Zur Einleitung: Lineare Gleichungssysteme

Wir untersuchen zunächst mit Methoden, die Sie vermutlich aus der Schule kennen, explizit einige kleine lineare Gleichungssysteme. Das Gleichungssystem I wird dabei sukzessive in “einfachere” Gleichungssysteme II, III, ... umgeformt. Die Umformungen sind so, daß sich die Lösungsmenge nicht ändert.

1) 1 Gleichung, 1 Unbekannte:

I  3x + 5 = 9  | − 5
II  3x = 4  | : 3
II  x = \frac{4}{3}

Lösungsmenge LI = \{x ∈ ℝ | 3x + 5 = 9\} = LII = \{x ∈ ℝ | 3x = 4\} = LIII = \{\frac{4}{3}\}

2) 1 Gleichung, 2 Unbekannte:

\begin{matrix}I & 2x + 4y = 8 & | : 4| − \frac{x}{2} \\ II & y = −\frac{x}{2} + 2 \end{matrix}

Betrachte geordnete Paare (x, y) mit x ∈ ℝ, y ∈ ℝ und setze ℝ^{2} = {(x, y) | x ∈ ℝ und y ∈ ℝ}

L_{I} = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | 2x + 4y = 8\} = L_{II} = \{(x, −\frac{x}{2} + 2) | x ∈ ℝ\}

Es gibt unendlich viele Lösungen!

3) 2 Gleichungen, 2 Unbekannte:

I  \begin{aligned}2x + 4y & = & 8 & | & · (−\frac{3}{2}) \\ 3x − 6y & = & 4 & _{←}| \end{aligned}

II  \begin{aligned}2x + 4y & = & 8 \\ 0x − 12y & = & −8 & | & : (−12) \end{aligned}

III  \begin{aligned}2x + 4y & = & 8  2x + \frac{8}{3} = 8 2x = \frac{16}{3}  x = \frac{8}{3} \\ y & = & \frac{2}{3} \end{aligned}

IV  \begin{aligned}x & = & \frac{8}{3} \\ y & = & \frac{2}{3} \end{aligned}

L_{I} = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | (x, y) löst (I)\} = \{(\frac{8}{3}, \frac{2}{3})\}, genau eine Lösung.

4) 2 Gleichungen, 2 Unbekannte:

I  \begin{aligned}2x + 4y & = & 8 & | & · (−\frac{3}{2}) \\ 3x + 6y & = & 4 & _{←}| \end{aligned}

II  \begin{aligned}2x + 4y & = & 8 \\ 0x + 0y & = & −8 \end{aligned}

keine Lösung, L_{I} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | (x, y) erfüllt (I)} = ∅

Geometrische Interpretation: Für eine Gleichung ax + by = c mit a ≠ 0 oder b ≠ 0 (das wird im folgenden Abschnitt stets vorausgesetzt) ist die Lösungsmenge eine Gerade in der Ebene ℝ^{2}. (Für b ≠ 0 etwa gegeben durch y = −\frac{a}{b}x+ \frac{c}{b}). Zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten entsprechen also zwei Geraden und der Lösungsmenge des Gleichungssystems entspricht die Menge der Punkte, die auf jeder der beiden Geraden liegen. Im allgemeinen gibt es also genau eine Lösung des Gleichungssystems (= genau einen Schnittpunkt der beiden Geraden). Folgende Ausnahmefälle sind möglich:

a Verschiedene parallele Geraden (⇒ keine Lösung des Gleichungssystems)

b die beiden Geraden stimmen überein (⇒ unendlich viele Lösungen des Gleichungssystems, Lösungsraum durch einen reellen Parameter parametrisierbar).

Bemerkung: Zum Lösen haben wir nur die Grundrechenarten benützt. Sind die Koeffizienten (a, b etc. ) rational (oder komplex), so liefert dieses Verfahren rationale (oder komplexe) Lösungen.

Gaußsches Eliminationsverfahren (überführt Gleichungssystem in äquivalentes in Stufenform → rekursiv auflösbar).

5) 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten (genannt x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}).

I  \begin{aligned}2x_{1} & + & 4x_{2} & + & 4x_{3} & + & 6x_{4} & = & 2 & | & · (−\frac{3}{2}) & | \\ 3x_{1} & + & 7x_{2} & + & 5x_{3} & + & 9x_{4} & = & 4 & _{←}| & & | & · (−\frac{1}{2}) \\ x_{1} & + & 3x_{2} & − & x_{3} & + & 5x_{4} & = & 1 & & & _{←}| \end{aligned}

II  \begin{aligned}2x_{1} + 4x_{2} + 4x_{3} + 6x_{4} & = & 2 \\ x_{2} − x_{3} & = & 1 & | & (−1) \\ x_{2} − 3x_{3} + 2x_{4} & = & 0 & _{←}| \end{aligned}

III

2x_{1} + 4x_{2} + 4x_{3} + 6x_{4} = 2 III_{1}
x_{2} − x_{3} = 1 III_{2} Gleichungssystem in Stufenform
− 2x_{3} + 2x_{4} = −1 III_{3}  (“rekursiv ausflösbar”)

Lösung: Wähle x_{4} = r ∈ ℝ beliebig

III_{3} ⇒ x_{3} = x_{4} + \frac{1}{2}  = r + \frac{1}{2}
III_{2} ⇒ x_{2} = x_{3} + 1  = r + \frac{3}{2}
III_{1} ⇒ x_{1} = −2x_{2} − 2x_{3} − 3x_{4} + 1 = −7r − 3

ℝ^{4} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) | x_{1} ∈ ℝ, x_{2} ∈ ℝ, x_{3} ∈ ℝ, x_{4} ∈ ℝ}
L_{I} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ∈ ℝ^{4} | (x_{1}, x_{3}, x_{3}, x_{4}) löst I}
= \{(−7r − 3, r + \frac{3}{2}, r + \frac{1}{2}, r) | r ∈ ℝ\} Parameterdarstellung des Lösungsraums

Kapitel 1: Zur Sprache der Mathematik

übliche Sprache + Fachausdrücke + mathematische Symbole

Abkürzende logische Symbole

(1.1) “A ⇒ B” bedeutet “aus Aussage A folgt Aussage B”.

Beispiel: x ∈ ℝ ⇒ x^{2} ≥ 0 Andere sprachliche Formen: “A impliziert B” oder “A ist hinreichend für B” “B ist notwendig für A”

(1.2) “A ⇔ B” bedeutet “A ⇒ B und B ⇒ A”.

Beispiel: x ∈ ℝ und 3x ∈ ℚ ⇔ x ∈ ℚ Andere sprachliche Formen: “A und B sind äquivalent” oder “A gilt genau dann (dann und nur dann), wenn B gilt”.

(1.3) “∃” steht für “Es existiert (mindestens) ein ...”

Beispiel: “∃x ∈ ℝ : x^{2} = 2 steht für “Es existiert ein x ∈ ℝ, so daß x^{2} = 2 gilt” (nämlich x = \sqrt{2} oder x = −\sqrt{2}.

(1.4) “∀” steht für “Für alle ...”

Beispiel: “∀x ∈ ℝ : x^{2} ≥ 0” steht für “Für alle reellen Zahlen x gilt: x^{2} ≥ 0”

Schließlich: “oder” ist nicht ausschließend (im Gegensatz zu “entweder ... oder”). Die Aussage “Es gilt 1 + 1 = 2 oder es gilt 1 − 1 = 0” ist wahr. Die Aussage “Entweder es gilt 1 + 1 = 2 oder es gilt 1 − 1 = 0” ist falsch.

(1.5) “A := B” steht für “A ist durch B definiert” oder “A ist nach Definition gleich B”.

\underline{Mengen und Abbildungen} (Georg Cantor 1845-1918)

Menge = Zusammenfassung von (mathematischen) Objekten (=Elementen) “x ∈ M” steht für “x ist Element der Menge M”, “x ∉ M” steht für “x ist nicht Element der Menge M”.

Angabe von Mengen:

(1.6) Aufzählend, z.B. M = {1, 3, 5, 7}(= {1, 1, 3, 5, 7}) (1.7) Durch Angabe von Eigenschaften: Sei M eine Menge und A(x) eine Aussage über

die Elemente von M. Dann kann man eine Menge N definieren durch

N = {x | x ∈ M und A(x) ist wahr} = {x ∈ M | A(x) ist wahr}

z.B. ℚ = \{x ∈ ℝ | ∃p ∈ ℤ, ∃q ∈ ℕ, q ≠ 0 : x = \frac{p}{q}\} Menge der rationalen Zahlen oder M = {x ∈ ℕ | x ist ungerade natürliche Zahl kleiner als 9}.

Beispiele von Mengen: ℕ = {x ∈ ℝ | x natürliche Zahl} = {0, 1, 2, 3, …} ℤ = {x ∈ ℝ | x ganze Zahl} = {0, 1, −1, 2, −2, …} Vielleicht kennen Sie schon ℂ = {x + iy | x ∈ ℝ, y ∈ ℝ} ∅ die leere Menge (enthält kein Element)

(1.8) Def.: Eine Menge A heißt \underline{Teilmenge einer Menge} B(“A ⊆ B”), falls jedes Element von A auch Element von B ist, d.h. falls gilt

x ∈ A ⇒ x ∈ B.

Beispiel: ∅ ⊆ ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ ⊆ ℂ

(1.9) Zwei Mengen A und B sind gleich (“A = B”), wenn A und B die selben Elemente

enthalten, d.h. falls gilt

x ∈ A ⇔ x ∈ B

Oder: A = B ⇔ A ⊆ B und B ⊆ A.

Beispiel: {x | x ∈ ℕ, x ungerade natürliche Zahl kleiner 9} = {1, 3, 5, 7}

Konstruktionen mit Mengen A und B:

(1.10) \underline{Schnittmenge} (Durchschnitt) A ∩ B \underline{von} A \underline{und} B:

x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A und x ∈ B

\underline{Vereinigung} A ∪ B \underline{von} A \underline{und} B:

x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A oder x ∈ B

\underline{Komplement} A \ B \underline{von} B \underline{in} A (Differenzmenge von A und B)

x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A und x ∉ B

(1.11) Rechenregeln (für Vereinigung, Durchschnitt, Komplement)

Sind A, B, C Mengen, so gilt:

(a) A ∪ B  = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A “Kommutativgesetze”
(b) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)  “Assoziativgesetze”
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(c) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)  “Distributivgesetze”
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(d) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)  “De Morgansche Regeln”
A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)

Beweis von (c): Sei x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇒ x ∈ A und (x ∈ B oder x ∈ C) ⇒ (x ∈ A und x ∈ B) oder (x ∈ A und x ∈ C) ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Sei x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⇒ (x ∈ A und x ∈ B) oder (x ∈ A und x ∈ C) ⇒ x ∈ A und (x ∈ B oder x ∈ C) ⇒ x ∈ A ∩ (B ∪ C) (1.12) Kartesische Produkt (benannt nach R. Descartes 1596-1650). Sind A, B Mengen, so ist das \underline{kartesische Produkt} A × B \underline{von} A \underline{und} B die Menge aller geordneten Paare (a, b) mit a ∈ A und b ∈ B.

A × B := {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

Bem.: (a, b) = (a′, b′) ⇔ a = a′ und b = b′! Bem.: ℝ × ℝ =: ℝ^{2} Allgemeiner: Sind A_{1}, …, A_{n} Mengen, so

A_{1} × … × A_{n} = {(a_{1}, …, a_{n}) | a_{1} ∈ A_{1}, a_{2} ∈ A_{2}, …, a_{n} ∈ A_{n}}

Dabei gilt – per definitionem – (a_{1}, …, a_{n}) = (a′_{1}, …, a′_{n}) genau dann, wenn a_{1} = a′_{1}, …, a_{n} = a′_{n} gelten. Bem.: \underbrace{ℝ × … × ℝ}_{n-mal} =: ℝ^{n}. Ein Element (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n} heißt \underline{n-Tupel} von reellen Zahlen.

Exkurs: Nochmals lineare Gleichungssysteme Das allgemeine lineare Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten:

I \begin{aligned}I_{1} & a_{11}x_{1} & + & a_{12}x_{2} & + … + & a_{1n}x_{n} & = & b_{1} \\ I_{2} & a_{21}x_{1} & + & a_{22}x_{2} & + … + & a_{2n}x_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & & ⋮ & & ⋮ \\ I_{m} & a_{m1}x_{1} & + & a_{m2}x_{2} & + … + & a_{mn}x_{n} & = & b_{m} \end{aligned}

Gegeben sind die a_{11}, …, a_{mn}, b_{1}, …, b_{m}, gesucht die x_{1}, …, x_{n}. Lösungsmenge L_{I} = {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} | (x_{1}, …, x_{n}) löst I}

(1.13) Satz. Sei a_{11} ≠ 0 und sei I′ das Gleichungssystem mit den Zeilen

I′_{1} = 1, I′_{2} = I_{2} − \frac{a_{21}}{a_{11}} I_{1}, …, I′_{m} = I_{m} − \frac{a_{m1}}{a_{11}} I_{1}.

Dann gilt: L_{I} = L_{I′} Beweis: Sei \overline{x} = (\overline{x}_{1}, …, \overline{x}_{n}) ∈ L_{I}. Dann erfüllt \overline{x} die Gleichung I′_{1} (= I_{1}). Ist 2 ≤ i ≤ m, so erfüllt \overline{x} auch die Gleichung I_{i}, also auch I′_{i} = I_{i} − \frac{a_{i1}}{a_{11}} I_{1}. Also x ∈ L_{I′}. Sei \overline{x} = (\overline{x}_{1}, …, \overline{x}_{n}) ∈ L_{I′}. Dann erfüllt \overline{x} die Gleichung I_{1} (= I′_{1}). Ist 2 ≤ i ≤ m, so erfüllt \overline{x} auch die Gleichung I′_{i}, also auch

I_{i} = I′_{i} + \frac{a_{i1}}{a_{11}} I_{1}.

Also x ∈ L_{I}.

(1.14) Definition. Das lineare Gleichungssystem I heißt homogen, falls b_{i} = 0 gilt für alle i ∈ {1, …, m}.

Bemerkung: Ist I homogen, so ist (0, …, 0) ∈ ℝ^{n} Lösung von I.

Auf ℝ^{n} definieren wir eine Addition durch

(x_{1}, …, x_{n}) + (y_{1}, …, y_{n}) := (x_{1} + y_{1}, …, x_{n} + y_{n}) (komponentenweise Addition)

und eine Multiplikation mit reellen Zahlen r ∈ ℝ durch

r(x_{1}, …, x_{n}) := (rx_{1}, …, rx_{n})

(1.15) Satz. Ist I ein homogenes lineares Gleichungssystem, so hat seine Lösungsmenge L_{I} folgende Eigenschaften:

Ist x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ L_{I} und y = (y_{1}, …, y_{n}) ∈ L_{I}, so gilt x + y ∈ L_{I}.
Ist x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ L_{I} und r ∈ ℝ,  so gilt rx ∈ L_{I}.

Beweis: x ∈ L_{I} und y ∈ L_{I} ⇒ Für alle i ∈ {1, …, m} gelten: a_{i1}x_{1} + … + a_{in}x_{n} = 0 und a_{i1}y_{1} + … + a_{in}y_{n} = 0. Summiert man diese Gleichungen, so folgt

a_{i1}(x_{1} + y_{1}) + … + a_{in}(x_{n} + y_{n}) = 0 + 0 = 0

Also erfüllt x+y = (x_{1}+y_{1}, …, x_{n}+y_{n}) für alle i ∈ {1, …, m} die Gleichung I_{i}, d.h. x+y ∈ L_{I}.

Die 2. Behauptung folgt analog durch Multiplikation von I_{i} mit r.

Bemerkung: Besitzt ein homogenes lineares Gleichungssystem I eine Lösung x ≠ (0, …, 0), so besitzt I nach (1.15) unendlich viele Lösungen (∀r ∈ ℝ : rx ∈ L_{I}).

Zu einem linearen Gleichungssystem I bezeichne I^{hom} das zugehörige homogene lineare Gleichungssystem, das sich nur dadurch von I unterscheidet, daß alle rechten Seiten von I durch 0 ersetzt werden.

(1.16) Satz. Es existiere eine Lösung \overline{x} = (\overline{x}_{1}, …, \overline{x}_{n}) des linearen Gleichungssystems I. Dann gilt

L_{I} = \{\overline{x} + x | x ∈ L_{Ihom}\}.

Ohne die Mengensprechweise drückte man die Aussage von (1.16) früher durch folgenden langen Satz aus: Die allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems ist eine spezielle Lösung dieses Gleichungssystems plus die allgemeine Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems.

Beweis: a) Sei y ∈ L_{I}. Wie zeigen: y − \overline{x} ∈ L_{Ihom} (wobei y − \overline{x} := y + (−1)\overline{x}).

\begin{aligned}\{y, \overline{x}\} ⊆ L_{I} ⇒ ∀i ∈ \{1, …, m\} & : & a_{i1}y_{1} + … + a_{in}y_{n} = b_{i} und \\ & & a_{i1}\overline{x}_{1} + … + a_{in}\overline{x}_{n} = b_{i} \end{aligned}

Subtraktion dieser Gleichungen liefert:

a_{i1}(y_{1} − \overline{x}_{1}) + … + a_{in}(y_{n} − \overline{x}_{n}) = b_{i} − b_{i} = 0

Also: y − \overline{x} ∈ L_{Ihom}. Wir nennen y − \overline{x} =: x ∈ L_{Ihom} und erhalten y = \overline{x} + x mit x ∈ L_{Ihom}.

b) Sei x ∈ L_{Ihom}. Dann gilt für alle i ∈ {1, …, m}:

a_{i1}x_{1} + … + a_{in}x_{n} = 0

Wegen y ∈ L_{I} gilt für alle i ∈ {1, …, m}:

a_{i1}y_{1} + … + a_{in}y_{n} = b_{i}

Addition dieser Gleichungen liefert:

a_{i1}(x_{1} + y_{1}) + … + a_{im}(x_{m} + y_{m}) = b_{i} (für alle i ∈ {1, …, m})

also y + x ∈ L_{I}.

Zurück zur Mengenlehre:

Abbildungen zwischen Mengen

(1.17) Def.: Es seien M, N Mengen. Eine \underline{Abbildung} f : M → N \underline{von} M \underline{nach} N ist eine Vorschrift, die jedem x ∈ M genau ein Element f(x) ∈ N zuordnet.

Beispiele:

a) M = N = ℝ, f : ℝ → ℝ, ∀x ∈ ℝ : f(x) := 3x^{3} − x + 1

b) M = ℝ, N = ℝ_{>0} = {x ∈ ℝ | x > 0}, ∀x ∈ ℝ : f(x) := e^{x}.

c) f : ℤ → \{0, 1\}, f(x) := \{ \begin{matrix}0 & x gerade \\ 1 & x ungerade \end{matrix}

d) M Menge. id_{M} : M → M, ∀x ∈ M : id_{M}(x) := x. “Identität von M”.

e) A ⊆ B. i : A → B, ∀x ∈ A : i(x) := x “Inklusionsabbildung”

f) Seien A_{1}, …, A_{n} Mengen und i ∈ {1, …, n}. p_{i} : A_{1} × … × A_{n} → A_{i}, p_{i}(a_{1}, …, a_{n}) := a_{i} “Projektion auf die i’te Komponente”.

g) + : ℝ^{2} → ℝ, ∀(x, y) ∈ ℝ^{2} : +(x, y) := x + y

(1.18) Def.: Eine Abbildung f : M → N heißt

(a) injektiv, falls für alle x ∈ M, y ∈ M gilt: x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y).

(b) surjektiv, falls für alle y ∈ N ein x ∈ M existiert, so daß f(x) = y gilt.

(c) bijektiv, falls f injektiv und surjektiv is.

Von den obigen Beispielen ist a) surjektiv, aber nicht injektiv, während b) bijektiv ist.

(1.19) Def. (Komposition, Hintereinanderausführung) Seien A, B, C, D Mengen mit B ⊆ C und f : A → B, g : C → D Abbildungen. Dann ist g ∘ f : A → D definiert durch: Für alle

x ∈ A ist (g ∘ f)(x) := g(\underbrace{f(x)}_{∈B}).

Symbolisch: \overbrace{A →^{f} B ⊆ C →^{g} D}^{g∘f}

Bem.: A →^{f} B →^{g} C →^{h} D ⇒ h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f =: h ∘ g ∘ f

Schreibweise: Ist f : A → B Abbildung und C ⊆ A, so bezeichne

f(C) := {y ∈ B | ∃x ∈ C : f(x) = y}“Bild von C unter f”

Ist D ⊆ B, so bezeichne

f^{−1}(D) := {x ∈ A | f(x) ∈ D} “Urbild von D unter f”

Bem:

f : A → B surjektiv ⇔ f(A) = B.
f : A → B injektiv ⇔ Für alle y ∈ B enthält f^{−1}({y}) höchstens 1 Element.

(1.20) Rechenregeln: Sei f : M → N Abbildung, A ⊆ M, B ⊆ M. Dann gilt

(a) f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)

(b) f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B)

(c) f(M \ A) ⊇ f(M) \ f(A) (⇔ f(M) \ f(A) ⊆ f(M \ A)) Für alle C ⊆ N, D ⊆ N gilt:

(d) f^{−1}(C ∪ D) = f^{−1}(C) ∪ f^{−1}(D)

(e) f^{−1}(C ∩ D) = f^{−1}(C) ∩ f^{−1}(D)

(f) f^{−1}(N \ C) = M \ f^{−1}(C)

Beweis von (f):

x ∈ f^{−1}(N \ C) ⇒ x ∈ M und f(x) ∈ N \ C
⇒ x ∈ M und f(x) ∉ C ⇒ x ∈ M \ f^{−1}(C)
x ∈ M \ f^{−1}(C) ⇒ x ∈ M und x ∉ f^{−1}(C) ⇒ x ∈ M und f(x) ∉ C
⇒ f(x) ∈ N \ f^{−1}(C)

Beispiel zu (b):

f : ℝ → ℝ, f(x) = x^{2}
A = {x ∈ ℝ | x < 0}, B = {x ∈ ℝ | x > 0}
⇒ A ∩ B = ∅, aber f(A) = f(B) = {x ∈ ℝ | x > 0}(=: ℝ_{>0})
d.h. f(A) ∩ f(B) = ℝ_{>0} ≠ ∅.

(1.21) Def.: Ist f : M → N Abbildung und A ⊆ M, so ist die \underline{Einschränkung} (Restriktion) f|A(= f|_{A}) : A → N \underline{von} f \underline{auf} A definiert durch: Für alle x ∈ A ist (f|A)(x) = f(x). Bemerkung: Bezeichnet i : A → M die Inklusion, so gilt f|A = f ∘ i (1.22) Fakt: Ist f : M → N bijektive Abbildung, so existiert genau eine Abbildung f^{−1} : N → M, so daß f^{−1} ∘ f = id_{M} gilt. Für diese Abbildung f^{−1} gilt auch f ∘ f^{−1} = id_{N}. Vorsicht: Das Symbol f^{−1} wird in unterschiedlichen Bedeutungen verwendet! Bew.: f bijektiv ⇔ ∀y ∈ N ex. genau ein x ∈ M : f(x) = y. Eindeutigkeit von f^{−1}: Gilt f(x) = y, so muß f^{−1}(y) = f^{−1}(f(x)) = (f^{−1} ∘ f)(x) = id_{M}(x) = x gelten.

Definiere f^{−1} : N → M durch f^{−1}(y) = x ⇔ y = f(x) (1.23) Def.: Seien M, N Mengen. Eine \underline{Relation auf} (M, N) ist eine Teilmenge von M ×N. (Ist M = N, so spricht man von einer Relation auf M) Schreibweise: Sei R ⊆ M × N. Statt (x, y) ∈ R schreibt man auch xRy. Beispiele:

1) Δ_{M} = \{(x, x) | x ∈ M\} die \underline{Diagonale} in M × M.

2) Sei f : M → N Abbildung. Dann ist der \underline{Graph von} f,

graph (f) := {(x, f(x)) | x ∈ M}

eine Relation auf (M, N). Bem.: Δ_{M} = graph (id_{M})

3) Sei M = N = ℝ und R := {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x = y^{2}}. Diese Relation ist nicht Graph

einer Funktion f : ℝ → ℝ. (1.24) Def. Sei M Menge, R ⊆ M × M Relation auf M. Dann heißt

(a) R reflexiv ⇔ ∀x ∈ M : xRx (⇔ Δ_{M} ⊆ R)

(b) R symmetrisch ⇔ (∀x, y ∈ M : xRy ⇔ yRx)

(c) R transitiv ⇔ (∀x, y, z ∈ M : xRy und yRz ⇒ xRz)

(d) R Äquivalenzrelation ⇔ R ist reflexiv, symmetrisch und transitiv Bei Äquivalenzrelationen R schreibt man oft statt xRy: x ∼_{R} y oder kurz x ∼ y (wenn klar ist, welches R gemeint ist). Beispiele:

1) Auf M = ℝ kennen wir die Relation “kleiner gleich”, d.h.

R = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x ≤ y}

R ist reflexiv und transitiv, aber nicht symmetrisch. (Beweis?)

2) Sei M = ℤ, p ≥ 2 feste natürliche Zahl.

R := {(m, n) ∈ ℤ^{2} | n − m ist durch p teilbar}.

Wir zeigen: R ist eine Äquivalenzrelation

(a) ∀m ∈ ℤ: m ∼_{R} m, da m − m = 0 durch p teilbar: 0 = 0 · p

(b) Es gelte m ∼_{R} n ⇒ n − m durch p teilbar ⇒ m − n durch p teilbar ⇒ n ∼_{R} m

(c) Es gelte k ∼_{R} m und m ∼_{R} n ⇒ ∃j ∈ ℤ, l ∈ ℤ : m − k = jp, n − m = lp ⇒ n − k = (l + j)p und l + j ∈ ℤ ⇒ k ∼_{R} n.

Langes Beispiel: Eine \underline{Zerlegung} M \underline{einer Menge} M, ist eine Menge M, deren Elemente Teilmengen von M sind, so daß gilt:

(1) A ∈ M, B ∈ M ⇒ A = B oder A ∩ B = ∅.

(2) ⋃_{A∈M} A = M. (wobei ⋃_{A∈M} A := {x | ∃A ∈ M : x ∈ A})

Wir werden sehen, daß eine Äquivalenzrelation auf M im Grunde das gleiche ist, wie eine Zerlegung von M. Zunächst überlegen wir, wie wir aus einer Zerlegung eine Äquivalenzrelation erhalten: Zu einer Zerlegung M von M definieren wir die Relation

R = {(x, y) ∈ M × M | ∃A ∈ M : {x, y} ⊆ A}

Wir zeigen: R ist eine Äquivalenzrelation.

(a) Sei x ∈ M. Wir wollen zeigen, daß (x, x) ∈ R gilt. Wegen (2) existiert ein A ∈ M, so daß x ∈ A gilt. Also gilt {x, x}(= {x}) ⊆ A, d.h. (x, x) ∈ R.

(b) {x, y} ⊆ A ⇔ {y, x} ⊆ A

(c) Es gelte (x, y) ∈ R und (y, z) ∈ R ⇒ ∃A ∈ M, B ∈ M mit {x, y} ⊆ A, {y, z} ⊆ B

⇒ y ∈ A ∩ B, d.h. A ∩ B ≠ ∅ ⇒^{(1)} A = B ⇒ {x, z} ∈ A ⇒ (x, z) ∈ R.

Bezeichnung: Sei R ⊆ M × M eine Äquivalenzrelation und x ∈ M. Dann heißt

[x]_{R} := {y ∈ M | (x, y) ∈ R} die Äquivalenzklasse von x und
M/R := {[x]_{R} | x ∈ M} die Menge der Äquivalenzklassen, die auch “M modulo R”

genannt wird.

(1.25) Fakt: Sei R ⊆ M × M eine Äquivalenzrelation. Dann ist M/R eine Zerlegung von M.

Beweis: Offensichtlich ist jedes Element von M/R eine Teilmenge von M (nämlich eine Äquivalenzklasse). Wir zeigen, daß die Menge M/R die Eigenschaften (1) und (2) hat.

Zu (2): Offensichtlich gilt ⋃_{[x]_{R}∈M/R}[x]_{R} ⊆ M. Sei umgekehrt x ∈ M. Die Reflexivität (a)

von R besagt, daß (x, x) ∈ R gilt, also x ∈ [x]_{R}. Damit M ⊆ ⋃_{[x]_{R}∈M/R}[x]_{R}.

Zu (1): Wir zeigen, daß folgende Aussagen (α), (β), (γ) über Elemente x ∈ M, y ∈ M äquivalent sind:

(α) [x]_{R} ∩ [y]_{R} ≠ ∅ (β) x ∼ y (γ) [x]_{R} = [y]_{R}

1. Schritt: (α) ⇒ (β): Sei z ∈ [x]_{R} ∩ [y]_{R}, d.h. es gelten x ∼ z und y ∼ z. Die Symmetrie und Transitivität von ∼ implizieren dann x ∼ y.

2. Schritt: (β) ⇒ (γ): Wegen der Symmetrie der Voraussetzung x ∼ y genügt es, [y]_{R} ⊆ [x]_{R} zu zeigen. Sei w ∈ [y]_{R}, d.h. y ∼ w. Unsere Voraussetzung x ∼ y ergibt zusammen mit y ∼ w und der Transitivität, daß x ∼ w gilt, d.h. w ∈ [x]_{R}.

3. Schritt: (γ) ⇒ (α): Wegen x ∈ [x]_{R} folgt aus [x]_{R} = [y]_{R}, daß [x]_{R} ∩ [y]_{R} = [x]_{R} ≠ ∅ gilt.

Sind nun A und B Elemente von M/R, etwa A = [x]_{R} und B = [y]_{R} für Elemente x, y von M, so gilt wegen (α) ⇔ (β) entweder A ∩ B = ∅ oder A = B. Das beweist (1).

Beispiel: Es sei nun wieder p ∈ ℕ, p ≥ 2 und wir betrachten die Äquivalenzrelation auf ℤ, die durch

m ∼ n ⇔ n − m ist durch p teilbar

definiert ist, vgl. Bsp. 2 nach (1.24). Dann sind die Äquivalenzklassen von ∼ genau die Teilmengen von ℤ, die aus den ganzen Zahlen bestehen, die bei Division (mit Rest) durch p, den gleichen Rest ergeben. Sie heißen deshalb auch die “Restklassen mod p”. Es gibt genau p verschiedene solche Restklassen mod p, nämlich

[0]_{p}  = {np | n ∈ ℤ}  Rest 0 bei Division durch p
[1]_{p}  = {np + 1 | n ∈ ℤ}  Rest 1 bei Division durch p
⋮
[p − 1]_{p} = {np + (p − 1) | n ∈ ℤ} Rest p − 1 bei Division durch p
= {np − 1 | n ∈ ℤ}

Für diese Äquivalenzrelation ist folgende Bezeichnung gebräuchlich:

m ∼ n ⇔ m ≡ n (mod p)

Kapitel 2: Gruppen und Körper

(2.1) Def. Eine Gruppe ist eine Menge, genannt G, und eine Abbildung (“innere Verknüpfung”) von G × G nach G, hier bezeichnet als

⊤ : G × G → G, (a, b) =: ab,

so daß folgende Eigenschaften erfüllt sind:

(G_{1}) Für alle a, b, c ∈ G gilt: (a ⊤ b) ⊤ c = a ⊤ (b ⊤ c) (Assoziativgesetz) Es existiert ein Element e ∈ G, so daß gilt: (G_{2}) Für alle a ∈ G gilt e ⊤ a = a (Existenz eines “Linksneutralen”) (G_{3}) Für alle a ∈ G existiert ein b ∈ G, so daß gilt: b ⊤ a = e. (Ex. eines “Linksinversen”)

Eine Gruppe (G, ⊤) heißt abelsch (oder kommutativ), falls für alle a, b ∈ G gilt: a ⊤b = b ⊤a

Die Anzahl der Elemente von G heißt die Ordnung |G| ∈ ℕ ∪ {∞} einer Gruppe (G, ⊤). (G, ⊤) heißt endliche Gruppe, falls |G| < ∞ und sonst unendliche Gruppe.

Bem.: Die abelschen Gruppen sind nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (1802-1829) benannt.

Beispiele:

1) Einfachste Gruppe: G = {e} (mit e ⊤ e := e)

2) Zweiteinfachste Gruppe: G = {e, a} mit a ≠ e, wobei a⊤a := e (und e⊤a = a⊤e = e)

3) G := ℤ, ⊤ := + ⇝ (ℤ, +) “unendlich zyklische Gruppe”

Ebenso: (ℚ, +), (ℝ, +). Hier stets e := 0.

(ℕ, +) ist keine Gruppe: Es müßte e = 0 gelten, aber es existiert zu keinem n ∈ ℕ mit n > 0 ein additives Inverses. (d.h. (G_{3}) ist nicht erfüllt).

4) (ℚ_{>0}, ·), (ℝ_{>0}, ·), (ℚ \ {0}, ·), (ℝ \ {0}, ·) sind Gruppen.

Hier stets e := 1.

(ℤ \ {0}, ·) ist keine Gruppe.

Alle Gruppen unter 1) - 4) sind abelsch, die unter 3) und 4) sind unendlich.

5) M Menge: Sei S_{M} = {f : M → M | f bijektiv}. S_{M} mit der Hintereinanderausführung ∘ als innere Verknüpfung ist Gruppe. S_{n} := S_{{1,...,n}}

Zur Motivation: Der Begriff “Gruppe” ist eng verknüpft mit dem Bemühen, die Symmetrien von Figuren (in der Ebene oder im Raum) zu verstehen. Was soll es z.B. bedeuten, daß zwei verschiedene Figuren “die gleiche Symmetrie” besitzen?

Für eine gegebene Figur F betrachtet man die Menge G_{F} der Kongruenzabbildungen (“Isometrien”) der Ebene bzw. des Raumes, die F in sich überführen. G_{F} mit der inneren Verknüpfung “Hintereinanderausführung” ist eine Gruppe (die “Isometriegruppe” von F)

1) F = gleichseitiges Dreieck ⇒ |G_{F} | = 6 nämlich: G_{F} besteht aus den Drehungen um 120^{∘} um den Mittelpunkt und den Spiegelungen an den 3 Höhen.

2) F = regelmäßiges n-Eck ⇒ |G_{F} | = 2n

3) F = Kreis ⇒ |G_{F} | = ∞

4) Es gibt (außer den aus 1) und 2) abgeleiteten) im Wesentlichen nur 3 endliche Gruppen von Kongruenzabbildungen des Raumes, nämlich die Isometriegruppen von a) Regulärem Tetraeder mit |G| = 24

b) Würfel (=Isometriegruppe des regulären Oktaeders) mit |G| = 48

c) Regulärem Dodekaeder (=Isometriegruppe des reg. Ikosaeders) mit |G| = 120 Alle diese Gruppen sind nicht abelsch.

Vorsicht: Es gibt “verschiedene” Gruppen mit der gleichen Ordnung. Nach jahrzehntelanger Anstrengung vieler Mathematiker hat man einen genauen Überblick über \underline{alle} endlichen Gruppen (Beweise in Gesamtlänge von über 3000 Seiten)

Beispiel: Die (endliche) zyklische Gruppe (ℤ_{p}, +) (wobei p ∈ ℕ, p ≥ 2). Die Menge ℤ_{p} besteht aus den Restklassen (mod p), d.h.

ℤ_{p} = {[0]_{p}, [1]_{p}, …, [p − 1]_{p}} = {[m]_{p} | m ∈ ℤ}

Seien a, b ∈ ℤ_{p}. Wir wollen a ⊤ b, hier geschrieben a + b, definieren. Dazu wählen wir ein m ∈ a ⊆ ℤ, n ∈ b ⊆ ℤ, und überlegen, daß die Restklasse [m+n]_{p} nicht von diesen Wahlen abhängt: Jedes andere m̃ ∈ a kann nämlich als m̃ = m + lp für ein l ∈ ℤ geschrieben werden und ebenso jedes andere ñ ∈ b als ñ = n + jp für ein j ∈ ℤ. Also:

m̃ + ñ = m + n + (j + l)p, d.h. [m̃ + ñ]_{p} = [m + n]_{p}

Wir können also definieren

a + b = [m + n]_{p}

und das ist unabhängig von der Wahl von m ∈ a und n ∈ b.

Es gilt dann mit m ∈ a, n ∈ b und l ∈ c ∈ ℤ_{p}:

(a + b) + c = [(m + n) + l]_{p} = [m + (n + l)]_{p} = a + (b + c) Assoziativgesetz
a + b  = [(m + n)]_{p} = [n + m]_{p} = b + a  (⇒ (ℤ_{p}, +) ist abelsch)
[0]_{p} + a  = [(0 + m)]_{p} = [m]_{p} = a  ([0]_{p} ist neutrales Element)
[−m]_{p} + a = [−m + m]_{p} = [0]_{p}  ([−m]_{p} ist bzgl. + invers zu [m]_{p})

(ℤ_{p}, +) heißt zyklisch, weil es ein Element a ∈ ℤ_{p} gibt, so daß

ℤ_{p} = \{[0]_{p}, a, a + a, …, \underbrace{a + … + a}_{(p−1)−mal}\}

während \underbrace{a + … + a}_{p−mal} = [0]_{p} gilt, nämlich a = [1]_{p}.

Die Gruppe (ℤ_{p}, +) verhält sich genau gleich wie die (“ist isomorph zur”) Gruppe der Drehungen der Ebene (um einen festen Punkt) um die Winkel \frac{m}{p} ·360^{∘}, m ∈ \{0, …, p−1\}.

(2.2) Fakt: Sei (G, ⊤) eine Gruppe. Dann gilt:

(i) Es gibt nur ein Element in G, für das (G_{2}) gilt (nämlich e). Für alle a ∈ G gilt: a ⊤ e = a.

(ii) Zu jedem a ∈ G existiert nur ein b ∈ G, für das b ⊤ a = e gilt. Für dieses b gilt auch: a ⊤ b = e.

Bezeichnung: Das Element b ∈ G mit b ⊤ a = a ⊤ b = e wird mit a^{−1} (bzw. mit −a, falls ⊤ = +) bezeichnet.

Beweis: Zeige zunächst:

(∗) a, b ∈ G und b ⊤ a = e ⇒ a ⊤ b = e (⇒ 2. Behauptung in (ii))

Denn: Nach (G_{3}) existiert zu b ∈ G ein c ∈ G mit c ⊤ b = e. Es gilt:

a ⊤ b =^{(G_{2})} e ⊤ (a ⊤ b) = (c ⊤ b) ⊤ (a ⊤ b) =^{!} c ⊤ (\underbrace{(b ⊤ a)}_{=e} ⊤b) =^{(G_{2})} c ⊤ b = e

zu “!”: (c ⊤ b) ⊤ \underbrace{(a ⊤ b)}_{=:d} =^{(G_{1})} c ⊤ (b ⊤ \underbrace{(a ⊤ b)}_{=d}) =^{(G_{1})} c ⊤ ((b ⊤ a) ⊤ b) Beweis von (i): Sei ẽ ∈ G ein

Element, so daß (G_{2}) gilt. Zu zeigen: e = ẽ. Es gilt:

e =^{(G_{1})für ẽ} ẽ ⊤ e =^{(∗)} e ⊤ ẽ =^{(G_{2})für e} ẽ

Sei a ∈ G. Wir zeigen a ⊤ e = a. Nach (G_{3}) existiert ein b ∈ G mit b ⊤ a = e und nach (∗) folgt a ⊤ b = e. Also

a ⊤ e = a ⊤ (b ⊤ a) =^{(G_{1})} (a ⊤ b) ⊤ a = e ⊤ a =^{(G_{2})} a

Beweis von (ii): Seien a, b, b̃ ∈ G und es gelte: b ⊤ a = e = b̃ ⊤ a. Zu zeigen: b = b̃

Es gilt: b̃ =^{(i)} b̃ ⊤ e =^{(∗)} b̃ ⊤ (a ⊤ b) =^{(G_{1})} (b̃ ⊤ a) ⊤ b = e ⊤ b =^{(G_{2})} b

(2.3) Fakt. Sei (G, ⊤) Gruppe, a, b ∈ G. Dann gilt:

(i) (a^{−1})^{−1} = a

(ii) (a ⊤ b)^{−1} = b^{−1} ⊤ a^{−1}

Beweis:

(i) Zu zeigen ist: a ist das Inverse von a^{−1}, d.h. a ⊤ a^{−1} = e Nach Definition gilt a^{−1} ⊤ a = e, und nach (2.2) (ii) folgt daraus a ⊤ a^{−1} = e.

(ii) Zu zeigen ist: (b^{−1} ⊤ a^{−1}) ⊤ (a ⊤ b) = e. Wir rechnen:

(b^{−1} ⊤ a^{−1}) ⊤ (a ⊤ b) =^{(G_{1})} b^{−1} ⊤ (a^{−1} ⊤ a) ⊤ b = b^{−1} ⊤ e ⊤ b =^{(G_{2})} b^{−1} ⊤ b = e

(2.4) Def.: Ein Körper ist eine Menge, genannt K, und zwei innere Verknüpfungen + : K × K → K, (a, b) ↦ a + b, und · : K × K → K, (a, b) ↦ a · b =: ab, so daß gilt

(i) (K, +) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element e =: 0 (ii) (K \ {0}, ·) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element e =: 1 (speziell 1 ≠ 0!) (iii) ∀a, b, c ∈ K : (a + b)c = (ac) + (bc) (Distributivgesetz)

Schreibweisen: a + (−b) =: a − b, (ab) + c =: ab + c “Punkt vor Strich”

(2.3)(i) ⇒ −(−a) = a (2.3)(ii) ⇒ −(a + b) = (−b) + (−a) = −a − b

Beispiel: (ℝ, +, ·), (ℚ, +, ·), (ℂ, +, ·) sind Körper. (ℤ, +, ·) ist kein Körper (z.B. besitzt 2 in ℤ kein multiplikatives Inverses).

Bem.: Verzichtet man in (2.4)(ii) auf die Bedingung der Existenz von multipl. Inversen, so nennt man (K, +, ·) einen kommutativen Ring mit 1. Verzichtet man zusätzlich auf die Kommutativität von (K \ {0}, ·) und ergänzt (iii) durch a(b + c) = ab + ac, so nennt man (K, +, ·) einen Ring mit 1. (Es wird die Existenz von 1 ∈ K \ {0} mit 1 · a = a · 1 = a für alle a ∈ K \ {0} gefordert)

Beispiel: (ℤ, +, ·) ist kommutativer Ring mit 1.

(2.5)Rechenregeln: Sei (K, +, ·) Körper (es genügt: Ring), a, b, c ∈ K. Dann gilt:

(i) 0 · a = 0

(ii) a · (−b) = (−a) · b = −(ab)(=: −ab)

(iii) a(bc) = (ab)c

Beweis:

(i) Es gilt: 0 · a + a = 0 · a + 1 · a =^{(2.4)(iii)} (0 + 1)a = 1 · a = a | −a ⇒ 0 · a = 0

(ii) (−a)b + ab =^{(2.4)(iii)} ((−a) + a)b = 0 · b =^{(i)} 0

(iii) Nach (2.4)(ii), falls {a, b, c} ⊆ K \ {0}. Sonst: (i) ⇒ a(bc) = 0 = (ab)c

Schreibweise: Ist a ∈ K \ \{0\}, b ∈ K, so schreibt man auch a^{−1} =: \frac{1}{a} und a^{−1}b = ba^{−1} =: \frac{b}{a}.

Der Körper der komplexen Zahlen (Cardano 1501-1576, C.F. Gauß 1777-1855)

\begin{aligned}K = ℝ^{2}, & + & : ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ^{2}, (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) \\ & · & : ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ^{2}, (a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc) \end{aligned}

Eigenschaften:

1) (ℝ^{2}, +) ist abelsche Gruppe mit neutralem Element e = (0, 0).

2) (1, 0) · (a, b) = (a, b), d.h. (1, 0) ist neutrales Element bezüglich ·.

3) · ist kommutativ: (a, b) · (a′, b′) = (aa′ − bb′, ab′ + a′b) = (a′, b′) · (a, b)

4) Ist (a, b) ∈ ℝ^{2} \ \{(0, 0)\}, so gilt: (\frac{a}{a^{2}+b^{2}} , \frac{−b}{a^{2},b^{2}} ) · (a, b) = (1, 0),

d.h. (\frac{a}{a^{2}+b^{2}} , \frac{−b}{a^{2}+b^{2}} ) = \frac{1}{a^{2}+b^{2}} (a, −b) ist multiplikatives Inverses zu (a, b).

5) Für alle (a, b), (a′, b′), (a′′, b′′) in ℝ^{2} gilt

((a, b) · (a′, b′)) · (a′′, b′′) = (a, b) · ((a′, b′) · (a′′, b′′))

d.h. · ist assoziativ (Übung) 2)–5) ⇒ (ℝ^{2} \ {(0, 0)}, ·) ist abelsche Gruppe mit neutralem Element (1, 0)

6) Distributivgesetz:

(a, b) · ((a′, b′) + (a′′, b′′))  = (a, b) · (a′ + a′′, b′ + b′′)
=^{Def. von ·} (a(a′ + a′′) − b(b′ + b′′), a(b′ + b′′) + b(a′ + a′′))
(a, b) · (a′, b′) + (a, b) · (a′′, b′′) = (aa′ − bb′, ab′ + ba′) + (aa′′ − bb′′, ab′′ + a′′b)
= (a(a′ + a′′) − b(b′ + b′′), a(b′ + b′′) + b(a′ + a′′))

Aus 1)–6) folgt, daß (ℝ^{2}, +, ·) ein Körper ist. Bem.: Es gilt

\begin{aligned}(0, 1) · (0, 1) & = & (−1, 0) = −( & 1, 0) \\ (0, 1) · (b, 0) & = & (0, b) & ∀b ∈ ℝ \\ (a, 0) · (b, 0) & = & (ab, 0) & ∀a, b ∈ ℝ \\ (a, 0) · (0, b) & = & (0, ab) & ∀a, b ∈ ℝ \end{aligned}

Für alle reellen Zahlen a identifiziert man (a, 0) mit a und schreibt abkürzend (0, 1) =: i, (0, b) = (0, 1) · (b, 0) =: ib =: bi, (a, b) = (a, 0) + (0, b) =: a + ib Speziell: (0, 0) = 0, (1, 0) = 1, (0, 1) = i mit: (2.6) i^{2} = −1 Mit diesen Bezeichnungen gilt für a, b, a′, b′ ∈ ℝ: (2.7) (a + ib) + (a′ + ib′) = a + a′ + i(b + b′) (2.8) (a + ib) · (a′ + ib′) = aa′ − bb′ + i(ab′ + ba′) ℂ := {a + ib | a ∈ ℝ, b ∈ ℝ}. Die Veranschaulichung von komplexen Zahlen in der Koordinatenebene ℝ^{2} stammt von C.F. Gauß (Gaußsche Zahlenebene). Ist z = a + ib ∈ ℂ mit a ∈ ℝ, b ∈ ℝ, so heißen

a der Realteil von z, a =: Re(z) b der Imaginärteil von z, b =: Im(z)

Es gilt z ≠ 0 ⇔ (a, b) ≠ (0, 0) (⇔ a^{2} + b^{2} > 0)

4) ⇒ Ist z = a + ib ≠ 0, so ist das multiplikative Inverse z^{−1} von z: (2.9) z^{−1} = (a + ib)^{−1} = \frac{1}{a^{2}+b^{2}} (a − ib) Die Abbildung z = a + ib ∈ ℂ → \overline{z} = a − ib ∈ ℂ heißt Konjugation. Es gilt: \overline{\overline{z}} = z, \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} und \overline{z · w} = \overline{z} · \overline{w} Ist z = a + ib ∈ ℂ, a, b ∈ ℝ, eine komplexe Zahl, so heißt |z| = +\sqrt{a^{2} + b^{2}} ∈ ℝ_{≥0} der Betrag von z. Offensichtlich gilt z\overline{z} = |z|^{2}.

Damit gilt für z ≠ 0: z^{−1} = \frac{\overline{z}}{|z|^{2}} . Denn: z^{−1}z = \frac{z\overline{z}}{|z|^{2}} = 1.

Existenz von endlichen Körpern

Für p ∈ ℕ, p ≥ 2, definieren wir eine Multiplikation auf

ℤ_{p} = {[0]_{p}, …, [p − 1]_{p}} = {[m]_{p} | m ∈ ℤ}

durch: a = [m]_{p}, b = [n]_{p} → ab = [mn]_{p} unabhängig von der Wahl von m ∈ a, n ∈ b, vgl. Blatt 3, Aufgabe 3.

Es ist leicht nachzuprüfen, daß (ℤ_{p}, +, ·) ein kommutativer Ring mit 1(= [1]_{p}) ist.

(2.10) Satz. Ist p ∈ ℕ Primzahl, so ist (ℤ_{p}, +, ·) ein Körper.

Beweis: Zu zeigen ist die Existenz eines multiplikativen Inversen für jedes a ∈ ℤ_{p} \ {0}. a ∈ ℤ_{p}\{0} ⇒ a = [m]_{p} für ein m ∈ {1, …, p−1}. Wir zeigen: Die Elemente [1]_{p}·[m]_{p}, [2]_{p}· [m]_{p}, …, [p − 1]_{p} · [m]_{p} in ℤ_{p} sind alle ungleich 0. Denn [j]_{p}[m]_{p} = [0]_{p} ist äquivalent dazu, daß p die Zahl jm teilt. Da p Primzahl ist, teilt p dann j oder m (betrachte die Primfaktorzerlegungen von j, m und jm!), d.h. [j]_{p} = 0 oder [m]_{p} = 0. Dann sind die Elemente [1]_{p} · [m]_{p}, …, [p − 1]_{p} · [m]_{p} alle verschieden, denn aus [i]_{p}[m]_{p} = [j]_{p}[m]_{p} folgt [j − i]_{p}[m]_{p} = 0. Also existiert ein i ∈ {1, …, p − 1}, so daß [i]_{p}[m]_{p} = [1]_{p} gilt, d.h. [i]_{p} ist multiplikatives Inverses von a = [m]_{p}.

Speziell: (ℤ_{2}, +, ·) Körper mit 2 Elementen, ℤ_{2} = {0, 1}.

Bem.: Lineare Gleichungssysteme mit Koeffizienten a_{ij} in einem Körper K und “Unbekannten” x_{i} in K können mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren (1.13) gelöst werden.

Kapitel 3: Vektorräume

(3.1) Def.: Ein Vektorraum über einem Körper K ist eine abelsche Gruppe (V, +) zusammen mit einer Abbildung K × V → V, (α, v) ∈ K × V ↦ αv, so daß für alle α, β ∈ K und alle v, w ∈ V gilt:

(i) α(βv) = (αβ)v (=: αβv)

(ii) (α + β)v = (αv) + (βv) (=: αv + βv)

(iii) α(v + w) = (αv) + (αw) (=: αv + αw)

(iv) 1v = v (, wobei 1 das Einselement von K bezeichnet!)

Sprechweisen und Bezeichnungen: “Punkt vor Strich” αv + βw := (αv) + (βw), außerdem: v − w := v + (−w) Vektorraum über einem Körper K = K-Vektorraum

Das neutrale Element von (V, +) wird (zunächst) mit \underline{0} bezeichnet, zur Unterscheidung vom neutralen Element 0 von (K, +).

Elemente von V werden “Vektoren” (des Vektorraums V) genannt, Elemente des Körpers werden auch “Skalare” genannt.

Beispiele:

1) K := ℝ und V := ℝ^{n} mit den vor (1.15) eingeführten Operationen

(x_{1}, …, x_{n}) + (y_{1}, …, y_{n}) := (x_{1} + y_{1}, …, x_{n} + y_{n})
r(x_{1}, …, x_{n}) := (rx_{1}, …, rx_{n}).

In diesem Fall \underline{0} = (0, …, 0)

2) Allgemeiner: Sei K beliebiger Körper, n ∈ ℕ, n ≥ 1. Dann können wir genau wie in Beispiel 1) die Menge

K^{n} = {(x_{1}, …, x_{n}) | x_{1} ∈ K, …, x_{n} ∈ K}

zu einem Vektorraum über dem Körper K machen.

3) Sei I ein \underline{homogenes} lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten x_{1}, …, x_{n} und Koeffizienten a_{11}, …, a_{mn} in K. Dann bildet die Lösungsmenge

L_{I} = {x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n} | x löst I}

mit den wie in 1) definierten Operationen einen K-Vektorraum, vgl. (1.15).

4) Sei K := ℝ, M ≠ ∅ eine Menge und V = {f | f : M → ℝ}.

Für r ∈ ℝ, f, g ∈ V definieren wir f + g ∈ V und rf ∈ V durch

(a) ∀x ∈ M : (f + g)(x) := f(x) + g(x)

(b) ∀x ∈ M : (rf)(x) := rf(x) Mit diesen Operationen ist V ein ℝ-Vektorraum (wobei \underline{0} ∈ V die Abbildung ist, die jedes x ∈ M auf 0 ∈ ℝ abbildet).

Wir beweisen exemplarisch, daß (3.1)(iii) gilt: Seien f, g ∈ V, r ∈ ℝ. Zu zeigen ist:

(∗) r(f + g) = rf + rg

Auf beiden Seiten von (∗) stehen Abbildungen von M nach ℝ. Wir haben also zu zeigen, daß für alle x ∈ M gilt:

(r(f + g))(x) = (rf + rg)(x)

Wendet man auf beide Seiten (a) und (b) an (auf der linken Seite zunächst (b) dann (a)), so erhält man für die linke Seite

(r(f + g)(x)) =^{(b)} r((f + g)(x)) =^{(a)} r(f(x) + g(x))

und für die rechte Seite

(rf + rg)(x) =^{(a)} (rf)(x) + (rg)(x) =^{(b)} rf(x) + rg(x)

Schließlich gilt r(f(x) + g(x)) = rf(x) + rg(x) aufgrund des Distributivgesetzes für die reellen Zahlen.

(3.2) Rechenregeln. Für alle α ∈ K, v ∈ V gilt

(i) 0v = \underline{0}, α\underline{0} = \underline{0}

(ii) αv = \underline{0} ⇒ α = 0 oder v = \underline{0}

(iii) (−α)v = α(−v) = −(αv) (=: −αv)

Bew.:

(i) 0v = 0v + (v − v) = (0v + 1v) − v = (0 + 1)v − v = 1 · v − v = v − v = \underline{0} α\underline{0} = α\underline{0} + (α\underline{0} − α\underline{0}) = α(\underline{0} + \underline{0}) − α\underline{0} = α\underline{0} − α\underline{0} = \underline{0}

(ii) Sei αv = \underline{0} und α ≠ 0 ⇒^{(i)} α^{−1}(αv) = \underline{0} ⇒ (α^{−1}α)v = \underline{0} ⇒ 1v = \underline{0} ⇒ v = \underline{0}

(iii) (−α)v + αv = ((−α) + α)v = 0v =^{(i)} \underline{0} ⇒ (−α)v = −(αv)

α(−v) + αv = α((−v) + v) = α\underline{0} =^{(i)} \underline{0} ⇒ α(−v) = −(αv)

(3.3) Def.: Sei V K-Vektorraum und U ⊆ V. U heißt Unter(vektor)raum von V, falls

(i) U ≠ ∅

(ii) v_{1}, v_{2} ∈ U ⇒ v_{1} + v_{2} ∈ U

(iii) α ∈ K, v ∈ U ⇒ αv ∈ U

(3.4) Folgerung: Sei V K-Vektorraum, U ⊆ V Unterraum. Dann ist U (mit den von V auf U eingeschränkten Strukturen) ein K-Vektorraum.

Bew.: Sei U Unterraum.

(i) ⇒ + ist innere Verknüpfung auf U(⇒ (G_{1})).

(ii) ⇒ die Multiplikation mit Skalaren ist eine Abbildung K × U → U.

Wir zeigen: (U, +) ist abelsche Gruppe: v ∈ U ⇒^{(ii)} (−1)v ∈ U ⇒^{(3.2)(iii)} −v ∈ U

U ≠ ∅ ⇒ ∃v ∈ U ⇒ v und −v ∈ U ⇒^{(ii)} v + (−v) = \underline{0} ∈ V

Daraus folgen (G_{2}), (G_{3}) für (U, +), (G_{1}) für (U, +) folgt aus (G_{1}) für (V, +). Die anderen Eigenschaften sind offensichtlich erfüllt.

Beispiele:

1) {0} und V sind Unterräume von V

2) Ist m < n, so ist K^{m} × \{ \underbrace{(0, …, 0}_{(n−m)−mal}\} = \{(x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n} | x_{m+1} = … = x_{n} = 0\}

Unterraum von K^{n}

3) Ist I homogenes lineares Gleichungssystem für n Unbekannte mit Koeffizienten a_{ij} in K, so ist L_{I} Unterraum von K^{n}, vgl. (1.15).

4) V = {f | f : M → ℝ}, vgl. Bsp. 4) nach (3.1). Zu festem a ∈ M sei U = {f ∈ V | f(a) = 0}. Dann ist U Unterraum von V.

(3.5) Fakt. Ist V ein K-Vektorraum und U eine Menge von Unterräumen von K, so ist W := ⋂_{U∈U} U Unterraum von V .

Bew.: ∀U ∈ U : \underline{0} ∈ U ⇒ \underline{0} ∈ W

v_{1}, v_{2} ∈ W ⇔ ∀U ∈ U : v_{1}, v_{2} ∈ U ⇒^{(3.3)(ii)} ∀U ∈ U : v_{1} + v_{2} ∈ U ⇔ v_{1} + v_{2} ∈ W

Ebenso: α ∈ K, v ∈ W ⇒ αv ∈ W.

(3.6) Def.: Sei V K-Vektorraum, M ⊆ V. U_{M} := {U | U Unterraum von V mit M ⊆ U}

Dann heißt span(M) := ⋂_{U∈U_{M}} U der von M aufgespannte (oder erzeugte) Unterraum. M

heißt Erzeugendensystem von V, falls span(M) = V gilt. V heißt endlich erzeugt, falls es eine endliche Menge M ⊆ V gibt mit span(M) = V.

Bem.: (3.5) ⇒ span(M) ist Unterraum von V, der (bzgl. der Inklusion) kleinste, M enthaltende Unterraum.

Bsp.:

1) M = ∅ oder M = \{\underline{0}\} ⇒ span(M) = \{\underline{0}\}

2) Ist M Unterraum von V, so span(M) = M

(3.7) Satz. Sei V K-Vektorraum, ∅ ≠ M ⊆ V. Dann gilt:

span(M) = {v ∈ V | ∃k ∈ ℕ, α_{1}, …, α_{k} ∈ K, v_{1}, …, v_{k} ∈ M : v = α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k}}

Bez.: α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k} heißt eine Linearkombination der Vektoren v_{1}, …, v_{k}.

abgekürzt: α_{1}v_{1} + α_{s} v_{2} + … + α_{k}v_{k} = ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i}

Bew.: Wir bezeichnen die Menge auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens in (3.7) durch U_{0}.

1) Zeige U_{0} ist Unterraum von V. Wegen M ≠ ∅ gilt U_{0} ≠ ∅. Seien v, w ∈ U_{0}, v = α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k}, w = β_{1}w_{1} + … + β_{j}w_{j} mit α_{1}, …, β_{j} ∈ K, v_{1}, …, w_{j} ∈ M. Dann gilt v + w = α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k} + β_{1}w_{1} + … + β_{j}w_{j} ∈ U_{0}.

Sei α ∈ K, v = ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} ∈ U_{0} mit v_{i} ∈ M. Dann gilt

αv = α(α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k}) = α(α_{1}v_{1}) + … + α(α_{k}v_{k}) = (αα_{1})v_{1} + … + (αα_{k})v_{k} ∈ U_{0}.

(Kürzer: α ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} = ∑_{i=1}^{k} αα_{i}v_{i}).

Also ist U_{0} ein M enthaltender Unterraum. Nach Definition (3.6) folgt span(M) ⊆ U_{0}.

2) Zeige U_{0} ⊆ span(M). Seien v_{1}, …, v_{k} ∈ M, α_{1}, …, α_{k} ∈ K. Da span(M) Unterraum ist, folgt nach (3.3)(iii): α_{1}v_{1} ∈ span(M), …, α_{k}v_{k} ∈ span(M), und nach (3.3)(ii) α_{1}v_{1}+α_{2}v_{2} ∈ span(M), (α_{1}v_{1} + α_{2}v_{2}) + α_{3}v_{3} ∈ span(M), u.s.w. bis

α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k} ∈ span(M).

Also U_{0} ⊆ span(M).

Bsp.: Betrachte K^{n} und e_{1} := (1, 0, …, 0) ∈ K^{n}, e_{2} := (0, 1, 0, …, 0) ∈ K^{n}, …, e_{n} = (0, …, 0, 1) ∈ K^{n}. Dann ist M = {e_{1}, …, e_{n}} Erzeugendensystem für K^{n}. Es genügt, K^{n} ⊆ span(M) zu zeigen. Ist x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n}, so gilt x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + … + x_{n}e_{n} ∈ span(M).

(3.8) Def.: Die Vektoren v_{1}, …, v_{k} heißen \underline{linear unabhängig}, falls gilt: Ist α_{1} ∈ K, …, α_{k} ∈ K und α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k} = \underline{0}, so folgt α_{1} = α_{2} = … = α_{k} = 0. Sonst heißen die Vektoren v_{1}, …, v_{k} linear abhängig. Eine Teilmenge M von V heißt linear unabhängig, falls gilt: Ist k ∈ ℕ und sind v_{1}, …, v_{k} verschiedene Vektoren in M, so sind die v_{1}, …, v_{k} linear unabhängig. Sonst heißt M linear abhängig.

Bem.: v_{1}, …, v_{k} linear abhängig ⇔ ∃α_{1}, …, α_{k} ∈ K \underline{nicht} \underline{alle} = 0:

α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k} = \underline{0}

Bsp.:

1) \underline{0} ∈ M ⇒ M linear abhängig. Denn: 1 · \underline{0} = \underline{0}.

2) M = \{v\} linear unabhängig ⇔ v ≠ 0. Denn: αv = \underline{0}, v ≠ \underline{0} ⇒^{(3.2)(ii)} α = 0.

3) Sei M ⊆ M′ ⊆ V. Dann: M linear abhängig ⇒ M′ linear abhängig M′ linear unabhängig ⇒ M linear unabhängig

4) e_{1}, …, e_{n} sind linear unabhängig in K^{n}. Denn:

x_{1}e_{1} + … + x_{n}e_{n} = (x_{1}, …, x_{n}) = \underline{0} ⇔ x_{1} = … = x_{n} = 0.

5) V = {f | f : ℝ → ℝ}. Die Funktion x → sin x und x → cos x sind linear unabhängig. Seien r, s ∈ ℝ und r sin x + s cos x = 0 \underline{für alle} x ∈ ℝ. Dann gilt das speziell für x = 0 und x = \frac{π}{2}, d.h.

r \underbrace{sin 0}_{=0} +s \underbrace{cos 0}_{=1} = 0  ⇒ s = 0
r \underbrace{sin (\frac{π}{2} )}_{=1} +s \underbrace{cos (\frac{π}{2} )}_{=0} = 0 ⇒ r = 0.

(3.9) Fakt. Die Vektoren v_{1}, …, v_{k} seien linear unabhängig. Dann gilt:

α_{1}v_{1} + … + α_{k}v_{k} = β_{1}v_{1} + … + β_{k}v_{k} ⇒ α_{1} = β_{1}, …, α_{k} = β_{k}

Bew.: Voraussetzung ⇒ (α_{1} − β_{1})v_{1} + (α_{2} − β_{2})v_{2} + … + (α_{k} − β_{k})v_{k} = \underline{0} ⇒^{l. unabh.} α_{1} − β_{1} = 0, …, α_{k} − β_{k} = 0 ⇒ α_{1} = β_{1}, …, α_{k} = β_{k}.

(3.10) Def.: Eine Teilmenge M von V heißt \underline{Basis von} V, falls M linear unabhängig und ein Erzeugendensystem von V (⇔ span(M) = V) ist.

Bsp.: {e_{1}, …, e_{n}} ⊆ K^{n} ist Basis von K^{n}, die “Standardbasis von K^{n}”.

Eine Beispielrechnung zur linearen Unabhängigkeit von Vektoren:

Wir fragen, ob die Vektoren (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, −1) im ℝ-Vektorraum ℝ^{3} linear unabhängig sind. Dazu nehmen wir an, daß für die reellen Zahlen r, s und t gilt:

r(1, 0, 1) + s(0, 1, 1) + t(1, 1, −1) = (0, 0, 0)

Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn wir aus dieser Gleichung folgern können, daß r = s = t = 0 gilt, vgl. Def. (3.8). Die Gleichung ist äquivalent zum homogenen linearen Gleichungssystem

r + t = 0 | −
s + t  = 0 |
r + s − t  = 0 _{←}|

Wir lösen es nach dem Gaußschen Eliminationsverfahren:

r  + t = 0
s + t = 0 | −
s − 2t = 0 _{←}|
r  + t = 0
s + t = 0
− 3t = 0

Aus der letzten Gleichung folgt t = 0, damit aus der vorletzten s = 0 und aus der ersten r = 0.

Vorsicht: Bezeichnet man im Körper (ℤ_{3}, +, ·) wie in Körpern üblich das 0-Element mit 0, das 1-Element mit 1 und das additive Inverse von 1 mit −1, so kann man die Vektoren (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, −1) auch als Element des ℤ_{3}-Vektorraums (ℤ_{3})^{3} auffassen. In diesem sind sie linear abhängig, denn

(1, 0, 1) + (0, 1, 1) − (1, 1, −1) = (0, 0, 0) in (ℤ_{3})^{3}!

(3.11) Lemma. (i) v ∈ span(M) ⇒ span(M ∪ {v}) = span(M) (ii) v ∈ span(M) \ M ⇒ M ∪ {v} linear abhängig

Beweis von (i): span(M) ⊆ span(M ∪ {v}) ist klar.

Sei w ∈ span(M ∪ {v}), w = αv + ∑_{j=1}^{l} β_{j}w_{j} mit w_{j} ∈ M.

v ∈ span(M) ⇒ v = ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} ⇒ w = ∑_{i=1}^{k}(αα_{i})v_{i} + ∑_{j=1}^{l} β_{j}w_{j} ∈ span(M).

Beweis von (ii): (3.7) ⇒ Es existiert k ∈ ℕ, α_{1}, …, α_{k} ∈ K, v_{1}, …, v_{k} ∈ M: v =^{(∗)} ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i}.

Wir können (mittels der Vektorraumaxiome) etwaige Summanden α_{i}v_{i} und α_{j}v_{j} mit v_{i} = v_{j} zu (α_{i} + α_{j})v_{i} zusammenfassen und dann annehmen, daß alle v_{1}, …, v_{k} verschieden sind. v ∉ M ⇒ v, v_{1}, …, v_{k} sind alle verschieden.

(∗) ⇒ 1 · v − ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} = 0 ⇒ M ∪ {v} linear abhängig.

(3.12) Satz. Folgende Aussage über eine Teilmenge M von V sind äquivalent:

(i) M ist Basis (ii) M ist linear unabhängig und jede echte Obermenge M′ ⊆ V von M ist linear

abhängig. (“M ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V.”) (iii) Es gilt span(M) = V und für jede echte Teilmenge M′′ von M gilt: span(M′′) ≠ V.

(“M ist ein minimales Erzeugendensystem von V.”)

Bew.: V = {0} ⇔ M = ∅ ist Basis von V. Dann ist (3.12) klar. Es genügt also, den Fall M ≠ ∅ zu betrachten.

1) (i) ⇒ (ii): Es ist zu zeigen, daß jede echte Obermenge M′ ⊆ V von M linear abhängig ist. Sei v ∈ M′\M. Wegen span(M) = V (M Basis!) gilt v ∈ span(M)\M. Nach (3.11)(ii) ist M ∪ {v} und damit auch M′ ⊇ M ∪ {v} linear abhängig.

2) (ii) ⇒ (iii). Wir zeigen zunächst, daß span(M) = V gilt. Sei v ∈ V \ M. Wegen (ii) ist M ∪ {v} linear abhängig. Es existieren also verschiedene v_{1}, …, v_{k} ∈ M und α, α_{1}, …, α_{k} ∈ K, nicht alle = 0, mit

αv + ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} = \underline{0}

Da M linear unabhängig ist ((ii)!), gilt α ≠ 0. Also

v = ∑_{i=1}^{k} (\frac{−α_{i}}{α} ) v_{i} ∈ span(M)

Also V \ M ⊆ span(M), und damit: V = span(M). Sei schließlich M′′ eine echte Teilmenge von M, v ∈ M \M′′. Wäre v ∈ span(M′′), so würde aus (3.11)(ii) folgen, daß M′′ ∪{v} ⊆ M linear abhängig ist, im Widerspruch dazu, daß M nach Voraussetzung ((ii)!) linear unabhängig ist. Also v ∉ span(M′′) und deshalb span(M′′) ≠ V.

3) (iii) ⇒ (i). Zu zeigen ist, daß M linear unabhängig ist. Seien v_{1}, …, v_{k} verschiedene Elemente in M, α_{1}, …, α_{k} ∈ K und

∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} = \underline{0}

wäre eines der α_{i} ungleich 0, z.B. α_{1} ≠ 0, so folgt:

v_{1} = ∑_{i=1}^{k} (\frac{−α_{i}}{α_{1}} ) v_{i} ∈ span\{v_{2}, …, v_{k}\} ⊆ span(M \ \{v_{1}\})

Wegen (3.11)(i) folgt span(M) = span(M \{v_{1}}), also span(M \{v_{1}}) = V, im Widerspruch zu (iii).

(3.13) Satz. Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.

Bem.: Wir zeigen sogar: Ist M_{0} ⊆ V linear unabhängig, so existiert eine M_{0} enthaltende Basis von V.

Bew.: 1) Wir betrachten zunächst den Spezialfall, daß es ein endliches Erzeugendensystem, genannt M_{1}, von V gibt. Dann existiert das kleinste n ∈ ℕ, so daß es eine n-elementige Teilmenge von M_{1} gibt, die V erzeugt. Sei M ein solches Erzeugendensystem. Dann folgt aus (3.12), daß M eine Basis von V ist. Zusätzlich gilt M ⊆ M_{1}.

2) Für den allgemeinen Fall benötigen wir folgendes

(3.14) Lemma von Zorn. Sei M ≠ ∅ eine Menge, deren Elemente Mengen sind. Gilt für jede Kette K ⊆ M, daß ⋃_{M∈K} M ∈ M gilt, so existiert ein maximales Element in M, d.h. ein

M ∈ M, so daß aus M ⊆ M′ ∈ M folgt M = M′.

Dabei heißt eine Teilmenge K von M \underline{Kette}, falls K ≠ ∅ und falls für je zwei Elemente M_{1}, M_{2} ∈ K gilt:

(∗) M_{1} ⊆ M_{2} oder M_{2} ⊆ M_{1}

Wir nehmen das Lemma von Zorn als Axiom der Mengenlehre hin und definieren in Abhängigkeit von einer gegebenen, linear unabhängigen Menge M_{0} ⊆ V:

M := {M | M_{0} ⊆ M ⊆ V, M linear unabhängig}

Wegen M_{0} ∈ M gilt M ≠ ∅. Wir wollen die Voraussetzung von (3.14) nachweisen. Sei also K eine Kette in M. Dann gilt M_{0} ⊆ ⋃_{M∈K} M und es bleibt zu zeigen, daß ⋃_{M∈K} M linear

unabhängig ist.

Seien v_{1}, …, v_{k} verschiedene Vektoren in ⋃_{M∈K} M. Dann existieren M_{1}, …, M_{k} ∈ K mit

v_{1} ∈ M_{1}, …, v_{k} ∈ M_{k}. Wegen (∗) existiert eine der Mengen M_{1}, …, M_{k}, sagen wir M_{j}, die die anderen enthält. Dann sind v_{1}, …, v_{k} verschiedene Elemente in M_{j} und damit linear unabhängig (, da M_{j} ∈ M linear unabhängig ist). Also ⋃_{M∈K} M ∈ M. Nach (3.2) ist ein

maximales Element von M, das nach (3.14) existiert, eine M_{0} enthaltende Basis von V.

\underline{Wichtig}: Es gibt im allgemeinen sehr viele Basen eines Vektorraumes. Sie haben aber alle “gleich viele” Elemente, siehe (3.16). Zum Beispiel bilden zwei Vektoren v = (a, b), w = (c, d) des ℝ^{2} genau dann eine Basis des ℝ^{2}, wenn ad − bc ≠ 0 (, was “meistens” der Fall ist!).

Bemerkung: Die “Lösung eines homogenen linearen Gleichungssystems”, d.h. das Auffinden einer Parameterdarstellung des Lösungsraums, besteht gerade darin, eine Basis dieses Lösungsraums zu finden.

(3.15) Austauschlemma. Sei B = {v_{1} …, v_{n}} eine Basis von V mit n Elementen und w ∈ V \ {0}. Dann existiert j ∈ {1, …, n}, so daß B′ = (B \ {v_{j}}) ∪ {w} Basis von V ist.

Bew.: Wegen span(B) = V existieren α_{1}, …, α_{n} ∈ K, so daß

(∗) w = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i}

gilt. Da w ≠ 0 ist, existiert ein j, 1 ≤ j ≤ n mit α_{j} ≠ 0. Wir zeigen, daß \underline{für jedes solche} j gilt: B′ = (B \ {v_{j}}) ∪ {w} = {v_{1}, …, v_{j−1}, v_{j−1}, …, v_{n}, w} ist Basis.

Zunächst gilt v_{j} ∈ span(B′), da aus (∗) folgt

v_{j} = \frac{1}{α_{j}} (w − ∑_{i≠j^{i=1}}^{n} α_{i}v_{i}) = \frac{1}{α_{j}} w + ∑_{i≠j^{i=1}}^{n} (\frac{−α_{i}}{α_{j}} ) v_{i}

und die rechte Seite ist eine Linearkombination von Elementen von B′.

Nach (3.11)(i) folgt

span(B′) =^{(3.11)(i)} span(B′ ∪ {v_{j}}) = span(B ∪ {w}) =^{(3.11)(i)} span(B) = V,

d.h. B′ ist Erzeugendensystem von V. Um die lineare Unabhängigkeit von B′ zu zeigen, nehmen wir an, daß für β ∈ K, β_{1}, …, β_{j−1}, β_{j+1}, …, β_{n} ∈ K gilt:

(∗∗) βw + ∑_{i≠j^{i=1}}^{n} β_{i}v_{i} = \underline{0}

Mit (∗) folgt

β ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i} + ∑_{i≠j^{i=1}}^{n} β_{i}v_{i} = \underline{0},

also

βα_{j}v_{j} + ∑_{i≠j^{i=1}}^{n}(βα_{i} + β_{i})v_{i} = \underline{0}.

Da B = {v_{1}, …, v_{n}} linear unabhängig ist, folgt aus der vorangehenden Gleichung βα_{j} = 0 und βα_{i} + β_{i} = 0 für alle i ≠ j. Da wir j so gewählt hatten, daß α_{j} ≠ 0 ist, folgt β = 0 und daraus β_{i} = 0 für alle i ≠ j. Damit haben wir gezeigt, daß in (∗∗) alle Koeffizienten β und β_{i} für i ≠ j gleich 0 sind, d.h. B′ ist linear unabhängig.

(3.16) Austauschsatz von Steinitz. Sei B = {v_{1}, …, v_{n}} eine Basis von V mit n Elementen und seien w_{1}, …, w_{m} m linear unabhängige Vektoren in V. Dann gilt

(i) m ≤ n (ii) Es gibt (n − m) Vektoren in B, bei geeigneter Numerierung v_{m+1}, …, v_{n}, so daß

{w_{1}, …, w_{m}, v_{m+1}, …, v_{n}} eine Basis von V ist.

Speziell gilt: Jede Basis von V hat n Elemente.

Bew.: Induktion nach m.

1) m = 1. \underline{0} ≠ w_{1} ∈ V ⇒ V ≠ \{0\} ⇒ n ≥ 1 = m ⇒ (i). (ii) folgt aus (3.15).

2) m > 1. Induktionsvoraussetzung: (i) und (ii) gelten für m − 1. Seien w_{1}, …, w_{m} linear unabhängig gegeben. Die Induktionsvoraussetzung impliziert: (m−1) ≤ n und es existieren n − m + 1 Vektoren in B, o.E. v_{m} …, v_{n}, so daß {w_{1}, …, w_{m−1}, v_{m} …, v_{n}} eine Basis von V ist.

Zeige (i): m ≤ n. Sonst gilt nach der vorangehenden Überlegung m − 1 = n und die Menge {w_{1}, …, w_{m−1}} ist Basis von V (n − m + 1 = 0!), im Widerspruch zur Voraussetzung, daß {w_{1}, …, w_{m}} linear unabhängig ist. Das beweist m ≤ n.

Zeige (ii): Wir wollen in der Basis {w_{1}, …, w_{m−1}, v_{m}, …, v_{n}} eines der v_{i}, m ≤ i ≤ n, gegen w_{m} “austauschen” und zwar so, daß wieder eine Basis entsteht. Da span{w_{1}, …, w_{m−1}, v_{m}, …, v_{n}} = V gilt, existieren α_{1}, …, α_{n} ∈ K, so daß

w_{m} = α_{1}w_{1} + … + α_{m−1}w_{m−1} + α_{m}v_{m} + … + α_{n}v_{n}

gilt. Da {w_{1}, …, w_{m}} linear unabhängig ist, existiert ein j ∈ {m, …, n} mit α_{j} ≠ 0. Wir können annehmen, daß j = m ist. Wendet man das Austauschlemma (3.15) (vgl. auch den Anfang des Beweises von (3.15)!) auf w := w_{m} und die Basis {w_{1}, …, w_{m−1}, v_{m}, …, v_{n}} an, so folgt, daß {w_{1}, …, w_{m}, v_{m+1}, …, v_{n}} eine Basis von V ist. Das beweist (ii).

(3.17) Def.: Ist V endlich erzeugter Vektorraum, so heißt die Anzahl der Elemente einer (⇒ jeder) Basis von V die \underline{Dimension} \underline{von} V (abgekürzt: dim V).

Ist V nicht endlich erzeugt, so setzen wir dim V := ∞.

Beispiele:

1) V = \{\underline{0}\} ⇔ dim V = 0 (mit Basis M = ∅)

2) Für den K-Vektorraum K^{n} gilt: dim(K^{n}) = n Begründung: Die Standardbasis {e_{1}, …, e_{n}} von K^{n} hat n Elemente.

3) V = {f | f : ℝ → ℝ}, vgl. Bsp. 4) nach (3.1). Für diesen ℝ-Vektorraum gilt dim V = ∞, vgl. Blatt 6, Aufgabe 4(b).

Bem.: V endlich erzeugt ⇔ V endlich-dimensional.

(3.18) Folgerungen. Sei V Vektorraum, dim V = n < ∞. Dann gilt:

(i) Ist M ⊆ V linear unabhängig, so gilt #M ≤ n, und es gilt #M = n genau dann, wenn M Basis von V ist.

(ii) Ist M ⊆ V Erzeugendensystem von V, so gilt #M ≥ n, und es gilt #M = n genau

dann, wenn M Basis von V ist. (iii) Ist U ⊆ V Unterraum, so gilt dim U ≤ dim V. Jede Basis von U ist in einer Basis

von V enthalten. Es gilt genau dann dim U = dim V, wenn U = V gilt.

Lösung von Blatt 5, Aufgabe 3: Sei U Unterraum des ℝ^{2} mit {(0, 0)} ≠ U ≠ ℝ^{2}. Dann existiert v ∈ ℝ^{2} \ {(0, 0)}, so daß U = {rv | r ∈ ℝ}.

Bew.: Es gilt 0 < dim U < 2 = dim(ℝ^{2}), also dim U = 1. Sei {v} Basis von U ⇒ Beh.

Beweis von (3.18):

(i) (3.16)(i) ⇒ #M ≤ n. Speziell: Ist #M = n, so ist M (im Sinne von (3.12)!) eine maximale linear unabhängige Teilmenge, also nach (3.12) eine Basis.

(ii) Analog zu (i).

(iii) Ist B′ Basis von U, so ist B′ als Teilmenge von V linear unabhängig, also dim U = #B′ ≤ n = dim V nach (i). Aus (3.16)(ii) folgt, daß B′ in einer Basis von V enthalten ist. Gilt dim U = dim V, so ist nach (i) jede Basis B′ von U auch Basis von V, d.h. U = span(B′) = V.

(3.19) Def.: Seien U_{1}, U_{2} Unterräume eines Vektorraums V. Dann heißt der Unterraum

U_{1} + U_{2} := span(U_{1} ∪ U_{2})

die \underline{Summe von} U_{1} \underline{und} U_{2}. Gilt U_{1} ∩ U_{2} = \{\underline{0}\}, so nennt man span(U_{1} ∪ U_{2}) die \underline{direkte} \underline{Summe von} U_{1} \underline{und} U_{2} und schreibt

span(U_{1} ∪ U_{2}) =: U_{1} ⊕ U_{2}

Bsp.: Für 0 < m < n gilt: K^{n} = (K^{m} × \{\underline{0}\}) ⊕ (\{\underline{0}\} × K^{n−m})

(3.20) Fakt. (i) U_{1} + U_{2} = {u_{1} + u_{2} | u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}} (ii) Gilt U_{1} ∩ U_{2} = {0}, so existieren für jedes v ∈ U_{1} ⊕ U_{2} genau zwei Vektoren u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}, so daß v = u_{1} + u_{2} gilt.

Bsp.: 1) V = ℝ^{2}, U_{1}, U_{2} Unterräume der Dimension 1, U_{1} ≠ U_{2}. Dann: U_{1} ∩ U_{2} = {(0, 0)}, U_{1} ⊕ U_{2} = ℝ^{2}.

2) V = ℝ^{3}, U_{1} ≠ U_{2} Unterräume der Dimension 2. Dann: dim(U_{1} ∩ U_{2}) = 1, U_{1} + U_{2} = ℝ^{3}.

Beweis: Die Menge {u_{1} + u_{2} | u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}} ist Unterraum (!), der U_{1} und U_{2} enthält, also span(U_{1} ∪ U_{2}) ⊆ {u_{1} + u_{2} | u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}}, vgl. Def. (3.6). Die Inklusion {u_{1} + u_{2} | u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}} ⊆ span(U_{1} ∪ U_{2}) ist klar!

Gilt v = u_{1} + u_{2} = u′_{1} + u′_{2} mit {u_{1}, u′_{1}} ⊆ U_{1}, {u_{2}, u′_{2}} ⊆ U_{2}, so folgt

u_{1} − u′_{1} = u′_{2} − u_{2} ∈ U_{1} ∩ U_{2} = \{\underline{0}\}, also u_{1} = u′_{1}, u_{2} = u′_{2}.

(3.21) Lemma.

(i) Ist U Unterraum von V, so existiert ein Unterraum W von V, so daß U ∩ W = \{\underline{0}\} und U ⊕ W = V gilt. (W heißt ein zu U \underline{komplementärer Unterraum})

(ii) Sind U_{1}, U_{2} Unterräume von V mit U_{1} ∩ U_{2} = {0}, so gilt

dim(U_{1} ⊕ U_{2}) = dim U_{1} + dim U_{2}.

Bem.: Im allgemeinen gibt es sehr viele zu U komplementäre Unterräume. Beispiel: Es sei U = ℝ × {0} ⊆ ℝ^{2} und es sei v = (v_{1}, v_{2}) ∈ ℝ^{2} und v_{2} ≠ 0. Dann ist W = span{v} zu U komplementär.

Bew.: (i) Ergänze eine Basis B′ von U nach (3.18)(iii) zu einer Basis B von V und setze W := span(B \ B′). (ii) Für i = 1, 2 seien B_{1}, B_{2} Basen von U_{1}, U_{2}. Aus U_{1} ∩ U_{2} = {0} folgt B_{1} ∩ B_{2} = ∅. Wir zeigen, daß B_{1} ∪ B_{2} Basis von U_{1} ⊕ U_{2} ist (⇒ dim(U_{1} ⊕ U_{2}) = #(B_{1} ∪ B_{2}) = #B_{1} + #B_{2} = dim U_{1} + dim U_{2}). Wegen (3.20)(i) ist B_{1} ∪ B_{2} Erzeugendensystem von U_{1} ⊕ U_{2}. Um zu zeigen, daß B_{1} ∪ B_{2} linear unabhängig ist, sei

∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} + ∑_{j=1}^{l} β_{j}w_{j} = \underline{0},

wobei α_{1}, …, β_{l} ∈ K, v_{1}, …, v_{k} verschiedene Elemente von B_{1}, w_{1}, …, w_{l} verschiedene Elemente von B_{2} sind. Dann folgt

∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} = ∑_{j=1}^{l}(−β_{j})w_{j} ∈ U_{1} ∩ U_{2}.

Wegen U_{1} ∩ U_{2} = {0} folgt

∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} = \underline{0} = ∑_{j=1}^{l}(−β_{j})w_{j}.

Da B_{1} und B_{2} beide linear unabhängig sind, folgt aus den vorangehenden Gleichungen α_{1} = … = α_{k} = 0 und β_{1} = … = β_{l} = 0. Das beweist die lineare Unabhängigkeit von B_{1} ∪ B_{2}.

Bem.: (3.21)(ii) gilt – richtig interpretiert – auch für den Fall, daß U_{1} oder U_{2} unendlichdimensional sind. Für den Rest des Kapitels werden wir aber \underline{dim V < ∞} voraussetzen.

(3.22) Dimensionssatz. Seien U_{1}, U_{2} Unterräume eines Vektorraums V. Dann gilt

dim(U_{1} + U_{2}) = dim U_{1} + dim U_{2} − dim(U_{1} ∩ U_{2})

Bew.: U_{1} ∩ U_{2} =: U_{12}. Nach (3.21)(i) existieren Unterräume W_{1}(von U_{1} ⇒ von V) und W_{2}, so daß U_{1} = U_{12} ⊕ W_{1} und U_{2} = U_{12} ⊕ W_{2} gilt. Dann folgt

(∗) U_{1} + U_{2} = (U_{12} ⊕ W_{1}) ⊕ W_{2}

Denn einerseits läßt sich jedes Element v ∈ U_{1} + U_{2} als

v = u_{1} + u_{2} = u_{12} + w_{1} + u′_{12} + w_{2} = (u_{12} + u′_{12}) + w_{1} + w_{2}

mit u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}, u_{12}, u′_{12} ∈ U_{12}, w_{1} ∈ W_{1} und w_{2} ∈ W_{2} schreiben und andererseits gilt (U_{12} ⊕ W_{1}) ∩ W_{2} = U_{1} ∩ (U_{2} ∩ W_{2}) = U_{12} ∩ W_{2} = \{\underline{0}\}.

Nach (3.21)(ii) folgt aus (∗): dim(U_{1} + U_{2}) = dim U_{12} + dim W_{1} + dim W_{2}, und aus U_{1} = U_{12} ⊕ W_{1}, U_{2} = U_{12} ⊕ W_{2}:

dim U_{1} = dim U_{12} + dim W_{1}
dim U_{2} = dim U_{12} + dim W_{2}

Subtrahiert man diese beiden Gleichungen von der vorangehenden, so folgt

dim(U_{1} + U_{2}) − dim U_{1} − dim U_{2} = − dim U_{12}

oder

dim(U_{1} + U_{2}) = dim U_{1} + dim U_{2} − dim U_{12},

wie behauptet.

Bez.: Ein Unterraum H ⊆ V heißt \underline{Hyperebene}, falls dim H = dim V − 1 gilt.

(3.23) Folgerung. Ist U ⊆ V Unterraum, H ⊆ V Hyperebene, so gilt entweder

dim(U ∩ H) = dim U − 1
oder U ⊆ H(⇔ U = U ∩ H ⇔ dim(U ∩ H) = dim U).

Bew.: Aus (3.22) folgt

(∗) dim(U ∩ H) = dim U + (dim V − 1) − dim(U + H).

Gilt dim(U + H) < dim V, so folgt aus (3.18)(iii) angewendet auf H ⊆ U + H, daß H = U +H, d.h. U ⊆ H gilt. Gilt dim(U +H) = dim V, so folgt aus (∗): dim(U ∩H) = dim U −1.

(3.24) Lemma. Ist K ein Körper und sind a_{1}, …, a_{n} ∈ K nicht alle = 0, so ist der Lösungsraum L_{I} ⊆ K^{n} der Gleichung

I a_{1}x_{1} + … + a_{n}x_{n} = 0

eine Hyperebene in K^{n}.

Bew.: Sei etwa a_{j} ≠ 0. Dann folgt durch Auflösen von I nach x_{j}:

L_{I} = \{x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} | x_{j} = ∑_{i≠j^{i=1}}^{n} (−\frac{a_{i}}{a_{j}} ) x_{i}\}.

Wir definieren für i ≠ j die Vektoren v_{i} = e_{i} − \frac{a_{i}}{a_{j}} e_{j} ∈ K^{n}. Dann gilt

L_{I} = span{v_{i} | i ∈ {1, …, n} \ {j}}.

Da die Vektoren v_{i}, i ≠ j, linear unabhängig sind (!), folgt dim L_{I} = n − 1.

(3.25) Satz. Sei K ein Körper und

a_{11} x_{1} + … + a_{1n} x_{n} = 0
I  ⋮  ⋮  ⋮
a_{k1} x_{1} + … + a_{kn} x_{n} = 0

ein homogenes lineares Gleichungssystem mit a_{ij} ∈ K für 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n. Dann gilt dim L_{I} ≥ n − k.

Beweis: Induktion nach k. k = 1: Nach (3.24) ist der Lösungsraum L_{I} ⊆ K^{n} einer einzigen linearen Gleichung (n−1)- dimensional, es sei denn, alle Koeffizienten der Gleichung sind 0 (und in diesem Fall gilt L_{I} = K^{n}). In jedem Fall gilt dim L_{I} ≥ n − 1.

k > 1: Es sei I′ das Gleichungssystem, das aus den ersten (k − 1) Gleichungen von I besteht, und I_{k} sei die k’te (=letzte) Gleichung von I. Dann gilt

L_{I} = L_{I′} ∩ L_{I_{k}}

Die Induktionsvoraussetzung besagt: dim L_{I′} ≥ n − k + 1. Sind alle Koeffizienten von I_{k} gleich 0, so gilt L_{I_{k}} = K^{n}, also L_{I} = L_{I′} und damit dim L_{I} = dim L_{I′} ≥ n − k + 1 > n − k. Sind nicht alle Koeffizienten von I_{k} gleich 0, so ist L_{I_{k}} nach (3.24) eine Hyperebene. Dann folgt aus (3.23), angewendet auf U = L_{I′}, H = L_{I_{k}}: dim L_{I} = dim(L_{I′} ∩ L_{I_{k}}) ≥ dim(L_{I′}) − 1 ≥ n − k.

Bez.: Eine Teilmenge A von V heißt \underline{k-dimensionaler} \underline{affiner} \underline{Unterraum}, falls es ein v ∈ V und einen k-dimensionalen Unterraum U ⊆ V gibt, so daß A = {v + u | u ∈ U} =: v + U gilt. Ist k = 1, so nennt man A eine affine Gerade, ist k = 2, eine affine Ebene und ist k = dim V − 1, eine affine Hyperebene.

Bem.: Ein affiner Unterraum A von V ist genau dann ein Unter(vektor)raum von V, wenn \underline{0} ∈ A gilt. Sind v_{0}, v_{1} ∈ V und sind U_{0}, U_{1} Unterräume von V, so gilt v_{0} + U_{0} = v_{1} + U_{1} genau dann, wenn U_{0} = U_{1} und v_{1} − v_{0} ∈ U_{0} gilt.

(3.26) Folgerung. Sei K ein Körper und I ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit k Gleichungen für n Unbekannte. Dann gilt entweder L_{I} = ∅ oder L_{I} ist ein affiner Unterraum von K^{n} der Dimension ≥ n − k. Insbesondere besitzt I höchstens dann genau eine Lösung (d.h. #L_{I} = 1), wenn k ≥ n gilt.

Bew.: Die Behauptung folgt durch Kombination von (1.6) mit (3.25).

Bem.: Die Aussagen von (3.25) und (3.26) kann man auch direkt mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren einsehen.

Exkurs: Fehlerkorrigierende Codes Lit.: MacWilliams, F.J., Sloane, N.J.A.: The Theory of Error-Correcting Codes, North-Holland, Amsterdam 1978. van Lint, J.H.: Introduction to Coding Theory (3. Aufl.), Springer 1999. Problem: bei der Übermittlung von Daten entstehen Fehler. Gesucht ist eine Methode, die die (meisten) Fehler automatisch korrigiert. Daten ⟶^{Kodierung} endl. Folge der Länge n von 0, 1 ⟶^{Übermittlung} fehlerhafter Folge von 0, 1 ⟶^{automat. Fehlerkorrektur} ursprüngl. Folge von 0, 1 ⟶^{Dekodierung} ursprüngl. Daten. Das kann nur funktionieren, wenn bei der Kodierung nur spezielle Folgen von 0, 1 (“die Wörter des Codes”) verwendet werden. Mathematische Formulierung:

{0, 1}^{n} = {(x_{1}, …, x_{n}) | x_{1} ∈ {0, 1}, …, x_{n} ∈ {0, 1}}

Folgen von 0, 1 der Länge n, z.B. (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0) ∈ {0, 1}^{7} Hamming-Abstand d von Elementen x, y ∈ {0, 1}^{n}

d(x, y) = #{i | 1 ≤ i ≤ n und x_{i} ≠ y_{i}} (⇒ d(x, y) ∈ {0, …, n})

Dabei wird mit #M die Anzahl der Elemente einer Menge M bezeichnet. Bsp.: (n = 4) x = (0, 0, 1, 1), y = (0, 1, 1, 0) ⇒ d(x, y) = 2. Eigenschaften von d: ∀x, y, z ∈ {0, 1}^{n} gilt:

(i) d(x, y) ≥ 0 und d(x, y) = 0 ⇔ x = y

(ii) d(x, y) = d(y, x) (“Symmetrie”)

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (“Dreiecksungleichung”) (i)-(iii) ⇔ “d ist Abstandsfunktion” Zu x ∈ {0, 1}^{n}, t ∈ ℕ sei

B(x, t) = {y ∈ {0, 1}^{n} | d(x, y) ≤ t}

der (d-)Ball um x vom Radius t. Bem.: B(x, 1) enthält genau (n + 1) Elemente. (E1) Def.:

(i) Ein Code der Länge n ist eine Teilmenge C ≠ ∅ von {0, 1}^{n}.

(ii) Ein Code C heißt t-fehlerkorrigierend ⇔ Ist x ∈ C, y ∈ C, x ≠ y, so gilt B(x, t) ∩ B(y, t) = ∅.

Idee: Sei C t-fehlerkorrigierender Code. Als kodierte Nachrichten sind nur “Codewörter” x ∈ C erlaubt.

x ∈ C ⟶^{Übermittlung} \overline{x} ∈ \{0, 1\}^{n} ⟶^{automat. Korrektur} \overline{\overline{x}} ∈ C so, daß d(\overline{x}, \overline{\overline{x}}) minimal. Dann: Ist d(x, \overline{x}) ≤ t, so gilt \overline{\overline{x}} = x, da es nur ein x ∈ C mit d(\overline{x}, x) ≤ t gibt. D.h.: Sind bei der Übermittlung höchstens t Fehler aufgetreten, so ordnet die automatische Fehlerkorrektur der fehlerhaften Nachricht \overline{x} das ursprüngliche Codewort x zu. Bem.: 1) C ⊆ {0, 1}^{n} ist t-fehlerkorrigierend ⇔ Ist x ∈ C, y ∈ C und x ≠ y, so gilt d(x, y) ≥ 2t + 1 (Dreiecksungleichung!)

2) C ⊆ {0, 1}^{n} 1-fehlerkorriegierend ⇒ #C · (n + 1) ≤ 2^{n}(= #{0, 1}^{n}) Problem: Zeitaufwand Fehlerkorrektur ≈ #C · n ≈ 2^{n} Lineare Codes {0, 1}^{n} ist Vektorraum über dem Körper {0, 1} = ℤ_{2} (E2) Def. C ⊆ {0, 1}^{n} heißt linearer Code ⇔ C ist Unterraum von {0, 1}^{n} (⇔ \underline{0} ∈ C und ∀x, y ∈ C : x + y ∈ C) Sei p ∈ ℕ und n := 2^{p} − 1 (z.B. p = 5, n = 31 ⇒ 2^{n} = 3^{31} = 2 · (2^{10})^{3} = 2 · (1024)^{3} ≈ 2 · 10^{9}) Seien v_{1}, …, v_{n} die von \underline{0} ∈ \{0, 1\}^{p} verschiedenen Elemente von \{0, 1\}^{p} und F : \{0, 1\}^{n} → {0, 1}^{p} definiert durch

F (x_{1}, …, x_{n}) = x_{1}v_{1} + x_{2}v_{2} + … + x_{n}v_{n} ∈ {0, 1}^{p}

Dann gilt für alle x, y ∈ {0, 1}^{n} : F (x + y) = F (x) + F (y). Daraus folgt: C := \{x ∈ \{0, 1\}^{n} | F (x) = \underline{0}\} ist Unterraum (=linearer Code). C heißt der n’te Hammingcode. (E3) Satz. Der n’te Hammingcode ist ein 1-fehlerkorrigierender Code der Länge n

mit #C = \frac{2^{n}}{n + 1}(“C ist perfekt”)

Bew.: Seien x, y ∈ C, x ≠ y. Zu zeigen: d(x, y) ≥ 3

x, y ∈ C ⇒ (∗) (x_{1} − y_{1})v_{1} + … + (x_{n} − y_{n})v_{n} = \underline{0}.

Wegen x ≠ y existiert ein i ∈ \{1, …, n\} : x_{i} ≠ y_{i}. Dann (x_{i} − y_{i})v_{i} = v_{i} ≠ \underline{0}. Wegen (∗) existiert ein j ≠ i mit x_{j} ≠ y_{j}, also (x_{j} − y_{j})v_{j} = v_{j}. Wenn alle anderen Komponenten von x und y übereinstimmten, so wäre (∗) die Gleichung

v_{i} + v_{j} = \underline{0}

32

Da in ℤ_{2} 1+1 = 0 gilt, gilt v +v = \underline{0} für alle v ∈ \{0, 1\}^{n}. D.h. aus v_{i} +v_{j} = \underline{0}, folgt v_{i} = v_{j}, im Widerspruch dazu, daß die v_{i} alle verschieden sind. Also gibt es mindestens eine weitere Komponente, in der x und y nicht übereinstimmen, d.h. d(x, y) ≥ 3, wie behauptet.

Ist x ∈ \{0, 1\}^{n} und F (x) ≠ \underline{0}, so gilt F (x) = v_{i} für ein i ∈ \{1, …, n\}. Daraus folgt F (x − e_{i}) = F (x) − F (e_{i}) = \underline{0}, d.h. x − e_{i} ∈ C und d(x, x − e_{i}) = 1. Also ⋃_{x∈C} B(x, 1) = {0, 1}^{n} und damit #C · (n + 1) = 2^{n}.

Algorithmus zur Korrektur \underline{eines} Fehlers:

Sei \overline{x} ∈ \{0, 1\}^{n} die empfangene Nachricht. Berechne F (\overline{x}) ∈ \{0, 1\}^{p}.

\begin{aligned}F (\overline{x}) = \underline{0} & ⇒ & \overline{\overline{x}} := \overline{x} \\ F (\overline{x}) = v_{i} & ⇒ & \overline{\overline{x}} := \overline{x} + e_{i} \end{aligned}

Zeitaufwand ≈ n^{2}p (= 31^{2} · 5 ≈ 5 · 10^{3}) ≪ 2^{n} ≈ 2 · 10^{9})

Kapitel 4: Lineare Abbildungen und Matrizen.

Wie überall, so sind auch in der Mathematik nicht nur die einzelnen Objekte wichtig, sondern auch die Beziehungen zwischen ihnen, die hier meist durch Abbildungen beschrieben werden, die (in einem zu definierenden Sinn) die Struktur der Objekte erhalten, sogenannte Homomorphismen. Im folgenden seien V und W Vektorräume über \underline{demselben} Körper K.

(4.1) Definition. Eine Abbildung L : V → W heißt \underline{linear} (oder \underline{Vektorraumhomomorphis-} \underline{mus}), falls für alle v, v_{1}, v_{2} ∈ V und alle α ∈ K gilt:

(i)  L(v_{1} + v_{2}) = L(v_{1}) + L(v_{2})  (L ist “additiv”)
(ii)  L(αv)  = αL(v)  (L ist “homogen”)

Bez.: Statt “lineare Abbildung” ist auch “linearer Operator” üblich. Im Fall W = K spricht man oft von einem “linearen Funktional” oder einer “Linearform” L : V → K.

Hom(V, W) := {L | L : V → W linear}.

Eine lineare Abbildung L : V → V heißt \underline{Endomorphismus}, End(V) = \{L | L : V → V linear}.

Ein Homomorphismus L : V → W heißt \underline{Isomorphismus}, falls L bijektiv ist. Zwei K-Vektorräume V und W heißen \underline{isomorph}, falls es einen Isomorphismus L : V → W gibt.

Beispiele:

0) id_{V} ∈ End(V). Ist L : V → W die “0-Abbildung” definiert durch

∀v ∈ V : Lv = \underline{0} ∈ W,

so gilt L ∈ Hom(V, W). Ist U ⊆ V Unterraum, so ist die Inklusion i : U → V, ∀u ∈ U: i(u) := u, eine lineare Abbildung.

1) Für α ∈ K sei S_{α} : V → V, S_{α}(v) := αv, die “Streckung” um α. Dann gilt: S_{α} ∈ End(V).

2) V := der ℝ-Vektorraum ℝ. L ∈ End(ℝ) ⇔ ∃m ∈ ℝ ∀x ∈ ℝ : L(x) = mx. Nämlich:

m := L(1). Dann gilt: L(x) = L(x · 1) =^{(ii)} x · L(1) = m · x.

3) Zu reellen Zahlen a < b ist C^{0}([a, b], ℝ) = {f | f : [a, b] → ℝ stetig} ein ℝ-Vektorraum, vgl. Bsp. 4 nach (3.1).

L : C^{0}([a, b], ℝ) → ℝ, L(f) := ∫_{a}^{b} f(x)dx

L ist linearer Operator von C^{0}([a, b], ℝ) nach ℝ (“Lineares Funktional”).

4) C^{1}(ℝ, ℝ) = {f | f : ℝ → ℝ ist differenzierbar und f′ : ℝ → ℝ ist stetig} D : C^{1}(ℝ, ℝ) → C^{0}(ℝ, ℝ), D(f) := f′. D ist linearer Operator.

5) Die im Exkurs über Codes definierte Abbildung F : (ℤ_{2})^{n} → (ℤ_{2})^{p} ist linear.

Wichtig ist folgender Zusammenhang mit der Analysis: Ganz grob gesprochen ist die Analysis die Kunst, nichtlineare Funktionen (in einer kleinen Umgebung eines festen Punktes x_{0}) durch lineare Funktionen zu approximieren und aus Eigenschaften der approximierenden linearen Funktion (, mit der man gut explizit rechnen kann) auf Eigenschaften der ursprünglichen nichtlinearen Funktion zu schließen.

Im Fall von (nichtlinearen) Funktionen f : ℝ → ℝ und x_{0} ∈ ℝ ist die approximierende lineare Funktion gegeben durch h ∈ ℝ → f′(x_{0})h ∈ ℝ, und es gilt für den durch f(x_{0}+h) = f(x_{0}) + f′(x_{0})h + R(h) definierten “Approximationsfehler” R(h) : lim_{h→0} \frac{R(h)}{h} = 0. Betrachtet

man (z.B. in der Analysis II) Funktionen f : ℝ^{n} → ℝ^{m} und x_{0} ∈ ℝ^{n}, so wird in der analogen Definition der Differenzierbarkeit aus der linearen Funktion h ∈ ℝ → f′(x_{0})h ∈ ℝ eine lineare Abbildung Df(x_{0}) ∈ Hom(ℝ^{n}, ℝ^{m}). Noch allgemeiner betrachtet man in der Theorie der Differentialgleichungen (und in der Physik und in anderen Wissenschaften) nichtlineare Differentialoperatoren zwischen unendlich-dimensionalen Funktionenräumen, die durch lineare Operatoren zwischen solchen Funktionenräumen approximiert werden. Oft verwendet man in der Physik direkt diese linearisierten Operatoren (z.B. Wellengleichung, Wärmeleitungsgleichung).

Bez.: Ist L ∈ Hom(V, W), so heißt

ker L := \{v ∈ V | L(v) = \underline{0} ∈ W \} = L^{−1}(\{\underline{0}\})

der Kern von L und

im L := {w ∈ W | ∃v ∈ V : L(v) = w} = L(V)

das Bild von L.

(4.2) Fakt. Sei L ∈ Hom(V, W), U_{1} Unterraum von V, U_{2} Unterraum von W. Dann gilt:

(i) L(U_{1}) ist Unterraum von W.

(ii) L^{−1}(U_{2}) ist Unterraum von V.

Speziell: ker L ist Unterraum von V, im L ist Unterraum von W, und es gilt L(\underline{0}) = \underline{0}.

Bew.:

(i) Sind w_{1}, w_{2} ∈ L(U_{1}), so existieren v_{1}, v_{2} ∈ U_{1}, so daß L(v_{1}) = w_{1} und L(v_{2}) = w_{2} gilt. Da U_{1} Unterraum ist, gilt v_{1} +v_{2} ∈ U_{1}, also L(v_{1} +v_{2}) ∈ L(U_{1}). Die Additivität von L impliziert: w_{1} + w_{2} = L(v_{1}) + L(v_{2}) = L(v_{1} + v_{2}) ∈ L(U_{1}). Analog folgt: Ist w ∈ L(U_{1}), α ∈ K, so gilt αw ∈ L(U_{1}). Schließlich impliziert U_{1} ≠ ∅, daß L(U_{1}) ≠ ∅ gilt.

(ii) Ist v ∈ L^{−1}(U_{2}), α ∈ K, so gilt αL(v) ∈ U_{2}, da U_{2} ein Unterraum ist. Die Homogenität von L impliziert: L(αv) = αL(v) ∈ U_{2}, also αv ∈ L^{−1}(U_{2}). Analog folgt: Sind v_{1}, v_{2} ∈ L^{−1}(U_{2}), so gilt v_{1} +v_{2} ∈ L^{−1}(U_{2}). Schließlich zeigen wir, daß L(\underline{0}) = \underline{0} gilt. Daraus folgt dann \underline{0} ∈ L^{−1}(U_{2}), speziell L^{−1}(U_{2}) ≠ ∅. L(\underline{0}) = L(0\underline{0}) = 0L(\underline{0}) = \underline{0}, vgl. (3.2)(i).

(4.3) Fakt. Sei L ∈ Hom(V, W). Folgende Aussagen sind äquivalent.

(i) L ist injektiv.

(ii) ker L = \{\underline{0}\}.

(iii) Ist M ⊆ V linear unabhängig, so ist L(M) ⊆ W linear unabhängig.

Bew.: (i) ⇒ (ii): Ist L injektiv, so ist \underline{0} ∈ V das einzige Element von V, das durch L auf \underline{0} ∈ W abgebildet wird, also ker L = \{\underline{0}\}. (ii) ⇒ (iii): Es gelte ker L = \{\underline{0}\} und M ⊆ V sei linear unabhängig. Seien w_{1}, …, w_{k}

verschiedene Elemente von L(M), α_{1}, …, α_{k} ∈ K, und es gelte ∑_{i=1}^{k} α_{i}w_{i} = \underline{0}. Wir wollen

zeigen, daß α_{1} = … = α_{k} = 0 gilt. Zu jedem w_{i} ∈ L(M) existiert ein v_{i} ∈ M mit L(v_{i}) = w_{i}. Da die w_{1}, …, w_{k} verschieden sind, sind auch die v_{1}, …, v_{k} verschieden. Durch Induktion folgt aus der Linearität von L, daß

L (∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i}) = ∑_{i=1}^{k} α_{i}L(v_{i})

gilt. Aus ∑_{i=1}^{k} α_{i}L(v_{i}) = ∑_{i=1}^{k} α_{i}w_{i} = \underline{0} folgt also

∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} ∈ ker L = {0},

d.h. ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i} = \underline{0}. Da die v_{1}, …, v_{k} verschiedene Elemente der linear unabhängigen Menge

M sind, folgt α_{1} = … = α_{k} = 0.

(iii) ⇒ (i): Seien v_{1} ≠ v_{2} ∈ V. Dann gilt v_{2} −v_{1} ≠ \underline{0}, d.h. die Menge M = \{v_{2} −v_{1}\} ⊆ V ist linear unabhängig. Nach (iii) ist dann auch L(M) = {L(v_{2} − v_{1})} ⊆ W linear unabhängig, d.h. L(v_{2} − v_{1}) ≠ \underline{0}. Nun gilt (vgl. (3.2)(iii)):

\underline{0} ≠ L(v_{2} − v_{1}) = L(v_{2} + (−1)v_{1}) = L(v_{2}) + L((−1)v_{1}) = L(v_{2}) − L(v_{1}).

Also L(v_{1}) ≠ L(v_{2}), d.h. L ist injektiv.

Bem.: Die linke Seite eines linearen Gleichungssystems I mit k Gleichungen und n Unbekannten definiert wie folgt eine lineare Abbildung L ∈ Hom(K^{n}, K^{k}):

L(x_{1}, …, x_{n}) := (a_{11}x_{1} + … + a_{1n}x_{n}, …, a_{k1}x_{1} + … + a_{kn}x_{n}) ∈ K^{k}.

Das Problem, für eine gegebene rechte Seite b = (b_{1}, …, b_{k}) ∈ K^{k} von I die Lösungsmenge L_{I} zu finden, ist also gerade das Problem die Urbildmenge L^{−1}({b}) zu finden,

L_{I} = L^{−1}({b}).

Es gilt also: I ist besitzt für die rechte Seite b = (b_{1}, …, b_{k}) eine Lösung ⇔ b ∈ im L. I besitzt für jede rechte Seite höchstens eine Lösung ⇔ L injektiv ⇔ ker L = \{\underline{0}\}. I besitzt für jede rechte Seite genau eine Lösung ⇔ L Isomorphismus.

(4.4) Lemma. Sei L ∈ Hom(V, W), M ⊆ V. Dann gilt:

L(span(M)) = span L(M).

Bew.: Übungsaufgabe.

(4.5) Folgerung. Sei L ∈ Hom(V, W). Dann sind äquivalent:

(i) L ist Isomorphismus (⇔ L bijektiv).

(ii) Für jede Basis B von V gilt: L|B ist injektiv und L(B) ist Basis von W.

(iii) Es existiert eine Basis B von V, so daß L|B injektiv und L(B) Basis von W ist.

Bew.:

(i) ⇒ (ii). Sei B ⊆ V Basis ⇒^{(4.3)} L(B) ist linear unabhängig.

span L(B) =^{(4.4)} L(span B) = L(V) =^{L surjektiv} W ⇒ L(B) ist Erzeugendensystem von W. L injektiv ⇒ L|B injektiv.

(ii) ⇒ (iii): klar, da nach (3.13) eine Basis von V existiert.

(iii) ⇒ (i). Zeige: L ist injektiv. Sei v ∈ ker L. Dann existiert k ∈ ℕ und verschiedene

v_{1}, …, v_{k} ∈ B und α_{1}, …, α_{k} ∈ K: v = ∑_{i=1}^{k} α_{i}v_{i}. Daraus folgt

(∗) \underline{0} = L(v) = ∑_{i=1}^{k} α_{i}L(v_{i}).

Da L|B injektiv ist, sind die L(v_{1}), …, L(v_{k}) verschiedene Elemente der Basis L(B). Also folgt aus (∗): α_{1} = … = α_{k} = 0 und daraus v = 0. Also ker L = \{\underline{0}\}, d.h. L ist injektiv.

L(V) = L span B) =^{(4.4)} span L(B) = W ⇒ L ist surjektiv.

Bez.: Eine geordnete Basis G eines n-dimensionalen Vektorraums V ist ein n-Tupel von Vektoren G = (v_{1}, …, v_{n}), so daß {v_{1}, …, v_{n}} eine Basis von V ist.

(4.6) Satz. Sei dim V = n < ∞, G = (v_{1}, …, v_{n}) geordnete Basis von V und w_{1}, …, w_{n} beliebige Elemente von W. Dann existiert genau ein L ∈ Hom(V, W), so daß Lv_{1} = w_{1} …, Lv_{n} = w_{n} gilt.

Beweis: Vorbemerkung: Wegen span{v_{1}, …, v_{n}} = V existieren zu jedem v ∈ V Skalare

α_{1}, …, α_{n} ∈ K, so daß v = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i} gilt, und da die v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig sind, sind

die α_{1}, …, α_{n} eindeutig durch v bestimmt, vgl. (3.9).

(i) Eindeutigkeit von L: Es seien L, L′ ∈ Hom(V, W) und Lv_{i} = L′v_{i} für alle i ∈

{1, …, n}. Sei v = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i} ∈ V. Dann gilt

L(v) = L (∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i}) = ∑_{i=1}^{n} α_{i}L(v_{i}) = ∑_{i=1}^{n} α_{i}L′(v_{i}) = L′(∑ α_{i}v_{i}) = L′(v).

(ii) Existenz von L: Für v = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i} ∈ V definieren wir

L(v) := ∑_{i=1}^{n} α_{i}w_{i} ∈ W.

Ist v = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i}, v′ = ∑^{n} α′_{i}v_{i}, so v + v′ = ∑_{i=1}^{n}(α_{i} + α′_{i})v_{i} und damit:

L(v + v′) = ∑_{i=1}^{n}(α_{i} + α′_{i})w_{i} = ∑_{i=1}^{n} α_{i}w_{i} + ∑_{i=1}^{n} α′_{i}w_{i} = L(v) + L(v′), d.h. L ist additiv. Analog

folgt, daß L homogen ist, also L ∈ Hom(V, W). Offensichtlich gilt L(v_{i}) = w_{i} für alle i ∈ {1, …, n}.

Bem.: Eine (4.6) entsprechende Aussage gilt auch im Fall dim V = ∞.

(4.7) Folgerung. Seien V, W K-Vektorräume, dim V = n < ∞. Dann gilt:

(i) V ist isomorph zu K^{n}.

(ii) V ist isomorph zu W ⇔ dim V = dim W.

Bew.:

(i) Sei (v_{1}, …, v_{n}) geordnete Basis von V. Nach (4.6) existiert ein L ∈ Hom(V, K^{n}) mit L(v_{1}) = e_{1}, …, L(v_{n}) = e_{n}. Nach (4.5) ist L Isomorphismus.

(ii) Analog folgt aus dim V = dim W, daß V und W isomorph sind. Ist umgekehrt L : V → W Isomorphismus, so folgt aus (4.5), daß dim V = dim W gilt.

(4.8) Dimensionssatz für lineare Abbildungen. Ist L ∈ Hom(V, W) und dim V < ∞, so gilt dim(ker L) < ∞, dim(im L) < ∞ und

dim V = dim(ker L) + dim(im L).

Speziell folgt: Ist dim V = dim W, so gilt: L injektiv ⇔ L surjektiv ⇔ L bijektiv.

Bew.: Aus (3.21) folgt die Existenz eines zu ker L komplementären Unterraums U von V, d.h. ker L ⊕ U = V und

dim(ker L) + dim U = dim V.

Wir zeigen, daß L|U : U → im L ein Isomorphismus ist und damit dim U = dim(im L), woraus mit der vorangehenden Gleichung die Behauptung folgt.

L|U ist injektiv, da ker(L|U) = ker L ∩ U = \{\underline{0}\}, vgl. (4.3). Zu jedem w ∈ im L existiert ein v ∈ V mit L(v) = w. Wegen ker L ⊕ U = V existieren v_{1} ∈ ker L und u ∈ U, so daß v = v_{1} + u gilt. Dann folgt w = L(v) = L(v_{1}) + L(u), d.h. w ∈ L(U). Das zeigt, daß L|U : U → im L surjektiv ist.

Anwendung:

Sei I die linke Seite eines linearen Gleichungssystems mit n Unbekannten und k Gleichungen und Koeffizienten a_{ij} ∈ K. Sei L : K^{n} → K^{k} die zugehörige lineare Abbildung, vgl. Bem. nach (4.3). Dann gilt: L_{I^{hom}} = ker L und

{b = (b_{1}, …, b_{k}) ∈ K^{k} | ∃ Lösung von I mit der rechten Seite b} = im L.

Aus (4.8) folgt: dim L_{I^{hom}} = n − dim(im L) ≥ n − k. Das wurde schon in (3.25) gezeigt.

I ist für beliebige rechte Seiten (b_{1}, …, b_{k}) lösbar ⇔ dim(im L) = k
⇔ dim(L_{I^{hom}}) = n − k

d.h. ist n ≥ k und ist I für beliebige rechte Seite lösbar, so ist die Lösungsmenge für jede rechte Seite ein (n − k)-dimensionaler affiner Unterraum. Ist k = n, so gilt: I ist für beliebige rechte Seiten (b_{1}, …, b_{n}) lösbar ⇔ L_{I^{hom}} = {0} ⇔ I besitzt für jede rechte Seite (b_{1}, …, b_{n}) genau eine Lösung.

Ist L ∈ Hom(V, W), α ∈ K, so definieren wir:

αL : V → W durch: ∀v ∈ V ist (αL)(v) := αL(v) ∈ W.

Es gilt dann: αL ∈ Hom(V, W), z.B. zeigen wir, daß αL additiv ist: (αL)(v_{1}+v_{2}) = αL(v_{1}+ v_{2}) = α(L(v_{1})+L(v_{2})) = αL(v_{1})+αL(v_{2}) = (αL)(v_{1})+(αL)(v_{2}). Sind L_{1}, L_{2} ∈ Hom(V, W), so definieren wir:

L_{1} + L_{2} : V → W durch: ∀v ∈ V ist (L_{1} + L_{2})(v) := L_{1}(v) + L_{2}(v) ∈ W.

Es gilt dann: L_{1} + L_{2} ∈ Hom(V, W), z.B. zeigen wir, daß L_{1} + L_{2} homogen ist: (L_{1} + L_{2})(αv) = L_{1}(αv) + L_{2}(αv) = αL_{1}(v) + αL_{2}(v) = α(L_{1}(v) + L_{2}(v)) = α(L_{1}(v) + L_{2}(v)) = α(L_{1} + L_{2})(v).

(4.9) Satz. Mit dieser Addition und dieser Multiplikation mit Körperelementen α ∈ K ist Hom(V, W) ein K-Vektorraum.

Bew.: Es muß nachgeprüft werden, daß (Hom(V, W), +) eine abelsche Gruppe ist und daß die Bedingungen (3.1)(i)-(iv) erfüllt sind. Das ist ebenso langwierig wie langweilig, aber man sollte es (einmal) getan haben. Wir führen exemplarisch einige der notwendigen Schritte durch: Das neutrale Element der Addition in Hom(V, W) ist die Abbildung L ∈ Hom(V, W), die jedes v ∈ V auf \underline{0} ∈ W abbildet, genannt die 0-Abbildung. Das additive Inverse zu L ∈ Hom(V, W) ist −L ∈ Hom(V, W), definiert durch (−L)(v) := −L(v).

Um (3.1)(iii) zu zeigen, seien α ∈ K, L_{1}, L_{2} ∈ Hom(V, W). Für beliebiges v ∈ V gilt:

\begin{matrix}(α(L_{1} + L_{2}))(v) = α((L_{1} + L_{2})(v)) = α(L_{1}(v) + L_{2}(v)) = αL_{1}(v) + αL_{2}(v) \\ = (αL_{1})(v) + (αL_{2})(v) = (αL_{1} + αL_{2})(v). \end{matrix}

Also gilt: α(L_{1} + L_{2}) = αL_{1} + αL_{2}.

(4.1) Def. Eine m × n-Matrix A über dem Körper K ist ein rechteckiges Schema, das aus m · n Körperelementen a_{ij} ∈ K besteht:

A = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{matrix} ) = (a_{ij})_{\begin{matrix}1≤i≤m \\ 1≤j≤n \end{matrix}}

A heißt quadratisch ⇔ m = n.

Die Vektoren (a_{11}, …, a_{1n}) ∈ K^{n}, …, (a_{m1}, …, a_{mn}) ∈ K^{n} heißen die Zeilenvektoren von

A. Die (m × 1)-Matrizen ( a_{11} ; ⋮ ; a_{m1} ) , …, ( a_{1n} ; ⋮ ; a_{mn} ) heißen die Spaltenvektoren von A.

Mit K^{m×n} wird die Menge der (m × n)-Matrizen über K bezeichnet.

Bsp.: Die linke Seite eines linearen Gleichungssystems mit m Gleichungen und n Unbekannten (in K) ist durch eine Matrix A ∈ K^{m×n} gegeben.

(4.11) Def. Sei L ∈ Hom(V, W), dim V = n, G = (v_{1}, …, v_{n}) geordnete Basis von V, dim W = m, G′ = (w_{1}, …, w_{m}) geordnete Basis von W. Dann heißt die Matrix A = (a_{ij}) ∈ K^{m×n}, die durch

L(v_{j}) =: ∑_{i=1}^{m} a_{ij}w_{i} für 1 ≤ j ≤ n,

definiert ist, die \underline{Matrix} \underline{von} L \underline{bezüglich} G \underline{und} G′,

A := Mat_{G}^{G′}(L).

(4.12) Folgerung. Die Abbildung Mat_{G}^{G′} : Hom(V, W) → K^{m×n} ist bijektiv.

Bew.: Injektivität: Seien L_{1}, L_{2} ∈ Hom(V, W) und Mat_{G}^{G′}(L_{1}) = Mat_{G}^{G′}(L_{2}). Dann gilt:

L_{1}(v_{j}) = ∑_{i=1}^{m} a_{ij}w_{i} = L_{2}(v_{j}) für j ∈ {1, …, n}. Aus (4.6) folgt dann: L_{1} = L_{2}.

Surjektivität: Sei A = (a_{ij}) ∈ K^{m×n} gegeben. Wir definieren für j ∈ {1, …, n}:

\overline{w}_{j} := ∑_{i=1}^{m} a_{ij}w_{i} ∈ W.

Nach (4.6) existiert (genau) ein L ∈ Hom(V, W) : Lv_{j} = \overline{w}_{j}. Dann gilt: M_{G}^{G′}(L) = A.

Bem.: Da eine Matrix A ∈ K^{m×n} im Grunde nur ein etwas anders notiertes Element von K^{m·n} ist, läßt sich leicht eine “natürliche” K-Vektorraumstruktur auf K^{m×n} definieren: α ∈ K, A = (a_{ij}) ∈ K^{m×n} → αA := (αa_{ij}) ∈ K^{m×n}, d.h.

αA := ( \begin{matrix}αa_{11} & … & αa_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ αa_{m1} & … & αa_{mn} \end{matrix} )

A = (a_{ij}) ∈ K^{m×n}, B = (b_{ij}) ∈ K^{m×n} → A + B := (a_{ij} + b_{ij}) ∈ K^{m×n}, d.h.

A + B := ( \begin{matrix}a_{11} + b_{11} & … & a_{1n} + b_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} + b_{m1} & … & a_{mn} + b_{mn} \end{matrix} )

(4.13) Fakt. Mit diesen Operationen ist K^{m×n} ein K-Vektorraum der Dimension m · n. Die Matrizen E_{ij} ∈ K^{m×n}, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

E_{ij} = ( \begin{matrix}0 & … & … & 0 & … & … & 0 \\ ⋮ & & & ⋮ & & & ⋮ \\ ⋮ & & & 0 & & & ⋮ \\ 0 & … & 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & & & 0 & & & ⋮ \\ ⋮ & & & ⋮ & & & ⋮ \\ 0 & … & … & 0 & … & … & 0 \end{matrix} )

(wobei die 1 am Schnittpunkt der i’ten Zeile und der j’ten Spalte sitzt) bilden eine Basis, die kanonische Basis, von K^{m×n}.

Bem.: Ist A = (a_{ij}) ∈ K^{m×n}, so gilt A = ∑_{i=1}^{m} ∑_{j=1}^{n} a_{ij}E_{ij}.

(4.14) Folgerung. Mat_{G}^{G′} : Hom(V, W) → K^{m×n} ist ein Isomorphismus.

Bew.: (4.12) besagt, daß Mat_{G}^{G′} bijektiv ist. Es bleibt zu zeigen, daß Mat_{G}^{G′} homogen und additiv ist:

Mat_{G}^{G′}(L) = (a_{ij}) ∈ K^{m×n} ⇔ ∀j ∈ {1, …, n} : L(v_{j}) = ∑ a_{ij}w_{i}.

Dann gilt für j ∈ {1, …, n}:

(αL)(v_{j}) = ∑_{i=1}^{m} αa_{ij}w_{i}.

Also Mat_{G}^{G′}(αL) = α(a_{ij}) = α Mat_{G}^{G′}(L).

Analog folgt: Mat_{G}^{G′}(L_{1} + L_{2}) = Mat_{G}^{G′}(L_{1}) + Mat_{G}^{G′}(L_{2}).

Frage: Gegeben 3 K-Vektorräume V, W, Z mit dim V = n, dim W = m, dim Z = k und geordneten Basen G, G′, G′′ und L ∈ Hom(V, W), J ∈ Hom(W, Z). Wie hängt Mat_{G}^{G′′}(J ∘ L) mit Mat_{G′}^{G′′}(J) und Mat_{G}^{G′}(L) zusammen?

(4.15) Satz. Ist A = (a_{hl}) = Mat_{G′}^{G′′}(J) ∈ K^{k×m}, B = (b_{ij}) = Mat_{G}^{G′}(L) ∈ K^{m×n}, so

ist Mat_{G}^{G′′}(J ∘ L) durch die Matrix C = (c_{hj}) ∈ K^{k×n} gegeben mit c_{hj} = ∑_{i=1}^{m} a_{hi}b_{ij} für

1 ≤ h ≤ k, 1 ≤ j ≤ n.

Vorbemerkung: Assoziativ-, Kommutativgesetz von +, Distributivgesetz ⇒

∑_{i=1}^{m} b_{i} (∑_{j=1}^{k} a_{ji}v_{j}) = ∑_{i=1}^{m} (∑_{j=1}^{k} b_{i}a_{ji}v_{j}) = ∑_{j=1}^{k} (∑_{i=1}^{m} b_{i}a_{ji}) v_{j}.

Bsp.: b_{1}(a_{11}v_{1} + a_{21}v_{2}) + b_{2}(a_{12}v_{1} + a_{22}v_{2}) = (b_{1}a_{11} + b_{2}a_{12})v_{1} + (b_{1}a_{21} + b_{2}a_{22})v_{2}.

Bew. von (4.15): Sei G = (v_{1}, …, v_{n}), G′ = (w_{1}, …, w_{m}), G′′ = (z_{1}, …, z_{k}) und

L(v_{j}) = ∑_{i=1}^{m} b_{ij}w_{i}, J(w_{i}) = ∑_{h=1}^{k} a_{hi}z_{h}.

Dann gilt: \begin{aligned}(J ∘ L)(v_{j}) & = & J(L(v_{j})) = J (∑_{i=1}^{m} b_{ij}w_{i}) = ∑_{i=1}^{m} b_{ij}J(w_{i}) \\ & = & ∑_{i=1}^{m} b_{ij} (∑_{h=1}^{k} a_{hi}z_{h}) =^{Vorbem.} ∑_{h=1}^{k} (∑_{i=1}^{m} a_{hi}b_{ij}) z_{h}. \end{aligned}

Definition. Ist A = (a_{hl}) ∈ K^{k×m}, B = (b_{ij}) ∈ K^{m×n}, so heißt die Matrix C = (c_{hj}) ∈ K^{k×n} mit

c_{hj} := ∑_{j=1}^{m} a_{hi}b_{ij} für 1 ≤ h ≤ k, 1 ≤ j ≤ n

das Produkt der Matrizen A und B, C =: AB. Dann gilt mit den Bezeichnungen von (4.15):

Mat_{G}^{G′′}(J ∘ L) = Mat_{G′}^{G′′}(J) Mat_{G}^{G′}(L).

Vorsicht: Damit AB definiert ist, muß gelten

# Spalten von A = # Zeilen von B

Explizit:

( \begin{matrix}2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} )_{∈K^{2×3}} ( \begin{matrix}3 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{matrix} ) =_{∈K^{3×4}} ( \begin{matrix}8 & 3 & 3 & 0 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{matrix} )_{∈K^{2×4}}

( \begin{matrix}3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )_{∈K^{2×3}} ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) =_{∈K^{3×1}} ( \begin{matrix}6 \\ 2 \end{matrix} )_{∈K^{2×1}}

(4.16) Folgerung.

(i) Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ: A(BC) = (AB)C (ii) A(B_{1} + B_{2}) = AB_{1} + AB_{2}, (A_{1} + A_{2})B = A_{1}B + A_{2}B (Distributivgesetze)

Bew.:

(i) Nachrechnen. Oder: A = Mat_{G_{3}}^{G_{4}}(L_{3}), B = Mat_{G_{2}}^{G_{3}}(L_{2}), C = Mat_{G_{1}}^{G_{2}}(L_{1})

und (L_{3} ∘ L_{2}) ∘ L_{1} = L_{3} ∘ (L_{2} ∘ L_{1}) ⇒^{(4.15)} Beh.

(ii) Nachrechnen. Oder: J ∘ (L_{1} + L_{2}) = (J ∘ L_{1}) + (J ∘ L_{2}) (J linear!)

⇒^{(4.14)+(4.15)} A(B_{1} + B_{2}) = AB_{1} + AB_{2}

(4.17) Abhängigkeit von der Wahl der Basen. Seien G, \overline{G} geordnete Basen von V, G′, \overline{G}′ geordnete Basen von V′ und L ∈ Hom(V, V′). Dann gilt:

Mat\overline{G}′ ; \overline{G}(L) = Mat_{G′}^{\overline{G}′}(id_{V′}) · Mat_{G}^{G′}(L) · MatG ; \overline{G}(id_{V})

Bew.: Wende (4.15) auf L = id_{V′} ∘L ∘ id_{V} bzgl. der Basen \overline{G}, G, G′, \overline{G}′ an.

Bem.: G = (v_{1}, …, v_{n}), \overline{G} = (\overline{v}_{1}, …, \overline{v}_{n}). Dann

Mat\overline{G} ; G(id_{V}) = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ⟺ v_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}\overline{v}_{i} für 1 ≤ j ≤ n.

1. Spezialfall: V′ = V

Ein Homomorphismus L : V → V heißt \underline{Endomorphismus}, End(V) := Hom(V, V). Sei dim V = n. Für jede geordnete Basis G von V gilt:

Mat_{G}^{G}(id_{V}) = ( \begin{matrix}1 & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & 1 \end{matrix} ) =: E_{n} ∈ K^{n×n}

E_{n} heißt die n-dimensionale Einheitsmatrix.

(End(V), +, ∘) ist Ring (mit 1). Neutrales Element von ∘ ist id_{V}. (K^{n×n}, +, ·) ist Ring (mit 1). Neutrales Element von · ist E_{n}.

Mat_{G}^{G} : End(V) → K^{n×n} ist Isomorphismus von Ringen, vgl. (4.14) und (4.15).

Ein bijektiver Endomorphismus heißt \underline{Automorphismus}, Aut(V) := \{L | L ∈ End(V) bijektiv\}. (Aut(V), ∘) ist Gruppe (Untergruppe von (S_{V} , ∘), vgl. Bsp. 5) nach (2.1)). Denn:

(i) id_{V} ∈ Aut(V) (neutrales Element bezüglich ∘)

(ii) L ∈ Aut(V) ⇒ L^{−1} ∈ Aut(V) (L^{−1} = Umkehrabbildung von L) L^{−1} ist bijektiv. Linearität von L^{−1}:

\begin{matrix}L(L^{−1}(v + w)) & = & v + w \\ L(L^{−1}(v) + L^{−1}(w)) & = & L(L^{−1}(v)) + L(L^{−1}(w)) = v + w \end{matrix} \} ⇒ \begin{matrix}L^{−1}(v + w) \\ = L^{−1}(v) + L^{−1}(w) \end{matrix}

ebenso L^{−1}(αv) = αL^{−1}(v) (iii) L_{1}, L_{2} ∈ Aut(V) ⇒ L_{1} ∘ L_{2} ∈ Aut(V)

(L_{1} ∘ L_{2})(αv) = L_{1}(L_{2}(αv)) = L_{1}(αL_{2}(v)) = αL_{1}(L_{2}(v)) = α((L_{1} ∘ L_{2})(v))

Analoges Objekt in K^{n×n}:

GL_{n}(K) := {A ∈ K^{n×n} | ∃B ∈ K^{n×n} : BA = E_{n}}

Def.: Seien (G, ⊤), (G′, ⊤′) Gruppen. H : G → G′ heißt Gruppenhomomorphismus ⇔ ∀g, h ∈ G: H(g ⊤ h) = H(g) ⊤′ H(h) H Gruppenisomorphismus ⇔ H bijektiver Gruppenhomomorphismus

(4.18) Satz. (GL_{n}(K), ·) ist Gruppe und Mat_{G}^{G} : Aut(V) → GL_{n}(K) ist Gruppenisomorphismus.

Bew.:

(i) Zeige: L ∈ Aut(V) ⇒ Mat_{G}^{G}(L) ∈ GL_{n}(K)

E_{n} = Mat_{G}^{G}(id_{V}) = Mat_{G}^{G}(L^{−1} ∘ L) =^{(4.15)} \underbrace{Mat_{G}^{G}(L^{−1})}_{∈K^{n×n}} · Mat_{G}^{G}(L)

(ii) Zeige: ∀A ∈ GL_{n}(K)∃L ∈ Aut(V) : Mat_{G}^{G}(L) = A

A ∈ GL_{n}(K) ⇒ ∃B ∈ K^{n×n} : BA = E_{n}. Nach (4.14) existieren J, L ∈ End(V): Mat_{G}^{G}(J) = B, Mat_{G}^{G}(L) = A. Also: Mat_{G}^{G}(J ∘ L) = BA = E_{n}. Da Mat_{G}^{G} injektiv ist, folgt J ∘ L = id_{V}, speziell L ist injektiv. Nach (4.8) ist L bijektiv, also L ∈ Aut(V) und Mat_{G}^{G}(L) = A, außerdem folgt J ∈ Aut(V) und damit nach (i) Mat_{G}^{G}(J) = B ∈ GL_{n}(K).

(i)+(ii) ⇒ Mat_{G}^{G} : Aut(V) → GL_{n}(K) bijektiv.

(4.15) ⇒ (GL_{n}(K), ·) ist Gruppe und Mat_{G}^{G} Gruppenisomorphismus.

Bez.: Die Elemente von GL_{n}(K) heißen reguläre (oder nicht-ausgeartete oder invertierbare) (n×n)-Matrizen. Ist A ∈ GL_{n}(K), B ∈ K^{n×n} und BA = E_{n}, so folgt (vgl. Bew. von (4.18)) B ∈ GL_{n}(K) und damit (da GL_{n}(K) eine Gruppe ist) B = A^{−1}, speziell auch AB = E_{n}. A^{−1} heißt die zu A ∈ GL_{n}(K) inverse Matrix.

(4.19) Folgerung (aus (4.17)): Seien G, \overline{G} geordnete Basen von V, L ∈ End(V) und P := MatG ; \overline{G}(id_{V}). Dann gilt P ∈ GL_{n}(K), P^{−1} = Mat\overline{G} ; G(id_{V}) und

Mat\overline{G} ; \overline{G}(L) = P^{−1} Mat_{G}^{G}(L)P

Bew.: Mat\overline{G} ; G(id_{V}) MatG ; \overline{G}(id_{V}) = Mat\overline{G} ; \overline{G}(id_{V}) = E_{n} ⇒ P ∈ GL_{n}(K) und P^{−1} = Mat\overline{G} ; G(id_{V}). Die letzte Gleichung folgt aus (4.17).

Bez.: Zwei Matrizen A, Ã ∈ K^{n×n} heißen ähnlich ⇔ ∃P ∈ GL_{n}(K) : P^{−1}AP = Ã. “Ähnlich” ist eine Äquivalenzrelation. Nichttriviales Problem: Man finde zu gegebenem A ∈ K^{n×n} eine “möglichst einfache” ähnliche Matrix (oder äquivalent: Man finde zu L ∈ End(V) eine Basis G, so daß Mat_{G}^{G}(L) möglichst einfach ist). Der im allgemeinen nicht erreichbare Idealfall ist:

Mat_{G}^{G}(L) = Diagonalmatrix = ( \begin{matrix}d_{1} \\ & ... & 0 \\ & 0 & ... \\ & & & d_{n} \end{matrix} )

2. Spezialfall: V = K^{n} mit Basis G = (e_{1}, …, e_{n}) V′ = K^{m} mit Basis G′ = (e_{1}, …, e_{m})

Bez.: Im Fall dieser natürlichen Basen schreiben wir für Mat_{G}^{G′} kurz Mat : Hom(K^{n}, K^{m}) → K^{m×n}. Wir identifizieren K^{n} (bzw. K^{m}) mit den “einspaltigen” Matrizen K^{n×1} (bzw. K^{m×1}) durch den Vektorraumisomorphismus

(x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n} → ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) ∈ K^{n×1}.

(4.20) Satz. Mit diesen Identifikationen gilt: Ist L ∈ Hom(K^{n}, K^{m}) und A = (a_{ij}) = Mat(L), so gilt für alle x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n}:

L(x) = A ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{matrix} ) ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) .

Bew.: Mat(L) = (a_{ij})_{\begin{matrix}1≤i≤m \\ 1≤j≤n \end{matrix}} ⇔ L(e_{j}) = ∑_{j=1}^{m} a_{ij}e_{i} für 1 ≤ j ≤ n.

Also: L(x) = L (∑_{j=1}^{n} x_{j}e_{j}) = ∑_{j=1}^{n} x_{j}L(e_{j}) = ∑_{j=1}^{n} x_{j} (∑_{i=1}^{m} a_{ij}e_{i}) =^{vgl. Bew. von (4.15)} = ∑_{i=1}^{m} (∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j}) e_{i}, d.h. L(x) = (∑_{j=1}^{n} a_{1j}x_{j}, ∑_{j=1}^{n} a_{2j}x_{j}, …, ∑_{j=1}^{n} a_{mj}x_{j}) ∈ K^{m}. Andererseits:

( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{matrix} ) ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( ∑_{j=1}^{n} a_{1j}x_{j} ; ⋮ ; ∑_{j=1}^{n} a_{mj}x_{j} ) ∈ K^{m×1}.

Bem.: L ∈ Hom(K^{n}, K^{m}), A = Mat(L). Dann “ist” L(e_{j}) ∈ K^{m} der j’te Spaltenvektor von A

L(e_{j}) = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 \\ · \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ · \\ 0 \end{matrix} ) = ( a_{1j} ; a_{2j} ; ⋮ ; a_{mj} ) ∈ K^{m×1}.

Speziell: Ist A ∈ K^{n×n}, so gilt: A ∈ GL_{n}(K) ⇔ die Spaltenvektoren von A sind linear unabhängig.

Begründung: Die lineare Abbildung L ∈ End(K^{n}) mit Mat(L) = A bildet die Basis e_{1}, …, e_{n} auf die n Spaltenvektoren von A ab. Nach (4.5) ist L genau dann ein Automorphismus, wenn diese Spaltenvektoren eine Basis von K^{n×1} bilden.

(4.21) Def.: Der \underline{Rang} \underline{rg(A)} von A ∈ K^{m×n} ist die maximale Zahl linear unabhängiger Spaltenvektoren von A.

Bem.: 1) 0 ≤ rg(A) ≤ min{n, m}. Begründung: Da A n Spaltenvektoren hat, gilt rg(A) ≤ n. Da der Raum K^{m×1} ≃ K^{m} der Spaltenvektoren m-dimensional ist, gilt rg(A) ≤ m, vgl. (3.16) Austauschsatz von Steinitz.

2) Für A ∈ K^{n×n} gilt: rg(A) = n ⇔ A ∈ GL_{n}(K).

(4.22) Fakt: Sei L ∈ Hom(K^{n}, K^{m}) und A = Mat(L). Dann gilt

rg(A) = dim(span{Spaltenvektoren von A}) = dim(im L)
= n − dim(ker L) = n − dim{x ∈ K^{n×1} | Ax = 0}.

Bew.: Die 1. Gleichung folgt aus der Tatsache, daß die Dimension eines Vektorraums die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren dieses Vektorraums ist. Die 2. Gleichung, folgt aus “L(e_{j}) = j’ter Spaltenvektor von A” und im L = span{L(e_{j}) | 1 ≤ j ≤ n}. Die 3. Gleichung folgt aus (4.8) und die 4. Gleichung folgt aus der dritten.

(4.23) Satz. Für jedes A ∈ K^{m×n} ist rg(A) auch die maximale Zahl linear unabhängiger Zeilenvektoren von A (“Spaltenrang = Zeilenrang”).

Bew.: Siehe (4.25).

(4.24) Satz. Sei A = (a_{ij}) ∈ K^{m×n} und I das lineare Gleichungssystem

I A ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{m} )

und (A|b) ∈ K^{m×(n+1)} die Matrix ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} & b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} & b_{m} \end{matrix} )

Dann gilt: I besitzt eine Lösung ⇔ rg(A) = rg(A|b)

Bew.: A ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{m} ) ⇔ ( \begin{matrix}a_{11}x_{1} & + … + & a_{1n}x_{n} & = b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1}x_{1} & + … + & a_{mn}x_{n} & = b_{m} \end{matrix} ) ⇔

x_{1} \underbrace{( a_{11} ; ⋮ ; a_{m1} )}_{=:A_{1}} +x_{2} \underbrace{( a_{12} ; ⋮ ; a_{m2} )}_{=:A_{2}} + … + x_{n} \underbrace{( a_{1n} ; ⋮ ; a_{mn} )}_{=:A_{n}} = \underbrace{( b_{1} ; ⋮ ; b_{m} )}_{=b} ∈ K^{m×1}.

Also: I besitzt Lösung ⇔ span{A_{1}, …, A_{n}} = span{A_{1}, …, A_{n}, b} ⇔ rg(A) = rg(A|b)

Konkrete Rechenverfahren: (4.25) Lösen eines linearen Gleichungssystems mit dem Gaußschen Algorithmus in Matrizenschreibweise. (Zum Lösen von linearen Gleichungssystemen siehe auch (1.13), (1.15), (1.16), (3.25), (3.26) und (4.8) plus Anwendung).

Gegeben das lineare Gleichungssystem

a_{11}x_{1} + … + a_{1n}x_{n} = b_{1}
⋮  ⋮
a_{m1}x_{1} + … + a_{mn}x_{n} = b_{m}.

Setze

A_{1} := ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} & b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} & b_{m} \end{matrix} ) ∈ K^{m×(n+1)}.

1. Fall a_{11} ≠ 0:

A_{1} → A_{2} := ( \begin{matrix}1 & \frac{a_{12}}{a_{11}} & … & \frac{a_{1n}}{a_{11}} & \frac{b_{1}}{a_{11}} \\ 0 & a_{22} − a_{21} \frac{a_{12}}{a_{11}} & … & a_{2n} − a_{21} \frac{a_{1n}}{a_{11}} & b_{2} − a_{21} \frac{b_{1}}{a_{11}} \\ ⋮ & ⋮ & … & ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{m2} − a_{m1} \frac{a_{12}}{a_{11}} & … & a_{mn} − a_{m1} \frac{a_{1n}}{a_{11}} & b_{m} − a_{m1} \frac{b_{1}}{a_{11}} \end{matrix} )

2. Fall: a_{11} = 0, aber es existiert i > 1 : a_{i1} ≠ 0. Vertausche 1. und i’te Zeile von A_{1}. Dann 1. Fall.

3. Fall: a_{i1} = 0 für 1 ≤ i ≤ m, d.h.

A_{1} = ( \begin{matrix}0 a_{12} & … & b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ \\ 0 a_{m2} & … & b_{m} \end{matrix} ) ∈ K^{m×(n+1)}. Betrachte Ã_{1} = ( \begin{matrix}a_{12} & … & b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m2} & … & b_{m} \end{matrix} ) ∈ K^{m×n}.

Dann 1. Fall (für n − 1).

Iteriere! → Endergebnis ist eine Matrix (\overline{A}|\overline{b}) ∈ K^{m×(n+1)} in Treppenform, z.B.

\overline{A} = ( \begin{matrix}1 & ∗ & ∗ & · & · & · & ∗ \\ 0 & 0 & 1 & ∗ & · & · & ∗ \\ 0 & 0 & 0 & 1 & ∗ & · & ∗ \\ · & · & · & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) (hier ist j_{1} = 1, j_{2} = 3, j_{3} = 4),

d.h. es gibt Zahlen k ≤ min{m, n} und 1 ≤ j_{1} < j_{2} < … < j_{k} ≤ n (⇒ j_{i} ≥ i für i ∈ {1, …, k}) mit:

1) a_{ij_{i}} = 1 für 1 ≤ i ≤ k und a_{ij} = 0 für 1 ≤ i ≤ k und j < j_{i}.
2) a_{ij} = 0 für i > k.

Wegen (1.13) gilt für alle x = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) ∈ K^{n×1} und alle b = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{m} ) ∈ K^{m×1}:

(I)  Ax = b ⇔ \overline{A}x = \overline{b}  (\overline{I})

Falls b = 0, so \overline{b} = 0. Deshalb folgt aus (4.22):

rg(A) = n − dim\{x | Ax = 0\} = n − \underbrace{dim\{x | \overline{A}x = 0\}}_{=n−k} = rg(\overline{A}) = k.

Andererseits: rg(A) = k = dim(span\{Zeilenvektoren von \overline{A}\}) = dim(span\{Zeilenvektoren von A\})

Daraus folgt (4.23).

I besitzt Lösung ⇔ Für i > k = rg(A) gilt: \overline{b}_{i} = 0. Dann ist \overline{I} rekursiv auflösbar, beginnend mit der k’ten Zeile, und die Lösungsmenge von I (=Lösungsmenge von \overline{I}) ist ein (n−rg(A))- dimensionaler affiner Unterraum von K^{n}.

(4.26) Berechnung der inversen Matrix mit dem Gaußschen Algorithmus. Gegeben A ∈ K^{n×n}. Frage: Gilt A ∈ GL_{n}(K). Wenn ja, berechne A^{−1}.

Betrachte (A | E_{n}) = (A | \begin{matrix}1 & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & 1 \end{matrix} ) ∈ K^{n×(2n)} und wende (4.25) analog auf (A | E_{n})

an. Man erhält (\overline{A} | \overline{B}) ∈ K^{n×(2n)}, und es gilt A ∈ GL_{n}(K) ⇔ \overline{A} ∈ GL_{n}(K) ⇔ \overline{a}_{ii} = 1

für 1 ≤ i ≤ n. Ausserdem gilt \overline{a}_{ij} = 0 für i > j … (d.h. \overline{A} = ( \begin{matrix}1 & ∗ & … & ∗ \\ 0 & ... & & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ∗ \\ 0 & … & 0 & 1 \end{matrix} ) ). Durch

geeignete Additionen der letzten, der vorletzten, …, der 2. Zeile verwandelt man (\overline{A} | \overline{B}) in (En | \overline{\overline{B}}), und es gilt für j ∈ \{1, …, n\} und alle x ∈ K^{n×1}:

Ax = e_{j} ⇔ En x(= x) = j’te Zeile von \overline{\overline{B}} = \overline{\overline{B}}e_{j}.

Also: A\overline{\overline{B}}e_{j} = Ax = e_{j} für j ∈ \{1, …, n\} und damit A\overline{\overline{B}} = En. Also gilt:

\overline{\overline{B}} ist zu A inverse Matrix.

Zwei explizite Beispiele zu den Rechenverfahren.

Zu (4.25):

I \begin{aligned}x_{1} & + & x_{2} & − & x_{3} & − & x_{4} & = & −2 \\ 3x_{1} & + & 3x2 & − & x_{3} & − & 2x_{4} & = & 6 \\ −x_{1} & − & x_{2} & + & 3x_{3} & + & 2x_{4} & = & 14 \end{aligned}

(A|b) = \begin{matrix}( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & −1 \\ 3 & 3 & −1 & −2 \\ −1 & −1 & 3 & 2 \end{matrix} | \begin{matrix}−2 \\ 6 \\ 14 \end{matrix} ) & \begin{aligned}−3 | & + | \\ _{←}| & | \\ & _{←}| \end{aligned} \\ ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & −1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}−2 \\ 12 \\ 12 \end{matrix} ) & \begin{matrix}− | & : \frac{1}{2} \\ _{←}| \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix}( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} | \begin{matrix}−2 \\ 6 \\ 0 \end{matrix} ) & \begin{matrix}^{←}| \\ +| \end{matrix} \\ ( & \begin{matrix}1 & 1 & 0 & −\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} | & 4 6 0 & ) \end{matrix}

Es folgt: rg(A) = 2, I ist lösbar, der Lösungsraum L_{I} ist ein 2-dimensionaler affiner Unterraum.

Explizite Lösung:

x_{4} =: λ
x_{3} + \frac{1}{2}x_{4} = 6  ⇒ x_{3} = 6 − \frac{1}{2}λ
x_{2} =: μ
x_{1} + x_{2} − \frac{1}{2}x_{4} = 4 ⇒ x_{1} = \frac{1}{2}λ − μ + 4

L_{I} \begin{matrix}= \{(\frac{1}{2}λ − μ + 4, μ, 6 − \frac{1}{2}λ, λ) | (λ, μ) ∈ ℝ^{2}\} \\ = \{(4, 0, 6, 0) + λ(\frac{1}{2}, 0, −\frac{1}{2}, 1) + μ(−1, 1, 0, 0) | (λ, μ) ∈ ℝ^{2}\} \\ = (4, 0, 6, 0) + span\{(\frac{1}{2}, 0, −\frac{1}{2}, 1), (−1, 1, 0, 0)\} ⊆ ℝ^{4} \end{matrix}

Zu (4.26)

Berechnung von A^{−1} für A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{3×3}

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )  \begin{aligned}− | & − | \\ _{←}| & | \\ & _{←}| \end{aligned}

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} | \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \end{matrix} )  \begin{matrix}+| & ·(−1) \\ _{←}| \end{matrix}

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & −1 & 0 \\ −2 & 1 & 1 \end{matrix} )  \begin{aligned}& ^{←}| \\ ^{←}| & | \\ +| & −| \end{aligned}

( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}3 & −1 & −1 \\ −1 & 0 & 1 \\ −2 & 1 & 1 \end{matrix} )  \begin{matrix}^{←}| \\ −| \end{matrix}

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}4 & −1 & −2 \\ −1 & 0 & 1 \\ −2 & 1 & 1 \end{matrix} )  ⇒  A^{−1} = ( \begin{matrix}4 & −1 & −2 \\ −1 & 0 & 1 \\ −2 & 1 & 1 \end{matrix} ) ∈ GL_{3}(ℚ) ⊆ ℚ^{3×3}.

Speziell folgt: A ∈ GL_{3}(ℚ).

5. Die Determinante

Motivation: Ist V ein ℝ-Vektorraum der Dimension n und sind v_{1}, …, v_{n} linear unabhängige Vektoren in V, so heißt

P (v_{1}, …, v_{n}) = {∑_{i=1}^{n} t_{i}v_{i} | ∀i ∈ {1, …, n} : 0 ≤ t_{i} ≤ 1}

das von v_{1}, …, v_{n} aufgespannte Parallelotop.

Bsp.: n = 2: Parallotop = Parallelogramm.

Wie es bisher für uns keinen mathematischen Sinn hat von der “Länge eines Vektors v ∈ V ” zu sprechen (dazu benötigt man eine zusätzliche “mathematische Struktur” - eine Norm oder ein Skalarprodukt auf V), so benötigt man auch eine zusätzliche Struktur auf V, um “das” Volumen eines Parallelotops definieren zu können. Diese zusätzliche Struktur auf dem ℝ-Vektorraum V heißt eine Determinantenform und ist eine Funktion D : V^{n} = \underbrace{V × … × V}_{n-mal} → ℝ, die einer geordneten Basis (v_{1}, …, v_{n}) von V eine reelle Zahl (≠ 0)

zuordnet, deren Betrag wir als Definition für das Volumen von P (v_{1}, …, v_{n}) nehmen wollen. (Es stellt sich heraus, daß die Funktion D, die positive und negative Werte annimmt, das mathematisch natürliche Objekt ist. Das Vorzeichen von D(v_{1}, …, v_{n}) sagt etwas über die “Orientierung” der geordneten Basis (v_{1}, …, v_{n}) aus, d.h. im Fall V = ℝ^{3} (und in physikalischer Sprechweise) ob (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ein Rechts- oder ein Linkssystem ist). Damit man so zu einem vernünftigen Volumenbegriff kommt, wird D besondere Eigenschaften haben müssen. Es ist eine erfreuliche Tatsache, daß D durch folgende natürliche Forderungen nahezu eindeutig (d.h. bis auf Multiplikation mit einer reellen Zahl ≠ 0) bestimmt ist.

(V_{1}) (v_{1}, …, v_{n}) Basis ⇒ D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0.

(V_{2}) Für alle i ∈ {1, …, n}, (v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n} und r ∈ ℝ gilt:

D(v_{1}, …, v_{i−1}, rv_{i}, v_{i+1}, …, v_{n}) = rD(v_{1}, …, v_{n})

(V_{3}) Für alle 1 ≤ i < j ≤ n und alle (v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n} gilt

D(v_{1}, …, v_{i−1}, v_{i} + v_{j}, v_{i+1}, …, v_{n}) = D(v_{1}, …, v_{n}) = D(v_{1}, …, v_{j−1}, v_{i} + v_{j}, …, v_{n})

Dabei hat (V_{2}) die anschauliche Interpretation, daß das Volumen von P (v_{1}, …, v_{i−1}, rv_{i}, v_{i+1}, …, v_{n}) das |r|-fache des Volumens von P (v_{1}, …, v_{n}) sein soll.

Die anschauliche Bedeutung von (V_{3}) ist die “Scherungsinvarianz” des Volumens.

(5.1) Def. Sei V ein K-Vektorraum, k ∈ ℕ. Eine Abbildung f : V^{k} → K heißt

(i) k-linear (k-Linearform), falls f in jedem Argument linear ist, d.h. falls für jedes i ∈ {1, …, k} und alle v_{1}, …, v_{i−1}, v, w, v_{i+1}, …, v_{k} ∈ V, α, β ∈ K gilt:

\begin{aligned}f(v_{1}, …, v_{i−1}, αv + βw, v_{i+1}, …, v_{k}) & = & αf(v_{1}, …, v_{i−1}, v, v_{i+1}, …, v_{k}) \\ & + & βf(v_{1}, …, v_{i−1}, w, v_{i+1}, …, v_{k}) \end{aligned}

(ii) alternierend (oder schiefsymmetrisch) falls für alle 1 ≤ i < j ≤ k und alle v_{1}, …, v_{k} ∈

V gilt: v_{i} = v_{j} ⇒ f(v_{1}, …, v_{i}, …, v_{j}, …, v_{k}) = 0 (5.2) Lemma. Sei V K-Vektorraum, dim V = n und f : V^{n} → K. f erfüllt genau dann die Bedingungen (V_{2}) (für K statt ℝ) und (V_{3}), wenn f alternierend und n-linear ist. Bew.: siehe R. Walter, Einf. i.d. Lin. Alg. (Vieweg-Verlag 1982) S. 146, Satz D). (5.3) Lemma. Für jede alternierende k-Linearform f : V^{k} → K gilt:

(i) ∀1 ≤ i < j ≤ k: f(…, v^{i}, …, w^{j}, …) = −f(…, w^{i}, …, v^{j}, …)

(ii) v_{1}, …, v_{n} linear abhängig ⇒ f(v_{1}, …, v_{n}) = 0

(iii) ∀1 ≤ i < j ≤ k: f(…, v^{i}, …, w + λv^{j}, …) = f(…, v^{i}, …, w^{j}, …)

Bew.:

(i)

0 = f(…, v + w, …, v + w, …)
= f(…, v, …, v + w, …) + f(…, w, …, v + w, …)
= \underbrace{f(…, v, …, v, …)}_{=0} +f(…, v, …, w, …)

+f(…, w, …, v, …) + \underbrace{f(…, w, …, w, …)}_{=0}

(ii) Sei etwa v_{i} = ∑_{\begin{matrix}j=1 \\ j≠i \end{matrix}}^{k} α_{j}v_{j}. Dann:

f(v_{1}, …, v_{n}) = ∑_{\begin{matrix}j=1 \\ j≠i \end{matrix}}^{n} α_{j} \underbrace{f(v_{1}, …, v_{i−1}, v_{j}, v_{i+1}, …, v_{k})}_{=0} = 0

(iii) klar. Wir werden uns als nächstes damit beschäftigen, herauszufinden, wie sich der Wert einer alternierenden Form ändert, wenn man die Argumente ganz beliebig vertauscht (“permutiert”). Zunächst einiges zu diesen Permutationen:

Die Menge S_{n} = {σ | σ : {1, …, n} → {1, …, n}, σ bijektiv} mit der Komposition ∘ von Abbildungen als Verknüpfung bildet eine Gruppe, die symmetrische Gruppe. Ein σ ∈ S_{n} heißt eine Permutation von {1, …, n}.

Sind a_{1}, …, a_{k} Körperelemente, so führen wir in Analogie zum Summensymbol Σ ein:

∏_{i=1}^{k} a_{i} := a_{1} · a_{2} · . . . · a_{k}.

(5.4) Def.: Ist σ ∈ S_{n}, so heißt

sgn(σ) := ∏_{1≤i<j≤n} \frac{σ(j) − σ(i)}{j − i}

das Signum von σ.

Bsp.: 1) σ = id_{{1,...,n}} ⇒ sgn(σ) = 1.

2) Ist σ ∈ S_{2} mit σ(1) := 2, σ(2) := 1, so sgn(σ) = \frac{1−2}{2−1} = −1.

3) σ ∈ S_{n} heißt \underline{Transposition} ⇔ ∃1 ≤ i < j ≤ n: σ(i) = j, σ(j) = i und σ(k) = k, falls k ∈ {1, …, n} \ {i, j}.

(5.5) Fakt.

(i) sgn : S_{n} → {±1} (ii) sgn(σ) = (−1)^{Fehlstandszahl von σ}, wobei die Fehlstandszahl von σ die Anzahl der

Paare (i, j) ist mit 1 ≤ i < j ≤ n und σ(i) > σ(j). (iii) σ ∈ S_{n} Transposition ⇒ sgn(σ) = −1 (σ hat 2(j − i) − 1 Fehlstände!).

Bez.: Eine Permutation σ heißt gerade, falls sgn(σ) = 1, sonst ungerade.

(5.6) Satz. Für alle σ, τ ∈ S_{n} gilt sgn(σ ∘ τ) = sgn(σ) sgn(τ), d.h. σ ist Homomorphismus von (S_{n}, ∘) in die Gruppe(!) ({±1}, ·).

Bew.: Vorbemerkung: Wegen \frac{σ(j)−σ(i)}{j−i} = \frac{σ(i)−σ(j)}{i−j} kann man in der Definition von sgn(σ) statt über alle Paare (i, j) mit 1 ≤ i < j ≤ n zu multiplizieren über irgendeine Menge von Paaren (i, j) multiplizieren, die die Eigenschaft hat, daß die Menge der zugehörigen Paarmengen {i, j} die Menge aller 2-elementigen Teilmengen von {1, …, n} ist.

sgn(σ ∘ τ) = ∏_{1≤i<j≤n} \frac{σ(τ(j)) − σ(τ(i))}{j − i} = \underbrace{∏_{1≤i<j≤n} \frac{σ(τ(j)) − σ(τ(i))}{τ(j) − τ(i)}}_{= sgn(σ) (vgl. Vorbemerkung)} \underbrace{∏_{1≤i<j≤n} \frac{τ(j) − τ(i)}{j − i}}_{=:sgn(τ)}

(5.7) Folgerung.

(i) sgn(σ^{−1}) = sgn(σ).

(ii) Sei τ ∈ S_{n} ungerade. Dann bildet die Abbildung σ → τ ∘ σ die Menge der geraden Permutationen bijektiv auf die Menge der ungeraden Permutationen ab.

Bew.:

(i) 1 = sgn(id) = sgn(σ ∘ σ^{−1}) = sgn(σ) sgn(σ^{−1}) ⇒ sgn(σ) = sgn(σ^{−1}).

(ii) sgn(σ) = 1 ⇒ sgn(τ ∘ σ) = −1. Die Abbildung σ → τ ∘ σ ist injektiv, da aus τ ∘ σ_{1} = τ ∘ σ_{2} folgt τ^{−1} ∘ (τ ∘ σ_{1}) = σ_{1} = τ^{−1} ∘ (τ ∘ σ_{2}) = σ_{2}. Ist σ̃ ∈ S_{n} ungerade,

so gilt τ ∘ (τ^{−1} ∘ σ̃) = σ̃ und sgn(τ^{−1} ∘ σ̃) = sgn(τ^{−1}) sgn(σ̃) =^{(i)} sgn(τ) sgn(σ̃) = (−1)(−1) = 1.

(5.8) Fakt. Ist n ≥ 2 und σ ∈ S_{n}, so existiert k ∈ {1, …, n} und Transpositionen τ_{1}, …, τ_{k}, so daß σ = τ_{1} ∘ … ∘ τ_{k} gilt. Es gilt dann sgn(σ) = (−1)^{k}.

Bew.: Offensichtlich (oder per Induktion). sgn(σ) = (−1)^{k} folgt aus (5.6) und (5.5) (iii).

(5.9) Lemma. Sei V K-Vektorraum und f : V^{k} → K k-linear und alternierend. Dann gilt für alle (v_{1}, …, v_{k}) ∈ V^{k} und alle σ ∈ S_{k}:

f(v_{σ(1)}, …, v_{σ(k)}) = sgn(σ)f(v_{1}, …, v_{k}).

Bew.: Folgt aus (5.3) (i) und (5.8).

(5.10) Satz. Sei V K-Vektorraum, dim V = n, (v_{1}, …, v_{n}) Basis V und α ∈ K. Dann gibt es genau eine alternierende n-Linearform f : V^{n} → K mit f(v_{1}, …, v_{n}) = α und für

dieses f gilt: Ist (w_{1}, …, w_{n}) ∈ V^{n}, w_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}v_{i}, so

(∗) f(w_{1}, …, w_{n}) = α ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{σ(1)1} · a_{σ(2)2} · . . . · a_{σ(n)n}.

Speziell: Ist f(v_{1}, …, v_{n}) = 0 für eine Basis (v_{1}, …, v_{n}), so ist f ≡ 0.

Bew.: (i) Eindeutigkeit: Sei f alternierende n-Form, f(v_{1}, …, v_{n}) = α

f(w_{1}, …, w_{n})  =  f ( ∑_{i_{1}=1}^{n} a_{i_{1}1}v_{i_{1}}, ∑_{i_{2}=1}^{n} a_{i_{2}2}v_{i_{2}}, …, ∑_{i_{n}=1}^{n} a_{i_{n}n}v_{i_{n}})
=^{f n-linear}  ∑_{i_{1}=1}^{n} ∑_{i_{2}=1}^{n} … ∑_{i_{n}=1}^{n} a_{i_{1}1} · a_{i_{2}2} · . . . · a_{i_{n}n} \underbrace{f(v_{i_{1}}, v_{i_{2}}, …, v_{i_{n}})}_{= 0, falls k → i_{k} nicht injektiv}

f alternierend =  ∑_{σ∈S_{n}} a_{σ(1)1} · a_{σ(2)2} · . . . · a_{σ(n)n}f(v_{σ(1)}, …, v_{σ(n)})

=^{(5.9)}  α ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{σ(1)1} · . . . · a_{σ(n)n}

Vorbem. zu (ii): σ ∈ S_{n} ⇒ ∏_{i=1}^{n} b_{i} = ∏_{i=1}^{n} b_{σ(i)} (· kommutativ!)

(ii) Wir zeigen: ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{1σ(1)} · . . . · a_{nσ(n)} = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{σ(1)1} · . . . · a_{σ(n)n}.

Denn ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{1σ(1)}·. . .·a_{nσ(n)} =^{σ∈S_{n}→σ^{−1}∈S_{n} bijektiv} ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ^{−1}) \underbrace{a_{1σ^{−1}(1)} · . . . · a_{nσ^{−1}(n)}}_{= ∏_{i=1}^{n} b_{i} für b_{i}:=a_{iσ^{−1}(i)}} =^{(5.7)(i)}  ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ) \underbrace{a_{σ(1)1} · . . . · a_{σ(n)n}}_{= ∏_{i=1}^{n} b_{σ(i)}}

(iii) Existenz: Definiere f durch (∗). Man sieht leicht, daß f n-linear ist. Außerdem gilt

wegen v_{j} = ∑_{i=1}^{n} δ_{ij}v_{i} (mit δ_{ij} = 1 für i = j, δ_{ij} = 0 für i ≠ j):

f(v_{1}, …, v_{n}) = α ∑ sgn(σ)δ_{σ(1)1} · . . . · δ_{σ(n)n} = α sgn(id) = α.

Bleibt zu zeigen, daß f(w_{1}, …, w_{n}) = 0 gilt, falls für ein Paar (i, j) mit 1 ≤ i < j ≤ n gilt:

w_{i} = w_{j}. Ist w_{k} = ∑_{l=1}^{n} a_{lk}v_{l}, 1 ≤ k ≤ n, so folgt aus w_{i} = w_{j}:

(∗∗) a_{li} = a_{lj} für 1 ≤ l ≤ n.

Sei τ die Transposition, die i und j vertauscht.

f(w_{1}, …, w_{n}) =^{(ii)} α ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{1σ(1)} · . . . · a_{nσ(n)} =^{(5.7)(ii)}
= α ∑_{σ∈S_{n}gerade} a_{1σ(1)} · . . . · a_{nσ(n)} − α ∑_{σ∈S_{n}gerade} a_{1τ∘σ(1)} · . . . · a_{nτ∘σ(n)} = 0,

da aus (∗∗) folgt: a_{lσ(l)} = a_{lτ∘σ(l)} für alle l ∈ {1, …, n} und alle σ ∈ S_{n}.

(5.11) Def.: Sei V K-Vektorraum, dim V = n. Eine alternierende n-Linearform D : V^{n} → K, D ≠ 0, heißt \underline{Determinantenform} \underline{auf} V.

Erinnerung: D ≠ 0 bedeutet: Es existiert (v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n}: D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0.

Bsp.: D_{0} : ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ, D_{0}((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) = x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1}.

D_{0}(e_{1}, e_{2}) = 1

(5.12) Folgerung. Sei D Determinantenform auf dem n-dimensionalen K-Vektorraum V und (v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n}. Dann gilt

(i) (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V ⇔ D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0.

(ii) Ist f : V^{n} → K alternierende n-Linearform, so existiert α ∈ K : f = αD.

Bem.: 1) (ii) ⇔ {f | f alternierende n-Linearform} ist 1-dimensionaler K-Vektorraum. Die Determinantenformen sind die Elemente ≠ 0 dieses Vektorraumes.

2) f = αD, (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V ⇒ α = \frac{f(v_{1},...,v_{n})}{D(v_{1},...,v_{n})}

54

Bew.: (i) Sei (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V. Dann folgt aus (5.10) (“Speziell:”) und D ≠ 0, daß D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0 gilt. Ist D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0, so folgt aus (5.3)(ii), daß die v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig sind, also - wegen dim V = n - eine Basis von V.

(ii) Sei (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V und α := \frac{f(v_{1},...,v_{n})}{D(v_{1},...,v_{n})}. Dann sind f und αD alternierende n-Linearformen, die auf der Basis (v_{1}, …, v_{n}) den gleichen Wert annehmen. Also folgt aus (5.10) (Eindeutigkeit): f = αD.

Einschub: Die Determinante quadratischer Matrizen.

In K^{n} haben wir die Standardbasis (e_{1}, …, e_{n}), die - nach (5.10) - eine “Standarddeterminantenform” D_{0} : K^{n} × … × K^{n} → K durch

D_{0}(e_{1}, …, e_{n}) = 1

eindeutig bestimmt. Ist A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ K^{n}, so seien A_{j} := ∑_{i=1}^{n} a_{ij}e_{i} die “Spaltenvekto-

ren” von A.

(5.13) Def. Die Determinante det : K^{n×n} → K ist definiert durch

det A := D_{0}(A_{1}, …, A_{n})

Bezeichnungsweise: det A = | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{matrix} |

(5.14) Folgerung (Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716). Ist A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ K^{n×n}, so

det A = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{σ(1)1} · . . . · a_{σ(n)n}.

Bem.: Beweis (5.10)(ii) ⇒ det A = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{1σ(1)} · . . . · a_{nσ(n)}.

Bew.: det(A) = D_{0}(A_{1}, …, A_{n}), A_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}e_{i}, D_{0}(e_{1}, …, e_{n}) = 1 ⇒^{(5.10)} Beh.

Speziell: \begin{matrix}n = 1 : & A = (a_{11}) → & det A = a_{11} \\ n = 2 : & A = \binom{a_{11}a_{12}}{a_{21}a_{22}} → & det A = a_{11}a_{22} − a_{12}a_{21} \end{matrix}

n = 3: Regel von Sarrus (Rechenverfahren)

a_{11}  a_{12}  a_{13}  a_{11}  a_{12}
⧹  ×  ×  ⧸
a_{21}  a_{22}  a_{23}  a_{21}  a_{22}
⧸  ×  ×  ⧹
a_{31}  a_{32}  a_{33}  a_{31}  a_{32}

\begin{aligned}det A & = & a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ & − & a_{31}a_{22}a_{13} − a_{32}a_{23}a_{11} − a_{33}a_{21}a_{12} \end{aligned}

(5.15) Satz (einige Eigenschaften von det A)

(i) det A ist n-linear und alternierend in den Spaltenvektoren von A.

(ii) det E_{n} = 1.

(iii) det A ≠ 0 ⇔ A ∈ GL_{n}(K).

Bew.:

(i) folgt direkt aus der Definition.

(ii) det E_{n} = D_{0}(e_{1}, …, e_{n}) = 1.

(iii) det A ≠ 0 ⇔^{(5.12)(i)} Spaltenvektoren linear unabhängig ⇔ A ∈ GL_{n}(K).

Folgerungen aus (5.15)(i):

| \begin{matrix}a_{11} & … & αa_{1j} & … & a_{n1} \\ ⋮ & & & & ⋮ \\ a_{m1} & … & αa_{nj} & … & a_{nn} \end{matrix} | = α | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{n1} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{matrix} |

und: det(αA) = α^{n} det A.

Vertauscht man 2 Spalten von A, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Addiert man zu einer Spalte eine Linearkombination \underline{der anderen} Spalten, so ändert sich det A nicht, z.B.

| \begin{matrix}a_{11} + αa_{12} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} + αa_{22} & a_{22} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} + αa_{n2} & a_{n2} & … & a_{nn} \end{matrix} | = | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{matrix} |

(5.15)(iii): det A = 0 ⇔ Spaltenvektoren sind linear abhängig.

(5.16) Def. Sei A ∈ K^{m×n}. Die \underline{transponierte} \underline{Matrix} A^{T} ∈ K^{n×m} \underline{zu} A hat als Zeilen gerade die Spalten von A (in der gleichen Reihenfolge), d.h.

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} \end{matrix} ) ⇒ A^{T} = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{m1} \\ a_{12} & … & a_{m2} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{1n} & … & a_{mn} \end{matrix} )

oder: A = (a_{ij})_{\begin{matrix}1≤i≤m \\ 1≤j≤n \end{matrix}} ∈ K^{m×n}, so A^{T} = (ã_{ji})_{\begin{matrix}1≤j≤n \\ 1≤i≤m \end{matrix}} mit ã_{ji} = a_{ij}.

Bsp.: A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{2×3} ⇒ A^{T} = ( \begin{matrix}1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{matrix} ) ∈ ℚ^{3×2}.

(5.17) Folgerung (aus Bew. (5.10)(ii)).

(i) ∀A ∈ K^{n×n} : det A = det(A^{T}).

(ii) det A ist auch in den Zeilenvektoren von A n-linear und alternierend. (D.h. (5.15)(i) + Folgerungen gelten auch für Zeilenvektoren).

Bew.:

(i) (A^{T} = (ã_{ji})_{\begin{matrix}1≤j≤n \\ 1≤i≤n \end{matrix}} mit ã_{ji} = a_{ij}.

det(A^{T}) = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)ã_{σ(1)1} · . . . · ã_{σ(n)n} ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)a_{1σ(1)} · . . . · a_{nσ(n)} =^{Bew.(5.10)(ii)} det A.

(ii) folgt aus (i).

Konkretes Verfahren zur Berechnung von det A für größere n: Durch Addition von Vielfachen von Zeilen zu anderen Zeilen und - falls nötig - durch Vertauschung von Zeilen verwandle A in “obere Dreiecksmatrix” \overline{A} = (\overline{a}_{ij}) (d.h. \overline{a}_{ij} = 0 für i > j), analog zu (4.25). Dann gilt, wenn k die Anzahl der Zeilenvertauschungen bezeichnet:

det A = (−1)^{k} det \overline{A} = (−1)^{k}\overline{a}_{11} · . . . · \overline{a}_{nn}. Denn:

(5.18) Lemma. Ist A = (a_{ij}) ∈ K^{n×n} obere (oder untere) Dreiecksmatrix, so gilt det A = a_{11} · . . . · a_{nn}.

Bew.: a_{σ(1)1} · . . . · a_{σ(n)n} ≠ 0 ⇒ ∀i ∈ {1, …, n} : σ(i) ≤ i ⇒ σ = id ⇒ Beh.

Bsp.:

| \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 8 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{matrix} | \begin{aligned}−4 | & −7 | \\ _{←}| & | \\ & _{←}| \end{aligned} = | \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & −6 \\ 0 & −6 & −11 \end{matrix} | = − | \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & −6 & −11 \\ 0 & 0 & −6 \end{matrix} | = −36

Zurück zur Theorie:

Bem.: Ist K = ℝ, dim V = n und D : V^{n} → ℝ Determinantenform, so definiert man das Volumen (bzgl. D) vol_{D}(P) eines Parallelotops P = P (v_{1}, …, v_{n}) ⊆ V durch vol_{D}(P) = |D(v_{1}, …, v_{n})|. Wegen (5.12)(ii) gilt:

Sind D, D̃ Determinantenformen auf V, so existiert α ∈ ℝ_{>0}, so daß für alle Parallelotope P = P (v_{1}, …, v_{n}) ⊆ V gilt:

volD̃(P) = α vol_{D}(P).

(5.19) Satz und Def. Sei V n-dimensionaler K-Vektorraum und L ∈ End(V). Dann ist für jede Basis (v_{1}, …, v_{n}) von V und jede Determinantenform D auf V der Quotient \frac{D(L(v_{1}),...,L(v_{n}))}{D(v_{1},...,v_{n})} das gleiche Element von K und wir definieren

det L := \frac{D(L(v_{1}), …, L(v_{n}))}{D(v_{1}, …, v_{n})}.

Bem.: Sei K = ℝ. Dann gilt für jedes Parallelotop P ⊆ V^{n} und jede Determinantenform D: vol_{D}(L(P)) = | det L| vol_{D}(P). (L linear ⇒ L(P (v_{1}, …, v_{n})) = P (L(v_{1}), …, L(v_{n}))!)

Bew. von (5.19): Wegen (5.12)(i) gilt D(v_{1}, …, v_{n}) ≠ 0. Aus (5.12)(ii) folgt, daß det L unabhängig von der Wahl von D ist. Um die Unabhängigkeit von der Wahl der Basis zu beweisen, bemerken wir, daß

f : (w_{1}, …, w_{n}) ∈ V^{n} → D(L(w_{1}), …, L(w_{n}))

eine alternierende n-Linearform ist, so daß aus (5.12)(ii) folgt: Es existiert α ∈ K:

f = αD.

Für jede Basis v_{1}, …, v_{n}) von V gilt also:

α = \frac{f(v_{1}, …, v_{n})}{D(v_{1}, …, v_{n})} = \frac{D(L(v_{1}), …, L(v_{n}))}{D(v_{1}, …, v_{n})}(=: det L).

(5.20) Folgerung. Seien L, L_{1}, L_{2} ∈ End(V), α ∈ K. Dann gilt:

(i) det(id_{V}) = 1 (ii) L ∈ Aut(V) ⇔ det L ≠ 0 (iii) det(L_{2} ∘ L_{1}) = det L_{2} det L_{1} (iv) L ∈ Aut(V) ⇒ det(L^{−1}) = (det L)^{−1}

(v) det(αL) = α^{n} det(L)

Bew.:

(ii)

L ∈ Aut(V)  ⇔^{(4.5)}  Ist(v_{1}, …, v_{n}) Basis, so auch(L(v_{1}), …, L(v_{n}))
⇔^{(5.12)(i), (5.19)} det L ≠ 0.

(iii) 1. Fall: L_{1} ∈ Aut(V). Sei (v_{1}, …, v_{n}) Basis von V. Dann ist (L(v_{1}), …, L(v_{n})) Basis von V, und es gilt:

det(L_{2} ∘ L_{1}) = \frac{D(L_{2}(L_{1}(v_{1})),...,L_{2}(L_{1}(v_{n})))}{D(v_{1},...,v_{n})}
= \frac{D(L_{2}(L_{1}v_{1}),...,L_{2}(L_{1}(v_{n})))}{D(L_{1}(v_{1}),...,L_{1}(v_{n}))} · det L_{1}
= det L_{2} · det L_{1}

2. Fall: L_{1} ∉ Aut(V)(⇔^{(ii)} det L_{1} = 0). Dann ist L_{1} nicht injektiv, vgl. (4.8). Also ist auch L_{2} ∘ L_{1} nicht injektiv, also det(L_{2} ∘ L_{1}) = 0. Daraus folgt:

0 = det L_{2} \underbrace{det L_{1}}_{=0} = det(L_{2} ∘ L_{1})

(iv) L ∈ Aut(V) ⇒ 1 =^{(i)} det(id_{V}) = det(L^{−1} ∘ L) =^{(iii)} det(L^{−1}) det L ⇒ Beh.

(v) folgt direkt auf Def. (5.19).

Zusammenhang mit der Determinante von Matrizen:

(5.21) Fakt.

(i) Sei L ∈ End(K^{n}) und Mat(L) = A, d.h. “L(x) = A ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) ”.

Dann gilt: det L = det A.

(ii) Sei V K-Vektorraum G = (v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n} Basis von V und L ∈ End(V).

Dann gilt: det L = det(Mat_{G}^{G}(L)).

Bew.:

(i) Mat(L) = A ⇔ L(e_{j}) = A_{j} ⇒

det L = \frac{D_{0}(L(e_{1}), …, L(e_{n}))}{D_{0}(e_{1}, …, e_{n})} = D_{0}(A_{1}, …, A_{n}) = det A.

(ii) Sei J ∈ Hom(K^{n}, V) der Isomorphismus mit J(e_{j}) = v_{j} für j ∈ {1, …, n}, vgl.

(4.5). Dann gilt Mat(J^{−1} ∘ L ∘ J) = Mat_{G}^{G}(L), da J^{−1} ∘ L ∘ J(e_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ij} \underbrace{e_{i}}_{=J^{−1}(v_{i})} ⇔

L(v_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}v_{i}. Wir verwenden auf V die Determinantenform (!) D, die durch

D(w_{1}, …, w_{n}) = D_{0}(J^{−1}(w_{1}), …, J^{−1}(w_{n}))

definiert ist. Dann gilt D(v_{1}, …, v_{n}) = D_{0}(e_{1}, …, e_{n}) = 1 und damit

det L = D(L(v_{1}), …, L(v_{n})) = D_{0}(J^{−1} ∘ L(v_{1}), …, J^{−1} ∘ L(v_{1})) = D_{0}(J^{−1} ∘ L ∘ J(e_{1}), …, J^{−1} ∘ L ∘ J(e_{n})) = det(J^{−1} ∘ L ∘ J) =^{(i)} det(Mat(J^{−1} ∘ L ∘ J)) = det(Mat_{G}^{G}(L)).

Bem.: Es gilt i.a. \underline{nicht} det L = det(Mat\overline{G} ; G(L)), wenn G und \overline{G} verschiedene Basen von V sind.

(5.22) Folgerung (aus (5.20)(ii), (iii), (5.21) und (4.15)).

(i) A, B ∈ K^{n×n} ⇒ det(AB) = det A · det B.

(ii) A ∈ GL_{n}(K) ⇒ det(A^{−1}) = (det A)^{−1}

Speziell besagt (5.22): Die Abbildung A → det A ist ein Gruppenhomomorphismus von (GL_{n}(K), ·) auf (K \ {0}, ·). SL_{n}(K) = {A ∈ GL_{n}(K)| det A = 1} ist Untergruppe von GL_{n}(K), die \underline{spezielle lineare Gruppe}.

Eigenwerte und Eigenvektoren (eine Anwendung der Determinante)

(5.23) Def.: Sei V K-Vektorraum, L ∈ End(V). λ ∈ K heißt \underline{Eigenwert} (EW) \underline{von} L, falls ein v ∈ V \ \{0\} existiert mit L(v) = λv. v ∈ V heißt \underline{Eigenvektor} (EV) \underline{von} L, falls v ≠ 0 gilt und ein λ ∈ K existiert mit L(v) = λv. In diesem Fall heißt v ein Eigenvektor zum Eigenwert λ.

Bem.: v EV zum EW λ, α ∈ K \ {0} ⇒ αv EV zum EW λ.

Bsp.:

1) Ist L = λ id_{V}, so ist λ der einzige EW von L und jedes v ∈ V \ {0} ist EV zum EW λ.

2) Ist L : K^{n} → K^{n} definiert durch L(e_{i}) = λ_{i}e_{i} für alle i ∈ {1, …, n}, d.h.

Mat(L) = ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & … & 0 & λ_{n} \end{matrix} ) ,

so sind λ_{1}, …, λ_{n} Eigenwerte von L und e_{1}, …, e_{n} Eigenvektoren von L.

3) L : ℝ^{2} → ℝ^{2}, L(x_{1}, x_{2}) = (x_{1} + x_{2}, x_{2}) “Scherung”, mit

Mat(L) = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

Dann ist λ = 1 der einzige EW von L und x ∈ ℝ^{2} ist genau dann EV von L, wenn x = (x_{1}, 0) für ein x_{1} ≠ 0 gilt.

4) L : ℝ^{2} → ℝ^{2}, L(x_{1}, x_{2}) = (ax_{1} − bx_{2}, bx_{1} + ax_{2}) mit

Mat(L) = ( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) .

Es folgt aus Aufgabe 1b), Blatt 11, daß L für b ≠ 0 keinen (reellen) EW hat. Geometrisch ist L eine “Drehstreckung”. Identifiziert man ℝ^{2} mit ℂ durch (x_{1}, x_{2}) ↔ x_{1}+ix_{2}, vgl. Kap. 2, so kann man L schreiben als: L(x_{1}+ix_{2}) = (a+ib)(x_{1}+ix_{2}). Die Abbildung, die z ∈ ℂ die Zahl (a + ib)z ∈ ℂ zuordnet, ist also eine Drehstreckung.

5) “Gekoppelte Schwingungen”: Gegeben A ∈ End(ℝ^{n}), gesucht Lösungen x : ℝ → ℝ^{n} der “Differentialgleichung”:

(∗) x′′(t) = A(x(t)) für alle t ∈ ℝ.

Ist v ∈ ℝ^{n} EV von A zum EW λ ∈ ℝ und ist f : ℝ → ℝ Lösung von f′′(t)-λf(t) = 0 (diese sind explizit bekannt!), so ist x(t) := f(t)v Lösung von (∗):

x′′(t) = f′′(t)v = λf(t)v = f(t)A(v) = A(f(t)v) = A(x(t)).

(5.24) Satz. Sei 1 ≤ dim V < ∞, L ∈ End(V). Dann gilt:

λ EW von L ⇔ det(L − λ id_{V}) = 0.

Bew.: det(L − λ id_{V}) = 0 ⇔^{(5.20)(ii)} (L − λ id_{V}) ∉ Aut(V) ⇔^{(4.8)} kern(L − λ id_{V}) ≠ {0} ⇔ ∃v ∈ V \ {0} : (L − λ id_{V})(v) = 0 ⇔ ∃v ∈ V \ {0} : L(v) = λv.

Bem.: Ist Mat_{G}^{G}(L) = (a_{ij}) ∈ K^{n×n}, so gilt Mat_{G}^{G}(L − λ id_{V}) = (a_{ij} − λδ_{ij})_{1≤i,j≤n}. Also nach (5.21):

det(L − λ id_{V}) = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ)(a_{1σ(1)} − λδ_{1σ(1)}) · . . . · (a_{nσ(n)} − λδ_{nσ(n)})
= (−1)^{n}λ^{n} + (∑_{i=1}^{n} a_{ii}) (−1)^{n−1}λ^{n−1}+?λ^{n−2} + … +?λ + det L,

mit von den a_{ij} abhängenden Koeffizienten ?, die uns im Moment nicht weiter interessieren. Einen Ausdruck dieser Art nennt man “ein Polynom in (der Variablen) λ”.

Bez.: P_{L}(λ) := det(L − λ id_{V}) heißt das \underline{charakteristische Polynom von} L.

(5.24) besagt: λ EW von L ⇔ P_{L}(λ) = 0 ⇔^{def.} λ Nullstelle von P_{L}. Ob Polynome (vom Grad ≥ 1) \underline{stets} Nullstellen haben, hängt vom Körper K ab!

K = ℚ, ℝ → nicht immer, z.B. λ^{2} + 1
K = ℂ  → stets (“Fundamentalsatz der Algebra”)

Verfahren zur Bestimmung von EW’en und EV’en eines L ∈ End(V):

1) Berechne P_{L} (= det(L − λ id_{V})).

2) Bestimme Nullstellen von P_{L} (= EW’e von L). Das ist oft nur approximativ möglich.

3) λ Nullstelle von P_{L} ⇒ Das lineare Gleichungssystem L(v) = λv besitzt Lösung v ≠ 0. Bestimme alle Lösungen ≠ 0(= EVen zum EW λ).

Es ist leicht zu zeigen: Besitzt P_{L} n(= dim V) verschiedene Nullstellen, so ist L diago-

nalisierbar (⇔ es existiert Basis G von V: Mat_{G}^{G}(L) = ( \begin{matrix}λ_{1} \\ & ... & 0 \\ & 0 & ... \\ & & & λ_{n} \end{matrix} ), nämlich:

G = (v_{1}, …, v_{n}), v_{i} EV von L zum EW λ_{i}).

Weitere Anwendungen der Determinante:

(5.25) Def.: Eine (geordnete) Basis (v_{1}, …, v_{n}) des ℝ^{n} heißt positiv orientiert (oder Rechtssystem), falls D_{0}(v_{1}, …, v_{n}) > 0 (sonst negativ orientiert oder Linkssystem).

Bsp.: (e_{1}, …, e_{n}) ist positiv orientiert, (−e_{1}, e_{2}, …, e_{n}) und (e_{2}, e_{1}, e_{3}, …, e_{n}) sind negativ orientiert.

Bem.: Ist L ∈ Aut(ℝ^{n}), det L > 0, so gilt:

(v_{1}, …, v_{n}) positiv orientierte Basis ⇔ (L(v_{1}), …, L(v_{n})) positiv orientierte Basis.

(5.26) Cramersche Regel (Gabriel Cramer 1704-1752). Sei

I \begin{matrix}a_{11}x_{1} & + … + & a_{1n}x_{n} = & b_{1} \\ ⋮ & & & ⋮ \\ a_{n1}x_{1} & + … + & a_{nn}x_{n} = & b_{1} \end{matrix} oder kurz: A ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{n} ) = b

Gleichungssystem mit n Gleichungen für n Unbekannte. Dann gilt: Ist det A ≠ 0, so ist

x_{k} = \frac{1}{det A} | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1,k−1} & b_{1} & a_{1,k+1} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{n,k−1} & b_{n} & a_{n,k+1} & … & a_{nn} \end{matrix} | ( für k = 1, …, n)

die (einzige) Lösung von I.

Bew.: det A ≠ 0 ⇔^{(5.20)(ii)} x ∈ ℝ^{n} → Ax ∈ ℝ^{n} ist bijektiv. Also existiert genau eine Lösung von I, d.h. genau ein x ∈ ℝ^{n}: Ax = b. Sind A_{1}, …, A_{n} die Spaltenvektoren von A, so bedeutet Ax = b gerade

x_{1}A_{1} + x_{2}A_{2} + … + x_{n}A_{n} = b (vgl. I!)

Also gilt:

D_{0}(A_{1}, …, A_{k−1}, b, A_{k+1}, …, A_{n})  =  D_{0}(A_{1}, …, A_{k−1}, ∑_{i=1}^{n} x_{i}A_{i}, A_{k+1}, …, A_{n})
=^{D_{0} n-linear}  ∑_{i=1}^{n} x_{i}D_{0}(A_{1}, …, A_{k−1}, A_{i}, A_{k+1}, …, A_{n})

D_{0} alternierend

= x_{k} det A.

Eine weitere Erkenntnis, die uns die Determinante schenkt:

Nach (5.15)(iii) wissen wir, daß eine \underline{reelle} quadratische Matrix A ∈ K^{n×n} genau dann in GL(n, ℝ) liegt, wenn det A ≠ 0 gilt. Daraus folgt mit etwas Analysis: Für die “meisten” Matrizen (“für eine offene, dichte Menge” bzw. “für alle bis auf eine Menge vom Maß 0”) A ∈ ℝ^{n×n} gilt A ∈ GL_{n}(R). Speziell: “Typischerweise” ist ein System von n linearen Gleichungen für n (reelle) Unbekannte eindeutig lösbar. Oder geometrisch: “Typischerweise” schneiden sich (z.B.) zwei 3-dim. affine Unterräume des ℝ^{6} in genau einem Punkt des ℝ^{6} (2mal 3 lineare Gleichungen für 6 Unbekannte).

Zum Abschluß des Kapitels noch eine (i.a. nicht besonders praktische) Möglichkeit zum Berechnen von Determinanten - der Laplacesche Entwicklungssatz (Pierre Simon Laplace 1749-1827)).

(5.27) Lemma. Ist Ã ∈ K^{(n−1)×(n−1)} und A := ( \begin{matrix}1 & 0 … 0 \\ 0 \\ ⋮ & Ã \\ 0 \end{matrix} ) ∈ K^{n×n}, so gilt

det A = det Ã.

Bew.: Als Funktion der Spaltenvektoren von Ã ist det A (n−1)-linear, alternierend, und für Ã = E_{n−1} gilt A = E_{n} und det E_{n} = 1. Mit der Eindeutigkeitsaussage von (5.10) impliziert das: det Ã = det A.

Bez.: Zu A ∈ K^{n×n} und 1 ≤ i, j ≤ n bezeichne A_{ij} ∈ K^{(n−1)×(n−1)} die Matrix, die aus A durch \underline{Streichen} der i’ten Zeile und der j’ten Spalte entsteht.

Bsp.:

A : ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 8 & 7 & 6 & 5 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{matrix} ) ⇒ A_{23} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 4 \\ 8 & 7 & 5 \\ 4 & 3 & 1 \end{matrix} ) .

(5.28) Entwicklungssatz. Für alle A ∈ K^{n×n}, j ∈ {1, …, n} gilt:

det A = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij} (Entwicklung nach der j’ten Spalte).

Für alle i ∈ {1, …, n} gilt:

det A = ∑_{j=1}^{n}(−1)^{i+j}a_{ij} det A_{ij} (Entwicklung nach der i’ten Spalte).

Bsp.:

| \begin{matrix}1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} |

Entwicklung nach der 3. Spalte

= (−1)^{1+3}  | \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix} | + (−1)^{3+3} | \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix} | = −2

oder Entwicklung nach der 4. Zeile

= (−1)^{1+3}  | \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} | + (−1)^{4+4} · 2 · | \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \end{matrix} | = −2.

Bew.: A_{1} = ( a_{11} ; ⋮ ; a_{n1} ) , …, A_{n} = ( a_{1n} ; ⋮ ; a_{nn} ) seien die Spaltenvektoren von A.

\begin{aligned}det A & = & D_{0}(A_{1}, …, A_{n}) = D_{0}(A_{1}, …, A_{j} = ∑ a_{ij}e_{i}, …, A_{n}) \\ & = & ∑_{i=1}^{n} a_{ij}D_{0}(A_{1}, …, A_{j−1}, e_{i}, A_{j+1} …, A_{n}) \end{aligned}

Es bleibt zu zeigen: D_{0}(A_{1}, …, A_{j−1}, e_{i}, A_{j+1} …, A_{n}) = (−1)^{i+j} det A_{ij} D_{0}(A_{1}, …, A_{j−1}, e_{i}, A_{j+1} …, A_{n}) = (−1)^{j−1}D_{0}(e_{i}, A_{1}, …, A_{j−1}, A_{j+1}, …, A_{n})

\begin{matrix}= & (−1)^{j−1} & | 0 a_{11} …; ⋮ ; 1 a_{i1} …; ⋮ ; 0 a_{n1} … | … a_{1n} ; ⋮ ; … a_{in} ; ⋮ ; … a_{nn} | = (−1)^{i+j−2} | \begin{matrix}1 & a_{i1} & … \\ 0 & a_{11} & … \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{i−1,1} & … \\ 0 & a_{i+1,1} & … \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n1} & … \end{matrix} | … a_{in} ; … a_{1n} ; ⋮ ; … a_{i−1,n} ; … a_{i+1,n} ; ⋮ ; … a_{nn} | \\ = & (−1)^{i+j} & | \begin{matrix}1 & 0 & … \\ 0 & a_{11} & … \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{i−1,1} & … \\ 0 & a_{i+1,1} & … \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{n1} & … \end{matrix} | … 0 ; … a_{1n} ; ⋮ ; … a_{i−1,n} ; … a_{i+1,n} ; ⋮ ; … a_{nn} | \\ =^{(5.27)} & (−1)^{i+j} & det A_{ij} \end{matrix}

(hierbei soll der senkrechte Strich in den Determinanten andeuten, daß die j’te Spalte gestrichen ist!)

6. Euklidische Vektorräume Im folgenden sei V ein Vektorraum über dem Körper ℝ. (6.1) Def.: Eine Bilinearform b : V × V → ℝ heißt

(i) symmetrisch ⇔ ∀ v, w ∈ V: b(v, w) = b(w, v)

(ii) positiv definit ⇔ ∀ v ∈ V \ {0}: b(v, v) > 0 (iii) Skalarprodukt ⇔ b ist symmetrisch und positiv definit.

Bez.: Für ein Skalarprodukt b schreibt man oft: ⟨v, w⟩ := b(v, w). Ein reeller Vektorraum V mit einem Skalarprodukt ⟨, ⟩ heißt ein \underline{euklidischer Vektorraum}.

Bsp.: 1) \begin{matrix}V = ℝ^{n}, b(x, y) & := & ⟨x, y⟩ := ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} \\ b(x, x) & = & ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2} \end{matrix}

2) \begin{matrix}V = C^{0}([0, 2π], ℝ) & = & \{f | f : [0, 2π] → ℝ stetig\} \\ b(f_{1}, f_{2}) := ⟨f_{1}, f_{2}⟩_{L^{2}} & = & ∫_{0}^{2π}f_{1}(t)f_{2}(t)dt \end{matrix}

(6.2) Def.: Sei V, ⟨, ⟩ euklidischer Vektorraum. Dann heißt ∥ v ∥:= \sqrt{⟨v, v⟩} ≥ 0 die \underline{Norm} (oder \underline{Länge}) von v ∈ V (bzgl. ⟨, ⟩) und ∥v − w ∥ der \underline{Abstand} zwischen v und w.

(6.3) Satz. Sei V, ⟨, ⟩ euklidischer Vektorraum. Dann gilt für alle v, w ∈ V, λ ∈ ℝ:

(i) ∥v ∥≥ 0 und: ∥v ∥= 0 ⇔ v = 0 (ii) ∥λv ∥= |λ| ∥v ∥ (iii) |⟨v, w⟩| ≤∥v ∥∥w ∥ (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) mit “=” ⇔ v und w sind

linear abhängig. (iv) ∥v + w ∥≤∥v ∥ + ∥w ∥ (Dreiecksungleichung)

Bew.:

(i) ist klar

(ii) ∥λv ∥= \sqrt{⟨λv, λv⟩} = \sqrt{λ^{2}⟨v, v⟩} = |λ| ∥v ∥ (iii) Es genügt, den Fall w ≠ 0 zu betrachten. Dann gilt für alle t ∈ ℝ:

\begin{matrix}0 ≤ ⟨v + tw, v + tw⟩ =∥v ∥^{2} +2t⟨v, w⟩ + t^{2} ∥w ∥^{2} \\ = (t ∥w ∥ +\frac{⟨v,w⟩}{∥w∥})^{2} + ∥v ∥^{2} −\frac{⟨v,w⟩^{2}}{∥w∥^{2}} \end{matrix}

Als Funktion von t nimmt ⟨v + tw, v + tw⟩ für t_{0} = −\frac{⟨v,w⟩}{∥w∥^{2}} sein (nichtnegatives!) Minimum an. Daraus folgt (iii). Gleichheit in (iii) tritt genau dann ein, wenn dieses Minimum gleich Null ist, d.h. falls ⟨v+t_{0}w, v+t_{0}w⟩ = 0. Daraus folgt, daß v+t_{0}w = 0 gilt, d.h. v und w sind linear abhängig. Umgekehrt gilt für linear abhängige v und w offensichtlich Gleichheit in (iii).

(iv)

\begin{aligned}∥v + w ∥^{2} & = & ⟨v + w, v + w⟩ =∥v ∥^{2} +2⟨v, w⟩+ ∥v ∥^{2} \\ & ≤^{(iii)} & ∥v ∥^{2} +2 ∥v ∥∥w ∥ + ∥w ∥^{2}= (∥v ∥ + ∥w ∥)^{2}. \end{aligned}

(6.4) Def. Sei V, ⟨, ⟩ euklidischer Vektorraum und v, w ∈ V \ {0}. Dann ist der Winkel φ = φ(v, w) ∈ [0, π] zwischen v und w definiert durch:

cos φ = \frac{⟨v, w⟩}{∥v ∥∥w ∥} bzw. φ = arccos \frac{⟨v, w⟩}{∥v ∥∥w ∥} ∈ [0, π]

Bem. 1) (5.3)(iii) ⇒ −1 ≤ \frac{⟨v,w⟩}{∥v∥∥w∥} ≤ 1. cos : [0, π] → [−1, 1] ist bijektiv mit Umkehrabbildung arccos.

2) φ(v, w) = φ(w, v)

3) v und w heißen \underline{orthogonal} (senkrecht) zueinander ⇔ ⟨v, w⟩ = 0

4) Die Definition von φ ist so eingerichtet, daß der “Kosinussatz” gilt:

∥v − w ∥^{2}=∥v ∥^{2} −2⟨v, w⟩+ ∥w ∥^{2}=∥v ∥^{2} + ∥w ∥^{2} −2 cos φ ∥v ∥∥w ∥ .

(6.5) Def.: Eine Teilmenge S ⊆ V heißt Orthonormalsystem (ONS), falls gilt

(i) Für alle v ∈ S gilt ∥v ∥= 1 (“alle v ∈ S normiert”) und

(ii) v, w ∈ S, v ≠ w ⇒ ⟨v, w⟩ = 0 (“je zwei orthogonal”) Eine Orthonormalbasis (ONB) ist ein Orthonormalsystem, das V erzeugt.

Bem.: S ONS ⇒ S linear unabhängig: v_{1}, …, v_{n} ∈ S verschieden, r_{1}, …, r_{n} ∈ ℝ und

∑_{i=1}^{n} r_{i}v_{i} = 0 ⇒ 0 = ⟨∑_{i=1}^{n} r_{i}v_{i}, ∑_{j=1}^{n} r_{j}v_{j}⟩ = ∑_{i,j=1}^{n} r_{i}r_{j}⟨v_{i}, v_{j}⟩ = ∑_{i=1}^{n} r_{i}^{2} ⇒ alle r_{i} = 0.

Bsp.:

1) V = ℝ^{n}, ⟨x, y⟩ := ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} ⇒ {e_{1}, …, e_{n}} ist ONB von (ℝ^{n}, ⟨, ⟩).

2) V = C^{0}([0, 2π], ℝ), ⟨, ⟩ = ⟨, ⟩_{L^{2}}.

Sei f_{0} ∈ V definiert durch f_{0}(x) := \frac{1}{\sqrt{2π}} und für k ≥ 1:

f_{k}(x) := \frac{1}{\sqrt{π}} cos(kx), g_{k}(x) := \frac{1}{\sqrt{π}} sin(kx).

Dann ist S = {f_{k} | k ∈ ℕ} ∪ {g_{k} | k ∈ ℕ \ {0}} ein ONS.

(6.6) Satz:

(i) (Besselsche Ungleichung). Ist S ONS, v ∈ V und E ⊆ S endlich, so gilt

∑_{e∈E}⟨v, e⟩^{2} ≤∥v ∥^{2} .

(ii) Ist B = (v_{1}, …, v_{n}) ONB von V, so gilt

v = ∑_{i=1}^{n}⟨v, v_{i}⟩v_{i}.

Bem.: Im Fall von Bsp. 2) heißen a_{k} := ⟨f, f_{k}⟩_{L^{2}} für k ≥ 0 (d.h. a_{k} = \frac{1}{\sqrt{π}} ∫_{0}^{2π}f(x) cos(kx)dx

für k ≥ 1 und a_{0} = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{0}^{2π}f(x)dx) und b_{k} := ⟨f, g_{k}⟩_{L^{2}} = \frac{1}{\sqrt{π}} ∫_{0}^{2π}f(x) sin(kx)dx für k ≥ 1 die

Fourierkoeffizienten von f ∈ V = C^{0}([0, 2π], ℝ). Aus (6.6)(i) folgt:

a_{0}^{2} + ∑_{k=1}^{∞}(a_{k}^{2} + b_{k}^{2}) ≤∥f ∥_{L^{2}}^{2}= ∫_{0}^{2π}f^{2}(x)dx.

In Wahrheit ist diese Ungleichung stets eine Gleichheit (man sagt zu dieser Eigenschaft, daß dieses S ein \underline{vollständiges} ONS ist), aber das können wir hier nicht beweisen.

Bew.: (i) 0 ≤∥v − ∑_{e∈E}⟨v, e⟩e∥=∥v ∥^{2} −2 ∑_{e∈E}⟨v, e⟩^{2} + ∑_{e∈E}⟨v, e⟩^{2}

(ii) (v_{1}, …, v_{n}) Basis ⇒ ∃r_{1}, …, r_{n} ∈ ℝ : v = ∑_{j=1}^{n} r_{j}v_{j} ⇒ ⟨v, v_{i}⟩ = ∑_{j=1}^{n} r_{j}⟨v_{j}, v_{i}⟩ = r_{i}

(6.7) Satz (Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren). Seien v_{1}, …, v_{k} ∈ V linear unabhängig. Dann existiert ein ONS ṽ_{1}, …, ṽ_{k} ∈ V mit span{v_{1}, …, v_{i}} = span{ṽ_{1}, …, ṽ_{i}} für alle 1 ≤ i ≤ k. Insbesondere: Ist V endlichdimensional, so existiert eine ONB von V.

Bew.: Induktion nach k:

k = 1 : ṽ_{1} = \frac{1}{∥v_{1} ∥}v_{1} (v_{1} ≠ 0!)

Induktionsschritt: Nach Induktionsvoraussetzung existiert ein ONS ṽ_{1}, …, ṽ_{k−1} mit

span{v_{1}, …, v_{i}} = span{ṽ_{1}, …, ṽ_{i}} für alle 1 ≤ i ≤ k − 1.

Setze w_{k} = v_{k} − ∑_{j=1}^{k−1}⟨v_{k}, ṽ_{j}⟩ṽ_{j} (⇒ ⟨w_{k}, ṽ_{i}⟩ = 0 für 1 ≤ i ≤ k − 1) und ṽ_{k} := \frac{1}{∥w_{k}∥}w_{k}. Dann

ist ṽ_{1}, …, ṽ_{k} ONS und span{ṽ_{1}, …, ṽ_{k}} = span{v_{1}, …, v_{k}}.

(6.8) Def. Seien V, ⟨, ⟩ und Ṽ , ⟨,˜⟩ euklidische Vektorräume. Ein L ∈ Hom(V, Ṽ) heißt orthogonal(bzgl. ⟨, ⟩ und ⟨,˜⟩), falls für alle v, w ∈ V gilt: ⟨v, w⟩ = ⟨L(v), L(w)˜⟩. Bem.:

1) L orthogonal ⇒ L injektiv (L(v) = 0 ⇒∥L(v)∥^{2}=∥v ∥^{2}= 0 ⇒ v = 0)

Speziell: Gilt dim V = dim Ṽ < ∞, so ist jede orthogonale Abbildung bijektiv.

2) Sei Ṽ = V, dim V < ∞, ⟨,˜⟩ = ⟨, ⟩. Dann bilden die orthogonalen L ∈ End(V) eine Untergruppe von (Aut(V), ∘), die orthogonale Grupe O(V) von V.

(6.9) Folgerung. Ist V, ⟨, ⟩_{V} euklidischer Vektorraum, dim V = n, so existiert eine (bijektive) orthogonale Abbildung L : (V, ⟨, ⟩_{V}) → (ℝ^{n}, ⟨, ⟩).

Bew.: Sei f_{1}, …, f_{n} ONB von V. Definiere L durch L(f_{i}) = e_{i} ∈ ℝ^{n}.

Ist v = ∑ r_{i}f_{i} und w = ∑ s_{j}f_{s} so folgt ⟨v, w⟩_{V}  = ∑ r_{i}s_{i}.
Daraus folgt L(v) = ∑ r_{i}e_{i}, L(w) = ∑ s_{j}e_{j} und  ⟨L(v), L(w)⟩ = ∑ r_{i}s_{i} = ⟨v, w⟩_{V} .

(6.10) Satz. Sei L ∈ End(V) und G = (e_{1}, …, e_{n}) ONB von V und A = Mat_{G}^{G}(L).

Dann gilt: L ∈ O(V) ⇔ A^{T} A = E_{n} (⇔ A^{T} = A^{−1})

Bew.: \begin{aligned}δ_{ij} = ⟨e_{i}, e_{j}⟩ & = & ⟨L(e_{i}), L(e_{j})⟩ = ⟨∑_{k=1}^{n} a_{ki}e_{k}, ∑_{l=1}^{n} a_{lj}e_{l}⟩ \\ & = & ∑_{k,l=1}^{n} a_{ki}a_{lj}δ_{kl} = ∑_{k=1}^{n} a_{ki}a_{kj} \\ ⇔ A^{T} A = E_{n}. \end{aligned}

Die Hauptachsentransformation

Im folgenden sei V ein n-dimensionaler ℝ-Vektorraum mit Skalarprodukt ⟨, ⟩ und b : V × V → ℝ eine symmetrische Bilinearform. Ist (e_{1}, …, e_{n}) eine Basis von V und sind x =

∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}, y = ∑_{j=1}^{n} y_{j}e_{j} beliebige Vektoren in V, so folgt aus der Bilinearität von b:

b(x, y) = b (∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}, ∑_{j=1}^{n} y_{j}e_{j}) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} x_{i}y_{j} b(e_{i}, e_{j}).

Man nennt die Matrix B = (b_{ij}) ∈ ℝ^{n×n} mit b_{ij} = b(e_{i}, e_{j}) die \underline{Matrix} \underline{von} b bzgl. der Basis (e_{1}, …, e_{n}). Ist b symmetrisch (wie wir vorausgesetzt haben), so gilt b_{ij} = b(e_{i}, e_{j}) = b(e_{j}, e_{i}) = b_{ji}, d.h. B = B^{⊤} (solche Matrizen heißen symmetrisch). Es gilt dann für x =

∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}, y = ∑_{j=1}^{n} y_{j}e_{j}:

b(x, y) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} x_{i}b_{ij}y_{j} = ( x_{1} … x_{n} ) B ( y_{1} ; ⋮ ; y_{n} ) ,

wobei der letzte Term als Produkt von Matrizen zu interpretieren ist.

Besonders einfach zu verstehen ist eine Bilinearform b, deren Matrix (bzgl. e_{1}, …, e_{n}) eine Diagonalmatrix b_{ij} = λ_{i}δ_{ij} ist. Dann gilt:

b(x, y) = ∑_{i=1}^{n} x_{i}λ_{i}y_{i}.

Zum Beispiel ist ein soches b genau dann positiv definit, wenn alle λ_{i} (für i = 1, …, n) positiv sind.

(6.11) Satz (Hauptachsentransformation). Zu jeder symmetrischen Bilinearform b : V ×

V → ℝ existiert eine ONB f_{1}, …, f_{n} von V und λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℝ, so daß für alle x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}f_{i},

y = ∑_{j=1}^{n} y_{j}f_{j} in V gilt

b(x, y) = ∑_{i=1}^{n} x_{i}λ_{i}y_{i}.

Anders ausgedrückt: Es existiert stets eine ONB von V, bezüglich derer die Matrix von b eine Diagonalmatrix ist. (Die λ_{i} sind dann gerade die Diagonalelemente der Matrix.)

Herkunft der Bezeichnung “Hauptachsentransformation”: Ist b : ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ positiv definite, symmetrische Bilinearform, so ist die Menge

E = {x ∈ ℝ^{2} | b(x, x) = 1}

eine Ellipse. Satz (6.11) besagt, daß es eine ONB f_{1}, f_{2} (bzgl. des üblichen Skalarprodukts) gibt, so daß

E = {x = x_{1}f_{1} + x_{2}f_{2} ∈ ℝ^{2} | λ_{1}x_{1}^{2} + λ_{2}x_{2}^{2} = 1}

gilt, d.h. die Geraden durch 0 ∈ ℝ^{2} in Richtung f_{1} bzw. f_{2} sind die “Hauptachsen” der Ellipse E mit zugehörigen Achsenabschnitten der Länge (λ_{1})^{− \frac{1}{2}} bzw. (λ_{2})^{− \frac{1}{2}} .

Satz (6.11) spielt in folgendem Zusammenhang in der Analysis II eine Rolle (“Kurvendiskussion für Funktionen f : ℝ^{n} → ℝ”): Ist f : ℝ^{n} → ℝ zweimal stetig differenzierbar, x_{0} ∈ ℝ^{n} und h ∈ ℝ^{n}, so gilt (siehe Analysis II)

f(x_{0} + h) = f(x_{0}) + Df(x_{0})(h) + \frac{1}{2} D^{2}f(x_{0})(h, h) + R_{f,x_{0}}(h),

wobei Df(x_{0}) : ℝ^{n} → ℝ linear (1. Ableitung von f an der Stelle x_{0}), D^{2}f(x_{0}) : ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ symmetrisch, bilinear (2. Ableitung von f an der Stelle x_{0}),

und R_{f,x_{0}}(h) eine Funktion mit lim_{h→0} \frac{R_{f,x_{0}}(h)}{∥h∥^{2}} = 0 ist. x_{0} heißt \underline{kritischer} \underline{Punkt} von f, falls

Df(x_{0}) = 0 gilt. Aus (6.11) folgt, daß man eine ONB des ℝ^{n} finden kann, bzgl. derer

D^{2}f(x_{0})(h, h) = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}h_{i}^{2} gilt. Daraus folgt für einen kritischen Punkt x_{0} von f:

alle λ_{i} > 0 (⇔ D^{2}f(x_{0}) positiv definiert) ⇒ x_{0} lokales Minimum.
alle λ_{i} < 0 (⇔ D^{2}f(x_{0}) negativ definiert) ⇒ x_{0} lokales Maximum.

Im Gegensatz zum (aus der Schule bekannten) Fall n = 1 gibt es für n > 1 noch andere wichtige Möglichkeiten für D^{2}f(x_{0}): Es kann z.B. für n = 2 λ_{1} > 0 und λ_{2} < 0 gelten. Dann sieht der Graph von f in einer Umgebung von x_{0} wie eine “Sattelfläche” aus.

Vorbereitung zum Beweis von Satz (6.11):

Wegen (6.9) können wir annehmen, daß V = ℝ^{n}, ⟨x, y⟩ = ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} gilt. Ist nämlich L : ℝ^{n} →

V orthogonal, so betrachte b̃ : ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ, b̃(x, y) := b(L(x), L(y)). Haben wir die Behauptung für b̃ bewiesen, so folgt sie leicht auch für b. (Als gesuchte ONB von V kann gerade das Bild unter L einer ONB des ℝ^{n} genommen werden, die b̃ diagonalisiert.)

Unter leichtem Missbrauch der Bezeichnung verwenden wir B auch als Symbol für die

lineare Abbildung B : ℝ^{n} → ℝ^{n} mit B(e_{i}) = ∑_{j=1}^{n} b_{ij}e_{j} = ∑_{j=1}^{n} b_{ji}e_{j}. Dann gilt:

(6.12) Lemma. b(x, y) = ⟨B(x), y⟩ = ⟨x, B(y)⟩ für alle x, y ∈ ℝ^{n}.

Bem.: Ein B ∈ End(ℝ^{n}) mit ⟨B(x), y⟩ = ⟨x, B(y)⟩ für alle x, y ∈ ℝ^{n} heißt “selbstadjungiert”.

Bew.: \begin{aligned}⟨B(x), y⟩ & = & ⟨B (∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}) , ∑_{k=1}^{n} y_{k}e_{k}⟩ \\ & = & ∑_{i=1}^{n} ∑_{k=1}^{n} x_{i}y_{k}⟨B(e_{i}), e_{k}⟩ \\ & = & ∑_{i=1}^{n} ∑_{k=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} x_{i}y_{k}b_{ij} \underbrace{⟨e_{j}, e_{k}⟩}_{=δ_{jk}} = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} x_{i}y_{j}b_{ij} \\ & = & b(x, y) \end{aligned}

Da b symmetrisch ist, folgt daraus:

⟨x, B(y)⟩ = ⟨B(y), x⟩ = b(y, x) = b(x, y) = ⟨B(x), y⟩.

Satz (6.11) ist also äquivalent dazu, daß es für jedes selbstadjungierte B ∈ End(ℝ^{n}) eine ONB f_{1}, …, f_{n} des ℝ^{n} aus Eigenvektoren von B gibt. Sind dann λ_{1}, …, λ_{n} die zugehörigen Eigenwerte von B, d.h. B(f_{i}) = λ_{i}f_{i} für i = 1, …, n, so gilt:

b_{ij} = b(f_{i}, f_{j}) = ⟨B(f_{i}), f_{j}⟩ = λ_{i}⟨f_{i}, f_{j}⟩ = λ_{i}δ_{ij}, wie in (6.11) behauptet.

Im ersten (schwierigeren) Schritt zeigen wir:

1. Schritt: B besitzt einen Eigenwert λ ∈ ℝ. Sei B̃ ∈ End(ℂ^{n}) die ℂ-lineare Fortsetzung von B ∈ End(ℝ^{n}) auf ℂ^{n}, d.h. B̃(z_{1}, …, z_{n}) =

(∑_{i=1}^{n} b_{1i}z_{i}, ∑_{i=1}^{n} b_{2i}z_{i}, …, ∑_{i=1}^{n} b_{ni}z_{i}). Wir verwenden nun (ohne das bewiesen zu haben), daß

ℂ algebraisch abgeschlossen ist. Daraus folgt, daß es einen Eigenwert λ ∈ ℂ ∈ ℂ ∈ ℂ von B̃ gibt (vgl. (5.24) und die daran anschließenden Bemerkungen).

Wir wollen zeigen, daß in Wahrheit λ ∈ ℝ ∈ ℝ ∈ ℝ gilt. Sei v = x + iy ∈ ℂ^{n} \ {0} mit x, y ∈ ℝ^{n} ein EV zum EW λ = α + iβ, α, β ∈ ℝ, von B̃. Dann gilt

B̃(x + iy) = B(x) + iB(y) mit B(x), B(y) ∈ ℝ^{n}

und andererseits wegen B̃(v) = λv:

B̃(x + iy) = (α + iβ)(x + iy) = (αx − βy) + i(βx + αy).

Also:

(∗) B(x) = αx − βy und B(y) = βx + αy

Aus (∗) folgt mit (6.12):

⟨B(x), y⟩ = α⟨x, y⟩ − β ∥y ∥^{2}= ⟨x, B(y)⟩ = β ∥x∥^{2} +α⟨x, y⟩.

Also 0 = β(∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2}), woraus wegen ∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2}> 0 (da v ≠ 0!) β = 0 folgt, d.h. λ = α ∈ ℝ und, nach (∗),

B(x) = λx, B(y) = λy.

Da v = x + iy ≠ 0 gilt, sind nicht beide x und y der Nullvektor, d.h. mindestens einer von beiden ist ein Eigenvektor von B (zum EW λ = α ∈ ℝ).

2. Schritt: Induktion über n = dim ℝ^{n}.

n = 1: Wähle f_{1} := e_{1} ∈ ℝ^{1}. Dann gilt: b(x_{1}e_{1}, x_{1}e_{1}) = x_{1}^{2} \underbrace{b(e_{1}, e_{1})}_{=:λ_{1}}.

n > 1: Wähle als f_{1} ∈ ℝ^{n} einen (nach Schritt 1 existierenden) Eigenvektor von B, der ohne Einschränkung als normiert angenommen werden kann, d.h. ∥f_{1} ∥= 1. Betrachte

(∗∗) U := {x ∈ ℝ^{n} | ⟨x, f_{1}⟩ = 0}.

Dann ist U ein (n − 1)-dimensionaler Untervektorraum des ℝ^{n} (vgl. (3.24)) und die Restriktion ⟨, ⟩ | U × U von ⟨, ⟩ auf U ist ein Skalarprodukt auf U. Entscheidend ist nun, daß B(U) ⊆ U gilt: Ist x ∈ U, d.h. x ∈ ℝ^{n} und ⟨x, f_{1}⟩ = 0, so folgt B(x) ∈ ℝ^{n} und

⟨B(x), f_{1}⟩ =^{(6.12)} ⟨x, B(f_{1})⟩ = ⟨x, λ_{1}f_{1}⟩ = λ_{1}⟨x, f_{1}⟩ = 0,

d.h. B(x) ∈ U. B | U ist also ein selbstadjungierter Endomorphismus von U, so daß nach der Induktionsvoraussetzung die Existenz einer ONB f_{2}, …, f_{n} von U aus Eigenvektoren von B | U (⇒ von B) existiert. Wegen (∗∗) ist dann f_{1}, …, f_{n} eine ONB des ℝ^{n} aus Eigenvektoren von B.