n}(K), so daß B^{−1}AB die Form (∗∗) hat.

Bem.:

1) Ist K = ℂ, so ist die Voraussetzung ”das charakteristische Polynom zerfalle“ nach dem Fundamentalsatz der Algebra stets erfüllt. Ist K ein Unterkörper von ℂ, z.B. K = ℚ oder K = ℝ, und zerfällt das charakteristische Polynom in K[x] nicht, so können wir uns durch ”Komplexifizierung“ der Situation helfen, d.h. ist L ∈ End(ℝ^{n}), so betrachten wir die ℂ-lineare Fortsetzung L̃ ∈ End(ℂ^{n}) von L, vgl. (6.11) und (6.25). In der Algebra konstruiert man zu jedem Körper K einen K enthaltenden Körper K̃, in dem jedes Polynom zerfällt. Also kann man die Voraussetzung ”das charakteristische Polynom zerfalle“ auch für beliebige Körper durch ein der Komplexifizierung ähnliches Verfahren erzwingen.

2) Wie bereits gesagt ist das Hauptproblem bei der Berechnung der Jordanschen Normalform – die Berechnung der EWe λ_{1}, …, λ_{s} – i.a. nicht explizit lösbar. Kennt man λ_{1}, …, λ_{s}, so ist die Jordansche Normalform und eine zugehörige Basis durch Lösen von linearen Gleichungssystemen berechenbar. Dazu noch einige Hinweise: Zu berechnen sind für jedes t ∈ {1, …, s} die Zahl k_{t} der L-irreduziblen Unterräume U_{t}^{1}, …, U_{t}^{k_{t}}, in die E′(λ_{t}) zerfällt, und die Dimensionen der U_{t}^{i}. Offenbar gilt

∑_{i=1}^{k_{t}} dim U_{t}^{i} = dim E′(λ_{t}) und ∑_{t=1}^{s} dim E′(λ_{t}) = dim V.

Berechnet man P_{L} mit der Jordanschen Normalform, so sieht man, daß dim E′(λ_{t}) gerade die Vielfachheit k(P_{L}, λ_{t}) der Nullstelle λ_{t} ist. dim E′(λ_{t})kann nach (9.8), (9.10) durch Lösen homogener linearer Gleichungen bestimmt werden. Die Zerlegung von dim E′(λ_{t}) in L-irreduzible Unterräume kann mit dem im Beweis von (9.16) (2. Zerlegungssatz) verwendeten Verfahren explizit durchgeführt werden.

3) Während eine Basis G, in der Mat_{G}^{G}(L) Jordansche Normalform hat, nicht eindeutig durch L bestimmt ist, ist die Jordansche Normalform (∗∗) in (9.19) bis auf die Reihenfolge der Blöcke J_{t}^{i} eindeutig durch L bestimmt. Der Beweis dieser Tatsache wurde in der Vorlesung nicht durchgeführt. Er ist nicht schwierig und beruht darauf, daß man für eine nilpotente lineare Abbildung T die Anzahl der irreduziblen Unterräume einer gegebenen Dimension sukzessive aus den Zahlen dim(ker T^{j}) ausrechnen kann, vgl. dazu z.B. R. Walter, Einführung in die lineare Algebra, S. 245, Satz A.

Beispiel zur Berechnung der Jordanschen Normalform.

Wir berechnen die Jordansche Normalform von

A = ( \begin{matrix}3 & 2 & −3 \\ 4 & 10 & −12 \\ 3 & 6 & −7 \end{matrix} )

det(A − λE_{3}) \begin{matrix}= (3 − λ)(λ^{2} − 3λ + 2) + 8(λ − 2) − 9(λ − 2) \\ = (3 − λ)(λ − 2)(λ − 1) − (λ − 2) = −(λ − 2)(λ^{2} − 4λ + 4) = −(λ − 2)^{3} \end{matrix}

Also zerfällt P_{A} und λ = 2 ist der einzige EW von A. Nach (9.10) ist A−2E_{3} =: T nilpotent und wegen A − 2E_{3} ≠ 0 gilt für den Nilpotenzgrad g von A − 2E_{3} nach (9.14)

2 ≤ g ≤ 3.

Wir berechnen (A − 2E_{3})^{2} = 0, also g = 2. Da der Nilpotenzgrad unabhängig von der Wahl der Basis ist (es gilt (B^{−1}AB)^{j} = B^{−1}A^{j}B für jedes B ∈ GL_{3}(ℝ)) hat auch die Jordansche Normalform von A − 2E_{3} Nilpotenzgrad 2. Unter den nilpotenten Jordanschen Normalformen

( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 0 1 0 & {0 \atop 0} \\ 0 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

122

hat aber nur ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) Nilpotenzgrad 2, also ist

( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) + 2E_{3} = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} )

die Jordansche Normalform von A. Eine Matrix B ∈ GL_{3}(ℝ), für die B^{−1}AB = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) gilt, kann man wie folgt bestimmen. Wir wählen zunächst einen beliebigen Vektor v ∉ ker(T) für T := A−2E_{3}, vgl. (9.14). Nach (9.15) ist dann G_{1} := (v, T v) Basis eines T -irreduziblen, T - invarianten Unterraums, genannt U_{1}, und Mat_{G_{1}}^{G_{1}}(A|U_{1}) = ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix} ). Wir können z.B. v = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

wählen. Dann ist T v = ( \begin{matrix}1 \\ 4 \\ 3 \end{matrix} ). Für Be_{3} müssen wir einen von T v unabhängigen EV von A

wählen, z.B. Be_{3} = ( \begin{matrix}3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ). Die Matrix B ist dann durch Be_{1} = v = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ), Be_{2} = T v = ( \begin{matrix}1 \\ 4 \\ 3 \end{matrix} )

und Be_{3} = v = ( \begin{matrix}3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) gegeben, d.h. B = ( \begin{matrix}1 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix} ). Man rechnet nach, daß B^{−1} = ( \begin{matrix}1 & 2 & −3 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & − \frac{3}{4} & 1 \end{matrix} )

und B^{−1}AB = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) gilt.

Abgesehen von der Einsicht in die möglichen Typen von linearen Abbildungen, die die Sätze (9.18) und (9.19) vermitteln, ist die Jordansche Normalform auch von praktischem Nutzen. Es kommt z.B. oft vor, daß hohe Potenzen A^{m} einer Matrix A ∈ K^{n×n} berechnet werden sollen Für allgemeine Matrizen A ist das mit sehr großem Rechenaufwand verbunden. Kann man jedoch ein B ∈ GL_{n}(K) finden, so daß A = B^{−1}JB gilt und J Jordansche Normalform hat, so gilt A^{m} = B^{−1}J^{m}B, wobei J^{m} sehr leicht zu berechnen ist. Eine damit zusammenhängende theoretische Erkenntnis ist der

(9.21) Satz (von Cayley-Hamilton). Setzt man L ∈ End(V) in sein charakteristisches Polynom P_{L} ein, so erhält man P_{L}(L) = 0 ∈ End(V).

Vorbemerkung: Wenn L diagonalisierbar ist, so ist (9.21) leicht einzusehen, vgl. Blatt 7, Aufgabe 3. Nach Satz (9.6)(ii) ist die Menge der diagonalisierbaren A ∈ ℂ^{n×n} dicht in ℂ^{n×n}. Da die Abbildung A ∈ ℂ^{n×n} → P_{A}(A) ∈ ℂ^{n×n} stetig ist und auf der dichten Menge der diagonalisierbaren Matrizen = 0 ist, folgt, daß P_{A}(A) für alle A ∈ ℂ^{n×n} (und damit auch für alle A ∈ ℝ^{n×n}) gilt.

Bew.: von (9.21): Wir führen den Beweis nur für den Fall durch, daß P_{L} zerfällt. Wie in Bem. 1 nach (9.20) gesagt wurde, ist das keine wirkliche Einschränkung. Wir verwenden (9.18). Offenbar genügt es zu zeigen, daß für jeden EW λ_{t} von L gilt:

P_{L}(L) | E′(λ_{t}) = 0.

Wegen (9.14) gilt für n_{t} := dim E′(λ_{t}):

(∗) (L − λ_{t} id_{V} | E′(λ_{t}))^{n_{t}} = 0.

Andererseits enthält P_{L} den Faktor (x − λ_{t})^{n_{t}}. Deshalb existiert ein Q ∈ End(V) mit (∗∗) P_{L}(L) = Q ∘ (L − λ_{t} id_{V})^{n_{t}}. Aus (∗) und (∗∗) folgt P_{L}(L) | E′(λ_{t}) = 0, wie behauptet. Eine weitere wichtige Anwendung der Jordanschen Normalform betrifft das explizite Lösen von linearen Differentialgleichungssystemen mit konstanten Koeffizienten. Gegeben ist dabei eine Matrix A ∈ ℂ^{n×n} und gesucht sind alle n-Tupel ( ⋮_{z_{n}(t)}^{z_{1}(t)} ) von differenzierbaren Funktionen z_{i} : ℝ → ℂ(≃ ℝ^{2}), für die

(∗)  ( z′_{1}(t) ; ⋮ ; z′_{n}(t) ) = A ( z_{1}(t) ; ⋮ ; z_{n}(t) )

für alle t ∈ ℝ gilt. Man führt die Funktion z = ( ⋮_{z_{n}}^{z_{1}} ) : ℝ → ℂ^{n} ein und schreibt für (∗) kürzer:

z′ = Az.

Ist B ∈ GL_{n}(ℂ), gilt A = B^{−1}JB und ist w : ℝ → ℂ^{n} eine Lösung von w′ = Jw, so ist z := B^{−1}w eine Lösung von (∗):

z′ = B^{−1}w′ = B^{−1}Jw = B^{−1}JBz = Az.

Es genügt also, alle Lösungen der Gleichung (∗∗) w′ = Jw zu kennen. Wir betrachten zunächst den (nach (9.6) typischen) Fall, daß

J = ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & . & . & . \\ 0 & & & & & & & λ_{n} \end{matrix} )

eine Diagonalmatrix ist. Dann ”entkoppeln“ sich die Differentialgleichungen (∗∗) zu:

w′_{j} = λ_{j}w_{j} für 1 ≤ j ≤ n

mit λ_{j} ∈ ℂ. Davon sind die Lösungen explizit angebbar,

w_{j}(t) = w_{j}(0)e^{λ_{j}t} für 1 ≤ j ≤ n,

wobei die ”Anfangswerte“ w_{j}(0), 1 ≤ j ≤ n, die Lösung eindeutig bestimmen.

Folgerung: Sei A ∈ ℂ^{n×n} diagonalisierbar, A = B^{−1} ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & . & . & . \\ 0 & & & & & & & λ_{n} \end{matrix} ) B, und a ∈ ℂ^{n}. Dann

existiert genau eine Lösung z : ℝ → ℂ^{n} von (∗) mit z(0) = a, nämlich z(t) = B^{−1}w(t), wobei w_{j}(t) = c_{j}e^{λ_{j}t} für 1 ≤ j ≤ n und c = Ba.

Bem.:

1) Offenbar konvergieren die (Diagonal-)Matrizen ∑_{k=0}^{m} \frac{(tJ)^{k}}{k!} für m → ∞ gegen die Ma-

trix ( \begin{matrix}e^{λ_{1}t} & & & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & . & . & . \\ 0 & & & & & & & e^{λnt} \end{matrix} ) =: exp(tJ).

Entsprechend bezeichnet man lim_{m→∞} ∑_{k=0}^{m} \frac{(tA)^{k}}{k!} =: exp(tA) und wegen A^{k} = B^{−1}J^{k}B

gilt

exp(tA) = B^{−1} exp(tJ)B.

Die Lösungen w(t) von (∗∗) lassen sich damit als

w(t) = exp(tJ)w(0)

und die Lösungen z(t) = B^{−1}w(t) von (∗) als

z(t) = exp(tA)z(0)

schreiben.

2) Ist A ∈ ℝ^{n×n} reell diagonalisierbar, d.h. A = B^{−1}JB mit B ∈ GL_{n}(ℝ), J =

( \begin{matrix}λ_{1} & & & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & . & . & . \\ 0 & & & & & & & λ_{n} \end{matrix} ) mit λ_{j} ∈ ℝ, so erhalten wir mit demselben Verfahren und denselben

Formeln reelle Lösungen z : ℝ → ℝ^{n}, z = B^{−1}w mit w_{j}(t) = e^{λ_{j}t} ∈ ℝ von z′ = Az. In vielen Fällen wird A ∈ ℝ^{n×n} jedoch nur komplex diagonalisierbar sein,

d.h. A = B^{−1}JB mit B ∈ GL_{n}(ℂ), J = ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & . & . & . \\ 0 & & & & & & & λ_{n} \end{matrix} ) mit λ_{j} ∈ ℂ. Wir erhalten

komplexe Lösungen z : ℝ → ℂ^{n} von z′ = Az. Schreiben wir z(t) = x(t) + iy(t) mit x, y : ℝ → ℝ^{n}, so gilt auch x′ = Ax, y′ = Ay, d.h. x = Rez und y = Imz sind reelle Lösungen von (∗). Das kann man z.B. daran sehen, daß wegen A = \overline{A} mit z : ℝ → ℂ^{n} auch \overline{z} : ℝ → ℂ^{n} Lösung von (∗) ist:

\overline{z}′ = \overline{Az} = \overline{A}\overline{z} = A\overline{z}.

Da (∗) linear ist, sind dann auch x = \frac{1}{2}(z + \overline{z}) und y = \frac{1}{2}(z − \overline{z}) Lösungen von (∗).

125

Als nächstes betrachten wir den Fall, daß A ∈ ℂ^{n×n} eine Jordansche Normalform hat, die nur ein einziges ”Jordankästchen“ hat, d.h. A = B^{−1}JB mit B ∈ GL_{n}(ℂ) und

J = T + λE_{n} = ( \begin{matrix}λ & … & … & … & 0 \\ 1 & ... & & & ⋮ \\ 0 & ... & ... & & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & 1 & λ \end{matrix} ) , λ ∈ ℂ.

Mit etwas probieren stellt man fest, daß man Lösungen w : ℝ → ℂ^{n} von w′ = Jw wie folgt

erzeugen kann: Man wählt ein Polynom p(t) =: ∑_{k=0}^{n−1} \frac{c_{n−k}}{k!} t^{k}, c_{n−k} = p^{(k)}(0), vom Grad n − 1

und setzt

w(t) := e^{λt} (p^{(n−1)}(t), p^{(n−2)}(t), …, p(t)) ,

wobei p^{(k)}(t) die k′te Ableitung von p(t) bezeichnet. Es gilt dann nämlich:

w′(t) = λw(t) + e^{λt} (0, p^{(n−1)}(t), …, p′(t)) = Jw(t).

Man kann auch leicht sehen, daß jede Lösung w von w′ = Jw von diesem Typ ist: Setzt man q(t) := e^{−λt}w(t), so folgt q′ = T q. Differenziert man die Gleichung q′ = T q weiter, so erhält man q^{(k)} = T^{k}q und wegen T^{n} = 0: q^{(n)} = 0. Daraus folgt: q ist ein Polynom vom Grad ≤ n − 1. Man erhält also auf diese Art explizit alle Lösungen w : ℝ → ℂ^{n} von w′ = Jw und mit z := B^{−1}w alle Lösungen von z′ = Az. Die ”Anfangswerte“ w(0) = (p^{(n−1)}(0), …, p(0))=(c_{1}, …, c_{n}) ∈ ℂ^{n} sind beliebig vorgebbar und bestimmen die Lösung w(t) eindeutig, und analog für z(t) := B^{−1}w(t).

Im allgemeinen hat die Jordansche Normalform J von A mehrere ”Jordankästchen“ J_{1}^{1}, …, J_{s}^{k_{s}} wie in (9.19)(∗∗). Die Lösungen von w′ = Jw setzen sich dann aus den Lösungen zu den einzelnen Jordankästchen (w_{t}^{k_{t}})′ = J_{t}^{k_{t}}w_{t}^{k_{t}}, die wir nach dem vorangehenden explizit kennen, zusammen.

Bsp.: Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

(∗) x′ = Ax

für Vektorfunktionen x : ℝ → ℝ^{3} und die Matrix A = ( \begin{matrix}3 & 2 & −3 \\ 4 & 10 & −12 \\ 3 & 6 & −7 \end{matrix} ) aus dem vorangehenden Beispiel. Explizit bedeutet (∗) dann:

\begin{aligned}x′_{1}(t) & = & 3x_{1}(t) + 2x_{2}(t) − 3x_{3}(t) \\ x′_{2}(t) & = & 4x_{1}(t) + 10x_{2}(t) − 12x_{3}(t) \\ x′_{3}(t) & = & 3x_{1}(t) + 6x_{2}(t) − 7x_{3}(t) \end{aligned}

Wir haben die Jordansche Normalform J von A berechnet:

J = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} )

Zu dem Jordankästchen ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) gehören die Lösungen

( \begin{matrix}y_{1}(t) \\ y_{2}(t) \end{matrix} ) = e^{2t} ( \begin{matrix}c_{1} \\ c_{2}+c_{1}t \end{matrix})

und zu dem EV e_{3} von J: y_{3}(t) = c_{3}e^{2t}.

Die Lösungen von y′ = Jy sind dann y(t) = e^{2t} ( \begin{matrix}c_{1} \\ c_{2}+c_{1}t \\ c_{3} \end{matrix} ) mit beliebigen c_{1}, c_{2}, c_{3} ∈ ℝ.

Die Lösungen x von (∗) sind x = B^{−1}y mit B^{−1} = ( \begin{matrix}1 & 2 & −3 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & − \frac{3}{4} & 1 \end{matrix} ).

Bem.:

1) Auch hier kann man zeigen, daß für alle t ∈ ℝ die Limites lim_{m→∞} ∑_{k=0}^{m} \frac{(tJ)^{k}}{k!} =: exp(tJ)

und lim_{m→∞} ∑_{k=0}^{m} \frac{(tA)^{k}}{k!} =: exp(tA) existieren, daß exp(tA) = B^{−1} exp(tJ)B gilt und daß

die Lösungen w von w′ = Jw gerade durch w(t) = exp(tJ)w(0) gegeben sind. Dann folgt, daß die Lösungen von z′ = Az als z(t) = exp(tA)z(0) geschrieben werden können.

2) Ist A ∈ ℝ^{n×n}, so zerfällt P_{A} über ℂ, so daß A eine komplexe Jordansche Normalform J ∈ ℂ^{n×n} besitzt. Ist A = B^{−1}JB mit B ∈ GL_{n}(ℂ) und sind z = B^{−1}w die komplexen Lösungen von z′ = Az, so erhält man die reellen Lösungen von x′ = Ax als die Realteile (oder – gleichwertig – als die Imaginärteile) der komplexen Lösungen.

10. Affine und euklidische Geometrie.

In der analytischen Geometrie beschreibt man nach Wahl eines Koordinatensystems Punkte durch n-Tupel von Zahlen (n = 2 für die Ebene, n = 3 für den 3-dimensionalen Raum), die man als Vektoren eines Vektorraums betrachten kann. Was diese Punkte eigentlich selbst sind, wird dabei mathematisch nicht gesagt und der Anschauung überlassen. Das Einführen von Koordinaten zerstört die Homogenität des Raumes durch die Auszeichnung eines Punktes als 0-Punkt des Koordinatensystems und durch Auszeichnung der Richtungen der Koordinatenachsen. In diesem Kapitel wird der ”affine Punktraum“ eingeführt, mit dessen Hilfe der Unterschied zwischen Punkten und Vektoren und das Einführen von Koordinaten präzisiert werden kann.

(10.1) Def.: Ein affiner Raum A über einem K-Vektorraum V ist eine Menge A ≠ ∅ zusammen mit einer Abbildung + : A × V → A, für die gilt:

(A_{1}) Für alle a ∈ A, für alle v, w ∈ V gilt: (a + v) + w = a + (v + w).

(A_{2}) Für alle a_{1}, a_{2} ∈ A existiert genau ein v ∈ V, so daß a_{2} = a_{1} + v gilt. Wir bezeichnen dieses v ∈ V als v =: \overrightarrow{a_{1}a_{2}}.

Bez.: Die Dimension des affinen Raums A ist die Dimension des zugehörigen Vektorraums V.

Bem.:

1) Aus (A_{1}) und (A_{2}) folgt \overrightarrow{aa} = 0, \overrightarrow{a_{1}a_{2}} = −\overrightarrow{a_{2}a_{1}} und \overrightarrow{a_{1}a_{2}} + \overrightarrow{a_{2}a_{3}} = \overrightarrow{a_{1}a_{3}}.

2) Die Vorstellung hinter der Abbildung + : A × V → A, (a, v) → a + v ist, daß der Vektor v am Punkt a angetragen einen neuen Punkt, genannt a + v, bestimmt. Entsprechend nennt man v = \overrightarrow{a_{1}a_{2}} den Verbindungsvektor von a_{1} nach a_{2}. Die Bezeichnung + für die Abbildung A × V → A ist zwar oft praktisch, aber auch irreführend, da sie von der – gleich bezeichneten – Addition in V unterschieden werden muß. In der Gleichung in (A_{1}) beziehen sich etwa die ersten drei Zeichen + auf die Abbildung A × V → A, das letzte dagegen auf die Addition in V.

Im folgenden Standardbeispiel eines affinen Raums verschwindet dieser Unterschied, und das ist auch der Grund für diese Bezeichnung.

(10.2) Beispiel: Sei V K-Vektorraum. Wir setzen A := V und nehmen als Abbildung A × V → V die übliche Addition V × V → V. Dann ist (A_{1}) gerade das Assoziativgesetz bzgl. +, während (A_{2}) aus der (eindeutigen) Existenz des additiven Inversen folgt.

Hier ein Beispiel, in dem der affine Raum nicht direkt ein Vektorraum ”ist“:

(10.3) Beispiel: Sei A ∈ K^{n×n} eine Matrix, w_{0} ∈ K^{n} und

\begin{aligned}A & := & \{v ∈ K^{n} | Av = w_{0}\} ≠ ∅, \\ V & := & \{u ∈ K^{n} | Au = 0\} \end{aligned}

Wir definieren A × V → A durch die übliche Addition in K^{n}. Dann gilt in der Tat: v ∈ A, u ∈ V ⇒ v + u ∈ A. Denn A(v + a) = Av + Au = Av = w_{0}. Sind v_{1}, v_{2} ∈ A, so ist der Verbindungsvektor \overrightarrow{v_{1}v_{2}} gerade v_{2} − v_{1}, da v_{1} + (v_{1} − v_{1}) = v_{1} gilt, und es gilt in der Tat \overrightarrow{v_{1}v_{2}} = v_{1} − v_{1} ∈ V, denn A(v_{2} − v_{1}) = Av_{2} − Av_{1} = w_{0} − w_{0} = 0. In diesem Fall ist

dim A := dim V = n − rg(A).

Mengen A wie in (10.3) kamen schon nach (3.25) vor und wurden damals ”affine Unterräume des Vektorraums K^{n}“ genannt. Wenn man K^{n} wie in (10.2) als affinen Raum interpretiert, so ist dies ein Spezialfall von

(10.4) Def.: Eine Teilmenge U eines affinen Raums A heißt affiner Unterraum von A, falls ein Untervektorraum V_{U} von V und ein a_{0} ∈ U existiert, so daß

U = {a_{0} + v | v ∈ V_{U}}

gilt.

(10.5) Lemma. Sei U ⊆ A affiner Unterraum und seien a_{0}, V_{U} wie in (10.4). Dann gilt für jedes a_{1} ∈ U:

U = {a_{1} + v | v ∈ V_{U}}.

Bem.: Das zeigt, daß im Fall eines affinen Unterraums U die Menge der Verbindungsvektoren von einem festen Punkt in U zu beliebigen Punkten in U ein Untervektorraum von V ist, der unabhängig von der Wahl des festen Punktes in U ist und nur von U abhängt. V_{U} heißt auch der Richtungsraum von U. Wir definieren: dim U := dim V_{U}.

Bew.:

(i) U ⊆ \{a_{1} + v | v ∈ V_{U}\}: Sei b ∈ U. Wir müssen zeigen, daß \overrightarrow{a_{1}b} ∈ V_{U} gilt (denn das impliziert b = a_{1} + v mit v = \overrightarrow{a_{1}b} ∈ V_{U}). Wegen b ∈ U und a_{1} ∈ U gelten \overrightarrow{a_{0}b} ∈ V_{U} und \overrightarrow{a_{0}a_{1}} = −\overrightarrow{a_{1}a_{0}} ∈ V_{U}. Da V_{U} Untervektorraum ist, folgt \overrightarrow{a_{1}a_{0}} + \overrightarrow{a_{0}b} = \overrightarrow{a_{1}b} ∈ V_{U}, wie behauptet.

(ii) {a_{1} + v | v ∈ V_{U}} ⊆ U: Sei v ∈ V_{U}. Dann gilt

a_{1} + v = (a_{0} + \overrightarrow{a_{0}a_{1}}) + v =^{(A_{2})} a_{0} + (\overrightarrow{a_{0}a_{1}} + v) .

Wegen a_{1} ∈ U folgt \overrightarrow{a_{0}a_{1}} ∈ V_{U}, und da V_{U} Untervektorraum ist, folgt \overrightarrow{a_{0}a_{1}} + v ∈ V_{U}.

Also gilt a_{1} + v = a_{0} + (\overrightarrow{a_{0}a_{1}} + v) ∈ U.

Bez.: Ein affiner Raum (oder Unterraum) der Dimension 1 heißt (affine) Gerade, ein affiner Raum (oder Unterraum) der Dimension 2 heißt (affine) Ebene. Ist A n-dimensionaler affiner Raum und U ⊆ A (n − 1)-dimensionaler affiner Unterraum, so heißt U affine Hyperebene in A.

Bem.: Ist U ⊆ A affiner Unterraum, so folgt aus (10.5), daß für alle a ∈ U gilt:

U = a + V_{U} := {a + v | v ∈ V_{U}}.

Ein 0-dimensionaler affiner Unterraum besteht aus genau einem Punkt.

(10.6) Fakt: Sind U_{1}, U_{2} affine Unterräume von A und gilt U_{1} ∩U_{2} ≠ ∅, so ist U_{1} ∩U_{2} affiner Unterraum von A, und es gilt

V_{U_{1}∩U_{2}} = V_{U_{1}} ∩ V_{U_{2}}.

Bew.: Wähle a ∈ U_{1} ∩ U_{2}. Dann folgt aus U_{1} = a + V_{U_{1}} und U_{2} = a + V_{U_{2}}, daß U_{1} ∩ U_{2} = a + (V_{U_{1}} ∩ V_{U_{2}}) gilt.

(10.7) Fakt: Sind U_{1}, U_{2} affine Unterräume von A und gilt U_{1}∩U_{2} ≠ ∅, so gilt dim(U_{1}∩U_{2}) = dim(V_{U_{1}} ∩ V_{U_{2}}).

(10.8) Def.: Zwei affine Unterräume U_{1}, U_{2} von A heißen parallel, falls V_{U_{1}} ⊆ V_{U_{2}} oder V_{U_{2}} ⊆ V_{U_{1}} gilt.

(10.9) Fakt: Sei A endlichdimensionaler affiner Raum, U ⊆ A affiner Unterraum und H ⊆ A affine Hyperebene. Gilt U ∩ H = ∅, so sind U und H parallel.

Bem.:

1) Gilt U ∩ H ≠ ∅, so folgt aus (10.7), daß U ∩ H ein affiner Unterraum mit dim(U ∩ H) = dim U − 1 ist.

2) Ist dim A = 2, so besagt (10.9), daß zwei Geraden in der affinen Ebene A entweder parallel sind oder genau einen Schnittpunkt haben.

Bew.: Wir nehmen an, U und H seinen nicht parallel. Dann folgt V_{U} + V_{H} = V_{A}. Ist a ∈ U, b ∈ H, so läßt sich der Vektor \overrightarrow{ab} ∈ V_{A} darstellen als

\overrightarrow{ab} = v_{1} + v_{2}

mit v_{1} ∈ V_{U}, v_{2} ∈ V_{H}. Daraus folgt

b = a + (v_{1} + v_{2}) =^{(A_{1})} (a + v_{1}) + v_{2}

und

b + (−v_{2}) =^{(A_{1})} (a + v_{1}) + (v_{2} − v_{2}) =^{(A_{1})} a + v_{1}.

Wegen v_{1} ∈ V_{U}, −v_{2} ∈ V_{H} folgt a + v_{1} = b + (−v_{2}) ∈ U ∩ H, d.h. U ∩ H ≠ ∅.

Def.: Sei A affiner Raum und (a, b, c) ∈ A^{3} ein (geordnetes) Tripel von Punkten in A.

(a) Die Punkte a, b, c ∈ A heißen kollinear, falls es eine affine Gerade G ⊆ A gibt mit {a, b, c} ⊆ G.

(b) Ist (a, b, c) ∈ A^{3} ein kollineares Punktetripel und gilt a ≠ b, so heißt der durch die Gleichung \overrightarrow{ac} = λ\overrightarrow{ab} eindeutig bestimmte Skalar λ ∈ K das Teilverhältnis des kollinearen Punktetripels (a, b, c), bezeichnet durch λ =: T V (a, b, c).

Bsp.:

1) c heißt der Mittelpunkt der Strecke von a nach b, wenn T V (a, b, c) = \frac{1}{2} gilt. Das ist äquivalent zu c = a + \frac{1}{2} \overrightarrow{ab}.

2) Betrachten wir ℝ^{2} nach (10.2) als affinen Raum, so sind a = (0, 1), c = (1, 1) und b = (3, 1) kollinear, da a, b, c auf der affinen Geraden G = a + (ℝ × {0}) liegen. Wegen

\overrightarrow{ac} = (1, 0) = \frac{1}{3}\overrightarrow{ab}

gilt T V (a, b, c) = \frac{1}{3}.

Bem.: Im Fall K = ℝ hat T V (a, b, c) folgende anschauliche Bedeutung, die für den Namen ”Teilverhältnis“ verantwortlich ist: Wählt man auf V ein Skalarprodukt (oder – allgemeiner – eine Norm), so definiert man für a, b ∈ A die \underline{Streckenlänge} von a nach b durch ∥\overrightarrow{ab}∥. Dann gilt

|T V (a, b, c)| = \frac{∥\overrightarrow{ac}∥}{∥\overrightarrow{ab}∥},

d.h. |T V (a, b, c)| ist das Verhältnis der Streckenlänge von a nach c zur Streckenlänge von a nach b. Dieses Verhältnis ist unabhängig von der Wahl des Skalarprodukts (oder der Norm). Das Vorzeichen von T V (a, b, c) hängt davon ab, ob a auf G_{a,b} zwischen b und c liegt (⇒ T V (a, b, c) < 0) oder nicht.

(10.10) Strahlensatz. Seien (a, b_{1}, c_{1}) ∈ A^{3} und (a, b_{2}, c_{2}) ∈ A^{3} kollineare Punktetripel auf verschiedenen Geraden durch a ∉ {b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}}. Dann sind G_{b_{1},b_{2}} und G_{c_{1},c_{2}} genau dann parallel, wenn T V (a, b_{1}, c_{1}) = T V (a, b_{2}, c_{2}) gilt.

Aufgabe: Fertigen Sie eine Skizze der in (10.10) beschriebenen Situation an.

Bew.: Nach Definition gilt

T V (a, b_{1}, c_{1}) = λ ⇔ \overrightarrow{ac_{1}} = λ\overrightarrow{ab_{1}}

und

T V (a, b_{2}, c_{2}) = μ ⇔ \overrightarrow{ac_{2}} = μ\overrightarrow{ab_{2}}.

Die zwei Geraden G_{b_{1},b_{2}} und G_{c_{1},c_{2}} sind genau dann parallel, wenn die Richtungsvektoren \overrightarrow{b_{1}b_{2}} und \overrightarrow{c_{1}c_{2}} linear abhängig sind. Aus \overrightarrow{ac_{1}} + \overrightarrow{c_{1}c_{2}} = \overrightarrow{ac_{2}} folgt

\overrightarrow{c_{1}c_{2}} = \overrightarrow{ac_{2}} − \overrightarrow{ac_{1}} = μ\overrightarrow{ab_{2}} − λ\overrightarrow{ab_{1}}

und ebenso

\overrightarrow{b_{1}b_{2}} = \overrightarrow{ab_{2}} − \overrightarrow{ab_{1}}.

Da nach Voraussetzung G_{a,b_{1}} ≠ G_{a,b_{2}} gilt, sind \overrightarrow{ab_{1}} und \overrightarrow{ab_{2}} linear unabhängig. Die vorangehenden Gleichungen stellen \overrightarrow{b_{1}b_{2}} und \overrightarrow{c_{1}c_{2}} als Linearkombinationen dieser linear unabhängigen Vektoren \overrightarrow{ab_{1}} und \overrightarrow{ab_{2}} dar. Also sind \overrightarrow{b_{1}b_{2}} und \overrightarrow{c_{1}c_{2}} genau dann linear abhängig (⇔ G_{b_{1},b_{2}}

und G_{c_{1},c_{2}} sind parallel), wenn det ( \begin{matrix}μ & 1 \\ −λ & −1 \end{matrix} ) = 0 gilt, d.h. wenn λ = T V (a, b_{1}, c_{1}) =

T V (a, b_{2}, c_{2}) = μ gilt.

In der Mathematik sind stets neben den Objekten einer Theorie (hier: neben den affinen Räumen) auch die ”strukturerhaltenden“ Abbildungen zwischen diesen Objekten wichtig (hier: die in (10.11) definierten ”affinen Abbildungen“).

(10.11) Def.: Für i = 0, 1 seien A_{i} affine Räume über den K-Vektorräumen V_{i}. Eine Abbildung A : A_{1} → A_{2} heißt \underline{affin}, wenn es einen K-Vektorraumhomomorphismus L_{A} ∈ Hom(V_{0}, V_{1}) gibt, so daß für alle a, b ∈ A_{0} gilt:

L_{A}(\overrightarrow{ab}) = \overrightarrow{A(a)A(b)}.

Eine bijektive affine Abbildung heißt \underline{Affinität}.

(10.12) Bsp.: Seien A, A_{0}, A_{1} affine Räume über den K-Vektorräumen V, V_{0}, V_{1}.

1) A := id_{A} ist affin mit L_{A} = id_{V}.

2) Sei v_{0} ∈ V und A : A → A definiert durch

A(a) = a + v_{0}.

Dann ist A affin mit L_{A} = id_{V}. Eine solche Abbildung heißt Translation.

3) Seien a_{0} ∈ A_{0}, a_{1} ∈ A_{1}, L ∈ Hom(V_{0}, V_{1}). Sei A : A_{0} → A_{1} definiert durch

A(a) = a_{1} + L(\overrightarrow{a_{0}a}).

Dann ist A affin und L_{A} = L.

Beweis zu 3): Wir müssen zeigen, daß für alle a, b ∈ A_{0} gilt:

\overrightarrow{A(a)A(b)} = L(\overrightarrow{ab}).

Der Vektor v = \overrightarrow{A(a)A(b)} ∈ V_{1} ist durch die Gleichung

a_{1} + L(\overrightarrow{a_{0}a}) + v = a_{1} + L(\overrightarrow{a_{0}b})

definiert. Daraus folgt mit (A_{2}):

L(\overrightarrow{a_{0}a}) + v = L(\overrightarrow{a_{0}b}),

also

v = L(−\overrightarrow{a_{0}a}) + L(\overrightarrow{a_{0}b}) = L(\overrightarrow{aa_{0}} + \overrightarrow{a_{0}b}) = L(\overrightarrow{ab}),

wie behauptet.

Bem.: Ist A : A_{0} → A_{1} affin, so gilt für jedes a_{0} ∈ A_{0}

(∗) A(a) = A(a_{0}) + L_{A}(\overrightarrow{a_{0}a}),

d.h. A ist wie in (10.12), 3) darstellbar, wobei a_{0} ∈ A_{0} beliebig ist, a_{1} := A(a_{0}) und L = L_{A}.

Begründung von (∗): A(a) = A(a_{0}) + v, wobei v = \overrightarrow{A(a_{0})A(a)} =^{(10.11)} L_{A}(\overrightarrow{a_{0}a}).

Folgende Aussagen sind leicht einzusehen:

(10.13) Eine affine Abbildung A : A → A ist genau dann eine Translation, wenn L_{A} = id_{V} gilt. Eine affine Abbildung A : A_{0} → A_{1} ist genau dann eine Affinität (d.h. A ist bijektiv), wenn L_{A} ∈ Hom(V_{0}, V_{1}) ein Isomorphismus ist. Es gilt dann L_{A^{−1}} = (L_{A})^{−1}. Eine affine Abbildung A : A → A heißt Streckung mit Zentrum a_{0} ∈ A und Streckfaktor λ ∈ K, falls A(a_{0} + v) = a_{0} + λv für alle v ∈ V gilt.

(10.14) Ist A : A_{0} → A_{1} affin und U ⊆ A_{0} affiner Unterraum, so ist A(U) ⊆ A_{1} affiner Unterraum. Es gilt: U = a_{0} + V_{U} ⇒ A(U) = A(a_{0}) + L_{A}(V_{U}). Ist U ⊆ A_{1} affiner Unterraum und ist die Urbildmenge

A^{−1}(U) = {a ∈ A | A(a) ∈ U}

nicht leer, so ist A^{−1}(U) affiner Unterraum von A_{0}. Ist a_{0} ∈ A^{−1}(U), so gilt

A^{−1}(U) = a_{0} + L_{A}^{−1}(V_{U}).

(10.15) Ist A : A_{0} → A_{1} affin, sind a, b, c ∈ A_{0} und gilt A(a) ≠ A(b), so folgt:

T V (a, b, c) = T V (A(a), A(b), A(c)).

Eine Affinität zwischen zwei affinen Räumen A_{0} und A_{1} erlaubt es, alle Aussagen, Argumente etc. der affinen Geometrie in A_{0} in entsprechende Aussagen, Argumente etc. in A_{1} zu verwandeln. Nach (10.13) existiert genau dann eine Affinität von A_{0} nach A_{1}, wenn A_{0} und A_{1} zu Vektorräumen über dem gleichen Körper gehören und dim A_{0} = dim A_{1} gilt. Es ist wichtig, zu erkennen, ob eine geometrische Aussage zur affinen Geometrie gehört. Die Aussage, daß sich die Seitenhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt schneiden, der diese Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt, gehört etwa zur affinen Geometrie, da sie sich nur auf Geraden und Teilverhältnisse bezieht. Man kann die Aussage direkt im affinen Raum ℝ^{2} beweisen, aber folgender Weg ist wohl einfacher: Da je zwei Dreiecke durch eine Affinität aufeinander abgebildet werden können (siehe (10.17)), genügt es, die Aussage für gleichseitige Dreiecke zu beweisen. Das ist mit (euklidischen) Symmetrieargumenten leicht möglich.

(10.16) Def. Sei A affiner Raum über dem K-Vektorraum V, dim V = n > 0. Ein (n + 1)- Tupel (a_{0}, …, a_{n}) ∈ A^{n+1} von Punkten a_{0}, …, a_{n} ∈ A heißt Koordinatensystem für A, falls die Vektoren \overrightarrow{a_{0}a_{1}}, …, \overrightarrow{a_{0}a_{n}} ∈ V linear unabhängig sind (und damit eine Basis von V bilden). Ist x ∈ V ein beliebiger Punkt, so gilt

\overrightarrow{a_{0}x} = ∑_{i=1}^{n} x_{i}\overrightarrow{a_{0}a_{i}}

mit durch x eindeutig bestimmten x_{i} ∈ K, 1 ≤ i ≤ n. Diese x_{i}, 1 ≤ i ≤ n, heißen die Koordinaten von x bezüglich des Koordinatensystems (a_{0}, …, a_{n}) und (x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n} heißt der Koordinatenvektor von x (bzgl. (a_{0}, …, a_{n})).

\underline{Wichtige Bem.}: Die Abbildung A : x ∈ A → (x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n} ist eine Affinität, die A mit dem (nach (10.2)) als affinen Raum betrachteten K^{n} identifiziert. Dabei gilt A(a_{0}) = 0 ∈ K^{n} und A(a_{i}) = e_{i} ∈ K^{n} für 1 ≤ i ≤ n. Das erlaubt, alle Probleme der affinen Geometrie in einem K^{n} zu betrachten. Das hat zwei Vorteile: Wir können im üblichen K^{n} rechnen (ohne die etwas umständlichen Axiome (A_{1}) und (A_{2}) zu bemühen) und wir können unser Koordinatensystem dem gegebenen Problem anpassen. Wir haben dadurch natürlich den ”Vorteil“ des affinen Raums, keinen ausgezeichneten Punkt und keine ausgezeichneten Richtungen zu besitzen, wieder verloren.

(10.17) Fakt. Seien A und B affine Räume (über dem gleichen Körper) und (a_{0}, …, a_{n}) ∈ A^{n+1} ein Koordinatensystem für A und (b_{0}, …, b_{n}) ∈ B^{n+1}. Dann gibt es genau eine affine Abbildung A : A → B mit A(a_{i}) = b_{i} für 0 ≤ i ≤ n. A ist genau dann eine Affinität, wenn (b_{0}, …, b_{n}) ein Koordinatensystem für B ist.

Bew.: Es seien V und W die K-Vektorräume zu A und B, und es sei L ∈ Hom(V, W) definiert durch L(\overrightarrow{a_{0}a_{i}}) = \overrightarrow{b_{0}b_{i}} für 1 ≤ i ≤ n, vgl. (4.6). Wir definieren A : A → B durch

A(a) = b_{0} + L(\overrightarrow{a_{0}a}).

Nach (10.12) ist A affin, und es gilt A(a_{0}) = b_{0} und A(a_{i}) = b_{0} + L(\overrightarrow{a_{0}a_{i}}) = b_{0} + \overrightarrow{b_{0}b_{i}} = b_{i} für 1 ≤ i ≤ n. Die restlichen Aussagen lassen sich ähnlich einsehen.

Die Begriffe ”affiner Unterraum“ und ”affine Abbildung“ wurden in (10.4) und (10.11) durch Rückgriff auf die Begriffe ”Untervektorraum“ und ”Vektorraumhomomorphismus“ der linearen Algebra definiert. Es soll nun versucht werden, diese Begriffe allein mit Hilfe des affin-geometrischen Grundbegriffs ”Gerade“ zu charakterisieren.

(10.18) Def.: Eine Teilmenge M eines affinen Raums A heißt affin abgeschlossen, wenn M mit je zwei Punkten a ≠ b auch die Gerade

G_{a,b} = \{a + λ\overrightarrow{ab} | λ ∈ K\}

durch a und b enthält (d.h. kürzer: {a, b} ⊆ M und a ≠ b ⇒ G_{a,b} ⊆ M).

(10.19) Satz. Im Körper K gelte 1 + 1 ≠ 0. Dann gilt: Eine Teilmenge M ≠ ∅ von A ist genau dann affin abgeschlossen, wenn M ein affiner Unterraum von A ist.

Bew.: Offensichtlich ist jeder affine Unterraum affin abgeschlossen. Sei umgekehrt M affin abgeschlossen und a_{0} ∈ M. Wir zeigen, daß

U := \{\overrightarrow{a_{0}a} | a ∈ M\}

Untervektorraum von V ist. Dann gilt M = a_{0} +U und das zeigt, daß M affiner Unterraum ist.

(i) Es gilt 0 = \overrightarrow{a_{0}a_{0}} ∈ U.

(ii) Ist v ∈ U \ \{0\}, v = \overrightarrow{a_{0}a} mit a ∈ M, so gilt nach Voraussetzung G_{a_{0},a} ⊆ M,

d.h. a_{0}+(λv) =: a_{λ} ∈ M für alle λ ∈ K. Daraus folgt für alle λ ∈ K: \overrightarrow{a_{0}a_{λ}} = λv ∈ U. (iii) Seien v = \overrightarrow{a_{0}a} ∈ U, w = \overrightarrow{a_{0}b} ∈ U mit a, b ∈ M. Gilt v = w, so folgt nach (ii):

v + w = (1 + 1)v ∈ U. Wir können also annehmen, daß v ≠ w und damit a ≠ b gilt. Nach Voraussetzung gilt dann G_{a,b} ⊆ M. Wegen \overrightarrow{ab} = \overrightarrow{aa_{0}}+\overrightarrow{a_{0}b} = −\overrightarrow{a_{0}a}+\overrightarrow{a_{0}b} = w−v gilt dann

G_{a,b} = {a + λ(w − v) | λ ∈ K} = {a_{0} + (1 − λ)v + λw | λ ∈ K} ⊆ M.

Mit \frac{1}{2} ∈ K sei das multiplikative Inverse von 1 + 1 ≠ 0 bezeichnet. Für λ = \frac{1}{2} erhalten wir a_{0} +(1 − \frac{1}{2}) v + \frac{1}{2}w = a_{0} + \frac{1}{2}(v +w) ∈ M, also \frac{1}{2}(v +w) ∈ U. Nach (ii) folgt 2·(\frac{1}{2}(v + w)) = v + w ∈ U.

(10.20) Fundamentalsatz der affinen Geometrie (über ℝ). Seien A, A′ affine Räume über den reellen Vektorräumen V, V′. Sei dim A ≥ 2 und F : A → A′ eine Bijektion, die Geraden auf Geraden abbildet. Dann ist F eine Affinität.

Der nicht ganz einfache Beweis wird durch eine Reihe von Hilfssätzen erledigt.

(10.21) Lemma. Sei E ⊆ A affine Ebene. Dann ist F (E) ⊆ A′ eine affine Ebene.

Bew.: Sei (a_{0}, a_{1}, a_{2}) ein Koordinatensystem für E. Dann gilt

G_{a_{0},a_{1}} ∩ G_{a_{0},a_{2}} = {a_{0}}.

Da F injektiv ist und F (G_{a_{0},a_{1}}) = G_{F (a_{0}),F (a_{1})}, F (G_{a_{0},a_{2}}) = G_{F (a_{0}),F (a_{2})} gilt, folgt

G_{F (a_{0}),F (a_{1})} ∩ G_{F (a_{0}),F (a_{2})} = {F (a_{0})}.

Deshalb existiert genau eine Ebene E′ ⊆ A′, die G_{F (a_{0}),F (a_{1})} und G_{F (a_{0}),F (a_{2})} enthält. Ist a ∈ E \ (G_{a_{0},a_{1}} ∪ G_{a_{0},a_{2}}), so existiert eine Gerade G ⊆ E mit a ∈ G, die G_{a_{0},a_{1}} und G_{a_{0},a_{2}} schneidet. Da F Geraden auf Geraden abbildet, folgt F (a) ∈ F (G) ⊆ E′. Damit haben wir F (E) ⊆ E′ bewiesen. Ähnlich zeigt man E′ ⊆ F (E), aber wir werden das nicht benötigen.

(10.22) Lemma. F bildet parallele Geraden auf parallele Geraden ab.

Bew.: Seien G ≠ H parallele Geraden in A. Dann existiert eine Ebene E ⊆ A mit G∪H ⊆ E. Nach (10.21) existiert eine Ebene E′ ⊆ A′, so daß

F (G) ∪ F (H) ⊆ F (E) ⊆ E′

gilt. Da F injektiv ist, gilt F (G) ∩ F (H) = F (G ∩ H).

Bem. 2 nach (10.9) impliziert, daß G ∩ H = ∅ gilt. Also gilt F (G) ∩ F (H) = ∅ und die gleiche Bem. 2 zeigt dann, daß die Geraden F (G) ⊆ E′ und F (H) ⊆ E′ parallel sind.

Um den Fundamentalsatz (10.20) zu beweisen, wählen wir einen festen Punkt a_{0} ∈ A, setzen a′_{0} := F (a_{0}) ∈ A′ und definieren G : V → V′ durch: Für alle v ∈ V gelte

F (a_{0} + v) = a′_{0} + G(v)

oder äquivalent

G(v) = \overrightarrow{F (a_{0})F (a_{0} + v)}.

Dann gilt offensichtlich G(0) = 0. Der Rest des Beweises besteht darin, zu zeigen, daß G ∈ Hom(V, V′) (⇒ (10.20)) gilt. Der Beweis der wichtigen Lemmata (10.23) und (10.25) beruht auf geometrischen Ideen, die am besten durch eine Skizze (!) klar werden.

(10.23) Lemma. Für alle linear unabhängigen v, w in V gilt

G(v + w) = G(v) + G(w).

Bew.: Wir betrachten die Geraden

G′_{v} = {a_{0} + w + λv | λ ∈ ℝ} und G′_{w} = {a_{0} + v + μw | μ ∈ ℝ},

die einander im Punkt a_{0} + v + w schneiden. Da G_{v′} parallel zu G_{v} := {a_{0} + λv | λ ∈ ℝ} ist, ist nach (10.22) auch F (G′_{v}) parallel zu F (G_{v}). Wegen F (a_{0} + w) = a′_{0} + G(w) ∈ F (G′_{v}) und a′_{0} ∈ F (G_{v}), F (a_{0} + v) = a′_{0} + G(v) ∈ F (G_{v}) gilt

F (G′_{v}) = {a′_{0} + G(w) + λG(v) | λ ∈ ℝ}

und analog

F (G′_{w}) = {a′_{0} + G(v) + μG(w) | μ ∈ ℝ}.

Da F injektiv ist und G_{v} und G_{w} := {a_{0} + μw | μ ∈ ℝ} einander genau in a_{0} schneiden, gilt F (G_{v}) ∩ F (G_{w}) = \{a′_{0}\}. Deshalb sind G(v) = \overrightarrow{F (a_{0})F (a_{0} + v)} und G(w) = \overrightarrow{F (a_{0})F (a_{0} + w)} linear unabhängig. Da G(v) bzw. G(w) Richtungsvektoren von F (G′_{v}) bzw. F (G′_{w}) sind, schneiden F (G′_{v}) und F (G′_{w}) einander genau im Punkt F (a_{0} + v + w) = a′_{0} + G(v + w), dem Bild des Schnittpunkts von G′_{v} und G′_{w}. Andererseits zeigen die obigen Formeln für F (G′_{v}) und F (G′_{w}), daß auch a′_{0} + G(v) + G(w) ∈ F (G′_{v}) ∩ F (G′_{w}) gilt. Daraus folgt

G(v + w) = G(v) + G(w).

(10.24) Lemma. Für alle v ∈ V und alle λ, μ ∈ ℝ gilt:

G(λv) + G(μv) = G((λ + μ)v).

Bem.: Aus (10.23) und (10.24) folgt G(v + w) = G(v) + G(w) für alle v, w ∈ V.

Bew.: Wegen G(0) = 0 genügt es, die Fälle zu betrachten, in denen v ≠ 0, λ ≠ 0 und μ ≠ 0 gilt. Aufgrund unserer Voraussetzung dim A ≥ 2 existiert ein zu v linear unabhängiger Vektor w ∈ V.

1. Fall: λ + μ ≠ 0. Dann sind w und (λ + μ)v linear unabhängig und (10.23) impliziert

G(w + (λ + μ)v) = G(w) + G((λ + μ)v).

Da w + λv und w + λv + μv linear unabhängig sind, folgt aus (10.23)

G(w + (λ + μ)v) = G(w + λv) + G(μv)

und analog

G(w + λv) = G(w) + G(λv).

Die letzten drei Gleichungen implizieren

G((λ + μ)v) = G(λv) + G(μv).

2. Fall: λ = −μ. Da λv +w und −λv +w = μv +w linear unabhängig sind, folgt aus (10.23)

G(2w) = G((λv + w) + (−λv + w)) = G(λv + w) + G(−λv + w)
= G(λv) + G(w) + G(−λv) + G(w)
= 2G(w) + G(λv) + G(−λv).

Da nach dem 1. Fall G(2w) = 2G(w) gilt (λ = μ := 1), folgt daraus die Behauptung: G(λv) + G(−λv) = 0 = G(λv − λv).

(10.25) Lemma. Es existiert eine Funktion f : ℝ → ℝ, so daß für alle v ∈ V und alle λ ∈ ℝ gilt:

G(λv) = f(λ)G(v).

Bew.: Wegen G(0) = 0 ist die Gleichung für v = 0 stets erfüllt und sie ist für λ = 0 und alle v ∈ V erfüllt, wenn wir f(0) = 0 setzen. Wir setzen von jetzt ab v ≠ 0 und λ ≠ 0 voraus. Da F injektiv ist, gilt F (a_{0} + v) = a′_{0} + G(v) ≠ a′_{0}. Nach Voraussetzung liegt F (a_{0} + λv) für alle λ ∈ ℝ auf der Geraden G_{a′_{0},a′_{0}+G(v)}. Also existiert genau ein f(λ, v) ∈ ℝ, so daß

F (a_{0} + λv) = a′_{0} + f(λ, v)G(v)

gilt. Wir bemerken, daß T V (a′_{0}, F (a_{0} + λv), F (a_{0} + v)) = \frac{f(λ,v)}{1−f(λ,v)} gilt. Wir wollen zeigen, daß f(λ, v) unabhängig von v ist, d.h. daß für alle λ ≠ 0, v ≠ 0, w ≠ 0 gilt:

f(λ, v) = f(λ, w).

1. Fall: v und w sind linear unabhängig. Dann betrachten wir die Geraden H = {a_{0} + μv | μ ∈ ℝ} und J = {a_{0} + μw | μ ∈ ℝ} durch a_{0} und die Geraden G_{1} = G_{a_{0}+v,a_{0}+w}, G_{2} = G_{a_{0}+λv,a_{0}+λw}, die nach dem Strahlensatz (10.10) parallel sind. Nach (10.21) sind dann auch F (G_{1}) und F (G_{2}) parallel und die andere Richtung des Strahlensatzes (10.10) impliziert nun, daß

T V (a′_{0}, F (a_{0} + λv), F (a_{0} + v)) = T V (a′_{0}, F (a_{0} + λw), F (a_{0} + w))

gilt. Daraus folgt f(λ, v) = f(λ, w).

2. Fall: Ist w = μv, so wählen wir (dim A ≥ 2!) ein von v linear unabhängiges z ∈ V. Dann gilt mit zweifacher Anwendung des 1. Falls:

f(λ, v) = f(λ, z) = f(λ, μv) = f(λ, w)

(10.26) Folgerung. f : ℝ → ℝ ist Körperautomorphismus, d.h. es gilt f(1) = 1 und für alle λ, μ ∈ ℝ:

\begin{aligned}f(λ + μ) & = & f(λ) + f(μ) \\ f(λμ) & = & f(λ)f(μ). \end{aligned}

Bew.: Wähle v ∈ V \ \{0\}. Da F injektiv ist, folgt G(v) = \overrightarrow{F (a_{0})F (a_{0} + v)} ≠ 0.

(i) G(v) = G(1 · v) = f(1)G(v) ⇒ (f(1) − 1)G(v) = 0 ⇒ f(1) = 1 (ii) G((λ + μ)v) = f(λ + μ)G(v)

G((λ + μ)v) = G(λv + μv) =^{(10.24)} G(λv) + G(μv) = (f(λ) + f(μ))G(v)

Diese Gleichungen beweisen f(λ + μ) = f(λ) + f(μ). (iii) G((λμ)v) = f(λμ)G(v)

G((λμ)v) = G(λ(μv)) = f(λ)G(μv) = f(λ)f(μ)G(v).

Diese Gleichungen beweisen f(λμ) = f(λ)f(μ).

Bisher wurde noch nicht benutzt, daß A, A′ \underline{reelle} affine Räume sind. Das folgende Lemma aber wäre etwa für den Körper ℂ (statt ℝ) nicht wahr.

(10.27) Lemma. Die Identität f = id_{ℝ} ist der einzige Körperautomorphismus von ℝ.

Bew.: Sei f : ℝ → ℝ Körperautomorphismus. Die Additivität von f und f(1) = 1 zeigen, daß f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = 1 + 1 = 2 und – induktiv – daß f(n) = n für alle n ∈ ℕ_{>0} gilt. Aus f(0) + f(0) = f(0 + 0) = f(0) folgt f(0) = 0 und aus f(n + (−n)) = 0 = f(n) + f(−n) = n + f(−n) für n ∈ ℕ folgt f(n) = n für alle n ∈ ℤ. Ist n ∈ ℤ \ {0}, so gilt

1 = f(1) = f (\frac{1}{n} · n) = f (\frac{1}{n}) f(n) = f (\frac{1}{n}) · n,

also f (\frac{1}{n}) = \frac{1}{n}. Verwenden wir nochmals die Multiplikativität von f, so erhalten wir

f (\frac{p}{q}) = \frac{p}{q} für alle \frac{p}{q} ∈ ℚ. Weiter gilt f(ℝ_{≥0}) ⊆ ℝ_{≥0}, denn aus r ≥ 0 folgt

f(r) = f (\sqrt{r})^{2}) = (f(\sqrt{r}))^{2} ≥ 0.

Zusammen mit der Additivität von f ergibt das

r ≥ s ⇒ f(r) ≥ f(s),

d.h. f ist monoton wachsend. Ist schließlich r ∈ ℝ beliebig, so wählen wir x_{i}, y_{i} ∈ ℚ mit x_{i} ≤ r ≤ y_{i} und lim x_{i} = r = lim y_{i}. Dann folgt x_{i} = f(x_{i}) ≤ f(r) ≤ f(y_{i}) = y_{i} und daraus

f(r) = lim x_{i} = lim y_{i} = r.

Aus (10.23)–(10.27) folgt, daß die durch

F (a_{0} + v) = a′_{0} + G(v)

definierte Abbildung G : V → V′ ein ℝ-Vektorraumhomomorphismus ist. Das zeigt, daß F eine affine Abbildung ist, vgl. (10.12), 3). Da F als bijektiv vorausgesetzt wurde, ist F eine Affinität. Das beendet den Beweis des Fundamentalsatzes (10.20).

Weiteres zur affinen Geometrie findet man z.B. in den Büchern G. Fischer: Analytische Geometrie, Vieweg 1978, W. Klingenberg: Lineare Algebra und Geometrie, Springer 1990.

Nach dieser kurzen Einführung in die affine Geometrie wenden wir uns noch kürzer der euklidischen Geometrie zu. Die euklidische Geometrie ist für uns besonders anschaulich, weil sie (in Dimension 3) gerade die mathematische Präzisierung des uns umgebenden ”Anschauungsraums“ ist.

(10.28) Def.: Ein euklidischer Raum E = E(V, <, >) ist ein affiner Raum E über einem euklidischen (reellen!) Vektorraum V, <, >. Eine Isometrie von E = E(V, <, >) auf E′ = E′(V′, <, >′) ist eine Affinität F : E → E′, deren zugehörige lineare Abbildung L_{F} : V → V′ orthogonal bzgl. <, > und <, >′ ist, vgl. (6.8).

Bez.: Iso(E) = {F : E → E | F Isometrie} ist bzgl. ∘ eine Gruppe, die ”Isometriegruppe von E“. Ein F ∈ Iso(E) heißt orientierungserhaltende Isometrie (oder eigentliche Bewegung), falls L_{F} ∈ SO(V) gilt.

Bem.: Zwei endlich-dimensionale euklidische Räume sind genau dann isometrisch, wenn sie die gleiche Dimension haben, vgl. (6.9). Das Standardbeispiel eines euklidischen Raums ist der ℝ^{n} (nach (10.2) als affiner Raum aufgefaßt) mit dem Standardskalarprodukt ⟨v, w⟩ =

∑_{i=1}^{n} v_{i}w_{i}.

Zwei Punkten a, b eines euklidischen Raums E ordnet man den Abstand d(a, b) von a und b durch

d(a, b) := ∥\overrightarrow{ab}∥ = ⟨\overrightarrow{ab}, \overrightarrow{ab}⟩^{\frac{1}{2}}

zu. Aus Satz (6.3) folgen leicht die folgenden Eigenschaften des Abstands d:

(i) d(a, b) ≥ 0 und d(a, b) = 0 ⇔ a = b.

(ii) d(a, b) = d(b, a).

(iii) d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c) ”Dreiecksgleichung“.

Isometrien F : E → E′ lassen Abstände unverändert: Für alle a, b ∈ E gilt:

d′(F (a), F (b)) = ∥\overrightarrow{F (a)F (b)}∥′ = ∥L_{F} (\overrightarrow{ab})∥′ = ∥\overrightarrow{ab}∥ = d(a, b).

Sind G und G′ orientierte Geraden in E, die einander schneiden, so definiert man den Schnittwinkel φ ∈ [0, π] von G und G′ wie folgt: Man wählt positiv orientierte Richtungsvektoren v von G und v′ von G′ und setzt φ = ∢(v, v′) = arccos \frac{⟨v,v′⟩}{∥v∥′}.

Ein affines Koordinatensystem (a_{1}, …, a_{n}) eines n-dimensionalen euklidischen Raums E heißt \underline{kartesisch}, falls \overrightarrow{a_{0}a_{1}}, …, \overrightarrow{a_{0}a_{n}} eine ONB von V ist. Die Abbildung, die jedem Punkt x ∈ E seinen Koordinatenvektor (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ bzgl. eines festen kartesischen Koordinatensystems zuordnet, ist eine Isometrie von E auf das Standardbeispiel ℝ^{n} eines euklidischen Raums. Speziell gilt dann

d(x, y) = ∑_{i=1}^{n}(y_{i} − x_{i})^{2}.

Man kann nun die Aussagen der euklidischen Geometrie, z.B. die der Schulgeometrie, mittels Vektorrechnung im euklidischen ℝ^{2} oder ℝ^{3} beweisen. Dazu ein Beispiel:

(10.29) Satz. Die Höhen eines Dreiecks in einer euklidischen Ebene schneiden sich in einem Punkt.

Bew.: Seien A, B, C die Eckpunkte des Dreiecks und S der Schnittpunkt der Höhen durch die Eckpunkte A und B. Wir wollen zeigen, daß die Gerade G_{C,S} die Höhe durch die Ecke C ist, d.h. daß G_{C,S} die Gerade G_{A,B} senkrecht schneidet, d.h. daß

⟨\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CS}⟩ = 0

gilt. Nun gilt, da G_{A,B} senkrecht auf G_{C,B} steht,

0 = ⟨\overrightarrow{AS}, \overrightarrow{CB}⟩ = ⟨\overrightarrow{AS}, \overrightarrow{CS} + \overrightarrow{SB}⟩ = ⟨\overrightarrow{AS}, \overrightarrow{CS}⟩ + ⟨\overrightarrow{AS}, \overrightarrow{SB}⟩

und analog

0 = ⟨\overrightarrow{BS}, \overrightarrow{CA}⟩ = ⟨\overrightarrow{BS}, \overrightarrow{CS} + \overrightarrow{SA}⟩ = ⟨\overrightarrow{BS}, \overrightarrow{CS}⟩ + ⟨\overrightarrow{BS}, \overrightarrow{SA}⟩.

Bildet man die Differenz dieser Gleichungen, so folgt

0 = ⟨\overrightarrow{AS}, \overrightarrow{CS}⟩ − ⟨\overrightarrow{BS}, \overrightarrow{CS}⟩ = ⟨\overrightarrow{AS} + \overrightarrow{SB}, \overrightarrow{CS}⟩ = ⟨\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CS}⟩

wie behauptet. Das folgende euklidische Analogon zum Fundamentalsatz der affinen Geometrie ist leichter zu beweisen.

(10.30) Satz. Seien E = E(V, ⟨, ⟩) und E′ = E′(V′, ⟨, ⟩′) euklidische Räume und F : E → E′ eine surjektive, abstandserhaltende Abbildung. Dann ist F eine Isometrie von E auf E′.

Bem.: Daß F abstandserhaltend ist, bedeutet, daß für alle a, b ∈ E gilt:

d′(F (a), F (b)) = d(a, b).

Bew.: Da F abstandserhaltend ist, ist F injektiv. Da F nach Voraussetzung surjektiv ist, ist F sogar bijektiv. Wir wählen a_{0} ∈ E, setzen a′_{0} := F (a_{0}) und definieren G : V → V′ durch

F (a_{0} + v) = a′_{0} + G(v).

Wir müssen zeigen, daß G ∈ Hom(V, V′)ist (⇒ F ist Affinität und G = L_{F}), und daß für alle v, w ∈ V gilt:

(∗) ⟨v, w⟩ = ⟨G(v), G(w)⟩′.

Zunächst gilt:

d(a_{0} + v, a_{0} + w) = ∥w − v∥ = d′(F (a_{0} + v), F (a_{0} + w))
= d′(a′_{0} + G(v), a′_{0} + G(w)) = ∥G(w) − G(v)∥′.

Wegen G(0) = 0 folgt daraus speziell

∥G(v)∥′ = ∥v∥ für alle v ∈ V.

Damit folgt aus

\begin{aligned}∥w − v∥^{2} & = & ∥w∥^{2} & −2⟨w, v⟩ & +∥v∥^{2} = \\ ∥G(w) − G(v)∥^{′2} & = & ∥G(w)∥^{′2} & −2⟨G(w), G(v)⟩′ & +∥G(v)∥^{′2} \end{aligned}

daß (∗) gilt. Es bleibt G ∈ Hom(V, V′) zu zeigen. Nun gilt für alle v, w ∈ V:

(1) \begin{matrix}∥G(v + w)∥^{′2} & = & ∥v + w)∥^{2} = ∥v∥^{2} + 2⟨v, w⟩ + ∥w∥^{2} \\ & = & ∥G(v)∥^{′2} + 2⟨G(v), G(w)⟩′ + ∥G(w)∥^{′2} = ∥G(v) + G(w)∥^{′2} \end{matrix}

und

(2) \begin{matrix}⟨G(v + w), G(v) + G(w)⟩′ = ⟨v + w, v⟩ + ⟨v + w, w⟩ & = & ∥v + w∥^{2} \\ & = & ∥G(v + w)∥^{′2}. \end{matrix}

Mit Hilfe von (1) und (2) folgt

∥G(v + w) − (G(v) + G(w))∥^{′2}

= ∥G(v, w)∥^{′2} − 2⟨G(v + w), G(v) + G(w)⟩′ + ∥G(v) + G(w)∥^{′2} = 0,

also G(v + w) = G(v) + G(w).

Schließlich gilt für alle α ∈ ℝ, v ∈ V:

∥G(αv)∥^{′2} = ∥αv∥^{2} = α^{2}∥G(v)∥^{′2}

und

⟨G(αv), αG(v)⟩′ = α⟨G(αv), G(v)⟩′ = α^{2}∥v∥^{2} = α^{2}∥G(v)∥^{′2}.

Die vorangehenden Gleichungen implizieren

∥G(αv) − αG(v)∥^{′2} = ∥G(αv)∥^{′2} − 2α⟨G(αv), G(v)⟩′ + α^{2}∥G(v)∥^{′2} = 0,

also G(αv) = αG(v).

Jede Isometrie F eines euklidischen Raums E = E(V, ⟨, ⟩) läßt sich bezüglich eines beliebigen Punktes a_{0} ∈ E in der Form

F (a_{0} + v) = F (a_{0}) + L_{F} (v)

mit L_{F} ∈ O(V) darstellen. Untersucht man F nach Fixpunkten, invarianten Geraden u.s.w., so kann man Darstellungen von F finden, die mehr über F aussagen. Wir begnügen uns mit dem einfachsten Fall.

(10.31) Satz. Sei E = E(V, ⟨, ⟩) eine euklidische Ebene und F ∈ Iso(E) orientierungserhaltend. Dann ist F entweder eine Translation (⇔ L_{F} = id_{V}) oder eine Drehung um einen Punkt a ∈ E (⇔ F (a + v) = a + D(v)) mit D ∈ SO(V) \ {id_{V} }).

Bew.: Ist F keine Translation, so gilt L_{F} =: D ∈ SO(V)\{id_{V} }. Wir suchen einen Fixpunkt a ∈ E von F, denn dann gilt F (a + v) = a + D(v) für alle v ∈ V. Sei a_{0} ∈ E beliebig. Wir suchen w ∈ V, so daß

(∗) F (a_{0} + w) = F (a_{0}) + D(w) = a_{0} + w

gilt. Das ist äquivalent zu

w − D(w) = \overrightarrow{a_{0}F (a_{0})} =: z.

Da det(id_{V} −D) = | \begin{matrix}1 − cos φ & sin φ \\ − sin φ & 1 − cos φ \end{matrix} | ≠ 0 gilt (vgl. den Beweis von (6.24)’), ist

id_{V} −D : V → V surjektiv. Also existiert w ∈ V mit w − D(w) = z, d.h. (∗) gilt für dieses w. Damit ist a := a_{0} + w ∈ E Fixpunkt von F.